THAM LUẬN về TÍNH đơn điệu và cực TRỊ hàm số

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

SỞ GIÁO DỤC – DÀO TẠO TỈNH BÌNH PHƯỚC
TRƯỜNG THPT TX PHƯỚC LONG
----*O*----

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
GIẢI BÀI CÁC TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU,CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI
KHÔNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO DẤU TAM THỨC BẬC HAI

GIÁO VIÊN : LÊ QUỐC HOÀNG
ĐƠN VỊ : TRƯỜNG THPT TX PHƯỚC LONG

NĂM HỌC : 2010 – 2011
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long

1


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

MỞ ĐẦU
1/Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đều biết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là một trong
những bài toán không thể thiếu trong các kì thi Tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học.
Trong đó thường gặp nhiều bài toán “ Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu hoặc có cực trị
trong khoảng K ”. Khi giải bài toán này sẽ đưa đến vấn đề “tìm điều kiện để y’<0 (y’>0)
trên K hoặc phương trình y’= 0 có nghiệm trên K” .Đây thực chất là vấn đề so sánh

nghiệm của một phương trình bậc hai với số thực  . Nếu theo chương trình sách giáo
khoa cũ lớp 10 thì học sinh có thể vận dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai và
các hệ quả của nó để giải bài toán. Tuy nhiên có nhiều bài toán đưa đến việc phải xét
nhiều trường hợp do đó lời giải khá dài dòng và phức tạp. Hơn nữa , theo chương trình
sách giáo khoa mới của Bộ giáo dục đang phát hành thì phần kiến thức liên quan đến
định lí đảo và các hệ quả của nó đã được giảm tải. Do đó chúng ta gặp phải vấn đề “Làm
thế nào để giải bài toán trên một cách hiệu quả mà chỉ cần vận dụng các kiến thức
được học trình sách giáo khoa hiện hành”. Với suy nghĩ nhằm giúp các em tìm tòi,
sáng tạo và hứng thú hơn trong việc học tập môn toán đồng thời nâng cao chất lượng
giảng dạy nên tôi viết đề tài sang kiến kinh nghiệm “ Giải các bài toán về tính đơn
điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai”

2/Nội dung sáng kiến
A.Mở đầu
B.Nội dung đề tài
I.Cơ sở lý thuyết – Ví dụ minh họa
II.Bài tập thực hành
C. Kết quả và bài học kinh nghiệm
Phước Long, ngày 08 tháng 01 năm 2011.
Người viết

Lê Quốc Hoàng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long

2


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I.CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.Kiến thức cần nhớ
i) Phương trình bậc hai
a) Định nghĩa.

 Phương trình bậc hai đối với ẩn x ( x  R ) là phương trình có dạng:
ax 2  bx  c  0 1

 a  0

b)Cách giải.
 Tính   b 2  4ac
 Nếu   0 thì phương trình (1) vô nghiệm.
 Nếu   0 thì phương trình (1) có nghiệm kép x1  x2  

b
.
2a

 Nếu   0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
x1 

b  
b  
, x2 
2a
2a

c)Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm.
 Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x  R :
ax 2  bx  c  0 1  a  0  có hai nghiệm x1 , x2 thì
S  x1  x2 

b
c
, P  x1.x2  .
a
a

 Dấu các nghiệm:
 Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  P  0 .
  0
.
P  0

 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu  

  0

 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương   P  0 .
S  0

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long

3

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

  0

 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm   P  0 .
S  0


ii)Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
 Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến trên K là f '( x)  0, x  K
đồng thời f '( x)  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.
 Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) nghịch biến trên K là f '( x)  0, x  K
đồng thời f '( x)  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.

iii) Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị



Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 , khi đó nếu f có đạo hàm tại x0
thì f '( x0 )  0
Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa x0 và có đạo hàm
trên các khoảng (a;x0) và (x0;b) klhi đó :
 Nếu f '( x)  0, x  (a; x0 ) và f '( x)  0, x  ( x0 ; b) thì hàm số đạt cực tiểu

tại x0.

