Đề cương ôn tập HKII môn toán12

Tài liệu phụ đạo và ôn tập HK2 môn Toán 12
ÔN TẬP CHỦ ĐỀ IV : NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN
A/Nguyên hàm:
I .Định nghĩa và ký hiệu:
1. Định nghĩa : F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x)
2. Ký hiệu: ∫ f ( x).dx = F ( x).
3. Định lí :

∫ f ( x).dx = F ( x). + C

II. Tính chất:
1.

2.
3.

∫ f ' ( x).dx =

f(x) +C

∫ k. f ( x).dx = k.∫ f ( x).dx
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

Chú ý 1 :
Nguyên hàm dạng tích , và hữu tỷ không có công thức phải biến đổi đưa về tổng
hiệu:
Ví dụ 1 : Tìm Nguyên hàm : A = ∫ sin 3x. cos 5 xdx .
Ví dụ 2 : Tìm Nguyên hàm : B =

∫x

III .Công thức:
1. Nhóm 1: Hàm số lũy thừa.
1.1 / ∫ kdx = k .x + C . k ∈ R .
1.3 /

∫

2

2x + 1
+ 3.x − 4

1.2 /

α
∫ x .dx =

dx
= ln x + C .
x

x α +1
+ C . α ≠ −1
α +1

2 . Nhóm II: Hàm số lượng giác
2.1 / ∫ sin xdx = − cos x + C
2.2 / ∫ cos xdx = sin x + C
dx

2.5 /

∫ cos

2.6 /

∫ sin

2

x

dx
2

x

2.3 / ∫ tan xdx = − ln cos x + C
2.4 / ∫ cot xdx = ln sin x + C
dx

= tan x + C

2.7 /

∫ tan

= − cot x + C

2.8 /

∫ cot

2

x

dx
2

x

= − x − cot x + C
= − x + tan x + C

4. Nhóm III: Hàm số Mũ :
3.1 /

x
∫ a dx =

ax
+C
ln a

x
x
3.2/ ∫ e dx = e + C

Chú ý 2 :

Nếu : F(x)’ = f(a) , thì :
1

1

∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C


Tài liệu phụ đạo và ôn tập HK2 môn Toán 12

B/ Phương pháp tính tích phân:
b

Công thức :

∫ f ( x).dx = F ( x)

b
a

= F (b) − F (a )

a

I/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
b

1. Dạng 1: Tính : I

∫ f [ u ( x)].u ' ( x).dx

a

Phương pháp chung :
Bước 1 :

Đặt

: t=u(x)

Bước 2 :

Đổi cận :

Bước 3 :

Tính I :

⇒

dt = u’(x).dx
x
t

a
u(a)

b
u(b)

u (b )

I=

∫ f (t )dt = F (t )

= F [u (b)] − F [u (a )]

u (b )
u(a)

u(a)

CÁC DẠNG CƠ BẢN THƯỜNG GẶP :
b

∫ f ( x).dx

2. Dạng 2 : Tính : I =

; Với f(x) = x α (a.x α +1 + b) β . β ∈ R*

a

Phương pháp:
Bước 1 :

dt

α
Đặt t = (a.x α +1 + b) ⇒ dt = a .(α + 1).x α dx . ⇒ x .dx = (α + 1).a

Bước 2 : Đổi cận :

x
t

a
u(a)

b
u(b)

Bước 3 : Tính I :
u (b )

t β .dt
1
( β +1)
I = ∫ (α + 1).a = (α + 1).(β + 1).a t
u(a)

u (b )
u(a)

.

Ví dụ 3: Tính các tích phân sau :
2

2

x3
∫1 (2 x 4 − 1) 5 dx .

1. A = ∫ x 3 (2 x 4 − 1) 5 dx .

;B=

2. C = ∫ x 3 (2 x 4 − 1) 5 dx.

. ( Ta đặt t = (2 x 4 − 1)5 )

1
2

1

b

3. Dạng 3 : Tính : I =

∫ f ( x).dx
a

2

; Với f(x) = cos x.(a. sin x + b)α .


Tài liệu phụ đạo và ôn tập HK2 môn Toán 12

Phương pháp:
Đặt t = (a. sin x + b) ⇒ dt = a . cos x.dx . ⇒ cosx.dx =

Bước 1 :

f(x)dx =

dt
.
a

1 α
t dt . ta đưa về bài toán quen thuộc.
a

Ví dụ 4 : Tính các tích phân sau :
4.D=

π
3

;5.E=

∫ cos x(2 sin x − 3) dx.
3

0

6.G=

π
3

∫ cos x

4

π
3

∫
0

cos x
dx .
(2 sin x − 3) 3

; Ta đặt t = (2 sin x − 3)3 .

