CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN MÔN TOÁN (2017)

Hàm số

FB: />
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Chuyên đề: Hàm số
A. Tóm tắt lí thuyết
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Định lý 1: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu hàm số f (x) đồng biến trên K thì f '(x)  0 với mọi x  K
b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên K thì f '(x)  0 với mọi x  K
 [ f(x) đồng biến trên K]
 [ f '(x)  0 với mọi x  K ]
 [ f(x) nghịch biến trên K]
 [ f '(x)  0 với mọi x  K ]
[ f '(x)  0 với mọi x  K ]  [ f(x) không đổi trên K]
2) Định lý 2: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f (x) đồng biến trên K
b) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K
c) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f (x) không đổi trên K
 [ f '(x)  0 với mọi x  K ]  [ f(x) đồng biến trên K]
 [ f '(x)  0 với mọi x  K ]  [ f(x) nghịch biến trên K]
3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f '  x   0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số f (x) đồng biến trên K.
b) Nếu f '  x   0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số f (x) nghịch biến trên K.
4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  , ta có
f '  x   3ax 2  2bx  c .
a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0 
đồng biến trên R  f '  x   3ax 2  2bx  c  0 x  R
b) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0 

nghịch biến trên R  f '  x   3ax 2  2bx  c  0 x  R

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
NHẮC LẠI
Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x) ax 2 bx c (a 0) ta có:


f ( x)

0

x



f ( x)

0

x

0
a

0
0

a

0

B. Phương pháp giải toán
Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên tập hợp X cho trước.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định: D ?
B2. Tính y ' ?
B3. Lập luận:
y

đồng biến trên X

y'

0, x

X

y

nghịch biến trên X

y'

0, x

X

Chú ý quan trọng: Trong điều kiện trên dấu bằng xảy ra khi phương trình
y'

0

có hữu hạn nghiệm, nếu phương trình y ' 0 có vô hạn nghiệm thì trong

điều kiện sẽ không có dấu bằng.
2. CÁC VÍ DỤ
1
3

Ví dụ 1. Cho hàm số y  (m 2  m) x 3  2mx 2  3x  1 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến
trên R .
Bài giải:
♦ Tập xác định: D  R
♦ Đạo hàm: y '  (m 2  m) x 2  4mx  3
♣ Hàm số luôn đồng biến trên R  y '  0 x  R
m  0
m  1

♥ Trường hợp 1: Xét m2  m  0  

+ Với m  0 , ta có y '  3  0, x  R , suy ra m  0 thỏa.
3
4

+ Với m  1 , ta có y '  4 x  3  0  x   , suy ra m  1 không thỏa.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
m  0
, khi đó:
m  1

♥ Trường hợp 2: Xét m2  m  0  

 '  m2  3m  0

♣ y '  0 x  R  

2

m  m  0

3  m  0
 
 3  m  0
m  0  m  1

♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là 3  m  0 .

Ví dụ 2. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3(m2  1)x  2m  3 . Tìm m để hàm số nghịch biến trên
khoảng 1; 2  .
Bài giải
♦ Tập xác định: D  R
♦ Đạo hàm: y '  3x 2  6mx  3(m 2  1)
♣ Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 2   y '  0 x  1; 2 
Ta có  '  9m2  9(m2  1)  9  0, m
Suy ra y ' luôn có hai nghiệm phân biệt x1  m  1; x2  m  1 ( x1  x2 )
x  1

m  1  1

Do đó: y '  0 x  1; 2   x1  1  2  x2   1
 
 1 m  2
m

1

2
x

2

 2
♦ Vậy giá trị m cần tìm là 1  m  2 .
Bài tập tương tự
Cho hàm số y  2 x 3  3  2m  1 x 2  6m  m  1 x  1 . Tìm m để hàm số đồng biến trên
khoảng  2;   .

Đáp số: m 1 .

