Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề (2)

UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI -10

MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1( 2,0 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) ( x2 + y2)2 - 4x2y2
b) (x-2)(x-1)(x+1)(x+2) - 10
c) x2- 4x -5
Bài 2( 1,5 điểm): Thực hiện phép tính
y

x

2y

a) x 2 + xy − y 2 − xy − x − y x + y
(
)(
)
1  
1
1
 1

+
− 2
÷:  2
÷

 x + 3 x − 3   x + 6x + 9 x − 6x + 9 

b) 

Bài 3(1,5 điểm):
1



1

1

4
a) Chứng minh: n + = ( n − 1) n +   n ( n + 1) + 
4 
2 
2

 4 1  4 1   4 1 
 1 + ÷ 3 + ÷...  13 + ÷
4 
4 
4

b) Áp câu a thu gọn phân thức:
 4 1  4 1  4 1   4 1 
 2 + ÷ 4 + ÷ 6 + ÷... 14 + ÷
4 
4 

4 
4


Bài 4( 3,5 điểm): Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O.
Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở
M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
b, Chứng minh rằng

1
1
2
+
=
.
AB CD MN

c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính
SABCD.
Bài 5(1,5 điểm): Cho 2x2+2y2 = 5xy và 0< x < y. Tính giá trị của E =
--------------------- Hết -----------------------

x+ y
.
x− y


HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8

UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu

Đáp án

a) a/= ( x + y − 2 xy ) ( x + y + 2 xy ) = ( x − y )
2

(x

1

2

2

2

2

2

( x + y)

2

− 4 ) ( x 2 − 1) − 10 = x 4 − x 2 − 4 x 2 + 4 − 10

0,75

4
2
2
2
2
b/ = x − 5 x − 6 = x ( x − 6 ) + ( x − 6 )

(

= ( x 2 − 6 ) ( x 2 + 1) = x + 6

) ( x − 6 ) ( x + 1)
2

c/ = x2- 5x +x -5 = x(x - 5) +( x - 5) = (x - 5)(x + 1)
2

a/

y
x
2y
+
−
x( x + y) y ( x − y) ( x + y) ( x − y)

=

y 2 ( x − y ) + x 2 ( x + y ) − 2 xy 2 x 3 − y 3 + x 2 y − xy 2
=
xy ( x + y ) ( x − y )
xy ( x + y ) ( x − y )
2

=

b/

=

0,75
0,75

=

( x − y) ( x + y)
=
xy ( x + y ) ( x − y )

3

Điểm
0,5

x+ y
xy

2x
−12 x
:
( x − 3 ) ( x + 3 ) ( x − 3) 2 ( x + 3) 2

0,75

( x − 3) ( x + 3) = ( x − 3) ( x + 3) = 9 − x 2
2x
=
.
−12 x
−6
6
( x − 3) ( x + 3)
2

2

2
1 
1

1
 2 1
2
2
a/ = n + + n − n =  n + ÷ − n 2 = ( n − 1) n +   n ( n + 1) + 
2 
2


4
2

 4 1  4 1   4 1 
1
0.1 +
 1 + ÷ 3 + ÷...  13 + ÷
4 
4 
4

2 = 1
=
b/
 4 1  4 1  4 1   4 1  14.15 + 1 421
 2 + ÷ 4 + ÷ 6 + ÷... 14 + ÷
2
4 
4 
4 
4

4

4
M

O

N

C

D

a/ Lập luận để có

0,75

0,5

B

A

0,75

OM OD
=
,
AB BD

ON OC
=
AB AC

0,5

Lập luận để có
⇒

0,25

OD OC
=
DB AC

0,25

OM ON
⇒ OM = ON
=
AB
AB

b/ Xét ∆ABD để có

OM DM
=
AB
AD

(1), xét ∆ADC để có

0,5

OM AM
=

(2)
DC
AD

1
1
AM + DM AD
+
=
=1
)=
AB CD
AD
AD
1
1
) =1
Chứng minh tương tự ON. ( +
AB CD

Từ (1) và (2) ⇒ OM.(

từ đó có (OM + ON). (

1
1
1
1
2
+

)=2 ⇒
+
=
AB CD
AB CD MN

0,25

S AOB OB S BOC OB
S
S
=
=
⇒ AOB = BOC ⇒
,
S AOD OD S DOC OD
S AOD S DOC
S AOB .S DOC = S BOC .S AOD

0,25

Chứng minh được S AOD = S BOC

0,25

⇒ S AOB .S DOC = ( S AOD ) 2

0,25

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009

Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 +
2009)2 = 40172 (đơn vị DT)

0,25

2 x 2 + 2 y 2 = 5 xy

1,5

c/

5

0,25

⇔ 2 x 2 + 2 y 2 − 5 xy = 0
⇔ ( x − 2 y ) ( 2x − y ) = 0
⇔  xy==22 yx( loai )
VayE =

x + 2x
= −3
x − 2x

--------------- HẾT ---------------