 Nếu f '( x)  0, x  (a; x0 ) và f '( x)  0, x  ( x0 ; b) thì hàm số đạt cực đại

tại x0.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long

4


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

2. Phương pháp giải toán

*Bài toán 1: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a  0)
Tìm điều kiện để hàm số (1) :
a) Đồng biến trên (;  ) .
b) Đồng biến trên ( ; ) .
c) Đồng biến trên ( ;  ) .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị

Txđ: D = R

Txđ: D = R

y '  f ( x)  3ax  2bx  c
a)Hàm số (1) đồng biến trong
khoảng (;  )
 f ( x)  0, x  (;  )
2

 a  0

   0
 a  0
 
  0
  f ( )  0

  S  2  0

y '  f ( x)  3ax 2  2bx  c
TH1: Nếu bpt: f ( x)  0  h(m)  g ( x) (i )
a)Hàm số(1) đồng biến trong khoảng (;  )
 h(m)  g ( x) , x  (;  )
 h(m)  Max g ( x)
(  ; ]

b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )
 h(m)  g ( x) , x  ( ; )
 h(m)  Max g ( x)
[ ;  )

c) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ;  )
 h(m)  g ( x) , x  ( ;  )
 h(m)  Max g ( x)
[ ;  ]

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long

5

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

b) Hàm số (1) đồng biến trong
khoảng ( ; )
 f ( x)  0, x  ( ; )

 a  0

   0
 a  0
 
  0
  f ( )  0

  S  2  0
c) Hàm số(1) đồng biến trong
khoảng ( ;  )
 f ( x)  0, x  ( ;  )


 a  0
   0

 a  0

    f ( )  0
    S  2  0

 
 f ( )  0
    S  2  0
   
   0

a  0
  f ( )  0

  f (  )  0

TH2: Nếu bpt: f ( x)  0 không đưa được về
dạng (i) thì ta đặt : t = x - 
Khi đó ta có:
y '  g (t )  3at 2  2(3a  b)t  3a 2  2b  c .
a)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng (;  )
 g (t )  0, t  0.
 a  0

   0
 a  0
 
  0
S  0

  P  0

b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )
 g (t )  0, t  0
 a  0


   0
 a  0
 
  0
S  0

  P  0

Nhận xét: Khi nhìn vào bài toán nhiều người sẽ nghĩ ngay đến việc sử dụng định lí đảo
về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của nó. Nhưng với cách làm như trên ta đã
hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán một cách dễ dàng bằng cách ứng dụng đạo hàm
hoặc sử dụng định lý Viet, tránh sử dụng các kiến thức đã được giảm tải trong sách
giáo khoa.
1
*Ví dụ 1: Cho hàm số : y =  m  1 x 3   2m  1 x 2  3  2m  1 x  1 (1) (m  1)
3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long

6


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

Tìm các giá trị của m để hàm số:
a) Đồng biến trên khoảng (; 1) .
b) Đồng biến trên khoảng (1; ) .
c) Đồng biến trên khoảng (1;1) .
Lời giải thường gặp

Lời giải đề nghị

Txđ: D = R

Txđ: D = R

(m  1) x  2(2m  1) x  3(2m  1)
a)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng
(; 1)
 f ( x)  0, x  (; 1)

(m  1) x 2  2(2m  1) x  3(2m  1)
Ta có: y '  0  f ( x)  0.
 (m  1) x 2  2(2m  1) x  3(2m  1)  0.

y '  f ( x) 
2

 a  0

  '  0
 a  0
 
 '  0
  f (1)  0

  S  2(1)  0
 m  1  0


2
  2 m  7 m  4  0
 m  1  0

   2 m 2  7 m  4  0
 
 11m  4  0
 m
0

  m  1
1

m  2
4

 m
11
4 m 1
11
2
4
thì hàm số (1) đồng
Kết luận : m 
11
biến trong khoảng (; 1)

y '  f ( x) 

 x2  2 x  3

.
x2  4 x  6
 x2  2 x  3
Đặt : g ( x)  2
.
x  4x  6
6 x 2  18
.
 g '( x)  2
( x  4 x  6) 2
a)Hàm số(1) đồng biến trong khoảng
(; 1)  y '  0, x  (1; )
 m  g ( x), x  (; 1)
 m  Max g ( x)
 m

