Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề 18

TRƯỜNG THCS TÂN ƯỚC

ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có: 01 trang

Câu 1 ( 4 điểm )
1. Giải phương trình:
a, 2x2+ 11x +12 =0
b, 6x4 - 5x3 - 38x2 - 5x + 6 = 0
Câu 2 (2điểm )
. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca)
Câu 3 (5điểm )
1. Tìm các hằng số a, b để đa thức A (x) chia hết cho đa thức B (x) :
A (x) = 2x3 +7x2 + ax + b ; B (x)= x2 + x – 1 với mọi x є Q.
2. Tìm số dư trong phép chia của biểu thức ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) + 2008 cho đa
thức x 2 + 10 x + 21 .
Câu 4 ( 2 điểm )
Cho x, y thỏa mãn : x2 + y2 = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = x6 + y6
Câu 5 ( 7 điểm )
Cho tam giác ABC cân tại A . và M là trung điểm của BC . Lấy các điểm D và E
theo thứ tự thuộc các cạnh AB , AC sao cho = . Chứng minh rằng:
a, ∆ BDM đồng dạng với ∆ CME
b, BD . CE không đổi.
c, DM là phân giác của
----------- Hết -------------

TRƯỜNG THCS TÂN ƯỚC

Híng dÉn chÊm thi olympic
N¨m häc 2013 - 2014
M«n thi : To¸n Líp 8


Câu

Nội dung
1 a, 2x2+ 11x +12 = ( 2x + 3 ) (x + 4) =0

Điểm
1,0đ
1,0đ.

3
S = {−4; − 
2

b,
6x4 - 5x3 - 38x2 - 5x + 6 = 0 (1)
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1)
Chia hai vế của (1) cho x2 ≠ 0 ta được :
1  
1
6

6 x 2 + 2  − 5 x +  − 38 = 0
2 = 0 <=>

x
x  
x

1
1
Đặt x + = y thì x 2 + 2 = y2 -2 ta được :
x
x

6x2 -5x -38 - +

Câu 1
(4đ)

6(y2 -2) -5y - 38 = 0
 6y2 -5y -50 = 0
 (3y -10) ( 2y +5) = 0
 y∈{ ;- }

0,5đ

0,5đ

1
x

+ Với y = thì x + =  3x2 -10x + 3 = 0
 ( 3x-1) ( x-3) = 0 

x1 = 3
x2 =

1
3

0,5đ

1
x

+ Với y = - thì x + =  2x2 +5x + 2 = 0
 ( 2x+1) ( x+2) = 0 

x1 = -2
x2 = -

Vậy S =

3;

1
2

1
1
; -2 ;3
2

Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên :

Câu 2
a < b +c =>a . a < a ( b+c ) => a2 < ab + ca
(2đ)
Tương tự ta có : b2 < ab + bc ; c2 < ca + bc.
Do đó a2 + b2 + c2 < ab + ca +ab + bc+ ca +bc
=> a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca )
1. Thực hiện phép chia A (x) cho B (x) ta được số dư là
(a - 3) x + b + 5.
Để đa thức A(x)  B(x) khi ( a - 3) x + b + 5 là đa thức 0
=> a - 3 = 0 => a = 3
và b + 5 = 0 => b = -5
Vậy để đa thức A(x) chia hết cho đa thức B(x) thì a=3 ; b = -5

0,5đ

1,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.


2 . Ta có : ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) + 2008
= (x + 2) ( x + 8) (x + 4) ( x + 6) + 2008
Câu 3
= ( x2 + 10x + 16)( x2 + 10x + 24) + 2008 (1)
(5đ)
Đặt ( x2 + 10x + 16)= t . Thay vào biểu thức (1) ta có :
t (t+ 8) + 2008

= t2 +8t +2008
= t2 +3t +5t +15 + 1993
= ( t +3 ) (t + 5) + 1993
= ( x2 + 10x + 19)( x2 + 10x + 21) + 1993
Vì ( x2 + 10x + 19)( x2 + 10x + 21) ( x2 + 10x + 21)
Nên ( x2 + 10x + 19)( x2 + 10x + 21) + 1993 chia x2 + 10x + 21
dư 1993 .
Vậy
số
dư
trong
phép
chia
của
biểu
thức
2
( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) + 2008 cho đa thức x + 10 x + 21 là 1993 .
Ta có A = x6 + y6 = ( x 2 ) + ( y 2 ) = (x2 + y2)(x4 + y4 - x2y2)
= x4 + y4 - x2y2 (Vì x2 + y2 = 1)
= (x2 + y2)2 - 3 x2y2 = 1 - 3x2y2
Câu 4 Vì x2y2 ≥ 0 với mọi x, y nên 3x2y2 ≥ 0 ⇒ 1-3x2y2 ≤ 1 với mọi x, y
2điểm Hay A ≤ 1
3

0,5đ.

1,0đ.
0,5đ.
0,5đ

3

0,75 đ
0,25đ

 x2 = 0
⇒ max A = 1 ⇔ x2y2 = 0 ⇔  2
(1)
y = 0
 x = 0; y = ±1
Mà x2 + y2 = 1 nên (1) ⇔ 
 y = 0; x = ±1

0,25đ

Vậy max Q = 1 ⇔ x = 0 ; y = ±1 hoặc x = ±1 ; y = 0

0,25đ

Câu 5
(7đ)

0,5đ

A

Vẽ hình đúng :

D

B
C

a) Xét ∆ BDM có :
+ + = 1800
+ + = 1800
mà = (GT)
 =

E

0,5đ
M

C


Xét ∆ BDM và ∆ CME có :
Bˆ = Cˆ và =
=> ∆ BDM ∽∆ CME ( g.g)

2,5 đ
b) Từ ∆ BDM ∽∆ CME ( cmt) :
=>

2đ

BD BM DM
=

=
CM
CE
ME

 BD . CE = CM . BM =

1
1
BC2 ( CM = MB = BC)
4
2

Vây BD . CE không đổi.
c) c/m : ∆BDM ∽ ∆MDE ( c.g.c)
=>
= ( 2 góc tương ứng )
=> DM là phân giác của

2đ

- Mọi cách giải khác nếu đúng đều cho điểm tối đa.
Xác nhận của tổ KHXH

Tân Ước, ngày 22 tháng 03 năm 2014
Người thực hiện

Vũ Thị Liêm
Xác nhận của Ban giám hiệu