Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề ,

Phòng GD & ĐT Long Mỹ
Trường THCS Lương Tâm
--------------oo0oo--------------

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Môn Thi: TOÁN (KHỐI 8)
Thời gian:120 Phút
------------------------

Bài 1: (2,5 điểm) Rút gọn biểu thức
a)
b)

(

)

(

x n − 2 x 2 + y 2 − y 2 x n − 2 + y n −2

)

x7 + x 6 + x5 + x 4 + x3 + x 2 + x + 1
x8 − 1

Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng
a)
15n + 2 + 15n chia hết cho 226 với n n∈ Ν
b) x 4 − 2 x 2 y + y 2 + 1 > 0 với mọi số thực x và y .
Bài 3: (2,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) x 2 + 2 xy + y 2 − z 2

(

) (

) (

a b2 − c 2 + b c 2 − a 2 + c a 2 − b 2

b)

Bài 4: (2 điểm) Tìm a để đa thức x 3
Bài 5: (2 điểm) Tính

)

− x 2 − 7 x + a chia hết cho đa thức x − 3

1
1
1
1
+
+ ... +
+
x ( x + 1) ( x + 1) ( x + 2 )
( x + 98 ) ( x + 99 ) ( x + 99 ) ( x + 100 )

Bài 6: (3 điểm) Giải phương trình

a) x 2 − 11x + 30 = 0
b)

1

4

x

x2

+
3

=

1
+4
x

Bài 7: (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, với AM là đường trung tuyến. Tia phân
giác của góc ∠ AMB cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc ∠ AMC cắt AC tại E.
a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
b) Chứng minh DE // BC.
c) Với điều kiện nào của ∆ABC thì ∆MDE là tam giác vuông cân.
d) Cho AB = 6 cm; AC = 8 cm.
• Tính độ dài AM
• Tính diện tích tam giác ∆DEM

-------------Hết-------------

1


c)

ĐÁP ÁN
Bài 1: (2,5 điểm) Rút gọn biểu thức
n−2
2
2
2
n−2

a) x

=
b)

=
=
=
=

=

+y

)−y (x

+ y n−2

)

x n − 2+ 2 + x n −2 y 2 − y 2 x n −2 − y 2+ n −2
xn − yn

=

=

(x

(0,5 đ)
(0,5 đ)

x7 + x6 + x5 + x 4 + x3 + x 2 + x + 1
x8 − 1
( x 7 + x 6 + x5 + x 4 ) + ( x3 + x 2 + x + 1)

(x )

4 2

−1

x 4 ( x3 + x 2 + x + 1) + ( x3 + x 2 + x + 1)

(

)(

)

x4 − 1 x4 + 1

( x3 + x 2 + x + 1)( x 4 + 1)

( x4 − 1) ( x4 + 1)

(0,25 đ)

(0,25 đ)

( x3 + x 2 ) + ( x + 1)
x4 − 1
x 2 ( x + 1) + ( x + 1)

( x ) −1
( x + 1) ( x 2 + 1)
( x2 − 1) ( x2 + 1)
2 2

(0,25 đ)

(0,25 đ)

=

( x + 1)

( x − 1) ( x + 1)

(0,25 đ)

=

1
( x −1)

(0,25 đ)

2


Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng
a)
15n + 2 + 15n chia hết cho 226 với n∈ Ν
Ta có:
( Với n∈ Ν )
15n + 2 + 15n = 15n.152 + 15n

(0,25 đ)

= 15n (152 + 1)

= 15n (225 + 1)

(0,25 đ)

= 15n.226

Hay: 15n + 2 + 15n = 226.15n
Suy ra: 15n + 2 + 15n chia hết cho 226 với n∈ Ν (đpcm)
b)

x4 − 2 x2 y + y 2 + 1 > 0

với mọi số thực

( )

 2
x − 2x y + y + 1 =  x

4

Ta có:

=

2

(

x2 − y

2

)

2

2

Vậy

và

(0,25 đ)

y.