(2 sin x − 3) 3 dx.

0

b

4 Dạng 4 : Tính : I =

∫ f ( x).dx

; Với f(x)dx =

a

dx
b + x2
2

.

Phương pháp:
b
dt = b(1 + tan 2 t ) .dt.
2
cos t
1
b2 + x2 = b2.( 1 + tan2t) . ⇒ f(x).dx = dt .
b

Bước 1 :

Đặt x = b.tant , ⇒ dx =

Bước 2:

Đổi cận, tính kết quả .
β

b

5. Dạng 5 : Tính : I =

∫

f ( x).dx ; Với

a

∫
α

β

f ( x) dx =

∫
α

dx
a2 − x2

dx . (a> 0)

Phương pháp:
Đặt x = a.sint ⇒ dx = a.cost.dt ; a 2 − x 2 = a 2 .(sin 2 t ) = a cos t .

Bước 1 :
Bước 2:

Đổi cận, tính kết quả .

II/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
2.1Dạng áp dụng phương pháp tích phân từng phần :
b

I = ∫ U.dV .
a

Phương pháp:
u = u ( x)
Đặt : 
dv = v'.dx

3

⇒

du = u ' ( x).dx

v = ∫ v '.dxv'

;


Tài liệu phụ đạo và ôn tập HK2 môn Toán 12
b

∫ U.dV = U.V

⇒

a

2.2

b

b
a

− ∫ V .dU .
a

Các dạng tích phân thường gặp :
b

Dạng 1 : Tính : I =

∫ f ( x).dx

; Với f(x)dx = P(x). cosx.dx , hoặc P(x).sinx.dx .

a

Ta đặt : U = P(x) ; dv = sinx.dx.
b

Dạng 2 : Tính : I =

∫ f ( x).dx

; Với f(x)dx = P(x). ex.dx .

a

Ta đặt : U = P(x) ; dv = ex.dx .
b

Dạng 3 : Tính : I =

∫ f ( x).dx

; Với f(x)dx = P(x). ln(x).dx .

a

Ta đặt : U = ln(x) ; dv = P(x).dx .
Chú ý 3 : Thông thường bài toán tích phân cho dưới dạng :
b

I = ∫ [ f ( x) + h( x)].g ( x).dx ,
a

ta khai triển thành tổng hai tích phân, rồi áp dụng các phương pháp trên để
tính , xong cộng kết quả lại.
Ví dụ 5: Tính các tich phân sau :
π
2

e

7. I = ∫ 2 x(1 − ln x) dx ;

6. I = ∫ (sin x − x).cos xdx ;
3

1

0

π
2
0

8. I=∫

1

x
x

1 + sin  cos dx ;
2
2


x
x
9 . I = ∫ e (e + x) dx
0

C / Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích:
1) Diện tích hình phẳng:
Cơ sở lí thuyết:
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x=
b

a; x= b và y = 0 (trục hoành) được tính bởi: S =

∫

f ( x) dx (1).

a

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên
b

tục); x = a; x= b được tính bởi: S =

∫

f ( x) − g ( x) dx (2).

a

Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 1; y = 0; x
= 0; x = 2.
b

Giải: Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S =

∫
a

4

f ( x) dx


Tài liệu phụ đạo và ôn tập HK2 môn Toán 12
2

thì S =

∫x

2

− 1dx

0

• Phương trình: x2 -1= 0 ⇔ x = ± 1 , nghiệm x = 1 ∈ [0;2]
1

1

2

2

x3
x3
(
x
−
1)
dx
(
x
−
1)
dx
(
−
x
)
(
− x) = 2 (đvdt)
• Vậy S = ∫
+ ∫
=
+
3
3
0
1
0
1
2

2

Vídụ 7:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và y =x.
Giải:
• Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2 = x ⇔ x2 + x – 2 = 0 ⇔ x = 1 và x
= -2
• Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức
b

•

S=

∫

f ( x) − g ( x) dx thì S =

∫

x 2 + x − 2 dx

−2

a

1

• Vậy S =

1

∫

−2

1

1

x3 x 2
9
x + x − 2 dx = ∫ ( x + x − 2)dx =
+ − 2x
= (đvdt)
3 2
2
−2
−2
2

2

* Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân nếu hàm số dưới dấu tích
phân không đổi dấu trên [a; b].
2) Thể tích vật thể tròn xoay:
Cơ sở lí thuyết:
Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y =
b

