đề thi giáo viên giỏi môn toán thpt

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP THPT NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI LÝ THUYẾT: MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
————————————

I. PHẦN NHẬN THỨC CHUNG (4,0 điểm).

Chủ đề năm học 2009-2010 được xác định là “Năm học đổi mới quản lý và nâng cao
chất lượng giáo dục”.
Đồng chí hãy nêu nhận thức của bản thân về chủ đề năm học.
Qua việc nghiên cứu các văn bản hướng dẫn nhiệm vụ năm học 2009-2010 bậc trung
học và thực tế giảng dạy, đồng chí hãy xác định nhiệm vụ của bản thân trong việc thực hiện tốt
yêu cầu nâng cao chất lượng giáo dục
II. PHẦN CHUYÊN MÔN (16,0 điểm). Đồng chí hãy giải các bài toán sau:

Bài 1. Cho đoạn thẳng AB . Dựng dãy điểm { M n } như sau: M 1 ≡ A, M 2 ≡ B , M n +1 là

trung điểm của đoạn thẳng M n −1M n (n = 2, 3, 4, ...) . Dãy điểm { M n } hội tụ đến điểm nào trên
đoạn thẳng AB .
−x
Bài 2. Giải phương trình: 2 =

1
2 2



( x +1 + x −1 )
1 

1 
 

1 


Bài 3. Chứng minh bất đẳng thức:  1 + ÷1 + ÷... 1 + n ÷ < 3 (n là số nguyên dương).
2
4
2


Bài 4. Cho tam giác ∆ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi a, b, c tương ứng là độ
dài các cạnh đối diện với các đỉnh
A,uurB, C ucủa
tam giác.
uu
r
ur r
a) Chứng minh rằng: a.IA + b.IB + c.IC = 0
b) Tính giá trị của biểu thức:

IA2 IB 2 IC 2
+
+
bc
ca

ab

—Hết—
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh .......................................................................................... SBD ..................


SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————

KỲ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP THPT NĂM HỌC 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
————————————
I. PHẦN NHẬN THỨC CHUNG: 4,0 điểm.

-Đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng GD là yêu cầu cấp bách trong giai đoạn hiện
nay nhằm nâng cao chất lượng đào tạo nguồn nhân lực có chất lượng đáp ứng yêu cầu đẩy
mạnh CNH-HĐH, hội nhập quốc tế; Đây cũng là nhiệm vụ thường xuyên lâu dài. (Nêu một vài
hạn chế của công tác quản lý và chất lượng GD hiện nay). (1,0 đ)
-Với mỗi giáo viên ngoài việc hoàn thành tốt các nhiệm vụ theo chức năng nhiệm vụ,
cần thường xuyên làm tốt một số công việc sau:
+Thường xuyên tu dưỡng đạo đức, học tập nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ;
thực hiện tốt cuộc vận động “Học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh” với giải
pháp cụ thể của Ngành là thực hiện “Mỗi thầy cô giáo là tấm gương đạo đức, tự học và sáng
tạo”. (1,0 đ)
+Thực hiện đổi mới PPDH, theo yêu cầu trong hai năm học bắt đầu từ năm học 20092010 chấm dứt việc dạy học chủ yếu qua lối “đọc – chép”; trong năm học mỗi giáo viên có ít
nhất một đổi mới PPDH. Đẩy mạnh ứng dụng CNTT trong đổi mới PPDH, trong năm học mỗi
giáo viên làm được ít nhất một bài giảng điện tử. (1,0 đ)
+Thực hiện tốt việc đổi mới KTĐG; thực hiện đánh giá theo chuẩn kiến thức kỹ năng;
đánh giá đúng chất lượng thực, khắc phục triệt để tình trạng học sinh ngồi nhầm lớp; thực hiện

công khai chất lượng GD; đổi mới KTĐG thúc đẩy việc đổi mới PPDH và cách học của học
sinh. (1,0 đ)
Trên đây là những ý cơ bản, giáo viên có thể nêu thêm một số công việc khác. Giám
khảo vận dụng cho điểm.
II. PHẦN CHUYÊN MÔN: 16,0 điểm.
Dưới đây chỉ tóm tắt hoặc nêu các ý chính của lời giải của một cách giải đối với mỗi bài toán.
Trong lời giải của các thí sinh phải đầy đủ các bước, chặt chẽ về lập luận, chính xác về kí hiệu như
hướng dẫn học sinh giải bài. Chỉ cho điểm tối đa khi đạt đồng thời các yêu cầu trên, trong các trường
hợp còn lại chỉ cho tối đa 75% số điểm của mỗi phần theo thang điểm của hướng dẫn chấm.
Nếu thí sinh làm theo cách khác cũng phải đạt các yêu cầu trên mới cho điểm tối đa.
Bài 1 (6,0 điểm).
Nội dung
Điểm
Gọi l là độ dài của đoạn AB. Chứng minh được (bằng qui nạp) độ dài đoạn AMn (hoặc
n −1
2 1 
1
−
l
M1Mn) bằng   ÷ ÷
3  2 ÷