Ví dụ 3. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  2 . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

 0;   .
Bài giải
♦ Tập xác định: D  R
♦ Đạo hàm: y '  3x 2  6 x  m
♣ Hàm số đồng biến trên khoảng  0;  
 y '  0 , x   0;  
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

(có dấu bằng)
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
 3x  6 x  m  0 , x   0;  
2

 3 x 2  6 x  m , x   0;  

(*)

♣ Xét hàm số f ( x) 3x 2 6 x , x   0;   , ta có:
f '( x)

6x

6

; f '( x) 0

x

1

Bảng biến thiên:
0

x

1

f '( x )

0

f ( x)

0
3

♣ Từ BBT ta suy ra: (*)
♦ Vậy giá trị m cần tìm là m

m

3

3 .

Bài tập tương tự
Cho hàm số y   x 3  3x 2  3mx  1 . Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng  0;   .
Đáp số: m

1.

Ví dụ 4. Cho hàm số y 

mx  7m  8
.
xm

Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác

định của nó.
Bài giải
♦ Tập xác định: D  R \ m
♦ Đạo hàm: y ' 

m 2  7m  8

 x  m

2

. Dấu của y ' là dấu của biểu thức m 2  7m  8 .

♣ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
y '  0 , x  D

(không có dấu bằng)

m2  7m  8  0

8

m

1

♦ Vậy giá trị m cần tìm là 8 m 1 .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Xác định m để hàm số sau đồng biến trong khoảng (0; +∞):
y

xm

x2  1

+ TXĐ: D = R

mx  1

+ y’ =

( x  1) x 2  1
2

Hàm số ĐB trong (0; +∞)
y’ ≥ 0 mọi x  (0; +∞).
-mx + 1 ≥ 0 mọi x  (0; +∞). (1)
. m = 0 (1) đúng
. m > 0: -mx + 1 ≥ 0
x ≤ 1/m. Vậy (1) không thỏa mãn.
. m < 0: -mx + 1 ≥ 0
x ≥ 1/m. Khi đó (1)
1/m ≤ 0 t/m.
Giá trị cần tìm là: m ≤ 0.
Câu 2. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến: y   x3  (3  m) x 2  2mx  12 .

+ Tập xác định: D  R .
+ Đạo hàm: y '  3x 2  2(3  m) x  2m
+ Để hàm số luôn nghịch biến thì y '  0

x

3  0

a  0


2
 '  0
9  m  6m  (3)(2m)  0
 m 2  12m  9  0
 6  3 3  m  6  3 3.

Câu 3. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến

+ Tập xác định: D  R
+ Đạo hàm: y '  3mx 2  6 x  3
+ Để hàm số luôn nghịch biến

x

thì y '  0

x : y  mx 3  3x 2  3x  1 .

x

 3mx 2  6 x  3  0 x 1

+ TH 1 :

m0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số
(1)  6 x  3  0

FB: />
 6 x  3

 x

+ TH 2 :

1
( không thỏa x )
2

m0

a  0
3m  0
m  0
m  0
(1)  



 m  1 .
  0 9  9m  0

9m  9
m  1

+ Vậy

m  1

thì hàm số thỏa đề bài.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Chuyên đề: Hàm số
A. Tóm tắt lí thuyết
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị)
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó nếu f có đạo hàm tại x0 thì f '( x0 ) 0
2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị). Quy tắc 1
Giả sử hàm số y

f ( x)

liên tục trên khoảng a; b chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các

khoảng a; x 0 và x0 ; b . Khi đó
a) Nếu f '( x) 0 với mọi x

a; x0

và f '( x) 0 với mọi x

x0 ; b

thì hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x0 .
b) Nếu f '( x) 0 với mọi x

a; x0

và f '( x) 0 với mọi x

x0 ; b

thì hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm x0 .
3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị). Quy tắc 2
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng a; b chứa điểm x0 , f '( x0 ) 0 và f có đạo hàm
cấp hai khác không tại điểm x0 . Khi đó
a) Nếu f ''( x0 ) 0 thì hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm x0
b) Nếu f ''( x0 ) 0 thì hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x0
4) Định lý 4:
a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có hai điểm cực trị
 f '  x   3ax 2  2bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt.

b) Hàm số y  f  x   ax 4  bx 2  c  a  0  có ba điểm cực trị
 f '  x   4ax 3  2bx  0 có ba nghiệm phân biệt.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
B. Phương pháp giải toán
Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có 2 cực trị (có 3
cực trị).
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định: D ?
B2. Tính y ' ?
B3. Lập luận:
Lưu ý:
a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có hai điểm cực trị
 f '  x   3ax 2  2bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt.

b) Hàm số y  f  x   ax 4  bx 2  c  a  0  có ba điểm cực trị
 f '  x   4ax 3  2bx  0 có ba nghiệm phân biệt.

