Tính ổn định của phổ các số mũ đặc trưng của nghiệm phương trình vi phân tuyến tính

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Số hóa bởi trung tâm học liệu

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Số hóa bởi trung tâm học liệu

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Số hóa bởi trung tâm học liệu

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Số hóa bởi trung tâm học liệu

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Số hóa bởi trung tâm học liệu

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Ĩ +∞º
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Số hóa bởi trung tâm học liệu

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ØƯĨỊ α(t) = 1t ln |f (t)| Ị Ú ØƯ Ð Đ ×
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ln 0 = −∞µº
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Ị Ø
´½º½µ Ø
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1
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ln |c tm | = lim

t→∞ t
t→∞
t
ln |c|
ln |t|
= lim
+ m lim
= 0 + m.0 = 0.
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t→∞ t
t

χ[c tm ] = lim

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1
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ln |eαt | = lim
ln e = α.
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t→∞ t

χ[eαt ] = lim

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1
t ln |t|
ln |tt | = lim
= lim ln |t| = ∞.
t→∞ t

t→∞
t→∞
t

χ[tt ] = lim

µ χ[t−t] = −∞º Ì Ị Ø Úù

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1
ln |t−t | = − lim ln |t| = −∞.
t→∞ t
t→∞

χ[t−t ] = lim

µ χ[et ] = ∞º Ỵø
2

2

1
t2 . ln e
2
ln |et | = lim
= lim t = ∞.
t→∞ t
t→∞
t→∞

t

χ[et ] = lim
Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

µ χ[e±t sin t] = 1º Ì Ø Ú Ý¸ Ø
1
t sin t
ln |et sin t | = lim
ln e = lim sin t = 1.
t→∞ t
t→∞
t→∞
t

χ[et sin t ] = lim

Ì Ò Ø¸

χ[e−t sin t ] = lim (− sin t) = 1.
t→∞

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] = 1º

1
t

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µ χ[ete

sin t

] = eº

Ì Ò Ø Úù



1

±t cos 1


1
t
= lim
] = lim ln
e
± cos
= 1.
t→∞ t
t→∞
t

Ỵø

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µ χ[e−te

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×Ù

sin t

sin t

1
sin t
ln |ete | = lim esin t = e.
t→∞ t
t→∞

] = lim

] = −e−1 º

χ[e−te

Ĩ

1
sin t
ln |e−te | = lim −esin t = −e−1.
t→∞ t
t→∞

] = lim

ó ½º½º χ[f ] = α 6= ±∞
µ

Ø

µ Ø
Ị

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ĐỊ

Ú

Ø

ε>0

|f (t)|
= 0;
t→∞ e(α+ε)t

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|f (t)|
µ t→∞
lim (α−ε)t = ∞¸ Ø
Ð Ø Ị Ø
e

Ý tk → ∞ × Ĩ
Ĩ

|f (tk )|
= ∞.
tk →∞ e(α−ε)tk
lim

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ỊĨ Ị × ØỊ

Ú Đ Ø × α Ị Ĩ Đ Ú Đ ε > 0 Ị Ø
´½º¾µ
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Ị Ị ´½º¿µ Ø Đ Ị Ø ø χ[f ] ≥ αº
Đ f (t)
× Đ
ØƯ Ị α 6= ±∞ Ø ø Đ |f (t)| ×
Ø
Đ Đ e(α+ε)t t → ∞¸ Ú Ø Ĩ Đ Ø Ý tk → ∞
Ị Ị Ị Đ e(α−ε)tº

Số hóa bởi trung tâm học liệu

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Đ × ´Ü Đ ℄¸ ØƯº ¾ ¹ ¾ µº
× f1(.), f2(.), . . . , fn(.) Ð

Đ × Ị Ị ØƯ Ø
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Ĩ Ị [t0, ∞)º Ã
½µ χ[f ] = χ[|f |]º
¾µ χ[cf ] = χ[f ]¸ Ú Đ × Ø
c 6= 0º
¿µ Ỉ
|f (t)| ≤ |f2 (t)| Ú Đ t ≥ T ≥ t0 Ø ø χ[f1] ≤ χ[f2]º
n 1 
µ χ P fi(t) ≤ max
χ[fi (t)]¸ Ú Ị Ú 1 ≤ k ≤ n Đ
i
i=1

