Hình học lớp 9 chuyên đề đường tròn

CHUYN Ề 3: ỜNG TRN
BI 1:XC ỊNH MỘT ỜNG TRN.
* ịnh ngha ờng trn, hnh trn:
- ờng trn tm O, bn knh R l hnh gồm cc iểm cch
một khoảng bằng R, k hiệu (O ; R), hoặc (O)

O
R
O

Hình.1

* ịnh ngha hnh trn:
- Hnh trn l hnh gồm cc iểm nằm trn ờng trn v
iểm nằm bn trong ờng trn .

các
R

O

Hình.2

+ Tnh chất của ờng trn:
- Tm ờng trn l tm ối xứng của
trn .
C
- Bất kỳ ờng knh no cng l t
xứng của
B
ờng trn.

A
V dụ: Cho hnh vẽ:
A
Xc ịnh tm ối xứng, t
g của ờng trn.
D
Giải:
Hình.3
- O l tm ối xứng.
- AB, CD l
ủa ờng trn.
C
D
* Cung và dây c
- Giả sử A,
iểm nằm trn ờng trn tm O. Hai
iểm ny chia ờng trn thnh hai phần mỗi phần gọi l một A
O
cung trn (Gọi tắt l cung).
- oạn thẳng nối hai mt của cung l dy cung.
- Trong một ờng trn ờng knh l dy cung lớn nhất.
Hình.4
* Sự xc ịnh ờng trn, ờng trn ngoại tiếp tam gic:
- Một ờng trn ợc xc ịnh khi biết tm v bn knh của
ờng trn  hoặc khi biết một oạn thẳng l ờng knh của ờng
A
B
trn .
O
V dụ 1: Cho hai iểm A v B Vẽ một ờng trn i qua hai iểm

.
C
Giải:
Hình.5
Xc ịnh trung iểm O của oạn thẳng AB => (O; AB )
2

Hình.6
O
A

Trang 1
B


V dụ 2: Cho ba iểm A, B, C khng thẳng hng
Vẽ một ờng trn i qua ba iểm .
Giải:
Vẽ cc ờng trung trực ba cạnh của ∆ABC
O l giao của ba ờng trung trực cch ều ba ỉnh của tam gic => O l tm của
ờng trn i qua i qua ba iểm A, B, C.
- Qua ba iểm khng thẳng hng ta vẽ ợc một ờng trn. Ni cách khác qua
ba ỉnh của một tam gic ABC bao giờ cng dựng ợc một ờng trn xc ịnh. Ta
ni ờng trn  ngoại tiếp tam gic, hay tam gic  nội tiếp ờng trn.

BÀI 2: TNH CHẤT ỐI XỨNG CỦA ỜNG TRN.
a) Tm ối xứng:
A’ ối xứng với A qua O.
Vậy tm O l tm ối xứng của ờng trn.
A'

O

Hình.10

b) Trục ối xứng:
C’ ối xứng với C qua ờng knh thẳn
.
Do  ờng knh AB l một trục 
ng của (O)

A

O

C

I

C'

B

Hình.11

Vậy, bất k
knh no cng l một trục ối xứng của ờng trn; ờng
trn c v số trục ối xứng.
c) ờng knh v dy của ờng trn.
ịnh l 1: Trong cc dy của một ờng trn, dy

E
lớn nhất l ờng knh.
F
AB CD; AB EF
A

B

O
C

D

Hình.12

d) Quan hệ vung gc giữa ờng knh v dây.
ờng knh vung gc với dy th i qua trung iểm của dy

Trang 2


ịnh l 2: Trong một ờng trn, ờng knh vung
gc với một dy th i qua trung iểm của dy ấy.
AB l ờng knh, CD l một dy của (O);
Nếu AB CD tại I thì IC = ID

A

O

C

I

Hình.13

D

B

ịnh l 3: Trong một ờng trn, ờng knh i qua
trung iểm của một dy khng i qua tm th vung
gc với dy ấy.
AB l ờng knh, CD l một dy khc ờng knh
của (O);
Nếu AB CD = I
Và IC = ID thì AB CD

