Xác định số hạng tổng quát của dãy số huỳnh thanh luân

Huỳnh Thanh Luân

www.VNMATH.com
Xác định số hạng tổng quát của dãy số

1. Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.
1.1 Bài tập cụ thể.
u0 = 1
1;
CSC
un = un 1 2, n 1.

u0 = 3
2;
CSN
un = 2un 1 , n 1
u0 = 2
3 1
3;
1 = +
2 2
un = 3un 1 1, n 1
u0 = 2
4;
3n = [3n + 6] + 2 3 ( n 1) + 6
un = 2un 1 + 3n, n 1
khác hệ số nên ta vẫn giữ nguyên bậc: 3n = g ( n ) 2 g ( n 1) , g ( n ) = an + b.
u0 = 2
2
2n + 1 = n 2 + 2n ( n 1) + 2 ( n 1)
5;

un = un 1 + 2n + 1, n 1
cùng hệ số nên phải nâng bậc: 2n + 1 = g ( n ) g ( n 1) , g ( n ) = an 2 + bn.
u0 = 1
6;
2n = 2.2 n + 3.2.2n 1
n
un = 3un 1 + 2 , n 1
2n = a 2 n 3a 2 n 1
u0 = 1
7;
n
un = 2un 1 + 2 , n 1
2n = n 2n + ( n 1) 2n 1
u0 = 1; u1 = 2
8;
un 5un 1 + 6un 2 = 0, n 2
u = 1; u1 = 3
9; 0
un 4un 1 + 4un 2 = 0, n 2
u0 = 1; u1 = 3
10;
2n 2 + 2n + 1 = g ( n ) 5 g ( n 1) + 6 g ( n 2 ) , g ( n ) = an 2 + bn 1 + c
2
un 5un 1 + 6un 2 = 2n + 2n + 1, n 2
u0 = 1; u1 = 4
11;
un 3un 1 + 2un 2 = 2n + 1, n 2
u0 = 1; u1 = 4

12;
un 2un 1 + un 2 = 2n + 1, n 2
u0 = 1; u1 = 3
13;
n
un 5un 1 + 6un 2 = 2.5 , n 2
u0 = 1; u1 = 3
14;
n
un 5un 1 + 6un 2 = 2.3 , n 2
u0 = 1; u1 = 4
15;
n
un 4un 1 + 4un 2 = 2 , n 2
Trang 1


www.VNMATH.com
Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Huỳnh Thanh Luân

1.2 Xác lập phơng pháp (Phơng pháp sai phân).
x1 , x2 ,..., x k
1.2.1 Loại thuần nhất:
(1)
a0 xn+k + a1 xn+k1 + ... + ak xn = 0, n 1

Đầu tiên giải phơng trình đặc trng:

a0 k + a1 k1 + ... + ak = 0,(*)
Các trờng hợp xảy ra là:
(i) Nếu (*) có k nghiệm thực phân biệt 1 , 2 ,..., k thì nghiệm của (1) là
xn = c11n + c22n + ...ckkn , n = 1,2,...
( với c1 , c2 ,..., ck là các hằng số ).
(ii) Nếu (*) đợc viết lại nh sau
s

h

a0 k + a1 k 1 + ... + ak = a0 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )...( q ) = 0 ,
với các 1 , 2 , 3 ,..., q là khác nhau đôi một. Tức là (*) có 1 là nghiệm bội s, và 2 là nghiệm bội h, và
3 ,..., q là các nghiệm đơn, và s + h + (q 2) = k , thì (1) có nghiệm là

xn = c33n + ... + cqqn + (c11 + c12 n + ... + c1s n s1 )1n +
+ (c21 + c22 n + ... + c2 h n h1 )2n , n = 1, 2,...
( với c11 , c12 ,..., c1s , c21 , c22 ,..., c2 h , c3 ,..., cq là hằng số)
(iii) Nếu (*) có k-2 nghiệm phân biệt 1 , 2 ,..., k2 và

k = a + bi = r (cos + i sin ) (với r = k = a 2 + b 2 , = Argk )
là nghiệm phức thì số phức liên hợp k = a bi = r (cos i sin ) cũng là nghiệm của (*) . Khi đó (1) có
nghiệm là
xn = c11n + c22n + ...ck2kn2 + r n ( A cos n + B sin n) , n = 1,2,...
( với c1 , c2 ,..., ck2 , A, B là các hằng số ).
(4i) Nếu (*) có s nghiệm thực phân biệt 1 , 2 ,..., s và

q = a + bi = r (cos + i sin ) (với r = q = a 2 + b 2 , = Argq )
là nghiệm phức bội h, thì số phức liên hợp
q = a bi = r (cos i sin )
cũng là nghiệm phức bội h của (*) . Khi đó (1) có nghiệm tổng quát là

xn = c11n + c22n + ...cssn +
+r n ( A1 + A2 n + ... + Ah n h1 ) cos n + ( B1 + B2 n + ... + Bh n h1 ) sin n , n = 1, 2,...