(  ;1]

Xét : y  g ( x) , x  (; 1]
Ta có bảng biến thiên:
x
g’(x)
g(x)



-1
+
4
11

-1
Từ bảng biến thiên ta được : m 
Kết luận : m 

4
11

4
thì hàm số (1) đồng
11

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long

7


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

b)Hàm số đồng biến trong khoảng
(1; )
 f ( x)  0, x  (1; ).

 a  0

  '  0
 a  0
 
 '  0

  f (1)  0

  S  2.1  0
 m  1  0

2
 2m  7m  4  0
 m 1  0
 
  2m 2  7m  4  0
 
 3m  0
 m  2
0

  m  1
1

m  2
 m0

1
0  m 

2
Kết luận : m  0 thì hàm số (1) đồng
biến trong khoảng (1; )
c)Hàm số đồng biến trong khoảng (1;1)
 f ( x)  0, x  (1;1)

biến trong khoảng (; 1)
b)Hàm số đồng biến trong khoảng (1; )
 y '  0, x  (1; )
 m  g ( x), x  (1; )
 m  Max g ( x)
[1;  )

Xét : y  g ( x) , x  [1; )
Ta có bảng biến thiên:
1
x
g’(x)
g(x) 0

-



3
0

+
-1
-4

Từ bảng biến thiên ta được : m  0
Kết luận : m  0 thì hàm số (1) đồng
biến trong khoảng (1; )

c)Hàm số đồng biến trong khoảng (1;1)

 y '  0, x  (1;1)
 m  g ( x), x  (1;1)
 m  Max g ( x)
[ 1;1]

Xét : y  g ( x) , x  [1;1].
Ta có bảng biến thiên:
x

-1

0

1

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long

8


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com



 a  0
  '  0

 a  0


    f (1)  0
    S  2(1)  0
 
    f (1)  0
    S  2.1  0
   
  '  0

a  0

  f (1)  0
  f (1)  0

+

g’(x)
g(x)

0

-

1
2
4
11

Từ bảng biến thiên ta được : m 

0

1
2

1
thì hàm số (1) đồng
2
biến trong khoảng (1;1)

Kết luận : m 


 m 1  0
 
  2 m 2  7 m  4  0

  2 m 2  7 m  4  0

   3m  0
    m  2
0

1
 m  1

 m
 
 11m  4  0
2

 m  0

    m  1

 m  1  0

 m  1  0
 3m  0

 11m  4  0

1
thì hàm số (1) đồng
2
biến trong khoảng (1;1)

Kết luận : m 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long

9


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

Nhận xét: Với bài toán này nếu sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì ta
đã phải sử dụng kiến thức đã được giảm tải hơn nữa lời giải khá phức tạp, với cách giải
quyết như trên ta có được lời giải khá ngắn gọn và dễ hiểu sẽ tạo được nhiều hứng thú
cho học sinh.
*Bài toán 2: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a  0)
a)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên (;  ) .

b)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; ) .
c)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ;  ) .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị

Txđ: D = R

Txđ: D = R

y '  f ( x)  3ax  2bx  c
a)Hàm số (1) nghịch biến trong
khoảng (;  )
 f ( x)  0, x  (;  )
2

 a  0

   0
 a  0
 
  0
  f ( )  0

  S  2  0

y '  f ( x)  3ax 2  2bx  c
TH1: Nếu bpt: f ( x)  0  g ( x)  h(m) (i )
a)Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng
(;  )
 h(m)  g ( x) , x  (;  )

 h(m)  Max g ( x)
(  ; ]

b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ; )
 h(m)  g ( x) , x  ( ; )
 h(m)  Max g ( x)
[ ;  )

c) Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( ;  )

