Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề 6

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS ……………….

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN CẤP HUYỆN

Năm học 2013-2014
Môn: Toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1 : (6 điểm)
1) Giải bất phương trình : x 3 + 5 x 2 + 3x − 9 > 0
2) Giải phương trình x − 1 + x − 2 = 1
Câu 2 : (5 điểm)
1) Tìm đa thức dư khi chia x6 cho x 2 − x − 1
2) Cho đa thức P(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d
Biết P(1) = 10 , P(2) = 20 , P(3) = 30. Tính P(12) + P(-8)
Câu 3 : (3 điểm)
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1
Chứng minh :

ab
bc
ca
1
+
+
≤
c +1 a +1 b +1 4

Câu 4 : (6 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD

sao cho CE = À. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M, N.
a) Chứng minh : CM . DN = a 2
b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng MKˆ N = 900.
c) Các điểm E và F có vị trí thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất.
- HẾT -


HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI OLYMPIC TOÁN 8
Câu 1 :
x 3 + 5x 2 + 3x − 9 > 0

1)

↔ ( x − 1)( x + 3) 2 > 0 ↔ x − 1 > 0( x ≠ −3)
↔ x >1

p.tích thành nhân tử (1,5 đ) ;
k.luận (1,5 điểm)
x < 1 pt ↔ 1 − x + 2 − x = 1 ↔ x = 1 (không thỏa mãn)
2)
11 ≤ x ≤ 2 pt ↔ x − 1 + 2 − x = 1 ↔ 0 x = 0(đúng∀x1 ≤ x ≤ 2)
x > 2 pt ↔ x − 1 + x − 2 = 1 ↔ x = 2 (không thỏa mãn)
Vậy nghiệm của pt : 1 ≤ x ≤ 2

(1 đ)
(1 đ)
(1 đ)

Câu 2 :
1) x 6 = ( x 2 − x − 1)( x 4 + x 3 + 2 x 2 + 3x + 5) + 8 x + 5

Đa thức dư là 8x+5
2) Xét đa thức : Q(x) = P(x) - 10x
Có Q(1) = 0 ; Q(2) = 0 ; Q(3) = 0 => x = 1 , x = 2 , x = 3
Là 3 nghiệm của đa thức Q(x) → Q(x)  ( x − 1)( x − 2)( x − 3)
→ Q(x) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − a )
(a∈ Q)
→ P(12) + P(-8) 11.10.9(12 − a + 8 + a) + 40 = 19840
Câu 3 :

(3 đ)

(1 đ)
(1 đ)

1
11 1
≤  + ( x, y > 0)
x+ y 4 x y
ab
ab
ab  1
1 
=
≤
+


c + 1 (c + a ) + ( c + b ) 4  c + a c + b 
bc
bc  1

1 
ca
ca  1
1 
≤ 
+
≤ 
+
và

T2 :
a +1 4  a + b a + c  b +1 4  b + a b + c 
ab
bc
ca
1  ab + bc ab + ca bc + ca 
→
+
+
≤ 
+
+

c +1 a +1 b +1 4  c + a
b+c
a+b 
1
= (a + b + c) = 1
4
Dấu = xẩy ra ↔ a = b = c

Áp dụng :

Câu 4 :

(1,5 đ)
(0,5 đ)

(1 đ)

K
a

A

B

F

E
M

N

D

C


CM CE AF

BA
=
=
=
BA BF FD DN
→ CM .DN = AB = a 2
CM
AB
CM
AD
=
→
=
→ ∆CMB∞∆DAN (c.g .c)
b)
AB DN
CB DN
→ CMˆ B = DAˆ N → CMˆ B + DNˆ A = 90 0 → MKˆ N = 90 0
c) MN nhỏ nhất ↔ CM + DN nhỏ nhất mà CM . DN = a2
không đổi → tổng nhỏ nhất ↔ CM = DN
→ CM = DN = a → MN nhỏ nhất = 3a
↔ E và F là trung điểm của BC, AD

a) AB // MN →

---- hết ----

(2 đ)
(2 đ)

(2 đ)