toán giải tích cấp III với máy tính casio

TRẦN ĐÌNH CƯ
(GV Trường THPT Gia Hội, Huế)

Huynh Nhọn

C

. Ta được kết

ác bài toán giải tích là một dạng toán

điển hình thường gặp trong các kì thi giải
toán trên máy tính cầm tay cấp Tỉnh và cấp
Quốc gia. Nhằm giúp các em học sinh chuẩn bị
ôn tập tốt và hướng đến các kì thi, bài viết xin
được giới thiệu một số thí dụ và bài tập là
những đề thi của các Sở GD–ĐT trong
những năm gần đây. Trong bài viết này, chúng
tôi đều tiến hành các thao tác trên máy
tính VINACAL 570ES PLUS II, CASIO fx −
570 VN PLUS , hai dòng máy có nhiều tính
năng nhất được Bộ GD&ĐT cho phép mang
vào phòng thi.
I. TÍNH GIỚI HẠN VÀ ĐẠO

HÀM CỦA HÀM SỐ

quả x ≈ −0,1333333333 . Để đổi số thập
phân vô hạn tuần hoàn này sang phân số ta
ấn phím như sau
1

3
ta

2

được kết quả A = −15 .
Ta có thể chuyển việc tính giới hạn trên
thành tính đạo hàm của một hàm số tại một
điểm nhờ nhận xét.
A = lim f ( x ) − f (0) = f '(0)
x−0
x→0
5

6

với f (x) = x + 1 − 2x +1 .
Để tính f '(0) ta thực hiện theo quy trình ấn

• Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 ta

phím sau:

nhấn liên tiếp các phím
lúc đó màn
d ()
hình hiển thị
x= . Nhập hàm số và
dx

Ta được kết quả A ≈ −0,1333333333.

nhập giá trị x0 , sau đó ấn phím

Thí dụ 2. Cho hàm số

• Đối với máy tính VINACAL 570ES PLUS II
ta có thể tính giới hạn của hàm số tại điểm
x0 bằng cách nhấn các phím

lúc đó màn hình hiển thị lim ( ) x→ . Nhập hàm
số và nhập giá trị x0 , sau đó ấn phím
.

Thí dụ 1. Tính giới hạn
5

x +1 −

6

2 x +1

.
x
Lời giải. (VINACAL 570ES PLUS II) Ta
thực hiện theo quy trình bấm phím sau:
A = lim

x→0

3

f ( x) =

e

x

2

x +2x + ln ( x +1)
Tính giá trị gần đúng của
1
1
S = f ' ( 1) + f '

+f'

+ +

3

.

f'

1

.

2
10
Lời giải. Để tính S ta thực hiện theo quy
trình ấn phím sau:
{Biến đếm}
{Biến tổng}

.

40
Lúc đó màn hỉnh hiển
3X

thị

X = X +1 : C

Xét hàm số f


=C+ d
dx

e
2

X + 2 X + ln ( X + 1)

1

x= X

ấn tiếp
. Rồi ấn liên tiếp dấu
đến khi X = 10 thì trên màn hình xuất hiện
C = −57, 7875854 . Để lấy kết quả với 4 chữ
số thập phân, ta tiếp tục ấn phím
. Kết quả S ≈ −57, 7876 . Từ đây về sau,
nếu không có gì đặc biệt thì các kết quả đều
lấy 4 chữ số thập phân.
II. SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
x
Thí dụ 3. Giải phương trình 3 = 7 sin x + x
trên (0; +∞).
x

Lời giải. Xét hàm số f (x) = 3 − 7 sin x − x
x
Ta có f '(x) = 3 ln 3 − 7 cos x −1;
x

2

f ''(x) = 3 ln 3 + 7 sin x .
Nhận thấy

f "(x) > 0 với ∀x ∈ ( 0; +∞) nên

f '(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc (0; +∞).