A

O

Hình.14
C

I

D

B

V dụ:
ờng knh AB i qua trung iểm của dy
nhng khng vung gc với CD.
(V dy CD i qua tm O)

A

Hình.15

O
C
B

BÀI 3: DY CUNG V K OẢNG CCH ẾN TM
VỊ TR TNG ỐI
1. Dy cung v khoảng c
+ ịnh l : Tro
ột

ỜNG THẲNG V ỜNG TRN
n
D
K

ịnh l 1: - Hai d y
g nhau th cch ều tm
- Hai dy cch ều tm th bằng nhau.
ịnh l 1: - Dy lớn hn th gần tm hn
- Dy gần tm hn th lớn hn

C
O

A

B
H

Hình.22

+V dụ : Cho AB v CD l 2 dy khc ờng knh của ờng trn ( O ; R ) gọi
OH,OK theo thứ tự l cc khoảng cch từ O ến AB ,CD
- dây AB = CD OH = OK
- dây AB > CD OH < OK
2. Vị tr tng ối của dờng thẳng v ờng trn :
Xt ờng trn (O; R) v ờng thẳng a. OH l khoảng cch từ tm ờng trn
ến ờng thẳng a; (OH = d).
Trang 3


+ ờng thẳng v ờng trn cắt nhau.
Ta có:

O

d
Hình.23

H

A

B

+ ờng thẳng v ờng trn tiếp xc nhau.
Ta có:
d=R

Hình.24

O

a

R

d
H

+ ờng thẳng v ờng trn khng giao nhau.
Ta có:
d>R
R

d

VD1: d = 3cm , R = 5cm ( ờng thẳng
VD2: d = 7cm , R = 7cm ( ờng thẳng

VD3: d = 6cm , R = 5cm ( ờng thẳ

BÀI 4: VỊ TR T

Hình.25

H

ng trn cắt nhau )
ng trn tiếp xc nhau )
ờng trn khng giao nhau )

ỐI CỦA HAI ỜNG TRN

Ba vị tr tng 
n.
* Hai ờng tr
au:
+ Hai ờng trn c 2 iểm chung A v B
+ Hai iểm chung A v B ợc gọi l 2 giao iểm.
+ oạn thẳng nối 2 giao iểm AB gọi l dy chung.
+ OO’ gọi l oạn nối tm.
+ R - R’ < OO' < R + R’
* Hai ờng trn tiếp xc nhau:
+ Hai ờng trn c 1 iểm chung A
+ iểm chung A ợc gọi l giao iểm.
a) Hai ờng trn tiếp xc ngoi:
OO' = R + R’
b) Hai ờng trn tiếp xc trong: OO' = R – R’

a)

O

R

R' O'
A

b)

O

O'

A

Trang 4


a)

* Hai ờng trn khng giao nhau:
+ Hai ờng trn khng c iểm chung.
a) Nếu (O) v (O’) ở ngoi nhau th: OO’ > R + R’

O

R

R' O'

b) Nếu (O) ựng (O’) th: OO’ < R + R’
b)

O R O'
R'

c) (O) v (O’) ồng tm th: OO’ = 0

c)
O O'

* Tiếp tuyến chung của hai ờng trn.
+ d1, d2 l hai tiếp tuyến chung ngoi của 2 ờng trn (O) v (O’)
+ m1 v m2 l 2 tiếp tuyến chung t
ờng trn (O) v (O’)
d1

a)

O

R

m1

O

m2

O'

Trang 5


BÀI 5: GC Ở TM, SỐ O CUNG
LIN HỆ GIỮA CUNG V DY
1. Gc ở tm , số o cung
1.Gc ở tm :
+ ịnh ngha : Gc c ỉnh trng với tm ờng trn ợc gọi
l gc ở tm.
VD: AOB ( hình 32) l gc ở tm
A

m

- Cung AB ợc k hiệu l: AB ,
B

AmB l cung nhỏ, AnB l cung lớn.