2
0 khi xoay quanh trục Ox được tính bởi: V = π ∫ f ( x) dx (3)
a

Ví dụ 8:
a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x 2 và y = 0. Tính thể tích vật thể
tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.,
Giải:

• Phương trình 2x – x2 = 0 ⇔ x = 0 và x = 2
b

2
• Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V = π ∫ f ( x) dx
a

2

0

4 3
x 5 2 16π
2 2
2
3
4
4
π
(2
x

−
x
)
dx
=
π
(4
x
−
4
x
+
x
)
dx
Ta có V = ∫
= π( x − x + )0 =
(đvtt)
∫0
15
3
5
0
b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x 2 và y = x3. Tính thể tích vật thể tròn
xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.

Giải:

• Phương trình – x2 = x3 ⇔ x = 0 và x = –1
• Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi

các đường y = – x2, x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đó quay quanh Ox:

5


Tài liệu phụ đạo và ơn tập HK2 mơn Tốn 12
0

1
5

2 2
Có V1 = π ∫ (− x ) dx = π
−1

• Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi
các đường y = x3, x = 0, x = -1 và trục Ox…:
0

3 2
Có V2 = π ∫ ( x ) dx =
−1

1
π
7

Vậy thể tích V cần tính là: V = V1 − V2 =

2

π (đvtt)
35

Chú ý:4 Khi tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) khi
nó quay quanh trục Ox, học sinh có thể ngộ nhận và dùng cơng thức
b

V = π ∫ ( f ( x) − g ( x )) 2 dx dẫn đến kết quả sai KQs : V =
a

1
π đvtt.
105

• Các bài tập tự luyện:
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = – x2 + 4x và trục hoành.
KQ: S =

32
đvdt
3

2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (P): y = – x2 và y = – x –
2.
KQ: S =

9
đvdt
2

3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = 5x4 – 3x2 – 8, trục
Ox trên [1; 3]
KQs: S = 200 đvdt
4) Tính thể tích các hình tròn xoay sinh bởi các hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau đây khi quay quanh trục Ox:
a) (P): y 2 = 8x và x = 2
KQ: 16 π đvtt
b) y = x2 và y = 3x
x
2

c) y = sin ; y = 0; x = 0; x =

KQ:
π
4

KQ:

162π
5

đvtt

π −2 2
đvtt
8

D/ Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân:

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x +1 và y = x
-1
(TNTHPT năm 2001 – 2002 )
Bài 2: 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y =
6

1
x 3 + 3x 2 + 3x − 1
, biết F(1) =
2
3
x + 2x + 1


Tài liệu phụ đạo và ơn tập HK2 mơn Tốn 12
2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y=
và trục hoành Ox.

2x 2 − 10x − 12
x+2

(TNTHPT năm 2002

– 2003 )

Bài 3: Cho hàm số y =

1 3
x – x2 (C). Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình
3

phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y = 0, x =0, x = 3 quay quanh trục Ox.
(TNTHPT năm 2003 – 2004 )
Bài 4: Tính tích phân: I =

π /2

∫ ( x + sin

2

x). cos x.dx

(TNTHPT năm 2004 –

0

2005 )

Bài 5: a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số :
y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1.
π /2

b. Tính tích phân: I =

∫
0

sin 2 x
dx

4 − cos 2 x

(TNTHPT năm 2005–

2006)
e

ln 2 x
dx .
Bài 6:Tính tích phân J = ∫
x
1
1

Bài 7: Tính tích phân

I =

∫ x (1 − x ) dx
2

3 4

(TNTHPT năm 2006– 2007)
(TNTHPT năm 2007– 2008)

−1

π

Bài 8: Tính tích phân I = ∫ x(1 + cos x)dx

(TNTHPT năm 2008– 2009)

0

1

Bài 9: Tính tích phân

∫

2
2
I = x ( x − 1) dx
0

7

(TNTHPT năm 2009– 2010)


Tài liệu phụ đạo và ôn tập HK2 môn Toán 12
ÔN TẬP CHỦ ĐỀ IV

CÁC DẠNG BÀI TOÁN CƠ BẢN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN.
Dạng I : Viết phương trình : Mặt Cầu, mặt phẳng, đường thẳng.
Bài toán 1.1/ Viết phương trình mặt cầu (S): Tâm I(a, b , c), bán kính R:
(S): x2 + y2 + z2 – 2ax + 2by + 2cz + D = 0.

(1).
Thường được cho dưới dạng :
a) Cho 2 điểm A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ):
Viết phương trình mặt cầu (S), nhận AB làm đường kính
Cách giải : Gọi I(a ; b ; c ) là tâm mặt cầu (S), bán kính R :
Ta có I là trung điểm AB :
x A + xB

a
=

2

y
+
yB

A
b =
2

z A + zB

c =
2


;R=

AB 1

=
2
2

(xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2 + (z B − z A ) 2

Thay kết quả vừa tìm được vào (1), ta có kết quả cầm tìm.
b) Cho 3 điểm : A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ).
Tìm trọng tâm G của tam giác ABC,
Viết phương trình mặt cầu (S) Tâm G, đi qua A .
Cách giải : Gọi G(a ; b ; c) là tâm mặt cầu (S), bán kính R :
Ta có G là trọng tâm Δ ABC :
x A + x B + xC

a =
3

y
+
y

A
B + yC
b =
3

z A + z B + zC

c =
3



; R = AG = ( xG − x A ) 2 + ( yG − y A ) 2 + ( z G − z A ) 2 .

1.2/ Tìm tâm, bán kính mặt cầu (S) có phương trình :
(S): x2 + y2 + z2 + mx + ny + pz + D = 0.
(1).
Cách giải : Gọi I(a ; b ; c) , R là tâm và bán kính mặt cầu (S), có phương trình
(1), ta có :

8


Tài liệu phụ đạo và ôn tập HK2 môn Toán 12

− 2 a = m

− 2b = n
− 2c = p


−m

a = 2

−n

⇔ b =
;
2


−p

c = 2


R = a2 + b2 + c2 − D .

Kết luận : I(a ; b ; c ) ; R.
1.3/ Cho 4 điểm A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ). D(xD ; yD
; zD ). Viết phương trình mặt cầu (S )đi qua A,B,C,D.
Cách giải : phương trình mặt cầu (S) có dạng
(S): x2 + y2 + z2 – 2ax + 2by + 2cz + D = 0.
(1)
Trong đó gọi I(a ; b ; c) là tâm mặt cầu (S)
Lần lượt thay tọa độ A, B, C, D vào (1), ta có hệ phương trình :
X 2 A + Y 2 A + Z 2 A
 2
2
2
X B + Y B + Z B
 2
2
2
X C + Y C + Z C
X 2 D + Y 2 D + Z 2 D


+ 2ax A + 2bYA + 2cZ A + D = 0,
+ 2aX B + 2bYA + 2cZ A + D = 0

+ 2aX C + 2bYC + 2cZ C + D = 0

( 2)

+ 2aX D + 2bYD + 2cZ D + D = 0

Giải hệ ( 2 ) , với 4 ẩn số :a , b , c , D thế vào (1) ta có phương trình (S) cần
tìm.
Chú ý : bài toán đơn giản khi A(xA ; 0 ; 0 ) , B(0 ; yB ; 0 ) , C(0 ; 0 ; zC ). D(xC ;
yD ; zD ).
Áp dụng :
1/ bài thi TN THPT năm 2010: Câu 4.a/1:
“… Cho 3 điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2; 0) và C(0 ; 0 ; 3). Tìm tọa độ tâm mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện O.ABC . “
2/ Bài 9.b/ trang 100- sgk hh 12 cơ bản.
--------------------------------------------------------------------Bài toán 2.1/
Viết
 phương trình mặt phẳng (α ) qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ pháp tuyến
n (A ; B ; C).
Ta có : (α ) : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
⇔ Ax + By + Cz + D
= 0.
(2).
Chú ý 1:

véc tơ pháp tuyến n (A ; B ; C) , được xác định tùy từng trường hợp cụ thể
9


Tài liệu phụ đạo và ôn tập HK2 môn Toán 12

a. Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm không thẳng hàng :
A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ).



Cách giải : Khi đó ta chọn M0 là điểm A. n = [ AB , AC ] = ( A ; B; C ) .
Chú ý rèn luyện cách tính tích có hướng của 2 véc tơ [ AB , AC ] .
Với : AB = (a1 ; b1 ; c1 ).

