Chuyên đề 5 bất đẳng thức

Chun đề LTĐH Thầy tốn: 0968 64 65 97
1

Chuyên đề 5: BẤT ĐẲNG THỨC
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Số thực dương, số thực âm:
 Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0
 Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0
 Nếu x là số thực dương hoặc x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu
0

x

 Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu
0

x

Chú ý:
 Phủ đònh của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề "
0

a
"
 Phủ đònh của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề "
0

a
"
II. Khái niệm bất đẳng thức:
1. Đònh nghóa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức

là a-b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a
Ta có:
0
a b a b
   

 Nếu a>b hoặc a=b, ta viết
ba

. Ta có:

0
b
-
a





ba

2. Đònh nghóa 2:
Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số
Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B
" A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B
" A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu
A B


" A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu
A B


được gọi là một bất đẳng thức
Quy ước :
 Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất
đẳng thức đúng.
 Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng
III. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức :
1. Tính chất 1:
a b
a c
b c


 




2. Tính chất 2:
a b a c b c
    

Hệ quả 1:
a b a c b c
    

Hệ quả 2:

a c b a b c
    

3. Tính chất 3:
a b
a c b d
c d


   




4. Tính chất 4:
nếu c > 0
nếu c < 0
ac bc
a b
ac bc


 




Hệ quả 3:
a b a b
    

Chun đề LTĐH Thầy tốn: 0968 64 65 97
2

Hệ quả 4:
nếu c > 0
nếu c < 0
a b
c c
a b
a b
c c




 






5. Tính chất 5:
0
0
a b
ac bd
c d
 


 

 


6. Tính chất 6:
1 1
0 0a b
a b
    

7. Tính chất 7:
nn
baNnba 
*
,0
8. Tính chất 8:
n
baNnba 
n

*
,0
Hệ quả 5: Nếu a và b là hai số dương thì :

22
baba 
Nếu a và b là hai số không âm thì :

22
baba 
IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trò tuyệt đối :
1. Đònh nghóa:
nếu x 0
( x )
nếu x < 0


 



x
x R
x

2. Tính chất :
2
2
0 , x , x x , -x x
x x
   

3. Với mọi Rba

, ta có :

a b a b
  


a b a b
  


. 0
a b a b a b
    


. 0
a b a b a b
    

V. Bất đẳng thức trong tam giác :
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì :
 a > 0, b > 0, c > 0

b c a b c
   


c a b c a
   


a b c a b
   


a b c A B C
    

VI. Các bất đẳng thức cơ bản :
a. Bất đẳng thức Cauchy:
Cho hai số không âm a; b ta có :
2
a b
ab


Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Tổng quát :
Cho n số không âm a
1
,a
2
, a
n
ta có :

1 2
1 2

.
n
n
n
a a a

a a a
n
  

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= = a
n

Chun đề LTĐH Thầy tốn: 0968 64 65 97
3

b. Bất đẳng thức Bunhiacốpski :
Cho bốn số thực a,b,x,y ta có :

2 2 2 2 2
( ) ( )( )
ax by a b x y
   
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx
Tổng quát :
Cho hai bộ số
1 2
( , , )
n
a a a
và
1 2

( , , , )
n
b b b
ta có :


2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
n n n n
a b a b a b a a a b b b
         

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi
1 2
1 2

n
n
a
a a
b b b
   với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng
c) Bất đẳng thức cơ bản: Cho hai số dương a,b ta luôn có:
1 1 1 1
( )
4
a b a b
 


Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b

Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức :
Ta thường sử dụng các phương pháp sau
1. Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng .
Ví du1ï:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1.
2 2 2
a b c ab bc ca
    
với mọi số thực a,b,c
2.
2 2
1
a b ab a b
    
với mọi a,b
Ví dụ 2:
Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b
0

, chứng tỏ rằng:
3 3
3
( )
2 2
a b a b

 

Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu x>0 thì 16)1
21
()1(
2
2

x
x
x
2. Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp

Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng
minh.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh :
2 2 2
2( )
    
a b c ab bc ca

Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
4
5
 yx . Chứng minh rằng:
5
4
14


x
x

Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng: zxyzxyzyx 53423 
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi mọi x,y dương ta có:
)(2
11
22
yx
yx
yx 

Chun đề LTĐH Thầy tốn: 0968 64 65 97
4

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh :
0)2()2()2(









baccaacbbccbaab
Ví dụ6: Cho x,y,z và xyz=1. Chứng minh rằng : zyxzyx 
333

Ví dụ 7: Cho x, y, z > 0 và x+y+z=xyz. Chứng minh rằng : 33xyx
Ví dụ 8: Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng : 9








c
cba
b
cba
a
cba

Ví dụ 9: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn 1



zyx . Chứng minh rằng :

10
111

zyx
zyx

Ví dụ 10: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng :

3
b c c a a b
a b c
a b c
  
     

3. Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét các tính chất của hàm số

Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với mọi x > 0
Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức:
2
1cos
2
x
x  với mọi x > 0
Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức: xtgxx 2sin


với mọi )
2
;0(

x
Ví dụ 4: Với
2
0

 x , chứng minh

1
2
3
sin2
2
2
2



x
tgxx

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng
33
1
11
33
3333






zx
xz
yz

zy
xy
yx

Khi đẳng thức xảy ra?
Bài 2: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn
4
111

zyx
. Chứng minh rằng :

1
2
1
2
1
2
1





 zyxzyxzyx


Bài 3: Với a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức
abccabcab




, chứng minh rằng:
3
222
222222






ca
ca
bc
bc
ab
ab