( với c1 , c2 ,..., ck1 , A1 , A2 ,..., Ah , B1 , B2 ,..., Bh là các hằng số ).

Tức là cần phải biết cách ghi nghiệm đơn thực, nghiệm bội thực, nghiệm đơn phức, nghiệm bội phức trong
công thức nghiệm của (1).
VD: Giải lại các bài tập trong phần trớc.
x1 , x2 ,..., x k
1.2.2 Loại không thuần nhất:
(2)
a0 xn+k + a1 x n+k1 + ... + ak xn = fn , n 1
B1: Tìm nghiệm của loại thuần nhất tơng ứng. Gs:

xn = c11n + c22n + ...ckkn , n = 1,2,...

B2: Ta thay xn* = c1 (n)1n + c2 (n)2n + ...ck (n)kn , n = 1,2,... vào (2) để xđ các hàm ci ( n ) .

Trang 2


www.VNMATH.com
Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Huỳnh Thanh Luân
B3: Nghiệm của (2) là: xn = xn + xn*

theoo hớng: Làm nháp bằng phơng

Để không sử dụng kiến thức ngoài chơng trình thì ta nên làm the
pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui nạp.
VD:
Tìm { xn }n =1 sao cho x1 = 0, xn +1 = xn + sin nx, n = 1, 2,...
Nháp: Giải phơng trình đặc trng 1 = 0 tìm đợc = 1 .
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho có dạng xn = xn + xn* . Trong đó xn = c n = c, n = 1, 2,... ( c là hằng số
+

sẽ tìm sau), và xn* đợc tìm nh sau:
Ta xem c là một hàm theo n và tìm xn* = cn . Thay xn* = cn vào xn +1 = xn + sin nx, n = 1, 2,... , ta đợc

cn +1 = cn + sin nx, n = 1, 2,...
cn +1 cn = sin nx, n = 1, 2,...
Suy ra

c2 c1 = sin x ,
c3 c2 = sin 2 x ,
...........
cn cn 1 = sin(n 1) x
Cộng lại ta đợc

cn c1 = sin x + sin 2 x + ... + sin(n 1) x

Vậy x = cn = [ c1 + sin x + sin 2 x + ... + sin(n 1) x ] , n = 1, 2,...
*
n

Vì x = cn thõa xn +1 = xn + sin nx, n = 1, 2,... nên c1 = x1 = 0 . Vậy
*
n

Nếu sin

xn* = [sin x + sin 2 x + ... + sin(n 1) x ] , n = 1, 2,...

x
x
= 0 thì xn* = 0 xn = 0, n = 1, 2,... . Còn nếu sin 0 thì với mọi n = 1, 2,... , ta có
2
2
1 x
x
x

sin sin x + sin sin 2 x + ... + sin sin(n 1) x =
xn* =

x
2
2

sin 2
2
x
3x
3x
5x
(n 2) x
(n 1) x

cos
cos cos + cos cos + cos

2
2
2
2
2
2

=
x
2sin
2
nx
(n 2) x
sin sin
1
x
(n 1) x
4
4
=
cos cos
.

=
x
x
2

2

2sin
sin
2
2

Vậy

xn = c +

sin

nx
(n 2) x
sin
4
4
, n = 1, 2,...
x
sin
2

x
x
x
sin sin
sin
4
4 =c

4 c = 1 tan x . Bởi vậy
Vì x1 = 0 nên 0 = c +
x
x
2
4
sin
2 cos
2
4

Trang 3


Huỳnh Thanh Luân

www.VNMATH.com
Xác định số hạng tổng quát của dãy số

nx
(n 2) x
sin
4
4
, n = 1, 2,...
x
sin
2
Lời giải: Ta sẽ chứng minh với mọi n = 1, 2,... thì
nx

