PHẦN 7 bất ĐẲNG THỨC – cực TRỊ

Nhập ID bài tập vào trang www.TOANTUYENSINH.com để xem bài giải.

PHẦN 7. BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ
Bài 1: (910701) Cho a ,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
2
2
2
Chứng minh: ab + bc + ca ≤ a + b + c < 2 ( ab + bc + ca ) .

Bài 2: (910702) Cho các số a ,b, c ∈ [ 0;1] .
Chứng minh rằng: a + b 2 + c 3 − ab − bc − ca ≤ 1.

Bài 3: (910703) Chứng minh rằng

a +b
a ( 3a + b ) + b ( 3b + a )

≥

1
2

với a ,b là các số dương.
Bài 4: (910704) Cho các số dương a ,b, c.
Chứng minh rằng: 1 <

a
b
c
+
+

< 2.
a +b b +c c +a

Bài 5. (910705) Cho các số dương a ,b, c.
Chứng minh bất đẳng thức:

a +b b +c c +a
b
c 
 a
+
+
≥ 4
+
+
÷.
c
a
b
b +c c +a a +b 

Bài 6. (910706) Cho các số dương a, b, c .
Chứng minh bất đẳng thức:

a
b
c
+
+
> 2.

b +c
c +a
a +b

Bài 7: (910707) Cho a ,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 4.
Chứng minh rằng: 4 a 3 + 4 b3 + 4 c 3 > 2 2.

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ
( 0933.168.309


Nhập ID bài tập vào trang www.TOANTUYENSINH.com để xem bài giải.

Bài 8: (910708) Cho hai số dương x , y thõa mãn: x + 2y = 3.
Chứng minh rằng:

1 2
+ ≥ 3.
x y

Bài 9: (910709) Cho a ,b, c là các số dương không âm thoả mãn : a 2 + b2 + c 2 = 3.
Chứng minh rằng :

a
b
c
1
+ 2

+ 2
≤
a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a + 3 2
2

Bài 10: (910710) Cho tam giác ABC và các trung tuyến A M , BN ,CP .
Chứng minh rằng:

3
( A B + BC + CA ) < A M + BN + CP < A B + BC + CA
4

Bài 11: (910711)
a) Tìm tất cả các số hữu tỷ x sao cho A = x 2 + x + 6 là một số chính phương.
b)

(x
Cho x > 1 và y > 1 . Chứng minh rằng :

3

+y3 ) −( x 2 +y2 )

( x − 1) ( y − 1)

≥ 8.

Bài 12: (910712) Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn x + y + z = 4.
Chứng minh rằng

1
1
+ ≥ 1.
xy xz

Bài 13: (910713) Chứng minh : a 5 + b5 ≥ a 3b2 + a 2b3 , biết rằng a + b ≥ 0 .
Bài 14: (910714) Cho hai số dương a ,b thỏa mãn: a + b ≤ 2 2.
1 1
a b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + .

Bài 15: (910715) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 2 − x y + x + y − y + 1
Bài 16: (910716) Cho biểu thức A = 2x − 2 xy + y − 2 x + 3.
Hỏi A có giá trị nhỏ nhất hay không? Vì sao?
Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ
( 0933.168.309


Nhập ID bài tập vào trang www.TOANTUYENSINH.com để xem bài giải.

Bài 17: (910717) Cho x > 0, y > 0 và x + y ≥ 6.
6
x

8
y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3x + 2y + + .

Bài 18: (910718) Các số thực x , a ,b,c thay đổi, thỏa mãn hệ:

( 1)
( 2)

x + a + b + c = 7
 2
2
2
2
x + a + b + c = 13
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x .

Bài 19: (910719) Cho x , y là hai số thực thoả mãn: ( x + y ) 2 + 7 ( x + y ) + y 2 + 10 = 0 .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y + 1.

Bài 20: (910720) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

x 4 + 2x 2 + 2
.
x 2 +1

Bài 21. (910721) Cho các số thực dương a ,b,c thoả mãn a + b + c =

1
.
abc

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( a + b ) ( a + c ) .
Bài 22: (910722) Cho hai số dương x , y thỏa mãn điều kiện x + y = 1.
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

1
1
+
2
xy
x +y
2

Bài 23: (910723) Cho a ,b là các số dương thoả mãn ab = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = ( a + b + 1) ( a 2 + b 2 ) +

Bài 24: (910724) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ
( 0933.168.309

4
.
a +b

2
1
+ , với 0 < x < 1.
1− x x

Nhập ID bài tập vào trang www.TOANTUYENSINH.com để xem bài giải.

