Một số pp cm bất đẳng thức cực hay

CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ - CỰC TRỊ ĐẠI SỐ
I/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1/ Định nghĩa về BĐT:
2/Tính chất của bất đẳng thức ( Xem SGK toán 8).
3/ Một số phương pháp chứng minh BĐT
*PP1: Dựa vào định nghĩa.
Để cm BĐT A
≥
B ta làm như sau:
B1: Xét hiệu A – B
B2: Dùng lập luận chỉ ra A – B
≥
0
B3: Kết luận (bao gồm cả việc chỉ ra dấu bằng nếu có).
Ví dụ : cmr a
2
+ b
2
+ 1
≥
ab + a + b.
HD: Xét a
2
+b
2
+1 – ab-a-b = …..=
2
1
( ) ( ) ( )
[ ]
222

11
−+−+−
baba
ba,0
∀≥
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b =1.
KL: ….
*PP2: Biến đổi tương đương.
Để cm A < B ta biến đổi A < B
⇔⇔
.....
C < D. Mà BĐT C < D đúng nên BĐT
cần cm cũng đúng.
Ví dụ : Cmr a >2; b >2 thì ab > a + b.(1)
HD: Ta có (1)
⇔
ab – a – b + 1 >1
⇔
……
⇔
(a – 1)(b – 1) >0 (2)
Mà a > 2, b > 2 suy ra a – 1 > 1 > 0 ; b – 1 > 1 > 0 suy ra (2) luôn đúng.
Vậy BĐT (1) được cm.
*PP3: Làm trội – Làm giảm (sử dụng tính chất bắc cầu)
Ví dụ: Cmr
n
1
........
3
1

2
1
1
1
++++
>
n
với n
∈
N, n>1.
HD:
n
1
......
3
1
2
1
1
1
++++
>
nnn
1
.......
11
+++
>
n
n

n
=
*PP4: Phương pháp phản chứng.
Để cm A > B ta giả sử
BA
≤
và lập luận chỉ ra giả sử sai, suy ra đpcm.
Ví dụ: Cho a + b = 2mn Cmr ít nhất 1 trong 2BĐT sau là đúng:
bnam
≥≥
22
;
HD: Giả sử cả 2 BĐT trên là sai.
Ta có: m
2
< 2a ; n
2
< 2b suy ra m
2
+ n
2
– (a + b) < 0 suy ra (m – n )
2
< 0 – vô lí
Vây ta có đpcm.
*PP5: Vận dụng các BĐT có chứa dâu giá trị tuyệt đối.
AA,
∀≥
A
;

AAA
∀−≥
,
;
AA
∀≥
,0
.
BABA
+≥+
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A.B
≥
0
BABA
−≥−
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi B(A – B)
≥
0
*PP6: Vận dụng BĐT Cauchy – BĐT Bunhiacôpxki.
- BĐT Cauchy: Cho 2 số a,b không âm, ta có :
abba 2
≥+
Dấu “ = ‘’ xảy ra khi và chỉ khi a = b
≥
0
HQ1:
Nếu 2 số không âm có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó
bằng nhau.
HQ2:
Nếu 2 số không âm có tổng không đổi tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng

nhau.
- BĐT Bunhiacopxki:
Cho 2 cặp số (a;b) và (x;y) : (ax + by)
2

≤
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
).
Dấu bằng xẳy ra khi và chỉ khi
y
b
x
a
=
( giả thiết các tỉ số có nghĩa).
- Chú ý: + BĐT cauhy, BĐT Bunhiacôpxki còn được viết ở một số dạng khác.
+ Nếu sử dụng BĐT cauchy với 3 số không âm trở lên và sử dụng BĐT
Bunhiacôpxki cho 2 bộ số mỗi bộ số từ 3 số trở lên thì phải chứng minh mới
được dùng.
*PP7: Sử dụng điều kiện có nghiệm của pt bậc hai(- kiến thức về phương trình bậc
hai).
*PP8: Quy nạp toán học.
*PP9: Dùng toạ độ hình học( PP này đề nghị h ọc sinh tìm hiểu thêm).

5/ PP chung để giải bài toán GTLN, GTNN của biểu thức A(x) xác định trên miền
D là:
• Với bài toán tìm GTLN:
B1: Cm A(x)
≤
m- hằng số
Dx
∈∀
B2: Chỉ ra tồn tại x = x
0

D
∈
để tại đó A(x
0
) = m.
B3: Kết luận GTLN của A là m hay MaxA = m khi x= x
0
.
• Với bài toán tìm GTNN ta làm tương tự.
6/ Một số chú ý khi giải bài toán GTLN, GTNN :
- Có khi phải thay bài toán đã cho bởi bài toán tương đương.
+ MinA
⇔
Min A
2
với A > 0.
+ Min A
⇔
- MaxA với A > 0

