Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề(1)

UBND HUYỆN KIM SƠN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI-13
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Môn : Toán – Lớp 8
Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 1,5 điểm) Thực hiện phép tính:
a) 216 – ( 2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)
b) ( 2x3 – 26x – 24) : ( 2x – 8)
 x

y

1

1  x − y

c)  − ÷: ( x + y ) − 2  − ÷ :
 y x  y
 y x 
Bài 2: ( 2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (xy + 1)2 – 2(x + y)2
b) 3x2 + 11x + 6
c) x2 + 2xy + y2 – 3x – 3y – 10
Bài 3: (2 điểm) a) Xác định các hệ số a và b sao cho đa thức 2x 3 + ax + b chia cho x + 1
dư -6, chia cho x – 2 dư 21
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

4 x2 − 2x + 1
x2

Bài 4 :(1 điểm) Cho 3a2 + b2 = 4ab. Tính giá trị của biểu thức P =

a −b
a+b

Bài 5: ( 2,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, H và I lần lượt là hình chiếu của B và D trên
AC, gọi M, O, K lần lượt là trung điểm của AH, HI và CD.
a) Chứng minh: B và D đối xứng qua O
b) Chứng minh: BM ⊥ MK
Bài 6: ( 1 điểm) Cho hình bình hành ABCD. M là một điểm bất kì trên cạnh CD. AM cắt
BD ở O. Chứng minh rằng: SABO = SDMO + SBMC
---------------Hết---------------


UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Bài 1
( 1,5 đ)
(Mỗi y
0,5 đ)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8

ĐÁP ÁN
a) 216 – ( 2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)
=216 – (2 – 1)( 2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)
=216 – ( 22 - 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)
=216 – (24 - 1)(24 + 1)(28 + 1)
=216 – (28 - 1)(28 + 1)
=216 – (216 - 1)

=1
b) ( 2x3 – 26x – 24) : ( 2x – 8)
Đặt phép chia:
Vậy: ( 2x3 – 26x – 24) : ( 2x – 8) = x2 + 4x + 3

ĐIỂM
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,25 đ
0,25 đ

 x y 
 1 1  x − y
c)  − ÷: ( x + y ) − 2  − ÷ :
 y x  y
 y x 
 x2 − y2 1
2( x − y )  y
=
.
−
.
x+ y
xy  x − y
 xy
 x − y 2( x − y )  y
=
−

.
xy  x − y
 xy
=

Bài 2:
( 2 đ)

0.125đ

−1
x

0,25đ

a) (xy + 1)2 – 2(x + y)2
=( xy + 1)2 -  2. ( x + y ) 

0,25 đ

2

=[ xy + 1 + 2 .(x + y)].[xy + 1 b) 3x2 + 11x + 6
= (3x2 + 9x )+ (2x + 6)
= 3x( x + 3) + 2(x + 3)
= (x+ 3)(3x + 2)

Bài 3:
(2 đ)

0,125đ

2 .(x + y)]

c) x2 + 2xy + y2 – 3x – 3y – 10
= (x2 + 2xy + y2 ) – (3x + 3y) – 10
=( x + y)2 – 3(x + y) – 10
=[ ( x + y)2 + 2(x + y)] – [5(x + y) + 10]
=(x + y) (x + y + 2) – 5(x + y + 2)
=(x + y + 2)(x + y – 5)
a) Đa thức 2x3 + ax + b chia cho x + 1 dư -6 => - a + b = -4 (1)
Đa thức 2x3 + ax + b chia cho x - 2 dư 21 => 2a + b = 5 (2)
Từ (1) và (2), suy ra a = 3; b= -1

0,25 đ
0,25đ
0.25đ
0,25đ

0,125 đ
0,125 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ


b) Ta có: A =

1
4 x2 − 2x + 1
2 1
= 4 − + 2 = 4 − 2 y + y 2 ( với y = )
2
x
x
x x

2

Bài 4 :
(1 đ)

Bài 5:
( 2,5 đ)

2

A= (y – 2y + 1) +3 = (y – 1) + 3 ≥ 3 với mọi giá trị của y
Vậy : GTNN của A bằng 3 khi y – 1 = 0 ⇔ y = 1 ⇔ x = 1
Điều kiện : a ≠ -b
Từ g/t : 3a2 + b2 = 4ab ⇔ 4a2 – 4ab + b2 – a2 = 0
⇔ ( 2a – b)2 – a2 = 0
⇔ ( 3a – b)(a – b) = 0
⇔ a = b/3 hoặc a = b ( tm)
+) Nếu a = b/ 3 thì P = -1/2
+) Nếu a = b thì P = 0
Vẽ hình đúng cho câu a)

0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,125đ
0,125đ
0,125đ
0,125đ
0,25đ
0,125đ
0,125đ
0,25đ

D

A
M
H
N

K

O
I
C

B

a)-Chứng minh tứ giác BHDI là hình bình hành
-có O là trung điểm của HI (gt) => O là trung điểm của BC
=> B và D đối xứng qua O

b) Qua M, kẻ đường thẳng song song với AB cắt BH tại N
=> MN ⊥ BC, và N là trung điểm của BH
=> MN là đường trung bình của tam giác AHB
=> MN // AB và MN = ½ AB
* Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành => CN//KM (1)
* Tam giác BMC có N là trực tâm => CN ⊥ BM (2)
Từ (1) và (2) suy ra BM ⊥ MK
Bài 6:
( 1 đ)

D

M

0.75 đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ

C

O

A

B

-Chứng minh: SADB = SAMB => SADO = SBOM (1)
-Chứng minh: SADB = SBCD

=>SDAO + SAOB = SDOM + SBOM + SBMC(2)
Từ (1) và (2) Suy ra S ABO = SDOM +SBCM

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