Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề (5)

UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - 4

MÔN THI: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (x – 3y)2 – 3(x – 3y)
b) x2 – 12x + 35
c) x3 + 2x2 + 2x + 1
Bài 2: (1,5điểm) Thực hiện phép tính
a) (2n3 – 5n2 +1) : (2n – 1)
 x2
6
1  
10 − x 2 
+
+
b)  3
÷:  x − 2 +
÷
x+2 
 x − 4 x 6 − 3x x + 2  

c) (1- 3x)2 + 2(3x – 1)(3x +4) + (3x +4)2
Bài 3:( 2,0 điểm)
a) Cho a là một số tự nhiên và a > 1. Chứng minh rằng:
A = (a2 + a + 1)(a2 + a + 2) – 12 là hợp số
2
4

8
1006
b) Tính B = ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) K ( 2 + 1) + 1
c) Tìm dư khi chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – 1
Bài 4: (2,0 điểm)
a) Cho abc = 1. Rút gọn biểu thức: M =

a
b
c
+
+
ab+a+1 bc + b + 1 ac + c + 1
a 2013 + b 2013 + c 2013

b) Cho a +b +c ≠ 0 và a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính N =

( a + b + c)

2013

Bài 5: (3,0 điểm)
µ = 900, CD = 2AD = 2AB. Gọi H là hình chiếu
Cho hình thang ABCD có µA = D
của D lên AC; M, N, P lần lượt là trung điểm của CD, HC và HD.
a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BCD là tam giác vuông
cân.
b) Chứng minh tứ giác DMPQ là hình bình hành
c) Chứng minh AQ vuông góc với DP
d) Chứng minh S ABCD = 6S ABC

------------------H ẾT-----------------------


UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Bài

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
Đáp án

a) = (x – 3y)(x – 3y – 3)
b) = x2 – 5x – 7x + 35 = x(x – 5) – 7(x – 5)
Bài 1
= (x – 5)(x – 7)
(1,5 đ)
c) = x3 + 1 + 2x2 +2x = (x + 1)(x2 – x + 1) + 2(x +1)
= (x + 1)(x2 – x + 3)
a) Thực hiện phép chi theo cột dọc đúng
Kết quả (2n3 – 5n2 + 1) : (2n – 1) = n2 – 2n -1

x2
6
1  
10 − x 2 
÷
=
+
+

:
x
−
2
+
÷
 x ( x 2 − 4 ) 3 ( 2 − x ) x + 2 ÷ 
x+2 


Bài 2
2
(1,5 đ) b) = x − 2 ( x + 2 ) + x − 2 : ( x − 2)( x + 2) + 10 − x
( x + 2)( x − 2)
x+2
−6
x+2
−1
1
=
.
=
=
( x + 2)( x − 2) 6
x−2 2− x

Bài 3
(2,0 đ)

c) = (1- 3x + 3x + 4)2 = 52 = 25

a) Đặt x = a2 +a +1 ⇒ a2 +a +2 = x +1
A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12 = (x +4)(x – 3)
Thay x = a2 +a +1 vào A ta có: A = (a2 +a +5) (a2 +a – 2)
Vì a ∈ N và a > 1 nên a là số tự nhiên. Ngoài ước là ± 1 và chính
A, nó còn có thêm 2 ước là (a2 +a +5) và (a2 +a – 2)
Do đó A là hợp số
b) B = ( 2 − 1) ( 2 + 1) ( 2 2 + 1) ( 2 4 + 1) ( 28 + 1) K ( 21006 + 1) + 1

Điểm
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,1
0,2
0,2
0,5
0,25
0,25
0,75

= ( 22 − 1) ( 2 2 + 1) ( 2 4 + 1) ( 28 + 1) K ( 21006 + 1) + 1
= ( 24 − 1) ( 2 4 + 1) ( 28 + 1) K ( 21006 + 1) + 1

(

)

= K = ( 21006 ) − 1 + 1 = 22012
2

c) Vì đa thức x2 – 1 có bậc là 2, nên đa thức dư có dạng
r(x) = ax + b.
Gọi thương của phép chia trên là q(x), ta có:
x + x3 + x9 + x27 = (x – 1)(x + 1).q(x) + ax + b
(1)
Đẳng thức (1) đúng với mọi x, với x = 1 ta có : a + b = 4 (2)
với x = 2 ta có : - a + b = -4 (3)
Từ (2) và (3) ⇒ b = 0 và a = - 4
Vậy dư của phép chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – 1 là: – 4x
c
b
Bài 4
a) Thay abc = 1 vào
, nhân cả tử và mẫu của
với a
ac + c + 1
bc + b + 1
(2,0 đ)

0,25
0,25
0,25


ta có:
M=

=

0,5

a
ab
c
+
+
ab+a+1 a ( bc + b + 1) ac + c + abc

a
ab
1
ab+a+1
+
+
=
=1
ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1

0,5

B) a3 + b3 + c3 = 3abc
⇒ a 3 + b3 + c3 − 3abc = 0
⇒ a 3 + b3 + 3ab(a + b) + c 3 − 3ab(a + b) − 3abc = 0
⇒ ( a + b ) + c 3 − 3ab(a + b + c) = 0
3

⇒ (a + b + c)(a 2 + 2ab + b 2 − ac − bc + c 2 ) − 3ab(a + b + c) = 0

0,25

⇒ (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc) = 0
⇒ a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = 0 ( vì a +b +c ≠ 0)
⇒ 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac –2bc = 0
⇒ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0
Vì (a – b)2 ≥ 0 ∀ a, b; (b – c)2 ≥ 0 ∀ b,c; (c – a)2 ≥ 0 ∀ a, c.
Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0 ∀ a, b,c ;
Do đó (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 ∀ a, b,c

Khi a – b = 0 và b – c = 0 và c – a =0
⇒a = b = c
Mà a +b +c ≠ 0 ⇒ a = b = c ≠ 0 (*)
Thay (*) vào N ta có: N =

0,25

a 2013 + a 2013 + a 2013

( a + a + a)

0,25

2013

=

3a 2013

( 3a )

2013

=

3a 2013
1
=
2013
27a
9

0,25

Bài 5 Hình vẽ
(3,0đ)

a) +/ Chứng minh cho tứ giác ABMD có 4 cạnh bằng nhau
lại có µA =900 nên ABMD là hình vuông.
+/ ∆ BMD có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh DC và
1
DC ⇒ ∆ BMD vuông tại B
2
·
lại có BDM
= 450 ⇒ ∆ BMD vuông cân tại B

BM =

0,5
0,25
0,25


b) tứ giác DMPQ có PQ // DM và PQ = DM
⇒ tứ giác DMPQ là hình bình hành
c) Chứng minh Q là trực tâm của tam giác ADP
⇒ AQ ⊥ DP
Chứng minh ABC = AMC (c.c.c) ⇒ S ABC = S AMC
1
2

1
4

mà SAMC = AD.MC = AD 2
1
2

3
2

Lại có S ABCD = S ABMD + S BCM = AD 2 + AD 2 = AD 2

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25

2

3
AD
S ABCD
= 2
= 6 ⇒ S ABCD = 6 S ABC
1
S ABC
2
AD
4

Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho đủ điểm

0,25