Tổng hợp các câu hỏi phụ khảo sát hàm số

www.VNMATH.com

TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI PHỤ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài 1.
2x
biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B mà
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
x−2
√
tam giác OAB thỏa mãn AB = OA 2
Giải
2x0
−4
Cách 1 Gọi M(x0 ; y0 ), (x0 = 2) thuộc đồ thị hàm số. Pt tiếp tuyến d tại M có dạng: y−
(x−
=
x0 − 2 (x0 − 2)2
x0 )
√
Do tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy tại các điểm A, B và tam giác OAB có AB = OA 2 nên tam giác OAB
vuông cân tại O. Lúc đó tiếp tuyến d vuông góc với một trong 2 đường phân giác y = x hoặc y = −x
−4
+TH1: d vuông góc với đường phân giác y = x Có:
= −1 ⇔ x0 = 0 ∨ x0 = 4
(x0 − 2)2
Với x0 = 0 ⇒ ptd : y = −x (loại)
Với x0 = 4 ⇒ ptd : y = −x + 8
−4
+TH2: d vuông góc với đường phân giác y = −x Có
.(−1) = −1 pt vô nghiệm. Vậy có 1 tiếp tuyến
(x0 − 2)2

thỏa yêu cầu bài toán d : y = −x + 8
π
OA
1
Cách 2 nhận xét tam giác AOB vuông tại O nên ta có : sin(ABO) =
= √ = sin
AB
4
2
nên tam giác AOB vuông cân tại O. phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M = (x0 ; y0 ) có dạng :
2x0
4
(x − x0 ) +
y=−
2
(x0 − 2) )
x0 − 2
2
2
x0
2x0
dễ dàng tính được A =
; 0 và B = 0;
2
(x0 − 2)2
yêu cầu bài toán lúc này tương đương với việc tìm x0 là nghiệm của phương trình
2x02
x02
=
⇔ x03 (x0 − 4) = 0

2
(x0 − 2)2
+) với x0 = 0 ta có phương trình tiếp tuyến là : y + x = 0
+) với x = 4 thì phương trình tiếp tuyến là : y = −x + 4
Bài 2.
1
1
Tìm các giá trị của m để hàm số y = x3 − m.x2 + m2 − 3 x có cực đại x1 , cực tiểu x2 đồng thời x1 ; x2
3
2
5
là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng
2
Giải
Cách 1 Mxđ: D = R Có y′ = x2 − mx + m2 − 3 y′ = 0 ⇔ x2 − mx + m2 − 3 = 0
Hàm số có cực đại x1 ,cực tiểu x2 thỏa yêu cầu bài toán khi và chỉ khi pt y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt dương,
triệttiêu và đổi dấu
 qua 2 nghiệm đó 



2






−2 < m < 2
∆ > 0

4 − m > 0
√
⇔ 3 < m < 2(*)
⇔ S>0 ⇔ m>0
⇔ m>0






√
√



P > 0
m2 − 3 > 0
m < − 3 ∨ m > 3

x + x = m
1
2
Theo vi-et có:
x1 x2 = m2 − 3
√
14
5
Mà x12 + x22 = ⇔ 2(x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = 5 ⇔ 2m2 − 4(m2 − 3) = 5 ⇔ m = ±
2

2
√
14
Đối chiếu đk (*) ta có giá trị m =
thỏa yêu cầu bài toán
2

www.VNMATH.com

1

www.VNMATH.com


www.VNMATH.com
Cách 2 Yêu cầu bài toán chính là việc tìm m để hàm số có 2 cực trị thỏa mãn

x12 + x22 =

5
2

ta có : y′ = x2 − mx + m2 δy′′ = 3 > 0 hàm số đã cho luôn có 2 cực trị

5
5
(x1 + x2 )2 − 2x1 x2 =
(1)
2
2


x + x = m
7
1
2
′
vì x1 ; x2 là nghiệm của phương trình y = 0 nên ta có
thay vào (1) ta được : m2 =
2
x1 x2 = m − 3
2
mặt khác theo bài ra ta có :

x12 + x22 =

vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là :m =

7
hoặc m = −
2

7
2

Bài 3.
1
Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị (Cm ) : y = mx3 + (m − 1)x2 + (4 − 3m)x + 1 tồn tại đúng 2
3
điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (L) : x + 2y − 3 = 0.
Giải