(n 2) x
sin sin
1
x
4
4
xn = tan +
x
2
4
sin
2
bằng phơng pháp quy nạp.
Theo giả thiết ta có
x
x
x
x
sin sin
sin sin
1
x
4
4 = 1 tan x
4
4
x1 = 0 = tan
x
x
x

2
4 2 sin cos
2
4
sin
4
4
2
vậy (1) đúng khi n=1.
Giả sử (1) đúng khi n=k, tức là
kx
(k 2) x
sin sin
1
x
4
4
xk = tan +
x
2
4
sin
2
khi đó
kx
(k 2) x
sin sin
1
x
4

4
xk +1 = xk + sin kx = tan +
+ sin kx =
x
2
4
sin
2
kx
(k 2) x
x
sin sin
+ sin sin kx
1
x
4
4
2
= tan +
=
x
2
4
sin
2
(k + 1) x
(k 1) x
sin
sin
1

x
4
4
= tan +
x
2
4
sin
2
Bài toán đợc giải xong.
Giải lại các bài phần trớc.
1.3 Ta sẽ giải một số dãy đặc biệt gọi là dãy số tuần hoàn.
+
Định nghĩa. Dãy số { xn }n =1 đợc gọi là dãy số tuần hoàn nếu tồn tại số k N sao cho
1
x
xn = tan +
2
4

sin

xn + k = xn , n = 1,2,... .

(1)

Số k bé nhất thỏa mãn (1) đợc gọi là chu kỳ của dãy số tuần hoàn { xn }n =1 .
Sử dụng phơng trình sai phân ta sẽ xác định đợc các dãy số tuần hoàn.
Bài toán 1. (dãy số tuần hoàn chu kỳ 2)
x = , x2 =

+
Tìm dãy số { x n } biết 1
n =1
xn + 2 = xn , n = 1,2,...
Lời giải
+

Trang 4

(1)


www.VNMATH.com
Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Huỳnh Thanh Luân

Phơng trình đặc trng của dãy số đã cho là 2 = 1 {1,1} . Do đó xn = A.1n + B(1)n , n = 1,2,... .
Bởi vậy từ giả thiết x1 = , x2 = , ta có


+
A=

A B =

2 .


A + B =

B =

2
Do đó

xn =

+
+
(1)n , n = 1,2,...
2
2

Bài toán 2. (dãy số tuần hoàn chu kỳ 3)
Tìm dãy số { x n }

+

n =1

biết xn+ 3 = xn , n = 1,2,... và x1 , x2 , x3 cho trớc.

Lời giải
Phơng trình đặc trng = 1 của dãy số đã cho có các nghiệm là
1 i 3 1 + i 3
2
2
2
2
1,

,
( hay 1, cos i sin
, cos
+ i sin
)
2
2
3
3
3
3
3

Do đó
n2
n2
+ C sin
, n = 1,2,... ,
3
3
trong đó các hằng số A, B, C sẽ đợc xác định khi biết x1 , x2 , x3 .
Ta cũng có thể trình bày nh sau:
Phơng trình đặc trng 3 = 1 của dãy số đã cho có các nghiệm là
h 2
h 2
+ i sin
cos
, với h = 0,1, 2
3
3

Hay viết cụ thể là
2
2
4
4
1, cos
+ i sin
, cos
+ i sin
3
3
3
3
Do đó

2n
2n
4n
4n
xn = c1 + A1 cos
+ B1 sin
+
A
+
B
cos
sin

, n = 1, 2,...

2
2

3
3
3
3
2n
4n
2n
4n
Mà cos
= cos
,sin
= sin
nên ta viết lại nh sau:
3
3
3
3
n2
n2
xn = A + B cos
+ C sin
, n = 1,2,... ,
3
3
trong đó các hằng số A, B, C sẽ đợc xác định khi biết x1 , x2 , x3 .
Bài toán 3. (dãy số tuần hoàn chu kỳ k bất kỳ)
xn = A + B cos

Tìm dãy số { x n }

+

n =1

biết xn+ k = xn , n = 1,2,... và x1 , x2 ,..., xk cho trớc.