2. CÁC VÍ DỤ
1
3

Ví dụ 1. Cho hàm số y  (m 2  1) x 3  (m  1) x 2  3 x  5 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực
trị.
Bài giải
♦ Tập xác định: D 

♦ Đạo hàm: y '  (m2  1) x 2  2(m  1) x  3
y'

0

(m 2  1) x 2  2(m  1) x  3  0

♣ Hàm số có hai điểm cực trị
y' 0

có hai nghiệm phân biệt

m2 1
'
m
1

♦ Vậy giá trị m cần tìm là

m

0

(m 1)2
1

m

m

2

m

1

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

3(m2 1)

1

2

2m 2

2m

4

0

1

1

m

0

1

m

2

.

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
Ví dụ 2. Cho hàm số y  mx  (m  9)x  10 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.
4

2

2

Bài giải
♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y '  4mx3  2(m2  9) x  2 x.(2mx 2  m2  9)
y'

x

0

0

2mx 2

m2

9

0

(1)

♣ Hàm số có ba điểm cực trị
y' 0

m

có ba nghiệm phân biệt

(1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
m

0
2 m( m 2

'
m2

9

9)

m

0

0

♦ Vậy giá trị m cần tìm là

0

m
0

3
m

3

3

0

m

m

3

m
3

0

3
m

3

.

Bài tập tương tự
Cho hàm số y  x 4  (m  1)x 2  2m  1 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.
Đáp số: m

1.

Dạng 2: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị tại điểm x0.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định: D ?
B2. Tính y ' ?
B3. Lập luận:
a) Điều kiện cần: Hàm số có cực trị tại x 0

y '( x0 )

0

Giá trị của

tham số m.
b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào y ' thử lại. Khi thử lại có thể
dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2.
2. VÍ DỤ
1
3

Ví dụ . Cho hàm số y  x 3   m 2  m  2  x 2  (3m 2  1) x  m  5 .
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

2

.
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
Bài giải
♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y '  x 2  2  m2  m  2  x  3m2  1
a) Điều kiện cần:
Hàm số đạt cực tiểu tại x

2

y '( 2)

m2

0
4m 3

0

m

1

m

3

b) Điều kiện đủ:
♣ Với m 1 , ta có: y ' x 2 4 x 4 , y ' 0

x

2

Bảng biến thiên
x

2

y'

0

y

Từ BBT ta suy ra m 1 không thỏa.
♣ Với m 3 , ta có: y ' x 2 16 x 28 , y ' 0

x

14

x

2

Bảng biến thiên
14

x
y'

0

y

CĐ

2
0

CT

Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x

2.

♦ Vậy giá trị m cần tìm là m 3 .
Bài tập tương tự
Cho hàm số y  x 3  mx 2  3x  2 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x 2 .
Đáp số: m

15
4

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
Dạng 3: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định: D ?
B2. Tính y ' ?
B3. Lập luận
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số y  x 3  (2m  1)x 2  (2  m)x  2 .
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành
độ dương.
Bài giải

♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y '  3x 2  2(2m  1) x  2  m
y'

3x 2  2(2m  1) x  2  m  0

0

♦ Hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ
dương
'
y'

0

có hai nghiệm dương phân biệt

P
S

4m 2
2 m
2m 1

m 5

0

0
0

♦ Vậy giá trị m cần tìm là

5
4

m

1 m

m

2

m

1
2

m

5
4

5
4

m

(2m 1) 2

3(2 m)

0

2 m
0
3
2(2m 1)
0
3

2

2 .