3,0
2l
Cho n → +∞ thì M n → C thuộc AB và cách A một đoạn bằng .
3
3,0
Bài 2 (6,0 điểm).
Nội dung
Điểm

3

Qui đồng đưa PT về dạng: 2 2
x trên các đoạn:

−x

= x + 1 + x − 1 (1). Đặt f(x)=VT(1), g(x)=VP(1). Xét

(

)

1,5

+ x ∈ ( −∞; − 1) : f(x) đồng biến và có tập giá trị là 0; 2 ; g(x) nghịch biến và có tập giá trị

( 2; + ∞ ) , rõ ràng g(x) > f(x) nên (1) không có nghiệm.

+ x ∈ [−1; 0] : f(x) đồng biến và có tập giá trị là [ 2 ; 2 2] ; g(x)=2 (hàm hằng), rõ ràng
1
phương trình g(x)= f(x) chỉ có 1 nghiệm duy nhất, dễ thấy x = − là nghiệm.
2

1,5

1,5

2

Tương tự xét cho các khoảng (0; 1) và [1; +∞) ta được x =

1
là nghiệm của PT.
2

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm như trên.
Bài 3 (2,0 điểm).

1,5
Nội dung

Điểm

Ta có với 0 < x < 1 thì (1 + x)(1 − x) = 1 − x 2 < 1 ⇒ 1 + x <

1
, từ đó suy ra:
1− x

0,5

1 
1
 1  1  
(1)
 1 + ÷1 + ÷...  1 + n ÷ <
.
 4  8   2   1 − 1  1 − 1  ...  1 − 1 


÷
÷ 
n ÷
 4  8   2 
Mặt khác với x, y ∈ ( 0; 1) thì (1 − x)(1 − y ) > 1 − x − y (*).

0,5
0,5

1 
1 1
1 1
 1  1  
Khi đó áp dụng BĐT (*) ta có:  1 − ÷ 1 − ÷...  1 − n ÷ > 1 − − − ... − n > (2) .
4 8
2
2
 4  8   2 

Từ (1)&(2) suy ra đpcm.

0,5

Bài 4 (2,0 điểm).
a) 1,0 điểm:
Nội dung

Điểm

Kéo dài AI cắt BC tại D, theo tính chất đường phân giác ta có: BD =

ac
ab
, DC =
b+c
b+c

uur DC uur BD uur
b uur
c uur
IB +
IC =
IB +
IC (1)
Mặt khác ta có: ID =
BC
BC
b+c
b+c
uur
r
r
r
ID uu
BD uu
a uu
.IA = −
.IA (2)
Vì BI là phân giác trong của của tam giác ABD nên: ID = − .IA = −

IA
AB
b+c
r
uu
r
uur
uur r
a uu
b uur
c uur
IA =
IB +
IC hay a.IA + b.IB + c.IC = 0 (đpcm)
Từ (1)&(2) suy ra: −
b+c
b+c
b+c
b) 1,0 điểm:
Nội dung
Theo phần a) ta có:
uu
r
uur
uur 2
uu
r uur
uur uur
uur uu
r

a.IA + b.IB + c.IC = 0 ⇒ a 2 IA2 + b 2 IB 2 + c 2 IC 2 + 2abIA.IB + 2bcIB.IC + 2caIC .IA = 0

(

0,25
0,25
0,25
0,25
Điểm

)

0,25

⇒ a .IA + b .IB + c .IC + ab( IB + IA − c ) + bc ( IB + IC − a ) + ca ( IC + IA − b ) = 0

0,25

⇒ a.IA (a + b + c) + b.IB (a + b + c) + c.IC (a + b + c) = abc(a + b + c)

0,25

2

2

2

2

2

2

⇒

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

IA IB
IC
+
+
=1
bc
ca
ab

0,25

Lưu ý: Thí sinh bắt buộc phải vẽ hình cho phần a). Nếu không vẽ hình thì không cho điểm.
——Hết——

3