Lời giải
Phơng trình đặc trng = 1 của dãy số đã cho có các nghiệm là
h 2
h 2
+ i sin
cos
, với h = 0,1, 2,..., k 1
k
k
Hay viết cụ thể là
2
2
4
4
2(k 1)
2(k 1)
1, cos
+ i sin
, cos
+ i sin
,...,cos

+ i sin
k
k
k
k
k
k
Do đó
k

Trang 5


www.VNMATH.com
Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Huỳnh Thanh Luân


2
2
4
4
xn = c + A1 cos
+ B1 sin + A2 cos
+ B2 sin +

k
k
k

k

2(k 1)
2(k 1)
+ ... + Ak1 cos
+ Bk1 sin
, k = 1,2,...


k
k

Mà
cos

2
2(k 1)
4
2(k 2)
= cos
= cos
, cos
,...
k
k
k
k

sin

2
2(k 1)
4
2(k 2)
= sin
= sin
,sin
,...
k
k
k
k

và

nên ta có thể viết lại nh sau
k1

h2
h2
xn = h cos
+ sin
, n = 1,2,... ,

k
k
h =0

trong đó các hằng số 0 , 1 ,..., k1 sẽ đợc xác định khi biết x1 , x2 ,..., xk .

2. Dãy phân tuyến tính với hệ số hằng số.
2.1. Định nghĩa. Cho a, b, c, d sao cho ad bc 0 và c 0 . Xét dãy số ( xn ) nh sau: x1 R và với mọi
n = 1, 2,... thì xn +1 =

axn + b
, nếu nó tồn tại. Khi đó dãy số ( xn )n+=1 gọi là dãy phân tuyến tính.
cxn + d

Chú ý rằng nếu cho ( xn )n =1 là dãy phân tuyến tính thì ta hiểu rằng với mọi n=1,2, luôn tồn tại xn .
2.2. Nhận xét
x1 = p

a) Xét dãy phân tuyến tính { xn } xác định bởi
, trong đó a, b, c, d, và p là các hằng
axn + b
xn +1 = cx + d , n 1
n

số cho trớc.
y
a n +b
y
ax + b
y
zn
y
ay + bzn
n +1 =
n +1 = n
Giả sử xn = n . Khi đó: xn +1 = n

zn
cxn + d
zn +1 c yn + d
zn +1 cyn + dzn
zn
+

Nh vậy, nếu ta xác định đợc hai dãy

( yn ) , ( z n )

y1 = p, z1 = 1

: yn +1 = ayn + bzn , n 1 thì coi nh đã xác định
z = cy + dz , n 1
n +1
n
n

đợc số hạng tổng quát của dãy phân tuyến tính.
y1 = p, z1 = 1

b)Ta xét ( yn ) , ( zn ) : yn +1 = ayn + bzn , n 1 .
z = cy + dz , n 1
n +1
n
n
Cách 1:
yn + 2 = ayn +1 + bzn +1 = ayn +1 + b ( cyn + dzn )
= ayn +1 + bcyn + bdzn

= ayn +1 + bcyn + d ( yn +1 ayn ) = ( a + d ) yn +1 + ( bc ad ) yn

yn + 2 = ( a + d ) yn +1 + ( bc ad ) yn
Tìm đợc yn zn

Trang 6


www.VNMATH.com
Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Huỳnh Thanh Luân

Cách 2:
yn +1 = ayn + bzn
yn +1 = ayn + bzn
*)

yn +1 zn +1 = ( a c ) yn + ( b d ) zn
zn +1 = cyn + dzn
zn +1 = cyn + dzn
b d
b d

yn +1 zn +1 = ( a c ) yn
zn chọn =
c a
c a

yn +1 = ayn + bzn
yn +1 = ayn + bzn
*)

yn +1 + zn +1 = ( a + c ) yn + ( b + d ) zn
zn +1 = cyn + dzn
zn +1 = cyn + dzn

b + d
b + d
yn +1 + zn +1 = ( a + c ) yn +
zn chọn =
a + c
a + c

c) Theo trên, ta có thể xét sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy số ( xn ) , với xn =

yn
, y1 và z1 cho trớc và
zn

yn +1 = ayn + bzn , zn +1 = cyn + dzn

2.3. Bài tập
u0 = 2; v0 = 1

1; un = 2un 1 + vn 1 , n 1
v = u + 2v , n 1
n
n 1

n 1
u0 = 1

2;
2un 1
un = 3u + 4 , n 1

n 1

u0 = 2

3;
9un 1 24
un = 5u + 13 , n 1
n 1

Tuy nhiên ta có một cách khác để tìm số hạng tổng quát của dãy phân tuyến tính đơn giản nh sau:
u0 = 1

1;
2un 1
un = 3u + 4 , n 1
n 1

*)