AC = (a2 ; b2 ; c2 ). Ta có n = [ AB , AC ]


n =

 a1 ; b1 ; c1  a1


= (b1.c2 – b2.c1 ; c1.a2 – c2.a1 ; a1.b2 – a2.b1 )
 a 2 ; b2 ; c 2  a 2

Tính theo tích chéo : “ Giữa – Cuối ; Cuối – Đầu ; Đầu – Giữa “
b. Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A(xA ; yA ; zA ) , và vuông góc
đường thẳng :
 x = x 0 + a 1 .t

Δ :  y = y 0 + a 2 .t ;
z = z + a .t
3


Cách giải : (α ) qua điểm A(xA ; yA ; zA ) và vuông góc với đường thẳng Δ
nên (α ) nhận véc tơ chỉ phương của Δ : a = ( a1 ; a2 ; a3 ) làm véc tơ pháp

tuyến n = a = ( a1 ; a2 ; a3 ) . Ta có :
(α ) : a1.( x – xA ) + a2. (y – yA ) + a3. (z – zA ) = 0
⇔ a1.( x ) + a2.(y ) + a3.(z ) + D = 0 .
Chú ý 2 : Nếu đường thẳng Δ cho dưới dạng chính tắc :
Δ:

x − x0 y − y 0 z − z 0
=
=
;
a1
b1
c1

Thì khi giải chú ý dạng chính tắc các ẩn số x , y , z có hệ số là + 1, Nếu
đề chưa cho đúng thì phải biến đổi sắp xếp dạng chính tắc đã nêu. Ta cho cả 3
phân số trên = t, chuyển về dạng tham số của Δ, ta tìm được véc tơ chỉ phương
của Δ : a = ( a1 ; b1 ; c1 )
Ví dụ: Cho đường thẳng Δ có phương trình :
Δ:

x + 5 1− y z + 2
=
=
; và điểm I( -1 , 3 ; 2). Viết phương trình mặt
2
3

2

phẳng (α ) qua I và (α ) vuông góc Δ.
Giải:
x + 5
 2 =t
 x = −5 + 2t

x + 5 1− y z + 2
1 − y

= t ⇔  y = 1 − 3t ;
=
=
Cho :
=t ⇔ 
2
3
2
 3
 z = −2 + 2t

z + 2
=
t
 2


10

Tài liệu phụ đạo và ôn tập HK2 môn Toán 12
Ta có véc tơ chỉ phương của Δ là a = ( 2 ; - 3 ; 2 ) .
Mặt phẳng (α ) qua I ( -1 , 3 ; 2), và (α ) vuông góc Δ :
(α ) : -1(x – 2) + 3( y + 3) + 2( z - 2) = 0.
⇔ (α ) : -x + 3y + 2z + 7
=0.
c) Cho tứ diện A.BCD , Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua AB và
song song CD .
Ta có : véc tơ pháp tuyến : n = [ AB , CD ] .
d) Cho mặt phẳng ( β ) : A( x – a) + B ( y – b ) + C ( z – c ) = 0 . ( * )
Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) và song song mp ( β )
Ta có : véc tơ pháp tuyến : n = [ A ; B ; C ] .

Áp dụng giải bài tập trang 80, 81 skg hh12 cơ bản
Bài toán 3.1/
Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 )
có véc tơ chỉ phương a (a1 ; a2 ; a3 ).
Giải : Gọi M(x ; y ; z ) ∈ Δ, ta có : phương trình tham số của đường thẳng
đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ chỉ phương a (a1 ; a2 ; a3 ) :
 x = x 0 + a1 .t

Δ :  y = y 0 + a 2 .t ;
 z = z + a .t
0
3


Các dạng bài tập :
3.1/a :

Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm
M0(x0 ; y0 ; z0 ) , và vuông góc mặt phẳng :
(α ) : Ax + By + Cz + D = 0.
(1).
Giải : Ta có véc tơ chỉ phương a của đường thẳng Δ , là véc tơ pháp
tuyến của mặt phẳng (α ) : a
đường thẳng Δ là :
 x = x 0 + A.t

Δ :  y = y 0 + B.t ;
 z = z + C.t
0


3.1/b :

11



= n = (A ; B ; C). Vậy phương trình tham số của
(2)

Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm
M0(x0 ; y0 ; z0 ) , và song song với đường thẳng d:


Tài liệu phụ đạo và ôn tập HK2 môn Toán 12
 x = x 0 + a1 .t


d:  y = y 0 + a 2 .t ;
 z = z + a .t
0
3


Giải : Ta có véc tơ chỉ phương a của đường thẳng Δ , là véc tơ chỉ
phương của đường thẳng d : a = (a1 ; a2 ; a3). Vậy phương trình tham số của
đường thẳng Δ là ( 2 )
3.1/c :
Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm
M0(x0 ; y0 ; z0 ) ; M1(x1 ; y1 ;z1 ) .
Giải : Ta có véc tơ chỉ phương a của đường thẳng Δ , là véc tơ :
M 0 M 1 = (x1 – x0 ; y1 – y0 ; z1 – z0 ) = (a1 ; a2 ; a3). Vậy Vậy
a=
phương trình tham số của đường thẳng Δ là ( 2 )
Áp dụng giải bài tập 1 trang 89 SGK HH 12 CB. Bài tập 4 trang 92.