2
3

2
3

Ví dụ 2. Cho hàm số y  x 3  mx 2  2(3m 2  1) x  .
Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1 x2 2( x1 x2 ) 1 .
Bài giải
♦ Tập xác định: D 
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Hàm số

FB: />
♦ Đạo hàm: y '  2 x  2mx  2(3m  1)
2

y'

2

2 x 2  2mx  2(3m 2  1)  0

0

(1)

♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2
y'

0

có hai nghiệm phân biệt

m2

'

13m2

4

4(3m 2

0

1)

0

2 13
13

m

2 13
13

m

(*)
x1

Vì x1 và x2 là nghiệm của (1) nên theo định lý Viet ta có:

Do đó: x1 x2 2( x1 x2 ) 1

1 3m

2

2m

1

3m

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m
1
3

2

2m

x2

x1 x2
m

0

m

2
3

m
1 3m2

(**)

2
.
3

1
3

Ví dụ 3. Cho hàm số y  mx 3  (m  1) x 2  3(m  2) x  . Tìm m để hàm số có hai điểm
cực trị x1 và x2 sao cho x1 2 x2 1 .
Bài giải
♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y '  mx 2  2(m  1) x  3(m  2)
y'

mx 2  2(m  1) x  3(m  2)  0

0

♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2
m

y'

2m 2

0

có hai nghiệm phân biệt

m

0
'

(1)

4m 1

0

0

2

6
2

m

2

6

(*)

2

Vì x1 và x2 là nghiệm của (1) nên theo định lý Viet ta có:

x1
x1 x2

x2

2(m 1)
m
3(m 2)
m

Theo đề bài : x1 2 x2 1

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

(2)
(3)

(4)

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
3m 4
m
(5). Thay (5) và (3) ta được:
m 2
m

x1

Từ (2) và (4) suy ra

x2

3m 4 2 m
m
m

3(m 2)
m

6m

2

16m

8

0

2
3
2

m
m

2
3

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m

(**)

và m 2 .

Ví dụ 4. Cho hàm số y  x 3  3mx  1 (1), với m là tham số thực. Cho điểm A(2;3) . Tìm
m để đồ thị hàm số (1) có hai cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A .
Bài giải
♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y '  3x 2  3m
y'

0

3x 2  3m  0

(1)

♦ Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị B và C

y'
m

Khi đó y ' 0 có hai nghiệm phân biệt là x
♣ Với x

m

♣ Với x

y

m

y

2 m3

1

2 m3

1

Tọa độ các điểm cực trị B và C là B
♦ Tam giác ABC cân tại A
2

2

m

2 2 m

3

AB

2

m

0

AB 2

AC

2

2 m

có hai nghiệm phân biệt
(*)

m

m ; 2 m3

2

2

0

3

m ; 2 m3

1 ,C
AC 2

2

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m

1

4 m

8 m

3

0

m

0

m

1
2

(**)

1
.
2

Ví dụ 5. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2m  m 4 (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ
thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C đồng thời các điểm A, B, C tạo thành một tam
giác vuông.
Bài giải
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y '  4 x3  4mx  4 x( x 2  m)
y'

x  0
 2
x  m

0

(1)

♦ Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C

y'

0

có ba nghiệm phân biệt

m

0

(*)

Khi đó y ' 0 có ba nghiệm phân biệt là x 0 , x
♣ Với x 0
♣ Với x

y
m

2m

m4
m4

y

m

m2

2m

Tọa độ các điểm cực trị A, B, C là
A 0; 2m

Suy ra: AB

m4 ; B

m ; m 2 ; AC

♦ Tam giác ABC vuông

m ; m4

m2

2m ; C

m ; m4

m2

2m

m ; m2

Tam giác ABC vuông tại A

AB. AC

0

m

m4

0

m

0

m

1

(**)

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m 1 .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1
3

1
2

Câu 1. Tìm cực trị của của hàm số y  x3  x 2  2 x  2 .

Cách 1.
* Tập xác định:R.
 x  1
.
x  2

Ta có: y '  x 2  x  2; y '  0  
* Bảng biến thiên:
x 

–1

2



y’
y

+

0

–

0

+

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại yCĐ  y  1  19
6

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu yCT  y  2   4 .
3

Cách 2.
* Tập xác định:.
 x  1
.
x

2


Ta có: y '  x 2  x  2; y '  0  
*

y ''  2 x  1, y ''  1  3  0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1 và giá trị cực đại

yCĐ  y  1  19

6

*

y ''  2   3  0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu .

Câu 2. Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x3  3x 2  6
Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x3  3x 2  6
* Tập xác định:

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
x  0
y '  3x 2  6 x, y '  0  
x  2

Bảng xét dấu đạo hàm
x
y



+

0



2

0

-

0

+

Từ bảng xét đấu đạo hàm ta có
Hàm số đa ̣t cực đa ̣i ta ̣i x  0 và giá tri ̣ cực đa ̣i y  6 ; đa ̣t cực tiể u ta ̣i x  2 và giá tri ̣ cực
tiể u y  2 .
Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là M  0; 6  , điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
N  2; 2 
Câu 3. Tìm các điểm cực trị của hàm số y  2 x 4  4 x 2  1 .

TXĐ: D 
y '  8 x 3 -8x  8 x ( x 2 -1) x  D
x  0
y'  0  
 x  1

Bảng xét dấu của y’:
x -
+

y’ +

-1

0

0

+

0

1
-

0

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và ycd  y (0)  1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 1 và yct  y ( 1)  3.
Câu 4. Cho hàm số y  x3  3mx 2   m2  1 x  2, m là tham số.
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

x 2.

Ta có: y '  3x 2  6mx  m 2  1; y ''  6 x  6m
 y '(2)  0
 y ''(2)  0

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x  2  

m2  12m  11  0
 m 1

12  6m  0

Vậy với m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
Câu 5. Cho hàm số

y  x  3mx  3(m  1) x  m  m
3

2

2

3

(1). Tìm m để hàm số (1) có

cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng
2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.

Ta có

y  3x 2  6mx  3(m2  1)

Hàm số (1) có cực trị thì PT y  0 có 2 nghiệm phân biệt
 x2  2mx  m2  1  0 có 2 nhiệm phân biệt    1  0, m

Khi đó, điểm cực đại A(m  1;2  2m) và điểm cực tiểu B(m  1; 2  2m)
 m  3  2 2

Ta có OA  2OB  m2  6m  1  0  

 m  3  2 2

Câu 6. Tìm m để hàm số y

m
4
x 1
4

m

.

2 x đạt cực tiểu tại điểm x = 1.

y '  m  x  1  m  2
3

Điều kiện cần y ' 1  0  m  2
Thử lại m = 2 : y '  2  x  1 đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 1
Vậy nhận m = 2
3

Câu 7. Cho hàm số y  x 3  3(m  1) x 2  9 x  m , với m là tham số thực.
Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  x2  2 .

2
Ta có: y'  3x  6(m  1) x  9.

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x2  Phương trình y '  0 có hai nghiệm pb là x1 , x2
2
 Pt x  2(m  1) x  3  0 có hai nghiệm phân biệt là x1 , x 2

  '  (m  1) 2  3  0
 m  1  3

(1)
 m  1  3

Với ĐK (1), theo định lý Viet ta có: x1  x2  2(m  1); x1 x2  3.
x1  x2  2   x1  x2   4 x1 x2  4
2

 4  m  1  12  4
2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
 (m  1)  4
2

 m  3

m  1

(2)

 m  3

Từ (1) và (2) ta được:  m  1 TMYCBT.

Câu 8. Cho hàm số: y  x3  3(m  1) x 2  9 x  m , với m là tham số thực.Xác định m để
hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  x2  2 .
 Ta có y '  3x2  6(m  1) x  9.
 Hàm số có cực đại, cực tiểu x1, x2.  PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2.
 x 2  2(m  1) x  3  0 có hai nghiệm phân biệt là x1 , x2 .
  '  (m  1) 2  3  0  m  1  3  m  1  3 (1)

Theo đề ta có: x1  x2  2   x1  x2   4 x1x2  4
2

(*)

Theo định lý Viet ta có: x1  x2  2(m  1); x1 x2  3.
(*)  4  m  1  12  4  (m  1)2  4  3  m  1
2

(2)

Từ (1) và (2) suy ra giá trị m cần tìm là: 3  m  1  3 hoặc 1  3  m  1.
Câu 9. Cho hàm số: y  x4  2(m2  1) x2  1 (1)
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực
tiểu đạt giá trị lớn nhất.
y’ = 4x3 – 4(m2+1)x
x  0

y’ = 0  

2
 x   m  1

 hàm số (1) luôn có 3 điểm cực trị với mọi m

xCT   m2  1  giá trị cực tiểu yCT  (m2  1)2  1
Vì (m 2  1) 2  1  yCT  0 max( yCT )  0  m2  1  1  m  0