O

- Cung nằm trong gc gọi l cung bị chắn
VD: AmB l cung bị chắn bởi AOB

Hình.32

2. Số o cung:

+ ịnh ngha :
Số o của cung nhỏ bằng số o của  ở
hắn cung 
Số o của cung lớn bằng hiệu giữa
số o của cung nhỏ
Số o của nửa ờng trn bằng 180
+ K hiệu : Số o của cung AB 
 hiệu S AB
0
VD: Hnh 39 cung nhỏ AmB c S
0
A

m

0

cung lớn S AnB = 360 100

S A B

B

O

n

Hình.33

3. So sánh hai cung

+ Khi niệm : Hai cung ợc gọi l bằng nhau nếu chng c số o bằng nhau.
Trong hai cung, cung no c số o lớn hn ợc gọi l cung lớn hn.
+ VD: - Hai cung AB v CD bằng nhau ợc k hiệu l AB = CD
- Cung EF nhỏ hn cung GH ợc k hiệu l EF < GH hay GH > EF
4. Lin hệ giữa cung v dy
4. 1. ịnh l 1: Với hai cung nhỏ trong một ờng trn hay trong hai ờng
trn bằng nhau:
a) Hai cung bằng nhau cng hai dy bằng nhau
b) Hai dy bằng nhau cng hai cung bằng nhau
4.2. ịnh l 2 :
Trang 6


Với hai cung nhỏ trong một ờng trn hay trong hai ờng trn bằng nhau:
a) Cung lớn hn cng dy lớn hn
b) Dy lớn hn cng cung lớn hn

BÀI 6: TIẾP TUYẾN CỦA ỜNG TRN
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của ờng trn.
+ ờng thẳng v ờng trn chỉ c một iểm chung
+ Khoảng cch từ tm của một ờng trn ến ờng thẳng bằng bn knh của
ờng trn
+ ịnh l:
Nếu một ờng thẳng i qua một iểm của ờng trn v vung gc với bn knh
i qua iểm  th ờng thẳng ấy l một tiếp tuyến của ờng trn.
V dụ 1:
Hnh 38. ờng thẳng xy i qua iểm C của ờng
tròn (0) v vung gc với bn knh OC

ờng thẳng

O

xy l tiếp tuyến của ờng trn (0)

y

x
C

Hình.38

- Tnh chất của hai tiếp tuyến cắt nha
nh 39)
+ A cch ều hai tiếp iểm B
+ Tia AO l tia phn gic c
bởi hai tiếp tuyến
AB, AC.
+Tia OA l tia p
i hai bn knh OB, OC.

c
A

O

B

Hình 39

V dụ 2: Trn hnh 43 ta c:

BA v CA l hai tiếp tuyến của ờng trn (0).
Theo tnh chất tiếp tuyến ta c :
AB OB, AC
OC . Hai tam gic vung OAB v OAC c OB = OC , OA l cạnh
chung. Do  OAB = OAC (cạnh huyền – cạnh gc vung).
Suy ra AB = AC.
OAB OAC nn AO l tia phn gic của BAC .
AOB AOC nn OA l tia phn gic của BOC .

Trang 7


BÀI 7: GC NỘI TIẾP V MỐI LIN HỆ GIỮA
GC NỘI TIẾP V CUNG BỊ CHẮN
+ ịnh ngha gc nội tiếp :
- Gc nội tiếp l gc c ỉnh nằm trn ờng trn v hai cạnh chứa hai dy cung
của ờng trn .
- Cung nằm bn trong gc ợc gọi l cung bị chắn.
V dụ :
A

A
C
B

O

B

C

O

Hình.42.a
Hình.42.b
A

Hình 42 (a;b) : BAC l gc nội tiếp.
+ Tnh chất của gc nội tiếp :
Trong một ờng trn, số o của gc nội t

O
a số o của cung bị chắn.
C

1
s BAC = s BC
2

V dụ :

B

+ Hệ quả :
Trong một ờng trn :
Hình.43
- Cc gc nội tiếp bằn
cc cung bằng nhau.
- Cc gc nội iế
một cung hoặc chắn cc cung bằng nhau th bằng

nhau.
- Gc nội ti
hn hoặc bằng 90 0) c số o bằng nửa số o của gc ở tm
cng chắn một cung.
- Gc nội tiếp chắn nửa ờng trn l gc vung.
V dụ :
A
D

A

D

H

J

0

B

0

B

I

F
F

C

Hình 44.

C

E

Hình 45.

