Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề (3)

UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI-8

MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,5 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 4 + 2011x 2 + 2010 x + 2011
b) Tìm các số nguyên x; y sao cho: 3 x 3 + xy = 3 .
c) Tìm các hằng số a và b sao cho x 3 + ax + b chia cho x + 1 dư 7;
chia cho x − 2 dư 4.
Câu 2: (1,5 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức:
2
2
2
A= x + y + 5 + 2 x − 4 y − − ( x + y − 1) + 2 xy với x = 2 2011 ; y = 16 503
b) Tìm x để B có giá trị nhỏ nhất:
B=

x 2 − 2 x + 2011
với x>0
x2

Câu 3: (2 điểm)
Chứng minh rằng:
a)

20113 + 113
2011 + 11

=
3
3
2011 + 2000
2011 + 2000

b) Nếu m; n là các số tự nhiên thỏa mãn : 4m 2 + m = 5n 2 + n thì :
m-n và 5m + 5n + 1 đều là số chính phương.
Câu 4: (4 điểm)
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD
(AB//CD).

Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh OM=ON.
b) Chứng minh

1
1
2
+
=
.
AB CD MN

c) Biết S AOB = a 2 ; S COD = b 2 . Tính S ABCD ?
d) Nếu Dˆ < Cˆ < 90 0 . Chứng minh BD > AC.

-----------HẾT-------------

UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8

Đáp án

Điểm
0,5
0,25
0,25

a/ x 4 + 2011x 2 + 2010 x + 2011 = x 4 + x 3 + x 2 + 2010( x 2 + x + 1) − ( x 3 − 1)
= ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 2011)
b/ 3x 3 + xy = 3 ⇔ x( 3x 2 + y ) = 3 . Do x; y là các số nguyên nên ta có:
x = 1

x = 3
x = 1
x = 3
⇔
⇔
(thỏa mãn) hoặc  2
(thỏa mãn)
y = 0
3 x + y = 1  y = −26

3 x + y = 3
 x = −1
 x = −3
 x = −3
 x = −1
⇔
⇔
TH2:  2
(thỏa mãn) hoặc  2
(thỏa mãn)
 y = −6
3 x + y = −3
 3x + y = − 1  y = − 28

TH1: 
1

2

0,25
0,5

c/ Vì x 3 + ax + b chia cho x + 1 dư 7 nên ta có: x 3 + ax + b = ( x + 1).Q( x) + 7

0,25

do đó với x = −1 thì -1-a+b=7, tức là a-b = -8 (1).
Vì x 3 + ax + b chia cho x − 2 dư 4 nên ta có: x 3 + ax + b = ( x − 2 ).P( x) + 4

0,25

do đó với x = 2 thì 8+2a+b=4, tức là 2a+b=-4 (2).
Từ (1) và (2) suy ra a=-4;b=4.
a/ Ta có: x 2 + y 2 + 5 + 2 x − 4 y = ( x + 1) 2 + ( y − 2 ) 2 ≥ 0 với mọi x; y nên ta có:

0,25
0,25

A= x 2 + y 2 + 5 + 2 x − 4 y − ( x + y − 1) 2 + 2 xy =

0,25

x 2 + y 2 + 5 + 2 x − 4 y − x 2 − y 2 − 1 − 2 xy + 2 x + 2 y + 2 xy = 4 x − 2 y + 4 = 2(2 x − y ) + 4

Thay x = 2 2011 ; y = 16 503 = ( 2 4 )
2

3

503

(

)

2011
− 2 2012 + 4 = 4
= 2 2012 vào A ta có: A= 2. 2.2

0,25

x 2 − 2 x + 2011 2011x 2 − 2.x.2011 + 20112
=
x2
2011x 2
2
2
2010 x 2 + ( x − 2011)
2010 ( ( x − 2011)
2010
=
.
=
+
≥
2
2
2011
2011
2011x
2011x
Dấu “=” xảy ra khi x = 2011 .
2010
Vậy GTNN của B là
đạt được khi x = 2011 .
2011

b/ B=

a/ Đặt a=2011; b=11; c=2000. Khi đó ta có a=b+c.

Xét vế phải đẳng thức ta có:

0,25
0,25

(
(

20113 + 113
a 3 + b 3 ( a + b ) a 2 − ab + b 2
=
=
20113 + 2000 3 a 3 + c 3 ( a + c ) a 2 − ac + c 2

Thay a=b+c vào a 2 − ab + b 2 = ( b + c ) 2 − ( b + c ) b + b 2 = b 2 + bc + c 2

a 2 − ac + c 2 = ( b + c ) − ( b + c ) c + c 2 = b 2 + bc + c 2
2

2
2
2
2
Nên a − ab + b = a − ac + c .

Vậy:

(
)
(

)
)+m−n = m

20113 + 113
a 3 + b 3 ( a + b ) a 2 − ab + b 2
a+b
2011 + 11
=
=
=
=
3
3
3
3
2
2
a + c 2011 + 2000
( a + c ) a − ac + c
2011 + 2000
a +c

b/Ta có 4m 2 + m = 5n 2 + n ⇔ 5( m 2 − n 2

2

0,25

)
)

0,25
0,25
0,25
0,25

⇔ ( m − n )( 5m + 5n + 1) = m 2 (*) 0,5


Gọi d là ƯCLN(m-n;5m+5n+1) ⇒ (5m+5n+1)+5m-5n d ⇒ 10m+1 d

0,25

Mặt khác từ (*) ta có: m  d2 ⇒ m d. Mà 10m+1 d nên 1 d ⇒ d=1
Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau,

0,25

2

thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương.
B hình vẽ
A

A

0,25

B

N

M
O

4

D

a/ Ta có

C

D

OA OB
=
Do MN//DC
AC BD

H

E

K

OM ON
⇒ OM=ON.
=
DC DC

OM AM
OM DM
=
=
b/ Do MN//AB và CD ⇒
và
. Do đó:
CD
AD
AB
AD
⇒

OM OM AM + MD
+
=
=1
DC AB
AD
(1)
ON ON
+
= 1 (2)
Tương tự:
DC AB
MN MN
+
=2
Từ (1);(2) ⇒
DC AB

1
1
2
⇒
+
=
DC AB MN

C

0,5
0,5
0,25

0,25
0,25
0,25

c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng tỉ số giữa 2 0,25
cạnh đáy tương ứng. Do vậy :
Nhưng

S AOB OB
S AOD OA
=
=
và
S AOD OD
S COD OC

S
S
OB OA
⇒ AOB = AOD ⇒ S 2 AOD = S AOB .S COD = a 2 .b 2 nên S AOD = ab .
=
S AOD S COD
OD OC

0,5

2
Tương tự S BOC = ab .Vậy S ABCD = ( a + b )

0,25

d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD tại H và K

0,25

Do Dˆ < Cˆ < 90 0 nên H, K nằm trong đoạn CD
Ta có AEˆ D = BCˆ D = Cˆ > Dˆ ⇒ AD > AE .
Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE


Vậy AD>BC ⇒ DH>KC ⇒ DK > CH.

0,25

Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có :

0,25

2
2
DB 2 = BK 2 + DK 2 > AH 2 + CH 2 = AC 2 (Do AH = BK ) ⇒ BD > AC

HS làm các cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa