Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề 3

PHềNG GIO DC V O TO
TRNG THCS

THI OLYMPIC TON CP HUYN

Nm hc 2013-2014
Mụn: Toỏn 8
Thi gian lm bi: 120 phỳt

Câu 1 : (6 điểm)

a) Giải phơng trình :

1
1
1
1
+ 2
+ 2
=
x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18
2

b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
A=

a
b
c
+
+

3
b+ca a+cb a+bc

Câu 2 : (5 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì
tổng các lập phơng của chúng chia hết cho 3.
b) Tìm số nguyên n dể n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
Cõu 3. (3 im )
a. Cho 3 s dng a, b, c cú tng bng 1. Chng minh rng:
1 1 1
+ + 9
a b c
b. Cho a, b dơng và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
Bài 4 : ( 6 im )
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên AC. Từ C
vẽ đờng thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O.
Chứng minh rằng :
a ) OA.OB = OC.OH
b ) Góc OHA có số đo không đổi
c ) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi.
-------------------------HT-------------------------

1


ỏp ỏn hng dn chm
Câu 1 : (6 đ)
a) (3 đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;

x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;

0,5

ĐKXĐ : x 4; x 5; x 6; x 7

0,5

Phơng trình trở thành :
1
1
1
1
+
+
=
( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18
1
1
1
1
1
1
1

+

+

=

x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 x + 6 x + 7 18
1
1
1

=
x + 4 x + 7 18

1,75

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Từ đó tìm đợc x=-13; x=2;

( 0,25)

b) (3 đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
y+z
x+z
x+ y
;b =
;c =
;
( 1,5 )
2
2
2
y+z x+z x+ y 1 y x
x z
y z

+
+
= ( + ) + ( + ) + ( + ) ( 0,75 )
Thay vào ta đợc A=
2x
2y
2z
2 x y
z x
z y
1
Từ đó suy ra A (2 + 2 + 2) hay A 3
( 0,25 )
2
Từ đó suy ra a=

Câu 2 : (2đ)
a)

Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 .

[

]

0,25

Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a 2 + 2ab + b 2 ) 3ab =

[

=(a+b) (a + b) 2 3ab

]

0,5

Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b)2-3ab chia hết cho 3 ;

[

]

Do vậy (a+b) (a + b) 2 3ab chia hết cho 9

2


b ) ( 3 )
n5 + 1 Mn3 + 1 n5 + n2 n2 + 1 Mn3 + 1
n2(n3 + 1)- ( n2 1) M n3 + 1
(n 1)(n + 1) M(n+1)(n2 n + 1)
n 1 Mn2 n + 1
n(n 1) Mn2 n + 1
Hay n2 n Mn2 n + 1
(n2 n + 1) 1 Mn2 n + 1
1 Mn2 n + 1
Xét hai trờng hợp:
+ n2 n + 1 = 1 n2 n = 0 n(n 1) = 0 n = 0, n = 1 thử lại thấy
t/m đề bài

+ n2 n + 1 = - 1 n2 n + 2 = 0 , không có giá trị của n thoả mãn
Cõu 3

b c
1
a = 1+ a + a

a c
1
a. T: a + b + c = 1 = 1 + +
( 1 )
b b
b
a b
1
c = 1+ c + c

1 1 1
a b a c b c
+ + = 3 + + ữ+ + ữ+ + ữ
a b c
b a c a c b
3+2+2+2=9
1
Du bng xy ra a = b = c =
( 0,5 )
3
b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
(a+ b) ab = 1
(a 1).(b 1) = 0

a = 1 hoặc b = 1
Với a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại)
Với b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

(1)
( 0,5 )

3


Câu 4 ( 6 đ )

O

OB OH
⇒ OA.OB = OC.OH
=
(2đ)
H
OC OA
A M
OB OH
OA OH
⇒
=
=
b)
(1)
OC OA

OC OB
µ chung
(2)
∆ OHA vµ ∆ OBC cã O
B
K
⇒
Tõ (1) vµ (2)
∆ OHA ~ ∆ OBC (c.g.c)
·
·
⇒ OHA
= OBC (kh«ng ®æi) ( 2 đ )
BM BK
=
⇒ BM.BH = BK.BC
c) VÏ MK ⊥ BC ; ∆ BKM ~ ∆ BHC (g.g) ⇒
BC BH
(3)
CM CK
⇒
=
⇒ CM.CA
~
(g.g)
=
BC.CK
∆ CKM
∆ CAB
CB CA

(4)
Céng tõng vÕ cña (3) vµ (4) ta có: BM.BH + CM.CA = BK.BC + BC.CK
= BC(BK + CK) = BC2 (kh«ng
®æi). ( 2 đ )

a) ∆ BOH ~ ∆ COA (g-g) ⇒

4

C