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

b) Hàm số (1) nghịch biến trong
khoảng ( ; )
 f ( x)  0, x  ( ; )

 a  0

   0
 a  0
 
  0
  f ( )  0


  S  2  0
c) Hàm số(1) nghịch biến trong
khoảng ( ;  )
 f ( x)  0, x  ( ;  )


 a  0
   0

 a  0

    f ( )  0
    S  2  0
 
 f ( )  0
    S  2  0
   
   0

a  0
  f ( )  0


  f (  )  0
*Ví dụ 2: Cho hàm số : y =

 h(m)  g ( x) , x  ( ;  )
 h(m)  Max g ( x)
[ ;  ]

TH2: Nếu bpt: f ( x)  0 không đưa được về
dạng (i) thì ta đặt : t = x - 
Khi đó ta có:
y '  g (t )  3at 2  2(3a  b)t  3a 2  2b  c .
a)Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng
(;  )
 g (t )  0, t  0

 a  0

   0
 a  0
 
  0
S  0

  P  0
b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ; )
 g (t )  0, t  0
 a  0

   0
 a  0
 
  0
S  0

  P  0

1 2
m  1 x3   m  1 x 2  2 x  1 (1) (m  1)

3

Tìm các giá trị của m để hàm số (1):
a) Nghịch biến trên khoảng (; 2) .
b) Nghịch biến trên khoảng (2; ) .
Lời giải thường gặp

Lời giải đề nghị

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

Txđ : D = R
y’ = f(x) = (m 2  1) x 2  2(m  1) x  2
a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(; 2)
 f ( x)  0, x  (; 2)

Txđ : D = R
y’ = f(x) = (m 2  1) x 2  2(m  1) x  2
Đặt t = x – 2 ta được :
y’ = g(t) =

 a  0

  '  0
 a  0
 
 '  0
  f (2)  0

  S  2.2  0

a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(; 2)

 m 2  1  0
 2
 3m  2m  1  0
 2
 m  1  0
  3m 2  2m  1  0
 
 4m 2  4m  10  0

  4m  6  0
  m  1
1

 m 1
3
1
 m  1 thì hàm số

Kết luận: Với
3
(1) nghịch biến trong khoảng (; 2)

b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(2; )  f ( x)  0, x  (2; )

(m 2  1)t 2  (4m 2  2m  6) x  4m 2  4m  10

 a  0

   0
 a  0
 g (t )  0, t  0   
  0
S  0

  P  0
 m 2  1  0
 2
 3m  2m  1  0
 2
 m  1  0
  3m 2  2m  1  0
 
 4m 2  4m  10  0

  2m  3  0
  m  1
1


 m 1
3
1
 m  1 thì hàm số (1)
Kết luận: Với
3
nghịch biến trong khoảng (; 2)

b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(2; )

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

 a  0

  '  0
 a  0
 
 '  0
  f (2)  0

  S  2.2  0

 a  0


   0
 a  0
 g (t )  0, t  0   
  0
S  0

  P  0

 m 2  1  0
 2
 3m  2m  1  0
 2
 m  1  0
  3m 2  2m  1  0
 
 4m 2  4m  10  0

  4m  6  0
  m  1
 1  m  1

 m 2  1  0
 2
 3m  2m  1  0
 2
 m  1  0
  3m 2  2m  1  0
 
 4m 2  4m  10  0


  2m  3  0
  m  1
 1  m  1
Kết luận: Với 1  m  1 thì hàm số (1)
nghịch biến trong khoảng (2; )

Kết luận: Với 1  m  1 thì hàm số
(1) nghịch biến trong khoảng (2; )

*Nhận xét : Trong bài toán này ta đã dùng phương pháp đổi biến số để chuyển từ bài
toán phải sử dụng kiến thức đã được giảm tải về bài toán quen thuộc chỉ sử dụng kiến
thức về định lý Viet đã được học trong chương trình lớp 10.Với cách làm này sẽ tạo sự
hứng thú đối với học sinh.

ax 2  bx  c
(2), (a, d  0) .
dx  e
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (;  ) .
*Bài toán 3: Cho hàm số : y 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 13
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên ( ; ) .
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên ( ;  ) .

Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị
 e 
 e 
Txđ: D  R \  
Txđ: D  R \  
d 
d 
2
2
adx  2aex  be  dc
f ( x)
adx  2aex  be  dc
f ( x)


y'
y'
2
2
2
2
 dx  e 
 dx  e 
 dx  e 
 dx  e 
a)Hàm số (2) đồng biến trong
khoảng (;  )
 y '  0, x  (;  )
 e

 
d
 f ( x)  0, x   ( I )

 ad  0

   0
 ad  0
( I )  
  0
  f ( )  0

  S  2  0

TH1: Nếu: f ( x)  0  g ( x)  h(m) (i )
a)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng (;  )
 e
 
d
 g ( x)  h(m), x  
 e
 
d
h(m)  Min g ( x)
(  ; ]

b)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng ( ; )
 e
 
d

 g ( x)  h(m), x  
 e
 
d
h(m)  Min g ( x)
[ ;  )

c) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng ( ;  )

 e
   ;  
d
 g ( x)  h(m), x  ( ;  )
 e
   ;  
d
h(m)  Min g ( x)
[ ;  ]


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

b)Hàm số (2) đồng biến trong
khoảng ( ; )
 y '  0, x  ( ; )

 e
 
d
 f ( x)  0, x   ( I )
 ad  0

   0
 ad  0
( II )   
  0
  f ( )  0

  S  2  0

c) Hàm số (2) đồng biến trong
khoảng ( ;  )
 y '  0, x  ( ;  )
 e
  ( ;  )
d
 f ( x)  0, x  ( ;  ) ( III )

TH2: Nếu bpt: f ( x)  0 không đưa được về
dạng (i) thì ta đặt : t = x - 
Khi đó bpt: f ( x)  0 trở thành : g (t )  0 , với:
g (t )  adt 2  2a (d  e)t  ad 2  2ae  be  dc
a)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng (;  )
 e
 
d

 g (t )  0, t  0 (ii )
 a  0

   0
 a  0
(ii )   
  0
S  0

  P  0
b)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng ( ; )
 e
 
d
 g (t )  0, t  0 (iii )
 a  0

   0
 a  0
(iii )   
  0
S  0

  P  0

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 15
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

www.vnmath.com



 ad  0
   0

 ad  0

    f ( )  0
    S  2  0
(III)    
 f ( )  0
    S  2  0
   
   0

ad  0
  f ( )  0

  f (  )  0
*Nhận xét: Đây là bài toán thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh đại học với
cách làm như trên có thể giúp các em giải quyết hầu hết các bài toán dạng này mà
không cần sử dụng kiến thức lien quan đến đinh lý dảo về dấu của tam thức bậc hai đã
được giảm tải
2 x 2  3x  m
*Ví dụ 3: Cho hàm số: y 
(2).
x 1
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (; 1) .

b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (2; ) .
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (1; 2) .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

Txđ : D = R
2x2  4x  3  m
f ( x)
y'
.

2
( x  1)
( x  1) 2
a)Hàm số (2) đồng biến trên (; 1)
 y '  0, x  (; 1)
 f ( x)  0, x  1
 a  0

  '  0
 a  0
 
 '  0

  f (1)  0

  S  2(1)  0
m  1

m9
  m  1

 9  m  0
Kết luận: Vậy m  9 thì hàm số (2)
đồng biến trên (; 1)
b)Hàm số (2) đồng biến trên (2; )
 y '  0, x  (2; )

 f ( x)  0, x  2
 a  0

  '  0
 a  0
 
 '  0
  f (2)  0

  S  2.2  0
m  1

 m3
  m  1

 3  m  0

Kết luận: Vậy m  3 thì hàm số (2)
đồng biến trên (2; )

Txđ : D = R
2x2  4x  3  m
f ( x)
y'
.

