Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề 1

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN CẤP HUYỆN

Năm học 2013-2014
Môn: Toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu1(5điểm)
a)Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x 4 − 3x3 + 3x 2 + ax + b chia hết cho đa
thức B( x) = x 2 − 3x + 4
b)Cho đa thức Q = ( x + 3)( x + 5)( x + 7)( x + 9) + 2014 . Tìm số dư trong phép chia đa thức Q
cho đa thức x 2 + 12 x + 32 .
Câu2 (2điểm)
Chứng minh bất đẳng thức:

1 1
4
+ ≥
. Với a; b là các số dương.
a b a+b
2

3

Áp dụng bất đẳng thức trên tìm giá trị nhỏ nhất của M = xy + x 2 + y 2 .
với x; y dương và x + y =1 .
Câu 3 (6 điểm)
Giải phương trình : a)

1
1
1
1
+ 2
+ 2
=
x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18
2

x −1 − 2 x − 2 + 3 x − 3 = 4

b)
Câu 4 (7điểm)

Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 60 0 quay
quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng
minh :
BC 2
a) BD.CE =
4

b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
------------------Hết--------------------

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẤN CHẤM OLYMPIC TOÁN CẤP HUYỆN

TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG

Năm học 2013-2014
Môn: Toán 8

Câu1 (5điểm)
a)(3điểm)
Ta cú: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4
(2điểm)
Để A( x)MB( x) thì

{

a − 3= 0
b + 4= 0

⇔

{

a= 3
b= − 4

(1điểm)

b)(2điểm)
Ta có
(0,5điểm)

Q = ( x 2 + 12 x + 27)( x 2 + 12 x + 35) + 2014

Đặt t = x 2 + 12 x + 32 ta có Q = (t − 5)(t + 3) + 2014
(0,5điểm)
Lập luận để tìm số dư: chính là số dư trong phép chia :
Q = (t − 5)(t + 3) + 2014 = t 2 − 2t + 1999 cho t. ⇒ dư 1999

(1điểm)
Câu 2:(mỗi ý 1 điểm)
Ta có: a 2 + b2 ≥ 2ab với mọi a,b ⇔ a 2 + b 2 + 2ab ≥ 4ab ⇔ (a + b) 2 ≥ 4ab (1)
(0,5điểm)
Vì a,b dương ⇒ a + b > 0; a.b > 0 nên từ (1) suy ra:

a+b
4
1 1
4
≥
hay + ≥
a.b
a+b
a b a+b

Dấu “=” xẩy ra ⇔ a = b
(0,5điểm)
M=

1
3
3
+(

+ 2
)
2 xy 2 xy x + y 2

Do x; y dương và x + y =1 ⇒ 1 = ( x + y ) 2 ≥ 4 xy ( được suy ra từ (x – y)2 ≥ 0)
⇔ 2 xy ≤

1
1
⇔
≥2
2
2 xy

Dấu “=” xẩy ra ⇔ x = y =

1
(1)
2


3

3

4

4

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức trên: ( 2 xy + x 2 + y 2 ) ≥ 3 ×2 xy + x 2 + y 2 = 3 ×( x + y )2 = 12 (2)

(0,5điểm)
Dấu “=” xẩy ra ⇔ 2 xy = x 2 + y 2 ⇔ x = y =

1
2

Vậy từ (1) và (2) ta có : M ≥ 2 + 12 = 14 .
Giá trị nhỏ nhất MinM = 14 đạt được khi x = y =

1
2

(0,5điểm)
Câu 3 : (2điểm)
a) x2+9x+20 =(x+4)(x+5);
x2+11x+30 =(x+6)(x+5);
x2+13x+42 =(x+6)(x+7);
ĐKXĐ : x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ −7

(0,5điểm)

Phương trình trở thành :
1
1
1
1
+
+
=
( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18

1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
=
x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 x + 6 x + 7 18
1
1
1
−
=
x + 4 x + 7 18

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Vậy x=-13; x=2.

(0,5điểm)

b) x − 1 − 2 x − 2 + 3 x − 3 = 4 (II)
+ Nếu x <1 ta có (II) ⇔ - 2x + 6 = 4 ⇔ x =1 (loại)
+ Nếu 1 ≤ x<2 ta có (II) ⇔ 0.x +4 = 4 Phương trình nghiệm đúng với 1 ≤ x<2

+Nếu 2 ≤ x<3 ta có (II) ⇔ - 4x = - 8 ⇔ x = 2 ( thỏa mãn)
+ Nếu 3 ≤ x ta có (II) ⇔ 2x = 10 ⇔ x = 5 ( thỏa mãn)
Vậy nghiệm của (II) là x =5 hoặc 1 ≤ x ≤ 2
(0,5điểm)
Câu 4 (7 điểm)

y

A
x
E
D
B

1

2
1

2

M

3

C

(0,5điểm)

(0,5điểm)
a)
Trong tam giác BDM ta có: Dˆ 1 = 120 0 − Mˆ 1
Vì Mˆ 2 =600 nên

:

Mˆ 3 = 120 0 − Mˆ 1

Suy ra Dˆ 1 = Mˆ 3

(0,5điểm)

Chứng minh ∆ BMD : ∆CEM (1)
Suy ra

BD CM
=
BM
CE

Vì BM=CM=

b) Từ (1) suy ra
nên

(1 điểm)

hay BD.CE=BM.CM

BC
BC 2
nên BD.CE=
2
4

(1 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)

BD MD
=
mà BM=CM
CM EM

BD MD
=
BM EM

Chứng minh ∆BMD :

(0,5 điểm)
∆MED

(c.g.c)

(1 điểm)

suy ra Dˆ 1 = Dˆ 2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE

(0,5 điểm)

Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED

(1 điểm)