Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề (4)

UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - 6

MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu1 (3,0 điểm):
1) Cho biểu thức: A =

x2 + x − 2
x 2 + 5x + 6

a- Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn A.
b- Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
2) Giải phương trình:

x − 3 = x +1

Câu 2 (2,0 điểm):
a) Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14
Tính giá trị của biểu thức B = a4 + b4 + c4
b) Tìm số nguyên dương n để n5+1 chia hết cho n3+1
Câui3 (1,0 điểm)
Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng biểu thức:
P= ( a+ 1)( a+2)( a+3)( a+4)+1 là bình phương của 1 số nguyên.
Câu 4 (1,0 điểm):
Cho tam giác ABC có diện tích S, trung tuyến AM. Gọi N là trung điểm
của AM, BN cắt cạnh AC tại E, CN cắt cạnh AB tại F. Tính diện tích tứ giác
AFNE theo S.

Câu 5 (3,0 điểm):
Cho hình bình hành ABCD. Qua A kẻ một đường thẳng tuỳ ý cắt BD, BC,
CD lần lượt tại E, K, G. Chứng minh:
a) AE 2 = EK .EG
b)

1
1
1
=
+
AE AK AG

c) Khi đường thẳng đi qua A thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi.
............................... HẾT.................................


UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8

Yêu cầu nội dung

Ý

Điểm

a- ĐKXĐ:
1a

Câu1
3,0đ

1b

x 2 + 5 x + 6 ≠ 0 ⇔ ( x + 2 )( x + 3) ≠ 0 ⇒ x ≠ −2; x ≠ −3
A=

x + x − 2 ( x − 1)( x + 2 ) x − 1
=
=
x 2 + 5 x + 6 ( x + 2 )( x + 3) x + 3

A=

x −1
4
= 1−
x+3
x+3

0,25 đ

2

Để A nguyên thì

0,75 đ
0,25 đ

4
nguyên hay x+3∈ Ư(4)
x+3

Suy ra:
x+3 -4 -2
-1 1
2
x
-7 -5
-4 -2
-1
Vì ĐKXĐ: x ≠ -2
Vậy x nhận các giá trị: -7;-5;-4;-1;1

4
1

0,25 đ

0,25 đ
0,25đ

2
* Xét khoảng x ≥ 0 phương trình đã cho trở thành:
x − 3 = x + 1 (1)

Với x ≥ 3 pt (1) trở thành: x-3=x+1, vô nghiệm

0,25đ

Với 0 ≤ x < 3 pt (1) có nghiệm x=1 thuộc khoảng
đang xét

0,25đ

* Xét khoảng x< 0 pt đã cho trở thành:
x + 3 = x + 1 (2)
Với − 3 ≤ x < 0 pt (2) có dạng: x+3= x+1, vô
nghiệm

0,25đ

Với x < −3 pt (2) có nghiệm x=-2 (không thuộc
khoảng đang xét)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = { 1 }

0,25 đ


Câu2
2đ

a

Ta có: 14 2 = ( a 2 + b 2 + c 2 )

2

⇔ 196 = a 4 + b 4 + c 4 + 2a 2 b 2 + 2a 2 c 2 + 2c 2 b 2
⇔ a 4 +b 4 +c 4 = 196 − 2 a 2 c 2 + a 2 b 2 + b 2 c 2

(

0,25 đ

)

Lại có: a+ b+ c = 0 ⇒ ( a + b + c ) 2 = 0
⇒ a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = 0 ⇒ ab + ac + bc = −7
⇒ ( ab + ac + bc ) = 49
⇒ a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 + 2ab 2 c + 2bc 2 a + 2ca 2 b = 49
2

0,5đ

⇒ a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 + 2abc( a + b + c ) = 49

Do đó : ⇒ a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 = 49
⇒ B = a4+ b4+ c4 = 196-2.49 = 98

(

b

Câu3
1,0 đ

) (

0,25 đ

)

n 5 + 1 n 3 + 1 ⇔ n 2 n 3 + 1 − n 2 − 1 n 3 + 1
⇔ ( n + 1)( n − 1) ( n + 1) n 2 − n + 1
⇔ n − 1 n 2 − n + 1 (vì n + 1 ≠ 0 )

0,5 đ

Nếu n=1 thì được 0 chia hết cho 1
Nếu n> 1thì n-1< n(n-1)+1=n2-n+1 nên (n-1)
không thể chia hết cho n2-n+1
Vậy giá trị duy nhất của n tìm được là 1

0,5 đ

(

)

P= ( a+ 1)( a+2)( a+3)( a+4)+1
= (a 2 +5a + 4)(a 2 + 5a + 6) + 1
Đặt a 2 +5a + 4 = x ta có:
P = x( x+ 2)+1= x 2 + 2x + 1= (x + 1) 2 . Thay a
2
2

+5a + 4 = x ta được P = ( a +5a + 5) 2 Vì a là số
nguyên nên ( a 2 +5a + 5) 2 là số nguyên, do đó
p =( a 2 +5a + 5) 2 là bình phương của một số
nguyên.
Suy ra điều phải chứng minh.

0,25 đ

0,5 đ
0,25 đ

A
E

F
K

Câu4
1đ

N

B

M

C

Vẽ MK//CF

0,25 đ

⇒ BK = KF = FA
S AKM = 4 S AFN ; S BKM = 2 S AFN

0,25 đ


S
S
⇒ S AFN =
2
12
S
S
=
⇒ S AFNE =
12
6

⇒ S ABM = 6 S AFN mà S ABM =

0,25 đ

Tương tự có: S ANE

0,25 đ

A

B
E

Câu5
3đ

K
G
D

C

Do BK//AD, nên

EK BE
=
(1)
AE ED

0,5 đ

Do AB//DG, nên

AE BE
=
(2)
EG ED

0,25 đ

EK AE
=
⇒ AE 2 = EK .EG
AE EG
AE DE
AE DE
=
⇒
=
Ta có:
(3)
EK EB
AK DB

Từ (1)(2) ⇒

Tương tự:

AE BE
=
(4)
AG BD

0,25đ
0,25 đ
0,5 đ

Công từng vế của (3) và (4) ta có:
AE AE DE BE BD
1

1
1
+
=
+
=
= 1 hay
=
+
AE AK AG
AK AG DB BD BD
BK
a
KC CG
=
=
Đặt AB=a; AD=b thì:
và
KC CG
b
DG

0,5 đ
0,5 đ

Nhân theo từng vế của hai đẳng thức trên, ta được:
BK
a
=
⇒ BK .DG = ab có giá trị không đổi

b
DG

…………………HẾT…………………
Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

0,5 đ