5883_Chuyen de 11. Bat dang thuc

Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG

HĐBM -TỔ TỐN

Chun đề 11
BẤT ĐẲNG THỨC
1. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1.


2
Tìm GTNN của biểu thức P =  x +



1  2 1
ữ y + 2 ữ
y2
x

Li gii.
ã Ta biến đổi P = ( xy ) +
2

1
+2
( xy ) 2

 x, y > 0
1
nên 1 = x + y ≥ 2 xy ⇒ 0 < xy ≤ .
4

x + y = 1
1
Đặt t = ( xy ) 2 , điều kiện của t là 0 < t ≤
16
1
Khi đó biểu thức P = f ( t ) = 2 + t +
t
2
 1
t −1
f ' ( t ) = 2 ; ta thấy f ' ( t ) < 0 với mọi t ∈  0;  , suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên nửa khoảng
 16 
t
 1
 0; 
 16 
 1  289
(
)
min
P
=
min
f
t
=
f
 =
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là
1

 16  16 .
t∈( 0; ]

• Do 
•
•
•

•

16

2. (Khối A 2006) Cho các số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thỏa ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy .
Tìm GTLN của biểu thức .
Lời giải.
S2
• Đặt x + y = S và xy = P với P ≠ 0 , từ giả thiết ta có P =

S +3

• x, y tồn tại khi S 2 ≥ 4 P ⇔ S 2 ≥

( S ≠ −3)

4S 2
4
S −1
⇔
≤1⇔
≥ 0 ⇔ S < −3 ∨ S ≥ 1

S +3
S +3
S +3
2

•
•

x 3 + y 3 ( x + y )( x 2 + y 2 − xy ) ( x + y ) 2 xy  x + y 
 S + 3
 = 
=
= 
Ta biến đổi A = 3 3 =

3 3
3 3
x y
x y
x y
 S 
 xy 
Xét hàm số với t < −3 ∨ t ≥ 1 , ta có f / (t ) = − 3 < 0
t2

2

• BBT

34

Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG

HĐBM -TỔ TỐN

• Suy ra A = f 2 (t ) ≤ 16
1
2

• Vậy GTLN P = 16 khi x = y = .
3. Cho các số thực dương thay đổi x, y thỏa điều kiện x + y = 1 .
Tìm GTNN của biểu thức P =

1
1
+ .
3
x +y
xy
3

Lời giải.
•

P=

1
1
1

1
1
1
+
=
+
=
+
3
3
xy ( x − y ) − 3xy ( x + y ) xy 1 − 3 xy xy
x +y
3

2

1
x+ y
• Đặt 0 < t = xy ≤ 
 =
4
 2 
1
1
1
+
• Xét hàm số f (t ) =
với 0 < t ≤
1 − 3t t
4

3
1
f / (t ) =
− 2 ⇒ f / (t ) = 0 ⇔ t = 3 ± 3
2
(1 − 3t )
t
6

• BBT

3− 3 
 = 4+2 3
• Suy ra P ≥ f 



6



1
2 3 − 3 
; y=
• Vậy GTLN P = 4 + 2 3 khi x = 1 ±

2



3

1 
2 3 − 3 
1
 .
2
3





4. (khối D 2009) Cho các số thực không âm x, y thỏa điều kiện x + y = 1 .
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức S = (4 x 2 + 3 y )(4 y 2 + 3 x) + 25 xy
Lời giải.
• Do x + y = 1 nên

S = (4 x 2 + 3 y )(4 y 2 + 3x ) + 25 xy
= 16 x 2 y 2 + 12( x 3 + y 3 ) + 9 xy + 25 xy
= 16 x 2 y 2 + 12 ( x + y ) 3 − 3xy ( x + y ) + 34 xy
= 16 x 2 y 2 − 2 xy + 12

[

]