2
( x  1)
( x  1) 2
Ta có: f ( x)  0  m  2 x 2  4 x  3
g ( x)  2 x 2  4 x  3
Đặt :
 g '( x)  4 x  4
a)Hàm số (2) đồng biến trên (; 1)
 y '  0, x  (; 1)
 m  Min g ( x)
(  ; 1]

Ta có bảng biến thiên của hàm số:
g ( x), x  (; 1]

x

g’(x)
g(x)

-1



9
Kết luận: Vậy m  9 thì hàm số (2) đồng

biến trên (; 1)
b)Hàm số (2) đồng biến trên (2; )
 y '  0, x  (2; )
 m  Min g ( x)
[2;  )

Ta có bảng biến thiên của hàm số:
g ( x), x  [2; )

2
x
g’(x)
g(x)



+


3
Kết luận: Vậy m  3 thì hàm số (2) đồng biến
trên (2; )
c)Hàm số (2) đồng biến trên (1; 2)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 17
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

c)Hàm số (2) đồng biến trên (1; 2)
 y '  0, x  (1; 2)
 f ( x)  0, x  (1; 2)
m  1
 '  0


 m  1
  '  0
   1  m  0
    f (1)  0

    
 
2.1
0
S


   0  0




    f (2)  0
   3  m  0
    S  2.2  0
   2  0


 m 1

 y '  0, x  (1; 2)
 m  Min g ( x)
[1;2]

Ta có bảng biến thiên của hàm số:
g ( x), x  [1; 2].

x
g’(x)
g(x)

1

2
+
3

1
Kết luận:
Vậy m  1 thì hàm số (2) đồng biến trên (1; 2)

Kết luận:

Vậy m  1 thì hàm số (2) đồng biến
trên (1; 2)
*Nhận xét: Qua bài toán này thêm một lần nữa giúp chúng ta thấy rõ đối với các bài
toán có thể ứng dụng đạo hàm để giải thì lời giải của bài toán sẽ ngắn gọn và dễ dàng
hơn rất nhiều.
ax 2  bx  c
*Bài toán 4: Cho hàm số : y 
(2), (a, d  0) .
dx  e
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (;  ) .
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ; ) .
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ;  ) .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

 e 

d 
adx 2  2aex  be  dc

y'

 dx  e 

2



f ( x)

 dx  e 

a)Hàm số (2) nghịch biến trong
khoảng (;  )
 y '  0, x  (;  )
 e
 
d
 f ( x)  0, x   ( I )

 ad  0

   0
 ad  0
( I )  
  0
  f ( )  0

  S  2  0

 e 

d 

adx 2  2aex  be  dc

Txđ: D  R \ 

Txđ: D  R \ 

2

y'

 dx  e 

2



f ( x)

 dx  e 

2

TH1: Nếu: f ( x)  0  g ( x)  h(m) (i )
a)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng (;  )
 e
 
d
 g ( x)  h(m), x  
 e
 

d
h(m)  Min g ( x)
(  ; ]

b)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng ( ; )
 e
 
d
 g ( x)  h(m), x  
 e
 
d
h(m)  Min g ( x)
[ ;  )

c) Hàm số (2) nghịch biến trong khoảng ( ;  )
 e
   ;  
d
 g ( x)  h(m), x  ( ;  )
 e
   ;  
d
h(m)  Min g ( x)
[ ;  ]


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 19
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

b)Hàm số (2) nghịch biến trong
khoảng ( ; )
 y '  0, x  ( ; )
 e
 
d
 f ( x)  0, x   ( I )
 ad  0

   0
 ad  0
( II )   
  0
  f ( )  0

  S  2  0

c) Hàm số (2) nghịch biến trong
khoảng ( ;  )
 y '  0, x  ( ;  )
 e
  ( ;  )
d
 f ( x)  0, x  ( ;  ) ( III )

TH2: Nếu bpt: f ( x)  0 không đưa được về

dạng (i) thì ta đặt : t = x - 
Khi đó bpt: f ( x)  0 trở thành : g (t )  0 , với:
g (t )  adt 2  2a (d  e)t  ad 2  2ae  be  dc
a)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng (;  )
 e
 
d
 g (t )  0, t  0 (ii )
 a  0

   0
 a  0
(ii )   
  0
S  0

  P  0
b)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng ( ; )
 e
 
d
 g (t )  0, t  0 (iii )

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 20
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com



 ad  0
   0

 ad  0

    f ( )  0
    S  2  0
(III)    
 f ( )  0
    S  2  0
   
   0

ad  0
  f ( )  0

  f (  )  0

 a  0

   0
 a  0
(iii )   
  0
S  0

  P  0

x 2  2mx  3m 2
*Ví dụ 4: Cho hàm số: y 
(2).
2m  x
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (;1) .
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (1; ) .
Lời giải thường gặp
Txđ : D = R\{2m}
f ( x)
 x 2  4mx  m 2
y'
.

2
( x  2m)
( x  2m) 2
a)Hàm số (2) nghịch biến trên (;1)
 y '  0, x  (;1)

 2m  1

 f ( x)  0, x  1 ( I )
 '  0

 '  0
( I )  
  f (1)  0

  S  2.1  0

Lời giải đề nghị
Txđ : D = R\{2m}
f ( x)
 x 2  4mx  m 2
y'
.

2
( x  2m)
( x  2m) 2

Đặt : t = x-1
Khi đó bpt: f ( x)  0 trở thành :
g (t )  t 2  2(1  2m)t  m 2  4m  1  0
a)Hàm số (2) nghịch biến trên (;1)
 y '  0, x  (;1)
 2m  1

 g (t )  0, t  0 (i )

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 21
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

m  0

m  0

m  0

  2
   m  4m  1  0
m  2  3

 4m  2  0

Kết luận: Với m  2  3 thì hàm số
(2) nghịch biến trên (;1)

 '  0

 '  0

(i )  
S  0

  P  0
m  0

m  0
m  0

 
  4m  2  0
m  2  3
 2
 m  4m  1  0

Kết luận: Với m  2  3 thì hàm số (2)
b)Hàm số (2) nghịch biến trên (1; )
 y '  0, x  (1; )

nghịch biến trên (;1)
b)Hàm số (2) nghịch biến trên (1; )
 y '  0, x  (1; )

 2m  1
 2m  1


 f ( x)  0, x  1 ( II )
 g (t )  0, t  0 (ii )
 '  0
 '  0


 '  0
 '  0


( II )  
(ii )  
S  0
  f (1)  0


  P  0
  S  2.1  0

m  0
m  0


m  0
m  0

 m  2 3
 m  2 3
 
  2
   m  4m  1  0
  4m  2  0

 2
 4m  2  0
 m  4m  1  0
Kết luận: Với m  2  3 thì hàm số Kết luận: Với m  2  3 thì hàm số (2)
(2) nghịch biến trên (1; )
nghịch biến trên (1; )
3
2
*Bài toán 5: Cho hàm số : y = ax + bx + cx + d (1) (a  0).
Tìm điều kiện để hàm số (1) :
a) Có cực trị trong (;  ) .
b) Có cực trị trong ( ; ) .
c) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1    x2 .

d) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1  x2   .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 22

GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

e) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn :   x1  x2 .

Lời giải thường gặp

Txđ: D = R

Lời giải đề nghị

Txđ: D = R

y '  f ( x)  3ax  2bx  c
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
(;  )
 f ( x)  0 có nghiệm trong
khoảng (;  ) .
2

 af ( )  0

 '  0
 
 af ( )  0

  S  2  0

b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
( ; )
 f ( x)  0 có nghiệm trong
khoảng ( ; ) .

y '  f ( x)  3ax 2  2bx  c

dạng (i) thì ta đặt : t = x -  khi đó :
y '  g (t )  3at 2  2(3a  b)t  3a 2  2b  c .
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng (;  )
 f ( x)  0 có nghiệm trong khoảng (;  ) .
 g (t )  0 có nghiệm: t < 0
P  0

