Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề 19

PGD & ĐÀO TẠO
Trường THCS Bình Minh

ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8
Năm học 2013-2014
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút
(Không kể thời gian giao đề)

Câu1( 6 điểm):
1.Giải phương trình:
a. (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12
b.

x+1 x+ 2 x+ 3 x+ 4 x+ 5 x+ 6
+
+
=
+
+
2008 2007 2006 2005 2004 2003

2. Giải bất phương trình:
x
x+2
+
>2
x−2
x

Câu2( 5 điểm)

1.Tìm các hằng số a,b để: ax 3 + bx 2 + 5x − 50 chia hết cho x 2 + 3x − 10
2.Cho a, b, c ≠ 0. Tính giá trị của D = x2011 + y2011 + z2011
Biết x,y,z thoả mãn:

x2 + y 2 + z 2
x2 y 2 z 2
=
+ +
a 2 + b2 + c2
a2 b2 c 2

Câu 3(2 điểm) : Cho a,b,c,d > 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=

a−d d −b b−c c−a
+
+
+
d +b b+c c+a a+d

Câu 4( 7 điểm):
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm, O là giao
điểm của các đường trung trực của ∆ABC , M là trung điểm của BC, N là trung điểm của
AC
HA' HB' HC'
+
+
a. Tính tổng
AA' BB' CC'

b. Chứng minh ∆AHB đồng dạng với ∆MON và AH = 2.OM
c. Gọi G là trọng tâm của ∆ABC . Chứng minh 3 điểm H, G, O thẳng hàng.


Đáp án Đề thi toán 8
Câu 1
(6
điểm)

1/ (4 điểm) : Giải phương trình
a/ (2 điểm) ( (x 2 + x) 2 + 4(x 2 + x) = 12
Đặt x 2 + x = t . Phương trình trở thành t 2 + 4t − 12 = 0

⇔ (t − 2)(t + 6) = 0
t = 2
⇒
 t = −6
Với t=2 ta có pt: x 2 + x − 2 = 0 giải ra x1 = 1; x 2 = −2
Với x=-6 ta có pt : x 2 + x + 6 = 0 phương trình vô nghiệm

Kết luận nghiệm của PT
b/ (2 điểm)

x+1 x+ 2 x+ 3 x+ 4 x+ 5 x+ 6
+
+
=
+
+
2008 2007 2006 2005 2004 2003

x +1
x+2
x +3
x+4
x +5
x +6
+ 1+
+ 1+
+1 =
+ 1+
+ 1+
+1
2008
2007
2006
2005
2004
2003
1
1
1
1
1
1
⇔ (x + 2009)(
+
+
−
−

−
)=0
2008 2007 2006 2005 2004 2003
1
1
1
1
1
1
+
+
−
−
−
≠ 0)
⇔ x + 2009 = 0 ( do
2008 2007 2006 2005 2004 2003
⇔ x = 2009 và kết luận nghiệm
x
x+2
+
>2
2/ Giải bất phương trình (2 điểm):
x−2
x
2x 2 − 4
x2 − 2
⇔
>2 ⇔
>1

x(x − 2)
x(x − 2)
⇔

x −2
2(x − 1)
−1 > 0 ⇔
>0
x(x − 2)
x(x − 2)
0 < x < 1
⇔ (x − 2)(x − 1)x > 0 ⇔ 
và Kết luận
x > 2
⇔

0.5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ

2

Câu 2
1/ (2,5điểm) Xét ax 3 + bx 2 + 5x − 50 = (x + 5)(x − 2).Q(x) .
( 5điểm
−125a + 25b = 75
−5a + b = 3
⇔
Lần lượt cho x =-5; x = 2 ta được 
)
8a + 4b = 40
2a + b = 10

a = 1
⇔
và kết luận
b = 8
x2 + y2 + z 2
x2 y2 z 2
2/ (2,5 điểm) Do x,y,z thoả mãn: 2 2 2 = 2 + 2 + 2
a +b +c
a
b
c
2
2
2
2
2
2
x
x

y
y
z
z
⇔ 2− 2
+ 2− 2
+ 2− 2
=0
2
2
2
2
a
a +b +c
b a + b + c c a + b2 + c2
1
1
1
1
1
1
⇔ x2 ( 2 − 2
) + y2 ( 2 − 2
) + z2 ( 2 − 2
)=0
2
2
2
2
a

a +b +c
b a +b +c
c a + b2 + c2
1
1
1
1
1
1
Do a,b,c ≠ 0 ⇒ 2 − 2 2 2 > 0 ; 2 − 2 2 2 > 0 ; 2 − 2 2 2 > 0
a
a +b +c
b a +b +c
c a +b +c
⇒x =y=z=0

0,75đ
0,75đ
1,0đ
1,0đ
0,5đ

0,75đ
0,5đ
0,75đ
0,5đ


⇒D=0
a −d d −b b −c c −a

a −d
d−b
b−c
c−a
⇒ A+4=
+1+
+1+
+1+
+1
+
+
+
d+b
b+c
c+a
a +d
d +b b+c c+a a+d
a +b d+c b+a c+d
1
1
1
1
+
+
+
+
) + (c + d)(
+
)
A+4 =

= (a + b)(
d+b b+c c+a a +d
d+b c+a
b+c a+d
1 1
4
Chứng minh bài toán: x;y>0 Ta có x + y ≥ (x + y) 2
Áp dụng bài toán trên ta có A+4 ≥ 4 ⇒ A ≥ 0
d + b = c + a
⇒a=b=c=d
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
b + c = a + d
GTNN của A=0 ⇔ a = b = c = d

Câu3
(2điểm)

A=

0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ

Câu4
(7điểm)
A

B'

N

C'

H

B

G

A'

O

M

C

Vẽ hình đúng
1
.HA'.BC
S HBC 2
HA'
=
=
a)
;
S ABC 1
AA'
.AA'.BC

2
Tương tự:
⇒

S HAB HC' S HAC HB'
=
=
;
S ABC CC' S ABC BB'

HA HB HC S∆HBC + S∆HAC + S∆HAB S∆ABC
+
+
=
=
=1
AA ' BB' CC'
S∆ABC
S∆ABC
'

'

1.0đ

0,75đ

'

b) c/m MN là đường trung bình của ∆ ABC nên MN//AB

OM//AH( cùng ⊥ BC); ON//BH ( cùng ⊥ AC) ⇒ các góc có cạnh tương
ứng song song cùng nhọn bằng nhau ⇒ ∆ AHB dồng dạng ∆ MON
AB AH
=
= 2 ( do MN là đương trung bình(cmt) ) ⇒ AH=2MO
MN MO
c) c/m ∆ HAG đồng dạng ∆ OMG (cgc)
ˆ = MGO
ˆ
⇒ AGH
ˆ + HGM
ˆ = 1800 ( kề bù) ⇒ HGM
ˆ + MGO
ˆ = 1800 ⇒ H,G,O thẳng hàng
Mà AGH
⇒

0,5đ

0,75đ
1,0đ
1,0đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