1 3un 1 + 4
1
3
1

=
= 2.
+
un
2un 1
un 1 2
un

u0 = 2

2;
9un 1 24
un = 5u + 13 , n 1
n 1

*)Đặt un = xn + t xn + t =

9 xn 1 9t 24
( 9 5t ) xn 1 5t 2 22t 24
xn =
5 xn 1 + 5t + 13
5 xn 1 + 5t + 13

*)Chọn t : 5t 2 22t 24 = 0 t = 2
xn 1
1
1

= 3.
+5

5 xn 1 + 3
xn
xn 1
Sau đây ta xét thêm một số tính chất của dãy này.
*) xn =

2.4. Tính chất.

Trang 7


www.VNMATH.com
Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Huỳnh Thanh Luân

Định lí 1. Cho a, b, c, d R sao cho ad bc 0, c 0 . Cho x1 và với mọi n = 1, 2,... , đặt

axn + b
= xn +1 ,
cxn + d

nếu nó tồn tại. Xét hàm số f(x) nh sau:

a) Chứng minh f là song ánh.
b) Cho dãy số ( tn )

d
a
f : \ \

c
c
ax + b
x
cx + d

d

t1 =
đợc định nghĩa bởi:
c
t = f 1 (t ), n = 1, 2,...
n +1
n

(Dãy này có thể không xác định kể từ một thứ tự nào đó.) Chứng minh rằng ( xn )+
n =1 là dãy phân tuyến tính khi và
chỉ khi x1 tn , n = 1, 2,...

Chứng minh.
d
a
Với mọi x, y , x , y ta có
c
c
ax + b
b dy
y=
cyx + dy = ax + b x =
cx + d

cy a
Vậy f là song ánh.
b)

{ xn }n=1 là dãy phân tuyến tính khi và chỉ khi
+

x1 t1

x2 R, x2 t1

x3 R, x3 t1

Điều này quy về x1 tn với mọi n mà tn xác định.

Cho (xn) là dãy phân tuyến tính nh sau xn +1 =

axn + b
, n = 1, 2,... Khi đó ta có các định lí sau:
cxn + d

Định lí 2. Nếu dãy { xn } hội tụ đến L thì cL2 + (d a ) L b = 0
Chứng minh
axn + b
Từ xn +1 =
, n = 1, 2,... cho n + ta đợc
cxn + d
aL + b
L=
cL2 + (d a ) L b = 0

cL + d
Định lí 3. Khi = (d a ) 2 + 4bc <0 thì dãy phân kì (không hội tụ)
Định lí 4. Giả sử
= (d a ) 2 + 4bc >0. Gọi , là hai nghiệm của phơng trình (ẩn là x)
cx 2 + (d a ) x b = 0 . Khi đó:
a) x1 = xn = , n = 1, 2,...
x
c + d
, n N * , =
. Khi đó:
b) Giả thiết x1 , đặt X n = n
xn
c + d
X n +1 = X n , n = 1, 2,...
c) Nếu =

c + d
< 1 thì lim xn = .
n
c + d
Trang 8


www.VNMATH.com
Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Huỳnh Thanh Luân

c + d
> 1 thì lim xn =

n
c + d
Nếu = 1 và x1 = thì lim xn =

Nếu =

n

Nếu = 1 và x1 thì dãy { xn } phân kỳ với các giá trị x1 và xn xen kẽ.
Trờng hợp = 1 không thể xảy ra.
Chứng minh
aL + b
nên
Vì , là nghiệm của phơng trình L =
cL + d
a + b
a + b
=
, =
c + d
c + d
a) Ta chỉ cần chứng minh nếu x1 = thì xn = , n = 1, 2,... vì chiều ngợc lại là hiển nhiên. Ta dùng
phơng pháp quy nạp. Giả sử x1 = . Khi đó

ax1 + b a + b
=
= .
cx1 + d c + d
ax + b a + b
Giả sử xn = . Khi đó xn +1 = n

=
= . Vậy theo nguyên lý quy nạp suy ra nếu x1 = thì
cxn + d c + d
xn = , n = 1, 2,...
b)Ta có
x axn + b a + b axn + b a + b
X n +1 = n +1
=


:
,
xn +1 cxn + d c + d cxn + d c + d
c + d xn
X n +1 =
= X n , n = 1, 2,...
.
c + d xn
x2 =

c) Theo kết quả câu (b) suy ra X n = n 1 X 1 , n = 1, 2,...
Nếu < 1 thì lim n 1 = 0 . Do đó lim X n = lim n 1 X 1 = 0 . Từ X n =
n

n

xn =

Xn
X n 1

n

lim xn = lim
n

n

Xn
X n 1

xn
ta có
xn

=.