Dạng II : Xét vị trí tương đối : Mặt Cầu, mặt phẳng, đường thẳng.
Bài 2.1.a /
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình :
 x = x 0 + a1 .t

d1:  y = y 0 + a 2 .t
 z = z + a .t
0
3


(1) ;

 x = x1 + b1 .t '

d2 :  y = y1 + b2 .t ' ; ( 2 )
 z = z + b .t '
1
3


Cách giải :
Bước 1 : Đường thẳng d1 đi qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) ; có véc tơ chỉ phương
a = (a1 ; a2 ; a3 ) .
Đường thẳng d2 có véc tơ chỉ phương : b = ( b1 ; b2 ; b3 ).
Nếu : a = k. b : Đúng (Đ) , và M0(x0 ; y0 ; z0 ) ∉ d2 . Ta có d1 // d2 .
: a = k. b : Sai ( S ) ,
Bước 2 : ta xét hệ :
 x0 + a1 .t = x1 + b1 .t '

 y 0 + a 2 .t = y1 + b2 .t '
 z + a .t = z + b .t '
3
1
3
 0

12

(*);

Tài liệu phụ đạo và ôn tập HK2 môn Toán 12
Ta lấy 2 trong 3 phương trình ( * ), giải tìm được t và t’ , thế vào phương
trình còn lại . Nếu Đ thì hệ ( * ) có đúng 1 nghiệm thì d1 cắt d2 .
Nếu S hệ ( * ) vô nghiệm thì d1 chéo d2 .
Kết luận:
Bài 2.1.b /
Xét vị trí tương đối của đường thẳng Δ và mặt phẳng (α ), có phương
trình :
 x = x 0 + a1 .t

Δ :  y = y 0 + a 2 .t ; (1) ;
 z = z + a .t
0
3


(α ) : Ax + By + Cz + D

= 0

(2).

Cách giải :
Gỉa sử Δ cắt (α ) tại M( x ; y ; z ) , thế tọa độ M ∈ (1 ) vào ( 2 ).
A ( x0 + a1.t ) + B ( y0 + a2 . t ) + C( z0 + a3 .t ) = 0 ( 3 ) .
Nếu : + Phương trình ( 3 ) có 1 nghiệm t , thì
Δ cắt (α ).
+ Phương trình ( 3 ) có vô số nghiệm t , thì Δ ⊂ (α ).
+ Phương trình ( 3 ) vô số nghiệm t , thì
Δ // (α ).

Bài 2.1.c /
Xét vị trí tương đối của mặt phẳng ( α ) và mặt cầu ( S ), có phương
trình : (α ) :
Ax + By + Cz + D
= 0 . (1)
2
2
2
(S): x + y + z – 2ax + 2by + 2cz + D = 0 . ( 2 )
Cách giải :
Bước 1 : Tìm tọa độ tâm I ( a ; b ; c ) và bán kính R của mặt cầu ( S ); ( bài
toán 1.2/ ).
Bước 2 : Tìm khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( α ) :
d(I ; (α )) =

A.a + B.b + C.c + D
A2 + B 2 + C

2

=m.

Bước 3 : So sánh và kết luận :
Nếu m > R : mặt phẳng (α ) không cắt mặt cầu (S) .
Nếu m = R , mặt phẳng (α ) tiếp xúc mặt cầu (S) .
Nếu m < R , mặt phẳng (α ) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn
( C ), Tâm H, bán kính r = IH . Trong đó H là hình chiếu I trên (α ).
Áp dụng : Bài tập 5, trang 92.
Đề thi TN THPT 4a.1 năm 2009.
Đề thi CĐ Khối B năm 2010 .