 '  0
 
S  0

  P  0
b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng ( ; )
 f ( x)  0 có nghiệm trong khoảng ( ; ) .
 g (t )  0 có nghiệm: t > 0
P  0

 '  0

 
S  0

  P  0

 af ( )  0

 '  0
 
 af ( )  0

  S  2  0
c)Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2
thõa mãn : x1    x2 .

c) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn :
x1    x2 .

 f ( x)  0 có hai nghiệm x1, x2
thõa mãn : x1    x2
 af ( )  0

 g (t )  0 có hai nghiệm t1,t2
thõa mãn : t1  0  t2
 P0

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 23
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

d) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2

thõa mãn : x1  x2  

d) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn :
x1  x2   .

 f ( x)  0 có hai nghiệm x1, x2
thõa mãn : x1  x2  

 g (t )  0 có hai nghiệm t1,t2
thõa mãn : t1  t2  0

 '  0

 af ( )  0
 S  2  0


 '  0

 S  0
P  0


e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2
thõa mãn :   x1  x2

e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn :
  x1  x2

 f ( x)  0 có hai nghiệm x1, x2

thõa mãn :   x1  x2

 g (t )  0 có hai nghiệm t1,t2
thõa mãn : 0  t1  t2

 '  0

 af ( )  0
 S  2  0


 '  0

 S  0
P  0


Nhận xét: Thoạt nhìn bài toán này thể hiện rõ phải dùng kiến thức về so sánh các
nghiệm của một tam thức bậc hai với một số thực  . Nhưng với cách làm trên ta đã

đưa về bài toán quen thuộc so sánh các nghiệm với số 0. Đây là bài toán tổng
quát học sinh có thể dùng cách này để giải quyết được rất nhiều bài toán tương
tự mà không cần sử dụng các kiến thức liên quan đến định lý đảo về dấu của tam
thức bậc hai.
*Ví dụ 5: Cho hàm số : y =

1 3
x  mx 2  (m 2  m  1) x  1 (1).
3

Tìm điều kiện để hàm số (1):
a) Có cực trị trong (;1) .
b) Có cực trị trong (1; ) .
c) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1  1  x2 .
d) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1  x2  1 .
e) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1  x1  x2 .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 24
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long


Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
www.vnmath.com

Lời giải thường gặp

Lời giải đề nghị

Txđ: D = R
y’ = f(x) = x 2  2mx  m2  m  1

Txđ: D = R
y’ = f(x) = x 2  2mx  m2  m  1
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
 Đặt t  x  1  x  t  1 ta được :
(;1)
 f ( x)  0 có nghiệm trong
khoảng (;1) .
 af (1)  0


 '  0

 
 af (1)  0

  S  2.1  0
 m 2  3m  2  0

 m  1  0
1 m  2
  2
m  3m  2  0


 2m  2  0
Kết luận: Với 1  m  2 thì hàm
số(1) có cực trị trong khoảng (;1)
b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
(1; )
 f ( x)  0 có nghiệm trong
khoảng (1; ) .

 af (1)  0

 '  0

 
 af (1)  0

  S  2.1  0

 m 2  3m  2  0

 m  1  0
1 m
  2
m  3m  2  0


 2m  2  0

y '  g (t )  t 2  2 1  m  t  m 2  3m  2

a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng (;1)
 f ( x)  0 có nghiệm trong khoảng (;1) .
 g (t )  0 có nghiệm: t < 0
P  0

 '  0
 
S  0

  P  0

 m 2  3m  2  0

m  1  0
  
2m  2  0

 2

 m  3m  2  0

1 m  2

Kết luận: Với 1  m  2 thì hàm số(1) có cực trị

trong khoảng (;1)

b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng (1; )
 f ( x)  0 có nghiệm trong khoảng (1; ) .
 g (t )  0 có nghiệm: t > 0
P  0

 '  0

 
S  0

  P  0

 m 2  3m  2  0

m  1  0
  
2m  2  0


2
 m  3m  2  0

1 m

Kết luận:Với m  1 thì hàm số(1) có cực trị

trong khoảng (1; )

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 25
GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long