Câu 10. Cho hàm số y   x3  3mx  1
cực trị A, B sao cho tam giác

OAB

(1). Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 2 điểm

vuông tại

O

( với

O

là gốc tọa độ ).

y '  3x 2  3m  3  x 2  m 
y '  0  x 2  m  0  *

Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị  PT (*) có 2 nghiệm phân biệt  m  0 **
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
Khi đó 2 điểm cực trị A   m ;1  2m m  , B  m ;1  2m m 

1
2

Tam giác OAB vuông tại O  OA.OB  0  4m3  m  1  0  m  ( TM (**) )

Vậy m 

1
2

Câu 11. Cho hàm số f ( x)  x4  2(m  2) x2  m2  5m  5 (Cm)
Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân.
Hàm số có CĐ, CT khi m < 2 . Toạ độ các điểm cực trị là:
A(0; m 2  5m  5), B( 2  m ;1  m), C ( 2  m ;1  m)

Tam giác ABC luôn cân tại A  ABC vuông tại A khi m = 1.
Câu 12. Cho hàm số y

2x 3

3x 2

1 1

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d : y

1 với đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm

2x

M thuộc d và cùng với hai điểm cực trị của đồ thị (C) tạo thành một tam giác vuông tại
M.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d : y  2 x  1 và đồ thị (C) là:
2 x 3  3 x 2  1  2 x  1  2 x 3  3 x 2  2 x  0 (*)
Giải phương trình (*) ta được ba nghiệm phân biệt x1  0, x 2  2, x 3  

 1







1
2

Vậy d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A(0;1), B(2;5),C   ; 0 
2
M  d : y  2x  1  M (t;2t  1) ,

tọa độ các điểm cực trị của (C) là D(0;1),T (1; 0)

M cùng với hai điểm cực trị của đồ thị (C) tạo thành tam giác vuông tại M
 DM .TM  0(**) , mặt khác ta có DM  (t;2t ),TM  (t  1;2t  1)
 (**)  5t 2  t  0  t  0
t  0  M (0;1)  D

(loại);

1
5
 1 3
1
t    M  ; 
5

 5 5

hoặc t  

Câu 13. Cho hàm số y  x4  2m2 x2  1

Cm  (1). Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực

trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
x  0

Ta có: y '  4 x3  4m 2 x  4 x  x 2  m 2   0  

2
2
x  m

 m  0 (*)

Với điều kiện (*) thì hàm số (1) có ba điểm cực trị. Gọi ba điểm cực trị là:
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
A  0;1 ; B  m;1  m  ; C  m;1  m  . Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác
4

4

vuông cân, thì đỉnh sẽ là A.
Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC đã là tam giác cân rồi, cho nên
để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông, thì AB vuông góc với AC.
 AB   m; m4  ; AC   m; m 4  ; BC   2m;0 

Tam giác ABC vuông khi: BC 2  AB 2  AC 2  4m2  m2  m8   m2  m8 
 2m2  m4  1  0;  m4  1  m  1

Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 14. Cho hàm số y  x4  2m2 x2  1 (1).Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1)
có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích).
x  0

+) Ta có y’ = 4x3 – 4m2x ; y’ = 0  

2
2
x  m

; ĐK có 3 điểm cực trị: m  0

+) Tọa độ ba điểm cực trị: A(0 ; 1), B(- m ; 1 – m4), C(m ; 1 – m4) ;
+) CM tam giác ABC cân đỉnh A. Tọa độ trung điểm I của BC là I(0 ; 1 – m4).
+) S

ABC



1
5
AI .BC  m4 m  m  32  m  2 (tm)
2

Câu 15. Cho hàm số y  x4  2mx 2  m  1 (1), với m là tham số thực. Xác định m để
hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam
giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 .
x  0
y '  4 x3  4mx  4 x  x 2  m   0   2
x  m

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị  pt y '  0 có ba nghiệm phân biệt và y ' đổi dấu khi
x đi qua các nghiệm đó  m  0
 Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:



 

A  0; m  1 , B  m ; m 2  m  1 , C



m ; m 2  m  1

1
yB  y A . xC  xB  m2 m ; AB  AC  m4  m , BC  2 m

2
m  1
m4  m 2 m
AB. AC.BC
3
R
1
 1  m  2m  1  0  
2
m  5  1
4S ABC
4m m

2

 S

ABC







Câu 16. Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1)
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Hàm số

FB: />
Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1;1) và có hệ số góc bằng 3. Tìm điểm M thuộc
đường thẳng d sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất.
+ d: y=3x-2
+ Xét biểu thức P=3x-y-2. Thay tọa độ điểm (0;2)=>P=-4<0, thay tọa độ điểm (2;2)=>P=6>0. Vậy 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d. Từ
đây, để MA+MB nhỏ nhất => 3 điểm A, M, B thẳng hàng
+ Phương trình đường thẳng AB: y=-2x+2
4

x

 y  3x  2

5
+ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 

y


2
x

2

y  2

5

Câu 17. Cho hàm số y  x 3  6 x 2  9 x  2 (1).
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A 1;1  và vuông góc với đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị của (C).
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A 1;1  và vuông góc với đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị của (C).
Đuờng thẳng đi qua 2 c ực trị A(1;2) và B(3;-2) là y=-2x+4
Ta có pt đt vuông góc với (AB) nên có hệ số góc k= ½
1
2

Vậy PT đ ư ờng thẳng cần tìm là y  x 

3
2

Câu 18. Cho hàm số y  x3  3mx 2  4m2  2 (1), m là tham số.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho điểm I (1; 0) là trung
điểm của đoạn AB.
Ta có y '  3x 2  6mx.
x  0
y '  0  3x 2  6mx  0  
 x  2m.

Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị khi và chỉ khi y '  0 có hai nghiệm phân biệt
Tọa độ các điểm cực trị là A(0; 4m2  2), B(2m; 4m3  4m 2  2) .

 m0.

m  1

Điểm I (1; 0) là trung điểm của đoạn AB khi và chỉ khi 

3
2
2m  4m  2  0

Giải hệ, ta được

m  1.

Vậy

m 1

là giá trị cần tìm.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
Câu 19. Cho hàm số y   x  (2m  1) x  (m  3m  2) x  4 (m là tham số) có đồ thị là
3

2

2

(Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục
tung.

y  3x 2  2(2m  1) x  (m2  3m  2) .

(Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung  PT y  0 có 2 nghiệm
trái dấu  3(m2  3m  2)  0  1  m  2
Câu 20. Cho hàm số y  x3  3mx2  4m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m
để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

x  0

Ta có: y’ = 3x2  6mx = 0  
 x  2m
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m  0.
Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0)  AB  (2m; 4m3 )
Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)
Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường
thẳng y = x và I thuộc đường thẳng y = x
3

 2m  4m  0
 3

 2m  m

Giải hệ phương trình ta được m  
Kết hợp với điều kiện ta có: m  

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

2
;m=0
2
2
2

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Chuyên đề: Hàm số
A. Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải toán
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số y  f  x  xác định trên tập hợp D.
 Số M được gọi là GTLN của hàm số y  f  x  trên tập D nếu các điều sau được
thỏa mãn
i) f  x   M x  D
ii) x  D : f x  M
 0
0


Ký hiệu: M  Max f  x 
xD

 Số m được gọi là GTNN của hàm số y  f  x  trên tập D nếu các điều sau được
thỏa mãn
i) f  x   m x  D
ii) x  D : f x  m
 0
0


f x
Ký hiệu: m  min
xD

 Quy ước: Ta quy ước rằng khi nói GTLN hay GTNN của hàm số f mà không
nói "trên tập D" thì ta hiểu đó là GTLN hay GTNN trên TẬP XÁC ĐỊNH của
nó.
 Đối với GTLN và GTNN đối với hàm nhiều biến cũng có định nghĩa tương tự.
2) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA
HÀM SỐ MỘT BIẾN
a) Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức (hay phương pháp dùng định
nghĩa).
Một số kiến thức thường dùng:
a) f ( x )  ax 2  bx  c  a( x 

b 2 
) 
2a
4a

b) Bất đẳng thức Cô-si:

ab
 ab  a  b  2 ab
2
Dấu "=" xảy ra khi a  b
abc 3
 abc  a  b  c  3 3 abc
không âm  a, b, c  0  ta luôn có:
3
Dấu "=" xảy ra khi a  b  c

