Bài giảng Hình học 12 chương 2 bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Bài 1 hình học 12

Tiết 51
1


I.KHÁI NIỆM MẶT TRÒN XOAY:
1. Đường tròn sinh bởi một điểm:
Trong không gian cho đđường thẳng ∆ và
điểm M , O là hình chiếu của M lên ∆

∆

CM

O
(P) là mặt phẳng qua M và vuông
M
P
∆
góc với tại O.
Đường tròn CM có tâm O và bán kính OM được gọi là
đường tròn sinh bởi diểm M khi M quay quanh ∆.
Kí hiệu : CM

H 1

2


2.định nghĩa :

H2/2
Trong mp(Q) cho đường thẳng ∆và một
đường l nào đó.
Hình (T) ={ CM / M ∈l } được gọi là mặt
tròn xoay sinh bởi đường l khi quay quanh ∆
∆. : trục của mặt tròn xoay
l : đường sinh của mặt tròn xoay.
•* Mặt cầu là mặt tròn xoay:

∆

M
l

Q
A

•+ Trục là đường kính bất kỳ.
•+Mặt
Đường
sinh
là là
nửa
đường
kỳ
cầu có
phải
mặt
tròn tròn
xoaybất

không?
có đường kính nằm trên trục.
Nếu là mặt tròn xoay hãy tìm trục và đường sinh?
B

3


II.MẶT TRỤ TRÒN XOAY : H2/3
1.Định nghĩa :
cho l // ø và d(l, ) =
∆
∆
R.
Mặt tròn xoay sinh ra bởi đường thẳng l khi
quay quanh ∆ gọi là mặt trụ tròn xoay (gọi
tắt là mặt trụ).
∆ : Trục của mặt trụ .
l : Đường sinh của mặt trụ .
R: Bán kính của mặt trụ.

∆

l

Chú ý:

-Nếu1/ cắt mặt trụ bởi mp ⊥ ∆thì giao tuyến là gì?
2/

-Điểm M bất kỳ thuộc mặt trụ khi nào?
3/

4


III. KHỐI TRỤ TRÒN XOAY VÀ HÌNH TRỤ TRÒN XOAY: H2/3
∆
1.Miền chữ nhật :

Hình chữ nhật ABCD và miền trong của nó
gọi là miền chữ nhật ABCD.
D
2. Khối trụ tròn xoay
Xét miền chữ nhật ABCD.Khi quay xung quanh
đđường thẳng AB :
-Hình sinh bởi miền chữ nhật ABCD gọi là
khối trụ tròn xoay.
-Mặt tròn xoay sinh bởi đoạn CD gọi là
mặt xung quanh của khối trụ .
C
-Hai hình tròn sinh bởi hai đđoạn AD , BC
gọi là hai mặt đáy của khối trụ.
3. Hình trụ tròn xoay:
-Hình hợp bởi hai mặt đáy và mặt xung quanh của
khối trụ gọi là hình trụ tròn xoay

A

B

5


IV MẶT NÓN TRÒN XOAY :H3/4
1.Định nghĩa:
Cho hai đđường thẳng l và∆cắt nhau tại O, tạo với nhau góc α
Mặt tròn xoay sinh ra bởi đđường thẳng l khi quay quanh ∆
gọi là mặt nón tròn xoay.
∆: trục của mặt nón
l : đđường sinh của mặt nón.
O : đđỉnh của mặt nón .
2. Chú ý
l
+ Nếu M nằm trên mặt nón ,
thì đđường thẳng OM nằmtrên mặt nón .
+ Mọi mặt phẳng đ(Q) qua ∆cắt mặt nón theo hai đđường
sinh tạo với nhau góc 2 .Gọi là góc ở đỉnh của hình nón

∆

O
α

α

+ Cho (P)

⊥ ∆ và không đi qua O

⇒ ( P ) ∩( N ) = C (O; R ) (thay đổi tuỳ theo vị trí của (P)).

6


V.KHỐI NÓN TRÒN XOAY VA HÌNH NÓN TRÒN XOAY : H2/5

1. Khối nón tròn xoay:
Xét tam giác vuông OAB và miền trong của nó . O
Khi quay xung quanh OA:
-Hình sinh bởi miền tam giác OAB
gọi là khối nón tròn xoay .
-Mặt tròn xoay sinh bởi đđoạn thẳng OB
gọi làmặt xung quanh của khối nón .
-Hình tròn sinh bởi đoạn thẳng AB
Gọi là mặt đáy của khối nón .
B
2.Hình nón tròn xoay:
-Hình hợp bởi mặt đáy và mặt xung quanh
của khối nón gọi là hình nón tròn xoay

A

7


VI .KHỐI NÓN CỤT TRÒN XOAY VÀ HÌNH NÓN CỤT TRÒN XOAY:

1. Khối nón cụt tròn xoay:

H2/6

Xét hình thang ABA’B’ vuông tại A và A’ (AB>A’B’)
Khi quay xung quanh AA’:
A'
-Hình sinh bởi hình thang ABB’A’ và miền
trong của nó gọi là khối nón cụt tròn xoay. B'
-Mặt tròn xoay sinh bởi đđoạn thẳng BB’
gọi là mặt xung quanh của khối nón cụt.
A
-Hai hình tròn sinh bởi AB, A’B’
Gọi là hai đáy của hình nón cụt .
B
2. Hình nón cụt tròn xoay:
-Hình hợp bởi mặt xung quan vàà hai đáy
của khối nón cụt gọi là hình nón cụt tròn xoay

8


VII.VÍ DỤ:
1.Ví dụ 1:
Cho hai điểm A,B cố đđịnh .Tìm tập hợp
những điểm M trong không gian
sao cho diện tích tam ∆
MAB không đổi
Giải:
Gọi S là diện tích của tam ∆MAB

∆

A

H

Đặt d = d(M,AB) = MH
(H là hình chiếu của M xuống AB )

B

M

1
2S
Ta có: S = d . AB ⇔ d =
2
AB

2S
Suy ra M thuộc mặt trụ trục AB , bán kính R =
AB

Vậy quỹ tích của M là mặt trụ trục AB bán kính R.

9


2. Ví dụ 2:
Cho hai đđiểm A , B cố định , đường thẳng l
thay đđổi luôn đi qua A, không vuông góc

AB cách một khoảng không đđổi d .
CMR : luôn nằm trên một mặt nón .
H
Giải:
Gọi H là hình chiếu của B xuống l
Đặt α = MAH (α < 90 0 )

A

d

α

B

BH
d
sin α =
=
AB AB
Đường l đi qua điểm A cố định và tạo với đt AB 1 góc

Vậy:l luôn nằm trên mặt nón trụcAB,đỉnh A, gócở đỉnh

αkđ
2α

10