x 2 + x +1
Bài 25: (910725) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 2
.
x + 2x + 2

Bài 26: (910726) Cho x , y là hai số thỏa mãn đồng thời : x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 6. và
2x + y ≤ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K = x 2 − 2x − y .
Bài 27: (910727) Với x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =

x2 +y2
.
xy

Bài 28: (910728) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x 2 + y 2 = 1 .
−2xy

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1 + xy .
Bài 29: (910729) Cho các số x , y thỏa mãn x ≥ 0; y ≥ 0 và x + y = 1.
Tìm giả trị lớn nhất và nhỏ nhất của A = x 2 + y 2 .
y − 2010 − 1
z − 2011 − 1 3
Bài 30: (910730) Giải phương trình: x − 2009 − 1 +
+
=
x − 2009

y − 2010

z − 2011

4

Bài 31: (910731) Giải phương trình: 10 x 3 + 1 = 3 ( x 2 + 2 )
Bài 32: (910732) Cho hai số x , y thỏa mãn đẳng thức:

(x+

)(

)

x 2 + 2011 y + y 2 + 2011 = 2011 . Tính: x + y .

Bài 33: (910733) Giải phương trình:
Bài 34: (910734) Giải phương trình:
Nguyễn Văn Lực

x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 +2x − 3

x 2 + x + 2010 = 2010.

Ninh Kiều – Cần Thơ
( 0933.168.309

Nhập ID bài tập vào trang www.TOANTUYENSINH.com để xem bài giải.

Bài 35: (910735) Tìm x , y thoả mãn 5x − 2 x ( 2 + y ) + y 2 + 1 = 0.
1
1
+
= 2.
x
2−x2

Bài 36: (910736) Giải phương trình:

Bài 37. (910737) Tìm nghiệm dương của phương trình :

4x + 9
.
28

7x 2 + 7x =

Bài 38: (910738) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 + px + q = 0 biết p + q = 198.

Bài 39. (910739) Tìm các giá trị x để

Bài 40: (910740) Giải phương trình:

(

4x + 3
là số nguyên âm.

x 2 +1
x +8 − x +3

)(

)

x 2 + 11x + 24 + 1 = 5 .

Bài 41: (910741) Giải phương trình: 4 + x − 1 = x + 2x − 5
x

x

x

1
3

Bài 42: (910742) Giải phương trình: x 3 + x 2 − x = − .

Bài 43: (910743) Tìm các số nguyên x , y thỏa mãn phương trình: ( 2x + 1) y = x + 1.
x 5 − 2y = a ( 1)
Bài 44: (910744) Chứng minh nếu a > 2 thì hệ phương trình:  2 2
vô
x + y = 1 ( 2 )

nghiệm.
Bài 45: (910745) Cho hai phương trình: x 2 + a1x + b1 = 0 ( 1) ,x 2 + a 2x + b2 = 0 ( 2 ) . Cho
Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ
( 0933.168.309


Nhập ID bài tập vào trang www.TOANTUYENSINH.com để xem bài giải.

biết a1a 2 ≥ 2 ( b1 + b2 ) . Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình đã cho có
nghiệm.
Bài 46: (910746) Rút gọn biểu thức: P = ( a − 1 + 1) 2 + ( a − 1 − 1)2 với a ≥ 1.

Bài 47: (910747) Giải phương trình: 3x 2 − 6x + 19 + x 2 − 2x + 26 = 8 − x 2 + 2x .
x 4 + y 4 = 1
Bài 48: (910748) Giải hệ phương trình:  3 3
2
2
x + y = x + y

Bài 49: (910749) Giải phương trình: x 2 + 3x + 1 = ( x + 3) x 2 + 1.
x 3 + 1 = 2y
Bài 50: (910750) Giải hệ phương trình:  3
.
y + 1 = 2x
x 3 + 2y 2 − 4y + 3 = 0 ( 1)
Bài 51. (910751) Hai số thực x , y thoả mãn hệ điều kiện :  2 2 2
.
x
+
x
y

−
2
y
=
0
2
( )

Tính giá trị biểu thức P = x 2 + y 2 .

Bài 52: (910752) Cho a , b, c , d là các số thực thỏa mãn: b + d ≠ 0 và

ac
≥ 2.
b+d

2
2
Chứng minh rằng phương trình ( x + ax + b ) ( x + cx + d ) = 0 ( x là ẩn) luôn có nghiệm.

Bài 53: (910753) Không dùng máy tính cầm tay , tìm số nguyên lớn nhất không vượt

(

)

6

quá S, trong đó S = 2 + 3 .

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ
( 0933.168.309