Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề (9)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : TOÁN 8 - 5
Thời gian: 90’
I. Đề bài:
Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x2 - (a+b) xy + aby2
b) a2- b2 – 2a + 1
c) a3 – 19a + 30
Bài tập 2:
a) Tìm a,b,c sao cho đa thức x4 + a x2 + bx + c chia hết cho đa thức ( x-3)3
b) cho a + b + c = 2012
Chứng minh rằng :

a 3 + b3 + c 3 − 3abc
= 2012
a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc

Bài tập3:
a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giả trị của biến
x+2
x−2
8
4
−
+ 2
):
2x − 4 2x + 4 x − 2 x − 2
2013
2013
2013
+
+

Q=
1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + zx

P= (

b) Cho

Chứng minh rằng Q là số nguyên; biết rằng xyz = 1
Bài tập 4: Cho hình vuông ABCD.Lấy điểm M tuỳ ý trên BD.Từ M kẻ ME ⊥ AB; MF ⊥
AD.Chứng minh
a) CF = DE; CF ⊥ DE
b) CM = FE ; CM ⊥ FE
c) CM,BF,DE đồng qui.


III.Đáp án:
Bài tập
Đáp án
2
2
Bài 1
a) = x – a xy – bxy – aby
(2,5điểm)
= x(x-by) – ay( x-by)
= ( x- ay)(x – by)
b) = (a2 – 2a + 1) – b2
= ( a – 1)2 – b2
= ( a -1- b)( a – 1 + b)
c)= a3-4a -15a -30
= a(a2-4)-(15a-30)

= a(a-2)(a+2)-15(a-2)
= (a-2) (a2-2a-15)
= (a-2)( a2+3a-5a-15a)
= (a-2)(a+3)(a-5)
Bài 2
a) = x4+a x2+bx+c=(x-3)3(x+d)
(1,5điểm)
= (x3-9x2+27x-27)(x+d)
= x4+(d-9)x2+(27-9d)x2+(27d-27)x-27d
cân bằng hệ số ta có
d-9=0 ⇒ d=9
-27d = c ⇒ c=-243
27d-27=b ⇒ b=216
27-9d=a ⇒ a=-54
Vậy a=-54;b=216;c=-243;d=9 thì x4+a x2+bx+c chia hết cho
(x-3)3
b)Ta có a3+b3=(a+b)3-3a2b-3ab2
⇒ a3+b3+c3-3abc = (a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc
= (a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
= (a+b+c)(a2+b2+c2+2ab –ac-bc)-3ab(a+b+c)
= (a+b+c)( a2+b2+c2-ab –ac-bc)
Vậy
a 3 + b3 + c 3 − 3abc
(a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc)
=
a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc
a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc

điểm
0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
025đ
0,5đ
0,25đ

0,5đ
0,25đ

= a+b+c = 2013
Bài 3
(2điểm)

( x + 2) 2 − ( x − 2) 2 + 16 4
8 x + 16
4
:
=
:
2( x − 2)( x + 2)
x − 2 2( x − 2)( x + 2) x − 2
a) P=
4

4
=
:
=1
x−2 x−2
2013
2013
2013
+
+
b) Q =
1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + zx
z
xz
1
+
+
= 2013(
)
2
z + xz + xyz xz + xyz + z xy 1 + z + xz

0,75đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ


= 2013(
Bài 4

(4 điểm)

A

F

N

I

D

z
xz
1
+
+
) = 2013
z + xz + 1 xz + 1 + z 1 + z + xz
E

0,5 đ

B

G

M

C

a) AEMF là hình chữ nhật ⇒ AF=EM
·
∆ EBM cân tại E vì EBM
= 450 ⇒ EB =EM
⇒ AF= EB mà AB = AD ⇒ AE=FD
·
⇒ ∆ ADE = ∆ DCF (c,g,c) ⇒ FC=DE và ·AED = CFD
·
mà ·AED + ·ADE =90 ⇒ CFD
+ ·ADE =90
=900 ⇒ CF ⊥ DE
·
⇒ FID
0

0

·
·
b) ∆ MEF = ∆ GMC(c.g.c) ⇒ CM = FE và EFM
= MCG
·
·
ta lại có MFC
= FCD
(so le trong)
·
·
·

·
·
·
mà FCD
+ FCM
+ MCG
=900 ⇒ EFM
+ MFC
+ FCM
=900
=900 ⇒ CM ⊥ FE
·
⇒ CNF

c)Xét ∆ EFC có EI,CK là đường cao nên FB là đường cao
thứ 3 n ên CM,BF,DE đồng qui.

0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