2

1

x+ y
• Đặt 0 ≤ t = xy ≤ 
 =
4
 2 

• Xét hàm số f (t ) = 16t 2 − 2t + 12

với 0 ≤ t ≤

1
4

35


Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG

f / (t ) = 32t − 2 ⇒ f / (t ) = 0 ⇔ t =

HĐBM -TỔ TOÁN

1
16

25
1
khi x = y =
2
2

191
2+ 3
2− 3
2− 3
2+ 3
,y=
,y =
GTNN S =
khi x =
hoặc x =
.
16
4
4
4
4

• Vậy GTLN S =

5. Cho các số thực thay đổi x, y thỏa điều kiện y ≤ 0 và x 2 + x = y + 12 .
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P = xy + x + 2 y + 17 .
Lời giải.
• Ta có x 2 + x − 12 = y ≤ 0 ⇔ −4 ≤ x ≤ 3
• P = x( x 2 + x − 12) + x + 2( x 2 + x − 12) + 17 = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7
• Xét hàm số f ( x) = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7 với − 4 ≤ x ≤ 3
f / ( x) = 3 x 2 + 6 x − 9 ⇒ f / ( x) = 0 ⇔ x = −3; x = 1

• Vậy GTLN P = 20 khi x = −3, y = −6 hoặc x = 3, y = 0
GTNN P = −12 khi x = 1, y = −10 

36


Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG

HĐBM -TỔ TỐN

6. (Khối B 2009) Cho các số thực thay đổi thỏa ( x + y )3 + 4 xy ≥ 2 .
Tìm GTNN của biểu thức .
Lời giải.
2

•
•
•
•

 x2 + y2 

Ta có ( xy) ≤ 
2


2

 x2 + y2  
2
2 2
  − 2( x 2 + y 2 ) + 1
P ≥ 3( x + y ) − 


 2  
( x + y) 2 1
≥ (theo giả thiết ( x + y ) 3 + ( x + y ) 2 ≥ ( x + y ) 3 + 4 xy ≥ 2 )
Đặt t = x 2 + y 2 ≥
2
2
Xét hàm số với t ≥ 1
2
9
t
f / (t ) = − 2
2
2

1
2

• Suy ra P ≥ f (t ) ≥ f ( ) =
• Vậy GTNN P =

9
16

9
1
khi x = y = z = .
16
2

7. (Khối B 2010) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 1 .
Tìm GTNN của biểu thức
Lời giải.
• Ta biến đổi

• Đặt

t = ab + bc + ca , điều kiện 0 ≤ t = ab + bc + ca ≤

• Xét hàm số

(a + b + c) 2 1
=
3
3

, ta có
f '(t ) = 2t + 3 −
f / / (t ) = 2 −

2
1 − 2t
2

(1 − 2t )3

≤0
 1  11

/

/
Do vậy f / (t ) là hàm nghịch biến: f (t ) ≥ f  ÷ = − 2 3 > 0 .
3 3
Suy ra f (t ) là hàm số đồng biến
• BBT

t

0

1
3

37


Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG

HĐBM -TỔ TỐN

f / ( t)

10 + 6 3
9

f (t )
2

• Suy ra P ≥ f (t ) ≥ f (0) = 2

 ab = bc = ca

• Vậy GTNN P = 2 khi ab + bc + ca = 0 khi (1; 0; 0) và các hoán vị. 
 a +b + c =1


8. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 3.
Tìm GTLN của biểu thức .
Lời giải.
3
2
2
2
• Ta có = 3(3 − c) + 3c − 2(3 − c)ab

• Giả sử 0 < a ≤ b ≤ c ⇒ 1 ≤ c <

a+b
≥ 3(3 − c ) + 3c − 2(3 − c)

 2 
2

3−c
= 3(3 − c ) + 3c − 2(3 − c)

 2 
3
27
= c3 − c 2 +

2
2
2

• Xét hàm số

2

2

2

2

với 1 ≤ t < 3
2

f (t ) = 3c − 3c
/

2

· BBT:

• Suy ra P ≥ f (1) = 13
• Vậy GTNN P = 13 khi a = b = c = 1 .
9. Cho các số dương x, y, z thỏa x + y + z ≤ 1 .
Tìm GTNN của biểu thức .