Nếu > 1 thì lim n 1 = . Do đó lim X n = lim n 1 X 1 = . Do đó
n

n

n



lim

n

Xn 0
Xn
1
= 0 lim xn = lim
= lim
=
= .
n
n X 1
x
1
Xn
1

0
n
1
Xn

x1
. Do đó nếu x1 = thì X 1 = 0 . Theo kết quả câu (b) suy ra X n = 0, n = 1, 2,... Suy ra
x1
lim X n = 0 . Tơng tự nh trên suy ra lim xn = .
Ta có X 1 =

n

n

Nếu = 1 và x1 thì X 1 0 và X n +1 = (1) n X 1 , n = 1, 2,... . Ta sẽ chứng minh dãy số
yn = (1) n , với mọi n=1, 2,, không hội tụ (phân kỳ).
Ta có lim y2 n 1 = lim(1) = 1 1 = lim y2 n . Vậy dãy
n

n

n

X n +1 = yn X 1 , n = 1, 2,... nên dãy { X n } cũng không hội tụ.

Trang 9

( yn )

phân kỳ. Dãy

( yn )

( yn )

với

không hội tụ mà


www.VNMATH.com
Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Huỳnh Thanh Luân
Từ X n =

{X n}

xn
v
suy ra dãy { xn } không hội tụ ( vì nếu lim xn = v thì lim X n =
, nghĩa là dãy
n
n
xn
v

hội tụ, đến đây ta gặp mâu thuẫn).

c + d
= 1.
c + d
c + d = c + d c = c = . Mà điều này không thể xảy ra đợc do = (d b)2 + 4bc >0.
ad
Định lí 5. Giả thiết = (d a ) 2 + 4bc = 0 và đặt g =
. Khi đó
2c
a) x1 = g khi và chỉ khi xn = g , n = 1, 2,...
1
2c
. Khi đó
b) Giả thiết x1 g , đặt X n =
, n = 1, 2,... , đặt à =

xn g
a+d
X n +1 = X n + à , n = 1, 2,...
Trờng

hợp

=1

không

thể

xảy

ra

bởi

vì

nếu

=1

thì

Suy

ra

c) lim xn = g .
n

Chứng minh
a) Vì =0 nên phơng trình cL2 + (d a ) L b = 0 ( tức là phơng trình L =
g=

aL + b
) có nghiệm kép là
cL + d

ad
. Tiếp theo ta làm tơng tự nh đã làm ở định lý (4a)
2c
b) Với mọi n = 1, 2, ... , ta có
ax + b a d
2c(cxn + d )
1
X n +1 =
= 1: n

=
2c c(a + d ) xn + 2bc ad + d 2
xn +1 g
cxn + d

(d a) 2
. Do đó
2

(d a) 2
1
2
2bc ad + d =
ad + d 2 = ( d 2 + 2ad a 2 2ad + 2d 2 ) =
2
2
1
1
1
= (d 2 a 2 ) = (a d )(a + d ) = .2 gc(a + d ) = c(a + d ) g
2
2
2

Vì = (d a ) 2 + 4bc =0, nên 2bc =

Từ đó
X n +1 =

=

2c(cxn + d )
2(cxn + d )
=
c(a + d ) xn c(a + d ) g (a + d )( xn g )

2c( xn g ) + 2cg + 2d
2c( xn g )
2(cg + d )

+
=
(a + d )( xn g )
(a + d )( xn g ) (a + d )( xn g )
2c
(a + d )
2c
1
=
+
=
+
= à + Xn
a + d (a + d )( xn g ) a + d xn g

( 2(cg + d ) = a + d Vì 2 ( cg + d ) = 2cg + 2d = a d + 2d = a + d )
c) Nếu x1 = g thì theo định lý (5a) suy ra xn = g , n = 1, 2,... do đó lim xn = g . Nếu x1 g thì theo định
n

lý (5b) ta có

X n +1 = X n + à , n = 1, 2,...

suy ra { X n } là cấp số cộng có công sai là à và số hạng đầu là X 1 . Do đó
X n = X 1 + (n 1) à , n = 1, 2,...

Trang 10