Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề (7)

UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI -9

MÔN: TO ÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (2,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2;

b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

Câu 2: (2,0 điểm)
Cho biểu thức :

2 +x
4x2
2 −x
x 2 −3 x
A =(
− 2
−
):(
)
2 −x
x −4 2 + x
2 x 2 −x 3
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b) Tìm giá trị của x để A > 0?

c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b)

a b c
x y z
x2 y 2 z 2
+
+
=
0
+
+
=
1
Cho
và x y z
. Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 .
a b c
a
b
c

Câu 4. (4,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME ⊥ AB,
MF ⊥ AD.
a. Chứng minh: DE = CF
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.

c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

---------Hết-------


UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TO ÁN 8

§¸p ¸n
Bài 1 a/ 3x – 7x + 2 = 3x – 6x – x + 2 =
= 3x(x -2) – (x - 2)
= (x - 2)(3x - 1).
b/ a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x =
= ax(x - a) – (x - a) =
= (x - a)(ax - 1).
a/ ĐKXĐ :
Bài 2:
2 − x ≠ 0
2

2

 2
x ≠ 0
x − 4 ≠ 0



⇔  x ≠ ±2
2 + x ≠ 0
 x 2 − 3x ≠ 0
x ≠ 3


2
3
 2 x − x ≠ 0

A=(

2 + x 4 x2
2− x
x 2 − 3x
(2 + x) 2 + 4 x 2 − (2 − x) 2 x 2 (2 − x)
− 2
−
):( 2
)
=
.
=
2 − x x − 4 2 + x 2 x − x3
(2 − x)(2 + x)
x ( x − 3)

=

4 x2 + 8x

x (2 − x )
.
=
(2 − x )(2 + x) x − 3

=

4 x( x + 2) x(2 − x)
4x2
=
(2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 3

4x 2
Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ 3 thì A =
.

x −3
4x2
>0
b/ Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > 0 ⇔
x −3
⇔ x−3> 0
⇔ x > 3(TMDKXD )

Vậy với x > 3 thì A > 0.
x − 7 = 4
 x − 7 = −4

c/ x − 7 = 4 ⇔ 

Bài 3

121
2

0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25

0,25

0,25

0,25
0,25

0,25
0,25

 x = 11(TMDKXD )
⇔
 x = 3( KTMDKXD )

Với x = 11 thì A =

Điểm

0,25
0,25
2,0


a/ 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
⇔ (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0
⇔ 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
Do : ( x − 1) 2 ≥ 0;( y − 3) 2 ≥ 0;( z + 1) 2 ≥ 0
Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).
b/ Từ :

a b c
ayz+bxz+cxy
+ + =0 ⇔
=0
x y z
xyz
⇔ ayz + bxz + cxy = 0
x y z
x y z
+ + = 1 ⇔ ( + + )2 = 1
Ta có :
a b c
a b c
2
2
2
x

y
z
xy xz yz
⇔ 2 + 2 + 2 + 2( + + ) = 1
a
b
c
ab ac bc
2
2
2
x
y
z
cxy + bxz + ayz
⇔ 2 + 2 + 2 +2
=1
a
b
c
abc
x2 y 2 z 2
⇔ 2 + 2 + 2 = 1(dfcm)
a
b
c

0,25
0,25
0,25

0,25
0,25

0,25
0,25

0,25

HV + GT + KL

0,5

Bài 4

AE = FM = DF
⇒ ∆AED = ∆DFC ⇒ đpcm
b. DE, BF, CM là ba đường cao của ∆EFC ⇒ đpcm
a. Chứng minh:

c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
⇒ ME + MF = a không đổi
⇒ S AEMF = ME.MF lớn nhất ⇔ ME = MF (AEMF là hình vuông)
⇒ M là trung điểm của BD.

--------------- HẾT ---------------

1,0
1,0

1,5