38

Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG

HĐBM -TỔ TỐN

Lời giải.
• Theo bất đẳng thức Cơsi ta có
1 ≥ x + y + z ≥ 33 xyz
1 1 1
3
+ + ≥
x y z 3 xyz
3

3
• Suy ra P ≥ 3 xyz + 3 xyz
• Xét hàm số với 0 < t ≤ 1

3

f / (t ) = 3 −

3 3 − 3t 2
=
<0
t2
t2

1

3

• Suy ra P ≥ f (t ) ≥ f ( ) = 10
• Vậy GTNN P = 10 khi x = y = z =

1
3

10. (Khối A 2003) Cho các số đương x, y, z thỏa x + y + z ≤ 1 .
Tìm GTNN của biểu thức .
Lời giải.
2


1 1 1
1 

• Ta có P ≥ ( x + y + z ) +  + +  ≥ 3 (33 xyz ) 2 +  33

x
y
z
xyz





2

2

2

• Xét hàm số với 0 < t ≤ 1 0 < t ≤  x + y + z  = 1
9

f / (t ) = 9 −



3



9

9 9 − 9t
=
<0
t2
t2
2

39


Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG

HĐBM -TỔ TỐN

1
9

• Suy ra P ≥ f (t ) ≥ f ( ) = 82
1
3

• Vậy GTNN P = 82 khi x = y = z = .
11. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 3 .
Tìm GTLN của biểu thức .
Lời giải.
• Giả sử 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 3
•

a 2 − ab + b 2 ≤ b 2
a ( a − b ) ≤ 0
⇔
Suy ra 
 2
2
2
a (a − c ) ≤ 0
 a − ac + c ≤ c

• Do đó

 a+b+c =3
ta có b + c ≤ a + b + c ⇒ b + c ≤ 3 ⇔ 2 bc ≤ b + c ≤ 3
0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 3

9
Suy ra 0 ≤ bc ≤
4
P
≤
b 2 c 2 (9 − 3bc)
Từ đó ta có
Xét hàm số
với 0 ≤ t < 9
4
/
2
f (t ) = −9t + 18t

• Từ 
•
•
•

• Suy ra P ≤ f (2) = 12
• Vậy GTLN P = 12 khi a = 0; b = 1; c = 2 và các hoán vị. 
12. Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thuộc [ 0; 2] .
Tìm GTNN của biểu thức .
Lời giải.
• Giả sử 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 2
1
1

≥
2


 0 (c − a )
4
• Từ 0 < c − b ≤ 2 − b ⇔  1
1


≥
2
 (b − c)
( 2 − b) 2

• Suy ra

• Xét hàm số

với 0 < b < 2

40


Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG

f / (b ) = −

HĐBM -TỔ TỐN

2
2

+
3
b
( 2 − b) 3

9
4
9
• Vậy GTNN P = khi a = 0; b = 1; c = 2 và các hốn vị. 
4

• Suy ra P ≥ f (1) =

13. Cho các số đương x, y thỏa x + y = 1 .
Tìm GTNN của biểu thức P =

x
y
+
.
1− x
1− y

Lời giải.

•
•

a

+

b

≥ a+ b
b
a
x
1− x
P=
+
≥ x + 1− x
1− x
x
Xét hàm số f ( x) = x + 1 − x với 0 < x < 1
1
1
1
f / ( x) =
−
. f / ( x) = 0 ⇔ x =
2
2 x 2 1− x

• Áp dụng BĐT

1
2

• Suy ra P ≤ f ( ) = 2

1
2

• Vậy GTNN P = 2 khi x = y = .
14. (Khối B 2006) Cho các số thực thay đổi x, y .
Tìm GTNN của biểu thức
Lời giải.

41


Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG

• Ta có BĐT

HĐBM -TỔ TOÁN

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a + c) 2 + (b + d ) 2

• Xét hàm số
• Trường hợp y − 2 < 0 ⇔ y < 2
f / ( y) =
⇒ f / ( y) = 0 ⇔ y =

•

2y
1+ y2
1

−1

3
 1 
Suy ra f ( y ) ≥ f   = 2 + 3
 3
Trường hợp y − 2 ≥ 0 ⇔ y ≥ 2

• Vậy GTNN P = 2 + 3 khi x = 0, y =

1
3

.

15. Cho các số đương x, y, z thỏa x + y + z ≤ 3 .
Tìm GTLN của biểu thức .
Lời giải.
• Áp dụng BĐT cơsi, ta có

1
1
1
( x + y )2 + (z +1)2 ³ ( x + y + z +1)2
2
2
4
3
 x + y + z + 3
( x + 1)( y + 1)( z + 1) ≤ 


3


2
54
Suy ra P ≤ x + y + z + 1 − ( x + y + z + 3) 3
Đặt t = x + y + z + 1 > 1
2
54
P≤ −
t (t + 2) 3
2
54
Xét hàm số f (t ) = t − (t + 2) 3 với 1 < t
2
162
/
f / (t ) = − 2 +
4 ⇒ f (t ) = 0 ⇔ t = 1; t = 4
t
(t + 2)
x 2 + y 2 + z2 +1 ³

•
•

•

42

Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG

• Suy ra P ≤ f (4) =
• Vậy GTLN P =

HĐBM -TỔ TỐN

1
4

1
khi x = y = z = 1 .
4

16. Cho các số dương x, y, z . Tìm GTLN của biểu thức
Lời giải.
y

z

x

• Đặt a = x , b = y , c = z ⇒ abc = 1
• Suy ra
£

1
1+ a

2

+

2
1 + bc

£

2
1
+ 2 11+ a
1+ a

1
1
với 0 < t ≤
2
1+ a
Xét hàm số f (t ) = t 2 + 2 1 − t

• Đặt t =
•

f / (t ) =

1

2 − 2t − 1

t −1

≥0

3

• Suy ra P ≤ f ( 2 ) =
2
• Vậy GTLN P =

1
khi x = y = z = 1 .
4

17. Cho các số dương x, y, z thỏa x + y + z = 3 .
Tìm GTNN của biểu thức .
Lời giải.
• Ta có 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ) = a 3 + b 3 + c 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca 2

43


Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG

•

HĐBM -TỔ TỐN

a 3 + ab 2 ≥ 2a 2 b
 3

2
2
2
2
2
2
2
2
Mà  b + bc ≥ 2b c ⇒ 3(a + b + c ) ≥ 3(a b + b c + c a) > 0
 c 3 + ca 2 ≥ 2c 2 a


• Đặt t = x 2 + y 2 + z 2
•

1 9
với 3 ≤ t
2 2t
9
f / (t ) = 1 − 2
2t

• Xét hàm số f (t ) = t − +

• Suy ra P ≤ f (4) =
• Vậy GTLN P =

1
4

1
khi x = y = z = 1 .
4

18. Cho các số không âm x, y, z thỏa x + y + z > 0 .
Tìm GTNN của biểu thức
Lời giải.
• Ta có dựa vào phép chứng minh tương đương
• Đặt , khi đó
• Đặt t =

z
a

• Xét hàm số f (t ) = (1 − t ) 3 + 64t 3 với 0 ≤ t ≤ 1

[

]

f / (t ) = 3 64t 2 − (1 − t ) 2 ⇒ f / (t ) = 0 ⇔ t =

1
9

44


Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG

HĐBM -TỔ TỐN

 
• Suy ra P ≥ 4 , f  9 ÷ = 81
 
1

1

• Vậy GTNN P =

16

16
khi x = y = 4 z .
81

19. (Khối B 2007) Cho các số thực dương x, y, z .
Tìm GTNN của biểu thức .
Lời giải.
• Ta có

• Do x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx
 x2 1   y2 1   z2 1 
P ≥  +  + 
+  +  + 
2
x
2
y  2 z


 

• Xét hàm số

với t ≥ 1

2

f / (t ) = t −

• Vậy GTNN P =

1
t2

9
khi x = y = z = 1 .
2

20. (Khối A 2011)Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x ≥ y , x ≥ z .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

x
y
z
+
+

.
2x + 3y z + y z + x

Lời giải.
1
1
2
+
≥
với và ab ≥ 1 (chứng minh tương đương)
1 + a 1 + b 1 + ab
x
1
1
1
2
P=
+
+
≥
+
2x + 3y 1+ z 1+ x 2 + 3y
x
Khi đó
1+
y
z
x
y

• Ta có
•

• Đặt t =

x
với 1 ≤ t ≤ 2
y

45


Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG

HĐBM -TỔ TỐN

t2
2
+
2
2t + 3 1 + t
t2
2
+
Xét hàm số f (t ) = 2
với 1 ≤ t ≤ 2
2t + 3 1 + t
− 2 t 3 (4t − 3) + 3t (2t − 1) + 9
/
f (t ) =

<0
(2t 2 + 3) 2 (1 + t ) 2

• Suy ra P ≥
•

[

• Suy ra P ≥ f ( 2 ) =
• Vậy GTNN P =

]

34
33

34
khi x = 4; y = 1; z = 2 .
33

46