-------------------------------------------------------------------------------------------13


Tài liệu phụ đạo và ôn tập HK2 môn Toán 12
Dạng III :
1)Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M trên mặt phẳng (α) ,
2)Trên đường thẳng Δ
Bài : 3.1 : cho điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) . Tìm hình chiếu vuông góc H của M
trên mặt phẳng
(α ) : Ax + By + Cz + D
= 0 . (1)
Cách giải :
Gọi H (x ; y ; z ) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) . H ∈
(α) , và H ∈ MH vuông góc (α) .
Đường thẳng MH đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc (α) , nên nhận

véc tơ pháp tuyến của (α) làm véc tơ chỉ phương a = n = (A ; B ; C):
 x = x 0 + A.t

MH :  y = y 0 + B.t ( 2 ) ;
 z = z + C.t
0


Thay ( 2 ) vào ( 1 ) ta tìm được t , thay vào ( 2 ) ta tìm được tọa độ H.
Áp dụng Bài tập 8 trang 91 sgk ; Bài 9 trang 93 sgk .
Đề thi CĐ Khối B năm 2010
Bài : 3.2 : cho điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) . Tìm hình chiếu vuông góc H của M
trên đường thẳng Δ có phương trình :
 x = x 0 + a1 .t


Δ :  y = y 0 + a 2 .t
 z = z + a .t
0
3


(1);

Cách giải :
Gọi H (x ; y ; z ) là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng Δ: H ∈
Δ . . H ∈ (α )qua M0 , và (α ) vuông góc đường thẳng Δ .
Mặt phẳng (α ) đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc (α) , nên nhận véc
tơ véc tơ chỉ phương a = (a1 ; a2 ; a3) của Δ làm véc tơ pháp tuyến của (α) :


n = a = (a1 ; a2 ; a3) .

Ta có (α) : a1(x – x0 ) + a2 (y – y0 ) + a3(z – z0 ) = 0 ( 2 ).
Thế ( 1) vào ( 2 ) , ta tìm được t .
Thế t vào ( 1 ) ta tìm được toa độ H.
Kết luận .
Áp dụng Bài tập 7 trang 91 sgk ; Bài 12 trang 93 sgk .
--------------------------------------------------------------------------------------------Dạng IV : Bài toán tổng hợp :
Cho 4 điểm : A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ). D(xD ; yD ;zD ).
14


Tài liệu phụ đạo và ôn tập HK2 môn Toán 12
1)

2)
3)
4)

Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ) .
Tính góc A, B của tam giác ABC.
Tính diện tích tam giác ABC .
Chứng minh D.ABC là tứ diện. Tính thể tích hình chóp D.ABC .

Cách giải :
1) Bài toán 2.1/ Chú ý a) (
2) Ta có cosA =

a1 .b1 + a 2 .b2 + a3 .b3
. AB.. AC
=
= m.
. a12 + a 22 + a32 . .b11 . + b22 + b33 .
AB. AC

Sử dụng MTCT tính góc A.
3) SABC =

1
AB . AC . sinA .( kết quả ở 2) )
2

4) Thế tọa độ D(xD ; yD ; zD ) vào (α ) : Ax + By + Cz + D
= 0 (1).
⇔

∉
AxD + ByD + CzD + D = 0 m = 0 : Sai ( S), ta có D (ABC).
Kết luận D.ABC là tứ diện.
Gọi : VD.ABC là thể tích tứ diện D.ABC . Ta có : VD.ABC =
( Với Sđ = SABC =
h = d(D,(ABC))=

1
AB . AC . sinA ,
2
m
. a12 + a 22 + a32 . .b11 . + b22 + b33 .

******

15

1
Sđ. h.
3

). Ta có thể tích cần tìm.


Tài liệu phụ đạo và ôn tập HK2 môn Toán 12
ÔN TẬP CHỦ ĐỀ VI

SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI:
A/ TỐT NGHIỆP THPT
1. Bài 1 : Giải phương trình :

TN THPT Năm : 2006

2x2 – 5x + 4 = 0 . trên tập số phức.
; Đáp số : x1 =

5
7
5
7
+
i ; x2 = −
i .
4
4
4 4

2. Bài 2: Giải phương trình : x2 -4x + 7 = 0 . trên tập số phức.
TN THPT Năm : 2007 (lần 1) ; Đáp số : x1 = 2 + i 3 ; x2 = 2 - i 3 .
3. Bài 3: Giải phương trình : x2 – 6x +25 =0 .
trên tập số phức.
TN THPT Năm : 2007 (lần 2.) ; Đáp số : x1 = 3 + 4i ; x2 = 3 - 4i .
4. Bài 4 : Tìm giá trị biểu thức :
P = ( 1 + i 3 )2 + ( 1 - i 3 )2 .
TN THPT Năm : 2008 ( lần 1) ; Đáp số P = 4 .
5. Bài 5: Giải phương trình : x2 - 2x + 2 = 0 .trên tập số phức.
TN THPT Năm : 2008 ( lần 2 ) ; Đáp số : x1 = 1 + i ; x2 = 2 + i .
6. Bài 6: Giải phương trình : 8z2 – 4z + 1 ; Trên tập số phức.
TN THPT Năm : 2009 ( Cơ bản ) ; Đáp số : z1 =