( Tương tự với bài toán tìm GTLN).
- Có khi phải tìm cực trị trong từng khoảng của biến rồi so sánh để tìm cực trị trên D
(GTLN,GTNN)
7/Một số sai lầm có thể mắc phải khi giải bài toán BĐT - Cực trị đại số.
- Trừ từng vế của hai BĐT cùng chiều.
- Nhân từng vế của hai BĐT cùng chiều mà không có giả thiết các vế không âm.
- Bình phương hai vế của BĐT mà không có giả thiết hai vế không âm.
- Khử mẫu khi chưa biết dấu của biểu thức dưới mẫu.
- Nghịch đảo hai vế và đổi chiều BĐT khi chưa có giả thiết hai vế cùng dấu.
- Thừa nhận x
m
> x
n
với m,n nguyên dương và m>n mà chưa biết điều kiện của x.
- Sai lầm về việc sử dụng BĐT cơ bản.
II/ BÀI TẬP ÁP DỤNG
1/ Cmr: x
2
+ 2y
2
+ z
2

≥
2xy – 2yz.
2/ Cmr: a
2
+ b
2
+ c

2
+ d
2
+ e
2

≥
a( b + c + d + e )
3/ Cmr:
2
1
2
2
2
≥
+
+
x
x
4/ Cho a,b
≥
1, cmr:
ababba
≤−+−
11
5/ Cmr 3(a
2
+ b
2
+ c

2
)
≥
(a + b + c)
2
6/ Cmr với a,b
≥
0 thì
baba
+≥+
7/ Cmr:
ab
ba
+
≥
+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
8/ Cmr:
22
22
baba
+

≤
+
9/ Cmr:
nnn 2
1
...
2
1
1
1
++
+
+
+
>
2
1
với n > 1, n
N
∈
10/Chứng tỏ rằng trong các BĐT sau có ít nhất 1 BĐT là sai:
a/
aba
−
<0 ;
acb
−
<0 ;
abc
−

<0 với a,b,c >0
b/ a( 2-b ) > 1 ; b( 2-c ) > 1 ; c( 2-a ) > 1 với 0 < a,b,c < 2
11/Cmr:
a/
yxyx
+
≥+
411
với x,y >0.
b/
14
32
22
≥
+
+
ba
ab
với a,b >0 và a + b
1
≤
12/ Cmr:
a/
853
≥−+−++
yxyx
b/
2
≥+
x

y
y
x
với x,y
≠
0
13/ Cho
3;3;3
≥≥≥
zyx
.Cmr
1
≤
++
xyz
zxyzxy
14/ Cmr:
a/ 3(x
2
+y
2
+z
2
)
≥
(x+y+z)
2

≥
3(xy+yz+zx).

b/ a
4
+ b
4
+ c
4

≥
abc(a + b + c)
15/ Cho x > y và xy = 1. Cmr
22
22
≥
−
+
yx
yx
16/ Cho x
2
+ 4y
2
= 1. Cmr:
2
5
2
5
≤−≤−
yx
17/ Cmr: 2
n+2

> 2n + 5 với mọi n nguyên dương.
18/ Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a/ A = x
2
– 4x + 7
b/ B = x
4
+ 2x
3
+ 3x
2
+2x +1
c/ C =
1
324
2
2
+
++
x
xx
d/ H =
2
1
35
x
x
−
−
e/ E =

( )
x
x
2
2008
+
với x > 0.
19/ Tìm GTNN, GTLN của S = y – 2x + 5 biết 36x
2
+ 16y
2
= 9
20/ Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a/
x
x
y
1
−
=
b/
2
1 xxy
−=
c/
2
2 xxy
−+=
d/ y = x
3

(16 – x
3
) với 0 < x
3
<16
III/ GỢI Ý CÁCH GIẢI
* Các bài từ bài 1 đến bài 5 dùng định nghĩa ( có thể có cách khác VD bài 3 có thể dùng
BĐT cauchy)
* Bài 6 đến bài 8 dùng pp biến đổi tương đương.
- Chú ý : -Bài 8 ta phải xét 2 TH của vế trái hoặc ta chứng minh VP
22
baba
+
≥
+
≥
* Bài 9: Dùng PP làm trội làm giảm.
* Bài 10: Dùng PP phản chứng.
* Bài 11, bài 15. bài 18de, 20ad – Dùng BĐT cauchy.
* Bài 14. bài 16,bài19, bài 20c – Dùng BĐT Bunhia- copxki.
* Bài 12,13 – Dùng BĐT có chứa dấu GTTĐ.
* Bài 18c – Dùng PP miền giá trị (Liên quan đến đk có nghiệm của pt bậc 2).
* Bài 17- Dùng quy nạp.
* Bài 20b: ĐK
1
≤
x
( )
2
1

2
1
2
1
111
22
2222
≤⇒=
−+
≤−=−≤−=
y
xx
xxxxxxy
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x =
2
2

KL: GTLN là
2
1
khi x = ….
Chú ý: Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau.
Giáo viên thực hiện : Lê văn Quynh – THCS Yên Phong
Hoàn thành ngày 06/06/2008.