χ[fk (t)] > χ[fi(t)] Ú Đ i 6= k, i = 1, . . . , n
n

n
Q
P
µ χ fi(t) ≤ χ[fi(t)]º
i=1

Ø øχ



n
P

i=1

fi (t) = χ[fk (t)]º

i=1

Ị Ị ú ½º¾º ´ Đ ℄¸ ØƯº ¾ µº Ë Đ
ØƯ Ị
Ð



Ị Ị Ø Ị Ø Đ Ø

Ị Ù Ị

Đ f (t)



1
ln |f (t)|.
t→∞ t

χ[f ] = lim

Ỉ Đ Ø Đ f (.)
× Đ
ØƯ Ị

Ị Øø

 
1
χ[f ] + χ
= 0,
f

Ú

χ[f g] = χ[f ] + χ[g],

Ú f (.) Ú g(.) Ð

Đ × Ø
Ü
Ị ØƯòỊ Ĩ Ị
ØƯº ¾ µº Ĩ ¸

[t0 , ∞)

´Ü Đ ℄¸

χ[eαt .f (t)] = α + χ[f ].

Ý

Ø Ü Ø × Đ
ØƯ Ị
Đ Ø Øù
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Ị Ị ú ½º¿º ´ Đ ℄¸ ØƯº ¿¼µº Ìù
Ơ Ị
Đ f (t) Ü
Ị
F (t) =

Zt

f (τ )dτ,

ØƯĨỊ

a




t,
a= 0
∞,

Ú
Ú

χ[f ] ≥ 0,
χ[f ] < 0,

Ð Øù
Ơ Ị ÄÝ ỚỊĨÚº

Số hóa bởi trung tâm học liệu

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ØƯº ¿¼µº

×

F (t)

Ð Đ Ø Øù
Ơ Ị ÄÝ ỚỊĨÚ¸

χ[F ] ≤ χ[f ]

´Ü Đ ℄¸

½º½º¾º Ë Đ
ØƯ Ị
Đ ØƯ Ị

Đ ×
Ø Đ ØƯ Ị Đ

Ú Đ i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, m ≤ n,
ØƯĨỊ

Ơ Ị Ø fij (t) Ð

Đ × Ø

Ü
Ị ØƯòỊ Ĩ Ị [t0, ∞)º
Ị Ị ú ½º º ´ Đ ℄¸ ØƯº ¿½µº Ë ´ Ĩ


÷Ù −∞, ∞µ Ü
Ị
F (t) = [fij (t)],

χ[F ] = max χ[fij ]

Ỵù



i,j

Ð × Đ
ØƯ Ị
Đ ØƯ Ị F (t)º
½º¾º Ø Đ ØƯ Ị



e2t et sin t
F (t) =
.
5 e−t sin t

Ã

χ[F ] = max{χ[e2t ], χ[et sin t ], χ[5], χ[e−t sin t ]} = max{2, 1, 0, 1} = 2.

Ì Ị
Ð Đ Ø × ØùỊ
Ø
× Đ
ØƯ Ị
Đ ØƯ Ị

Đ
× ´Ü Đ ℄¸ ØƯº ¿½ ¹ ¿¾µº
½µ χ[F ] = χ[F ∗]¸ Ú F ∗ Ð Đ ØƯ Ị Ð òỊ Ơ
Đ ØƯ Ị F º
¾µ χ[F ] = χ[||F ||]º
 ݸ
Ù Ị
Đ Ø Đ ØƯ Ị A = [aij ]
Ơ n × n Ø
Ø ư Ð Đ Ø
ØƯĨỊ
Ù Ị × Ù
||A||I = max
i

n
X

|aij |,

j=1
n
X

||A||II = max
j

||A||III

|aij |,

i=1

1
n
2
X
2

=
|aij |

Số hóa bởi trung tâm học liệu



´ Ù Ị Ù
Ð µº

i,j=1

/>