Do đó f (x) có nhiều nhất hai nghiệm thuộc

(0; +∞).
Dùng chức năng
để giải phương trình:
Chuyển máy về chế độ rad bằng cách ấn
.
X
Ghi vào màn 3 − 7 sin( X ) − X bằng cách ấn
các phím
. Để tìm nghiệm ta ấn
được x1 ≈ 0,1474477308, tiếp tục

ấn

ta được x2 ≈ 1, 943922627.

Kết quả x1 ≈ 0,1474; x2

≈ 1, 9439 .
Thí dụ 4. Giải hệ phương trình
x
3
3
x
y
e
+ x + ln y − e + y = 0
2 y 2 + 5 x − 1 = 7 x 3 −1

(1)
(2)

Lời giải. Điều kiện x > 1, y > 0 .
PT (1) ⇔ e

41

x3+x

+ ln x = e

y3+y

+ ln y

(3)


, nhập các hệ số để tìm a, b, c, d. Ta tìm

1

được hàm số f (x) =

x4

4
sát hàm số này ta tìm được
3

23
−
A 0;
; B − 7;

4

7

−

2

x2 +

;C

3
4

7; −

Lời giải. TXĐ D = .
2

. Khảo

Ta có y ' =

.

2

1

;

( 3 x − x + 1)
3
2
−6 (13x − 21x − 6 x + 3)
y '' =
2
3
3x − x +1
(
)

23

2

13 x − 14 x − 2
2

2

.

Vậy SABC = 2 BC.d ( A, BC ) ≈ 32, 4105 .

Vào chương trình

Lưu ý. Đối với máy VINACAL 570ES PLUS
II ta có thể giải được hệ 4 phương trình 4
ẩn số và lưu trực tiếp được các nghiệm này
vào các biến nhớ
trong môi

bậc ba 13 x − 21x − 6 x + 3 = 0.
x1 ≈ 1, 8005 l−u vµo « nhí A
y '' = 0 ⇔ x ≈ 0, 2772 l−u vµo « nhí B
x ≈ −0, 4624 l−u vµo « nhí C.

trường EQN.
Thí dụ 6. Tìm các tiệm cận của hàm số
2x

2

+ 3x + 8
.
x+ 2
Lời giải. (VINACAL 570ES PLUS II).

y = e1−| x| +

y = 0 nên tiệm cận đứng x = − 2.

Do lim

x→− 2

Để tìm tiệm cận ngang, ta cần tính

3

2

3

Sử dụng chức năng
tính giá trị hàm số
y = f (x) tại các giá trị A, B , C (xem Đặc san
Số 5) ta được y1 ≈ 0, 0539; y2 ≈ 1, 8542; y3 ≈
2, 7282 .

IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Thí dụ 8. (Đề thi HSG MTCT Quảng Trị 2012)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

2

lim

2x + 3x+8
.
x+
2

e1−| x| +

x→±∞

Dùng chức năng tính giới hạn của hàm số
, màn hình hiển thị lim ( ) x→ .
2X
Nhập hàm số

e1−| X | +

cho x các giá trị rất lớn như 999 999;
999 999 999; 999 999 999 999 ta cùng được
giá trị y = 2 hay y ≈ 1,4142; cho x các
giá trị rất bé như −999 999; −999 999 999;
−999 999 999 999 ta cùng được giá trị

hàm số y =

Thí dụ 7. Cho hàm số
2

y=2x −5x+3.
2

3 x − x +1
Xác định toạ độ điểm uốn của đồ thị hàm số
đã cho.

3

3

1

2

x − 2 x − 17x + x −

20112012

trên đoạn − 3; 2 .
Lời giải. Đặt D = −

3; 2 , và

3

1

4

3

3

2

f ( x ) = x − 2 x − 17 x + x −
3

Ta có f '(x ) = 4x −
Sử dụng

3 3

2

2011

.

2012

3

x − 2 17x +1 .
2 f '(x) = 0 tìm được
để giải PT

x1 ≈ 1,4275 (loại); x2 ≈ 0,1824; x3 ≈ −0,9603.
Sử dụng chức năngtính được

(

y = − 2 hay y ≈ −1, 41421. Vậy có hai tiệm
cận đứng là y = ± 2 ≈ ±1, 4142.

3

4

2

+ 3X + 8
X + 2
và

để giải phương trình

2

f − 3

) ≈ 3, 0579; f ( 2 ) ≈ −3,1741;

f (x2 ) ≈ −0, 9035 ; f (x3 ) ≈ −2, 7104.
Suy ra −3,1741 ≤ f ( x ) ≤ 3, 0579, ∀x ∈ D.
Do đó 0 ≤ f ( x) ≤ 3,1741.
Vậy max f (x ) ≈ 3,1741; min f (x) = 0.
D

42

D


V. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Thí dụ 9. (Đề thi HSG MTCT Quốc gia 2013)
3x2+ x

Cho hàm số f (x) = e

π

BÀI TẬP

;

đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 12

π

. Tìm a, b .
Lời giải. a) Đưa máy về chế độ rad bằng
cách ấn
. Ghi vào màn hình

e3X

a)

lim sin x

( sin x −1)

x→2

b) lim
x→0

3

3

f

π
12

;

π

π

x−2
5

x + 1 − 2x +1

.

3x + 8 − 2 x +1
x x +1

sin 4X + log3 (sin X + 2) rồi ấn các
phím
ta được kết
quả là 2, 516059996. Đưa giá trị này vào ô

nhớ A bằng cách ấn
.
Vậy

1. Tính các giới hạn sau

X

+

cần tìm bằng

π − tan ( f '( 3)). Kết quả α ≈ 0, 0363 (rad).
2

b) Đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của

2

( 3 ) ≈ 27, 5218045 . Góc
−1

sin4x + log3 ( sin x +2) .

a) Tính giá trị hàm số tại x = 12

f '

≈ 2, 5161.

( π); b = f (12π ) − a. 12π .

b) Ta có a = f ' 12

Để tính a ta ấn liên tiếp các phím

3x+2

+
2. Cho hàm số f ( x) =

x

2

+ 2x +3

.

log ( x +1)
2

Hãy tính giá trị gần đúng của
1 f (1)
P = f (1) +
+ f '(3).
2
x
3. Giải phương trình 6 = 4log 6x + 1 + 2x +1.
6

)

(

4. Giải hệ phương trình
2013 3
3
x
+ 2014 x = 2013 x + 2014x
2

x y − 3 x + 1 = 8 − 3 xy.
4

f'

được kết quả a =

π

≈ 9, 0080.

12
Đưa giá trị này vào ô nhớ B bằng cách ấn
.

π

Ghi vào màn hình A − 12

B và ấn phím

ta được 0,1578 . Vậy b ≈ 0,1578.
Thí dụ 10. (Đề thi HSG MTCT Tuyên Quang 2011)

2

6. Cho hàm số y = x − 3x − 1 . Gọi A, B , C
x
2
là ba điểm cực trị hàm số. Tính gần đúng
các giá trị toạ độ tâm và bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
7. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của các hàm số
2

sin x + x +x

Cho hàm số f ( x ) = x
( x > 0) (1).
Tính (theo radian) góc tạo bởi tiếp tuyến
của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ
x0 = 3 với đường thẳng x = 2012.
Lời giải. Gọi α là góc tạo bởi tiếp tuyến tại điểm

x0 = 3 với chiều dương của trục Ox. Khi đó
tan α = f '( x0 ) > 0 . Đưa máy về chế độ rad,
sử dụng chức năng

tính đạo hàm

2

5. Cho hàm số y = x − 4 x +1. Tính chu vi
tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ
thị hàm số.

a) y =

x + x − 2 ; b)

2

y=x+3+2x−x .

2

5x + x +1

3

2

8. Cho hàm số bậc ba y = x + bx + cx + d.
Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 6) và tiếp
1 41
tuyến tại điểm

B

thuộc đồ thị hàm số

;

2
có hệ số góc bằng

8

15
4.


43