 Với hai số a, b không âm  a, b  0  ta luôn có:
 Với ba số a, b, c

c) Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng
1) a 2  b 2  2ab  ab 
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

a 2  b2
2

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
2) (a  b) 2  4ab  ab 

( a  b)

4

2

3) (a  b)2  2(a 2  b 2 )  a 2  b 2 

( a  b) 2
2

CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm GTLN của hàm số f  x   2x 2  8x  1 .
Bài giải
♥ Tập xác định: D
♥ Ta có
f  x   2x 2  8x  1  9  2  x  2   9, x  D
2

Dấu “=” xảy ra khi x 2 D
♥ Vậy max
f ( x ) 9 .
x D
Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số f  x   2x 2  4x  12 .
Bài giải
♥ Tập xác định: D
♥ Ta có
f  x   2x 2  4x  12 = 2  x  1  10  10 ,x  D
2

Dấu “=” xảy ra khi x 1 D
♥ Vậy min

f ( x)
10 .
x D
Ví dụ 3: Tìm GTNN của các hàm số f  x   x 

2
x 1

với x  1;   .

Bài giải
♥ D 1;
♥ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
f x  x 

Dấu “=”

2
2
2
 x 1 
 1  2  x  1 .
 1  2 2  1, x  1;  
x 1
x 1
x 1
2
2
x 1
2 x 1

2 D
xảy ra khi x 1
x 1

♥ Vậy min
f ( x) 2 2 1 .
x D
Bài tập tương tự
Tìm GTNN của hàm số f (x)  x  3 

7
x 3

b) Phương pháp 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình (hay phương
pháp miền giá trị).
Cơ sở lý thuyết của phương pháp: Cho hàm số xác định bởi biểu thức dạng
y  f x

 Tập xác định của hàm số được định nghĩa là :
D  { x  | f(x) có nghĩa}
 Tập giá trị của hàm số được định nghĩa là :
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
T = { y  | Phương trình f(x) = y có nghiệm x  D }

Do đó nếu ta tìm được tập giá trị T của hàm số thì ta có thể tìm đựơc GTLN và
GTNN của hàm số đó.
Một số kiến thức thường dùng:
a) Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có nghiệm    0
b) Phương trình a cos x  b sin x  c  a, b  0  có nghiệm  a 2  b 2  c2
CÁC VÍ DỤ
x2  x  2
.
x2  x  2

Ví dụ 1 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số y 

(1)

Bài giải
♥ Tập xác định: D
♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có:
y

x2  x  2
 yx 2  yx  2y  x 2  x  2
2
x x2
y 1 x 2 y 1 x 2y 2

0

(2) (Dạng ax 2  bx  c  0 )

+ Trường hợp 1: Với y 1 thì (2) có nghiệm x

+ Trường hợp 2: Với y 1 thì (2) có nghiệm

0

0
7 y 2 18y
9 4 2
7

9

Suy ra tập giá trị của hàm số là T
y
♥ Vậy min
x D

9 4 2
; max y
x D
7

9

4 2
7

4 2 9 4 2
;
7
7

7

9

y

0

4 2
7

.

.
1  sin x
2  cos x

Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y 

.

(1)

Bài giải
♥ Tập xác định: D
♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có:

1  2y  y cos x  1  sin x

y cos x

(2) có nghiệm

c2

a2

b2

Suy ra tập giá trị của hàm số là T
y 0; max y
♥ Vậy min
x D
x D

sin x

y2
0;

1 2y

1

2

1 2y

(2)

2

(dạng a cos x  b sin x  c )
3y 2

4y

0

0

y

3
4

3
.
4

3
.
4

c) Phương pháp 3 : Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích).
 Điều kiện tồn tại GTLN và GTNN:
Định lý: Hàm số liên tục trên một đoạn  a; b  thì đạt được GTLN và GTNN
trên đoạn đó.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