− 2 x 2 y + y 2  + 1


+1

(0,25 đ)

( ) ≥ 0 với mọi số thực x và y .
2
2
⇒ ( x − y) +1 ≥ 1
2
2
⇒ ( x − y) +1 > 0
x2 − y

Vì

x

(0,25 đ)

2

x4 − 2 x2 y + y 2 + 1 > 0

với mọi số thực

(0,25 đ)
(0,25 đ)

x

và

y

(đpcm)

Bài 3: (2,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2
2
2 = x 2 + 2 xy + y 2 − z 2
a)

(

x + 2 xy + y − z

)

(0,25 đ)

= ( x + y) − z2

(0,25 đ)

=

(0,25 đ)

2

=
b)
=
=
=

(0,25 đ)

[ ( x + y) − z] [ ( x + y ) + z]
[ x + y − z] [ x + y + z]

(0,25

(
) (
) (

)
a ( b2 − c 2 ) + b ( c 2 + b 2 − b 2 − a 2 ) + c ( a 2 − b 2 )
a ( b − c ) + b − ( b − c ) − ( a − b )  + c ( a − b )


a ( b2 − c 2 ) − b ( b 2 − c 2 ) − b ( a 2 − b 2 ) + c ( a 2 − b 2 )
a b2 − c2 + b c 2 − a 2 + c a 2 − b2
2

2

2

2

2

2

3

2

2

(0,25 đ)
(0,25 đ)
(0,25 đ)

đ)

=

( b2 − c2 ) ( a − b ) − ( a 2 − b2 ) ( b − c )

=

( b + c) ( b − c) ( a − b) − ( a + b) ( a − b) ( b − c)
( b − c) ( a − b) [ ( b + c) − ( a + b) ]

=

( b − c) ( a − b) ( b + c − a − b)

=

(0,25 đ)
(0,25

đ)

( b − c) ( a − b) ( c − a)
(0,25 đ)
Bài 4: (2 điểm) Tìm a để đa thức x 3 − x 2 − 7 x + a chia hết cho đa thức x − 3
=

_
_

x3 − x 2 − 7 x + a
x3 − 3 x22

2x − 7x + a
2 x2 − 6x

x −3
x2 + 2x − 1
(1,25 đ)

−x+ a

_

−x+ 3

a−3

Để đa thức x3 − x 2 − 7 x + a chia hết cho đa thức x − 3
thì dư a − 3 = 0 hay a = 3 .
đ)
Vậy khi a = 3 thì đa thức x3 − x 2 − 7 x + a chia hết cho đa thức
Bài 5: (2 điểm) Tính

(0,5

x − 3.

(0,25 đ)

1
1
1
1
+
+ ... +
+
x ( x + 1) ( x + 1) ( x + 2 )
( x + 98 ) ( x + 99 ) ( x + 99 ) ( x + 100 )

Ta có:

1
1
x +1
x
x +1− x
1
−
=
−
=
=
x x + 1 x ( x + 1) x ( x + 1) x ( x + 1) x ( x + 1)
1
1
1
= −
Hay
x ( x + 1) x x + 1

1
1
1
=
−
Tương tự:
( x + 1) ( x + 2 ) x + 1 x + 2

1

.
.
.

( x + 98 ) ( x + 99 )
1

( x + 99 ) ( x + 100 )

(0,25 đ)
(0,25 đ)

(0,25 đ)

=

1
1
−
x + 98 x + 99

=

1
1
−
x + 99 x + 100
4


Suy ra:

1
1
1
1
+
+ ... +
+
x ( x + 1) ( x + 1) ( x + 2 )
( x + 98 ) ( x + 99 ) ( x + 99 ) ( x + 100 )
(0,25 đ)

=
=
=
=

1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
+ ... +
−
+
−
x x +1 x +1 x + 2 x + 2 x + 3
x + 98 x + 99 x + 99 x + 100

1
1
−
x x + 100
x + 100
x
−
x ( x + 100 ) x ( x + 100 )
x + 100 − x
x ( x + 100 )

(0,25 đ)
(0,25 đ)
(0,25 đ)

100
x ( x + 100 )
Bài 6: (3 điểm) Giải phương trình
a) x 2 − 11x + 30 = 0

=

(0,25 đ)

⇔ x 2 − 5 x − 6 x + 30 = 0

(0,25 đ)

⇔ x( x − 5) − 6( x − 5) = 0

(0,25 đ)