E

Hình 44 : BAC = EDF => sd BC = sdEF
Hình 45 : BAC = BJC = BIC và EDF = EHF mà BAC = EDF nên
Trang 8


BACA = BJC = BIC = EDF = EHF
D

0

B

0

F
C

Hình 46

Hình 47

Hình 46 : BAF =

E

1
BOF
2

Hình 47 : DCF =900 ( do DE l ờng knh )

BÀI 8: GC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN

Y CUNG

- Gc tạo bởi tia tiếp tuyến v dy cung:
xAB học yAB

- Số o gc tạo bởi tia tiếp tuyến v dy c
1
S xAB = S AnB
2

0

V dụ: Cho AnB c số o 50 =>

500

2

250

BÀI 9: GC C 
Ở BN TRONG ỜNG TRN
GC C ỈN Ở BN NGOI ỜNG TRN
UNG CHỨA GÓC
I. Gc ỉnh c ở bn t ong ờng trn :
1) ặc iểm:
- ỉnh ở bn trong ờng trn
- Hai cạnh l 2 ct tuyến .
2) ịnh l : Số o của một gc c ỉnh ở bn trong ờng
trn bằng nửa tổng số o của hai cung bị chắn
Nối AD ta c DFB l gc ngoi của tam gic ADF
sd AmC sd BnD
Nên : DFB = DAB ADC =

D

A
F

n

m

O

B

C

Hình.64

2

Vậy

DFB =

sd AmC

sd BnD
2

* Ch  :Gc ở tm l trờng hợp ặc biệt của gc ở ỉnh c ở bn trong ờng trn
(chắn 2 cung bằng nhau)
Trang 9


II. Gc c ỉnh ở bn ngoi ờng trn :
1)ặc iểm :
- ỉnh ở bn ngoi ờng trn
- Hai cạnh ều l ct tuyến hoặc 1 cạnh l ct tuyến, 1 cạnh l tiếp tuyến hoặc hai
cạnh l tiếp
2) ịnh l: Số o của một gc c ỉnh ở bn ngoi D
A
ờng trn bằng nửa hiệu số o của hai cung bị chắn
E

O
m
a) Hai cạnh ều l ct tuyến :
n
C
Nối AB Ta c : DAB l gc ngoi của EAB
B

Hình.65

DAB = DEB + ABC

Ta có: DEB = DAB - ABC =

sd DnB sd AmC
2

b) Một cạnh l ct tuyến ,1 cạnh l tiếp tuyến :
Nối AC Ta c : DAC L gc ngoi của EAC
DAC = DEC + ACE
DEC = DAC - ACE =

sd DnC

m

Hình.66
C

A

2

sd AnC

O

E

n

sd AmC

c) Hai cạnh ều l tiếp tuyến :
Nối AC Ta c : CAx l gc ngoi của
AEC = CAx - ACE =

A

D

O

m

E

EA

sd AmC

2

C

Hình.67

III. Bi ton qy tch “cung chứa g
:
* Bài toán: Cho oạn thẳn
c
( 00 <
< 1800). Tm quỹ tch( tập hợp)
cc iểm M thỏa mn AM
cng ni quỹ tch cc iểm M nhn oạn thẳng
AB cho trớc dới 
M
m y
* Kết luận :Vớ
AB v gc (00< <1800) cho
d
trớc th quỷ tc
ểm M thoả mn AMB = là hai cung
chứa gc dựng trn oạn AB
M/
O
* Chú ý : - Hai cung chứa gc ni trn l 2 cung trn ối xứng
với nhau qua AB
- A,B ợc coi l quỷ tch .
A
B

- =900: Quỹ tch l cả ờng trn ờng knh AB.
x
b, Cách giải bi ton qy tch
Muốn chứng minh quỹ tch(tập hợp) cc iểm M thỏa mn tnh
chất T l một hnh H no , ta phải chứng minh hai phần:
+ Phần thuận: Mọi iểm c tnh chất T ều thuộc hnh H
Hình.68
+ Phần ảo: Mọi iểm thuộc hnh H ều c tnh chất T
+ Kết luận: Quỹ tch(tập hợp) cc iểm M c tnh chất T l hnh H

Trang 10