Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề (6)

UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI-11

MÔN: TOÁN 8

Thời gian: 90phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1(1.5 điểm): Thực hiện phép tính
a) 98.28 – ( 184 - 1)(184 + 1)
b) (2x - 1)2 + 2(2x - 1)(x + 1) + (x + 1)2



c)  2 x + 1 −

1  
4x 
÷:  2 −
÷
1− 2x  
2x −1 

Câu 2(1.5 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x3 – 9x
b) 4x2 – 3x – 1
c) ab( a - b) + bc( b- c) + ca( c- a)
Câu 3. ( 1.5 điểm):
a) Chứng minh rằng: Nếu a ∈ N, a > 1 thì A = (a2 + a +1)(a2 + a + 2) – 12 là hợp số
b) Cho 10a2 = 10b2 – c2. Chứng minh rằng: (7a – 3b – 2c)(7a – 3b + 2c) = ( 3a – 7b)2
Câu 4(1.5 điểm): Cho A =

a 2 + 4a + 4
a 3 + 2a − 4a − 8

a) Rút gọn A
b) Tìm số nguyên a để A là số nguyên
Câu 5(3.25 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trong
nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C, vẽ hình vuông AHKE. Gọi P là giao điểm của AC
và KE
a) Chứng minh ∆ABP vuông cân
b) Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và AQ.
Chứng minh H, I, E thẳng hàng
c) Tứ giác HEKQ là hình gì? Chứng minh
Câu 6(0.75 điểm): Tính diện tích hình thang ABCD ( AB // CD), biết AB = 42cm,
µA = 450 ; B
µ = 600 và chiều cao của hình thang bằng 18m
--------------- HẾT ---------------


HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8

UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu

Đáp án
8

Điểm

8

a/ = 18 – (18 – 1)
= 188 – 188 + 1 = 1

1

2

3

b/ = ( 2 x − 1) + ( x + 1) 
= (3x)2 = 9x2

0.25
0.25
0.25
0.25

2

1  
4x  4x2 −1 + 1 4x − 2 − 4x

2
x
+
1

+
:
2
−
:
c/ = 
÷
÷=
2x −1  
2x −1 
2x −1
2x −1

2
4x
−2
:
= −2 x 2
=
2x −1 2x −1

a/ = x(x2 - 9)
= x(x + 3)(x -3)
b/ = 4x2 + 4x – x – 1 = (4x2 + 4x) – (x + 1)
= 4x(x + 1) – (x + 1) = (x + 1)(4x - 1)
c/ = ab( a - b) + b2c – bc2 + ac2 – a2c
= ab( a-b) + ( b2c – a2c) + (ac2 – bc2)
= ab( a - b) + c( b2- a2) + c2(a - b)
2
= ( a - b) ( ab − ac ) − ( bc − c )  = ( a − b )  a ( b − c ) − c ( b − c ) 

= (a - b)( b - c)( a - c)
a/Đặt a2+ a + 1 = x (1)
A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12= x2 – 3x + 4x – 12
= (x2 – 3x) + (4x – 12) = x(x - 3) + 4(x - 3)
= (x - 3)(x + 4)
Thay (1) vào biểu thức A, ta có
A = (a2 + a - 2)(a2 + a + 5)
= (a2 + 2a – a - 2)(a2 + a + 5)
= (a - )( a + 2)(a2 + a + 5)
Ta thấy AMa − 1; AMa + 2; AMa 2 + a + 5
Vậy A là hợp số
b/ VT = (7a – 3b)2 – 4c2 = 49a2- 42ab + 9b2 – 4c2
mà 10a2 = 10b2 + c2 nên c2 = 10a2 – 10b2
nên VT = 49a2 – 42ab + 9b2 – 4(10a2 – 10b2)
= 49a2 – 42ab + 9b2 – 40a2 + 40b2
= 9ª2 – 42ab + 49b2 = (3a – 7b)2 = VP

( a + 2)

4

a/ A =

(a

3

0.25
0.25
0.25

0.25
0.25

0.25
0.25

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

2

) (

0.25

)

− 2a 2 + 4a 2 − 8a + ( 4a − 8 )

( a + 2)
( a + 2)
=
=
2
( a − 2 ) ( a + 4a + 4 ) ( a − 2 ) ( a + 2 ) 2
2

b/ Để A ∈ Z ⇒

0.25

2

=

1
∈ Z nên a – 2 là ước của
a−2

Với a – 2 = 1 thì a = 3

1
a−2

0.5
0.25


5

Với a – 2 = - 1 thì a = 1.
Vậy a ∈ { −1;1} thì A là số nguyên
a/ CM được ∆BHA = ∆PEA (g.c.g)
A
E
·

⇒ AB = AP mà BAP
= 900 (gt)
Vậy ∆BPA vuông cân
P
I
B
b/Ta có : HA = HK
C
H
K
⇒ H nằm trên đường trung trực của AK
Ta có : AE = KE
Q
⇒ E nằm trên đường trung trực của KA
∆PBK vuông có IB = IP (t/c đ/c hbh ABQP)
⇒ IK = IP = IB (*)
Ta có ABQP là hbh(gt), có BA= AP ( ∆BPA vuông cân tại A)
·
⇒ APQB là hình thoi, mà BAP
= 900 (gt)
⇒ APQB là hình vuông nên PI = IA(**).
Từ (*) và(**) suy ra IK = IA nên I nằm trên đường trung trực
của AK
Vậy H, I, E thẳng hàng.
c/ Ta có APQB là hình vuông (cmt) nên AP = BQ
PB
AQ
⇒ IK =
mà IK =
2

2
∆AKQ có AI = IQ(t/c đ/c hv)
AQ
Mà IK =
(cmt) ⇒ ∆AKQ vuông ở K
2
⇒ AK ⊥ KQ mà AK ⊥ HE (EAHK là hv) ⇒ QK // HE

6

0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25

0.5
0.25
0.25
0.25
0.5

Vậy HEKQ là hình thang
Qua A và B kẻ AA’ và BB’ vuông góc với CD.
Tứ giác ABB’A’là hcn và A’A = BB’ = 18m
·A ' AB = 900 , DAB
·
= 450 ⇒ ·A ' AD = 450

Do đó V A’AD vuông cân
⇒ A’D = A’A = 18m

· ' BA = 900 , CBA
·
· ' BC = 300
B
= 600 ⇒ B

A'

A

D

C

B'

B

vì thế trong tam giác vuông B’BC
ta có B’C =

BC
. Theo định lí Pi ta go, ta có:
2

B’C2 = BC2 – B’B2
⇒ B’C2 = 4B’C2 – B’B2

⇒ 3B’C2 = B’B2
⇒ B’C =

B ' B 18
=
(cm)
3
3

Suy ra :
18
18
= 24 −
(cm)
3
3
1
1
18 
2
Vậy SABCD = ( AB + CD ) . A ' A =  42 + 24 −
÷18 ≈ 498, 6 (cm )
2
2
3

CD = A’B’ – A’D – B’C = 42 – 18 -

--------------- HẾT ---------------

0.25
0.25

0.25