⇔ ( x − 5)( x − 6) = 0

(0,25 đ)

x − 5 = 0
x = 5
⇔ 
⇔

x − 6 = 0 x = 6

(0,5 đ)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { 5 ; 6 }
b)

1

+
3

4

=

1
+4
x

x2
4 1
⇔ 3 + 2 − −4=0
x
x
x
x
1

ĐKXĐ

x≠0

`

(0,25 đ)
(0,25 đ)

⇔ 1 + 4 x − x 2 − 4 x3 = 0

(0,25 đ)

⇔ (1 + 4 x) − ( x 2 + 4 x3 ) = 0
⇔ (1 + 4 x) − x 2 (1 + 4 x) = 0

(0,25 đ)

⇔ (1 + 4 x)(1 − x 2 ) = 0

(0,25 đ)

1
1 + 4 x = 0
 4 x = −1  x = −
⇔
⇔ 2
⇔
4
2


1 − x = 0
x = 1
 x = ±1

(0,25 đ)

5


Ta thấy các giá trị của biến x vừa tìm được đều thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình có
(0,25 đ)
tập nghiệm l S = −1; − 1 ;1

{

4

}

Bài 7: (6 điểm)
A

D

B

(0, 5 đ)

E

C

M

a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
Tam giác vuông ABC có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
Ta có:

AM = BM = CM =

BC
2

(0,25 đ)

Suy ra: ∆ MAB cân tại M, ∆ MAC cân tại M.
• Xét tam giác cân MAB có
∠ AMD = ∠ BMD
⇒ MD ⊥ AB
⇒ ∠ AMD = 900
• Xét tam giác cân MAC có
∠ AME= ∠ CME
⇒ ME ⊥ AC
⇒ ∠ AEM = 900
• Tam giác ABC vuông tại A
⇒ ∠ BAC = 900

(0,25 đ)

(0,25 đ)

(0,25 đ)
(0,25 đ)

Tứ giác AEMD có
∠ AMD = 900

900
∠ BAC = 900
∠ AEM =

Suy ra: tứ giác AEMD là hình chữ nhật. (đpcm)
b) Chứng minh DE // BC.
• Xét tam giác cân MAB có
∠ AMD = ∠ BMD

(0,25 đ)

⇒

(0,25 đ)

AD = BD

( 1)

• Xét tam giác cân MAC có
∠ AME = ∠ CME
6

⇒

( 2)

AE = CE

(0,25 đ)

Từ (1) và (2) ⇒ DE là đường trung bình của tam giác ABC
Suy ra: DE // BC (đpcm)
c) Với điều kiện nào của ∆ABC thì ∆MDE là tam giác vuông cân.
Tứ giác AEMD là hình chữ nhật nên ∆MDE vuông tại M
∆MDE là tam giác vuông cân
⇔ ME = MD
ME = AD
MD = AE

(0,25 đ)
(0,25 đ)
(0,25 đ)

⇔ AD = AE

Vì 

AB AC
⇔
=
2

2

AB

 AD = 2
Vì 
(D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC)
 AE = AC

2

(AEMD là hình chữ nhật)

(0,25 đ)

⇔ AC = AB
⇔ ∆ABC là tam giác vuông cân.

(0,25 đ)

Vậy ∆ABC là tam giác vuông cân thì ∆MDE là tam giác vuông cân.
d) Cho AB = 6 cm; AC = 8 cm.
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC ta có:

(0,25 đ)

BC2 = AB 2 + AC 2
= 62 + 82
= 36 + 64
= 100

⇒BC =

(0,5 đ)

100 = 10

• Tính độ dài AM
Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên
AM =

BC 10
=
= 5 (cm)
2
2

(0,25 đ)

Vậy AM = 5 (cm)
• Tính diện tích tam giác ∆DEM
1
MD.ME
2
1
= AE.AD
2
1
= .4. 3 = 6 (cm 2 )
2

(0,25 đ)

S DEM =


 AE =

 AD =


Với

AC 8
= = 4 (cm)
2
2
AB 6
= = 3 (cm)
2
2

(0,25 đ)
(0,25 đ)
(0,25 đ)

2
Vậy S DEM = 6 (cm )

(0,25 đ)
-------------Hết-------------

Chú ý: học sinh có thể giải bằng phương pháp khác
7