1 1

+ i
4 4

; z2 =

1 1
− i
4 4

7. Bài 7: Giải phương trình : 2z2 – iz + 1 = 0 trên tập số phức.
TN THPT Năm : 2009 (NC)

; Đáp số : z1 = i ; z2 = -

8. Bài 8: Giải phương trình :2z2 + 6z + 5 = 0 ;

1
i
2

trên tập số phức.

TN THPT Năm : 2010 (GDTX) ; Đáp số : z1 =-

3 1
3 1
+ i ; z2 = - − i
2 2
2 2

9. Bài 9 : Cho hai số phức: z1 = 1 + 2i , z2 = 2 – 3i . Xác định phần thực và phần
ảo của số phức z1 -2z2 .
TN THPT Năm : 2010 ( Cơ bản ) ; Đáp số : Phần thực : -3 ; Phần ảo : 8.
10. Bài 10 : Cho hai số phức: z1 = 2 + 5i , z2 = 3 – 4i . Xác định phần thực và
phần ảo của số phức z1.z2 .
TN THPT Năm : 2010 ( NC) ; Đáp số : Phần thực : 26 ; Phần ảo : 7.

16


Tài liệu phụ đạo và ôn tập HK2 môn Toán 12

SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI: CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC
Bài 11 : Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0.
2
2
Tính giá trị của biểu thức A = z1 + z 2 .
ĐH Khối A – 2009 (CB) .
Đáp số : A = 20.
Bài 12 : Tìm số phức z thỏa mãn z − (2 + i) = 10 và : z.z = 25 .
ĐH Khối B – 2009 (CB) .
Đáp số : z = 3 + 4i và z = 5 .
Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z
thỏa mãn điều kiện : z − (3 + 4i) = 2 .
ĐH Khối D – 2009 .
Đáp số : Đường tròn tâm I(3 ; 4 ), bán kính R =2 .
Bài 14 : Cho số phức z thỏa mãn : (1 + i)2.(2 – i)z = 8 + I + (1 – 2i )z .
Xác định phần thực , phần ảo của Z .
CĐ KHỐI A,B,D – 2009 ( CB). Đáp số : Phần thực – 2 ; Phần ảo 5.
Bài 15 : Giải phương trình :

4 z − 3 − 7i
=z
2iz − i

trên tập số phức.

CĐ KHỐI A,B,D – 2009 ( NC). Đáp số : z1 = 1 +2i ; ; z2 = 3 + i .
Bài 16 : Tìm phần ảo của số phức z, biết : z = ( 2 + i) 2 .(1 − 2i) .
ĐH Khối A – 2010 (CB) .
Đáp số : b = 2 .
(1 − i 3 ) 3
. Tìm môđun của :
1− i
Đáp số : 8 2 .

Bài 17 : Cho số phức z thỏa mãn : z =
ĐH Khối A – 2010 (NC) .

z + iz .

Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z
thỏa mãn điều kiện : z − i = (1 + i ) z .
ĐH Khối B – 2010 (CB) .
Đáp số : Đường tròn : x2 + (y + 1 )2 = 2 .
Bài 19 : Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện : z = 2 , và z2 là số thuần ảo .
ĐH Khối D – 2010 . Đáp số : z1 = 1 +i ; z2 = 1 – i , z3 = - 1 – i , z4 = -1 + i.
Bài 20 : Cho số phức z thỏa mãn : ( 2 – 3i)z + ( 4+i) z = - (1 + 3i)2 ; Xác định
phần thực và phần ảo của z ?
CĐ KHỐI A,B,D – 2010 ( CB). Đáp số : Phần thực : - 2 ; phần ảo : 5 .

Bài 21 : Giải phương trình : z2 – (1 + i)z + 6 + 3i = 0 ; trên tập số phức.
CĐ KHỐI A,B,D – 2010 ( NC). Đáp số : z1 = 1 – 2i ; z2 = 3i .

17