Cách 1: Có y′ = mx2 + 2(m − 1)x + 4 − 3m
1
Từ yêu cầu bài toán dẫn đến pt: y′ · −
= −1 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt ⇔ mx2 + 2(m − 1)x +
2
2 − 3m = 0 có 2 nghiệm
dương
phân
biệt.





m
=
0
m=0



m=0











1



∆′ > 0
4m2 − 4m + 1 > 0
m = 1
0
2
2
⇔ m−1
⇔ 1
⇔
⇔
2



<
0



0S>0




m



2
3






 2 − 3m > 0
0 < m < 2
P>0
3
m
1 2
1
∪
là các giá trị cần tìm của m
Vậy m ∈ 0;
;
2
2 3
Cách 2: Có y′ = mx2 + 2(m − 1)x + 4 − 3m
1
Từ yêu cầu bài toán dẫn đến pt: y′ · −

= −1 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt ⇔ mx2 + 2(m − 1)x +
2
2 − 3m = 0 (1) có 2 nghiệm dương phân biệt
Th1: m = 0 từ (1) ta có x = −1 (loại)
1
Th2: m = từ (1) ta có x = ±1 (loại)
2
2 − 3m
1
Th3: m = 0; m = từ pt (1) có 2 nghiệm x = 1 ∨ x =
2
m
2 − 3m
2
Điều kiện bài toán dẫn đến: :
>0⇔0m
3
1 2
1
;
Kết hợp với cả 3 trường hợp trên ta có giá trị m cần tìm:m ∈ 0;
∪
2
2 3
Bài 4.
Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) :y = x3 − 3x + 2 tại 3 điểm phân biệt A, B,C sao cho
√
xA = 2 và BC = 2 2
Giải

Bài 5.
Cho hàm số y = 4x3 − 6mx2 + 1, m là tham số.Tìm m để đường thẳng d : y = −x + 1 cắt đồ thị hàm số
tại 3 điểm A(0; 1), B,C và B,C đối xứng qua đường phân giác thứ nhất.
Giải
Giao của (C) và (d) có hoành độ là nghiệm của phương trình:
4x3 − 6mx2 + 1 = −x + 1 ⇔ x(4x2 − 6mx + 1) = 0

www.VNMATH.com

2

www.VNMATH.com


www.VNMATH.com
Để pt có 3 n0 phân biệt thì 4x2 − 6mx + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt
2
−2
⇒ ∆′ = 9m2 − 4 > 0 ⇔ m > , m <
3
3
Gọi
B(x
;
−x
+
1),C(x
;
−x
+

1)
Để
B và C đối xứng qua đường phân giác thứ 1 thì:
1
1
2
2


x = −x + 1
x = y
3
2
1
2
1
2
⇔
⇔ x1 + x2 = 1 ⇔ m = 1 ⇔ m =
x2 = −x1 + 1
y1 = x2
2
3

So sánh với đk, thấy không tìm được m thỏa mãn
Bài 6.
đề thi thử lần 2 LQĐ Bình Định
Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m2 − 4,m là tham số thực.Xác định m để hàm số đã cho có 3 cực trị tạo
thành một tam giác có diện tích bằng 1
Giải

Mxđ: D = R. Có y′ = 4x3 − 4mx.
y′ = 0 ⇔ 4x3 − 4mx = 0 ⇔ x = 0 ∨ x2 = m. Hàm số có 3 cực trị ⇔ m > 0
(∗)
√
√
Gọi A(0; 2m2 − 4); B( m; m2 − 4);C(− m; m2 − 4) là 3 điểm cực trị.
Nhận xét thấy B,C đối xứng qua Oy và A thuộc Oy nên ∆ABC cân tại A.
1
Kẻ AH⊥BC có S∆ABC = AH.BC ⇔ 2 = |yB − yA | |2xB |
2
√
⇔ 2 = 2m2 . m ⇔ m = 1 Đối chiếu với điều kiên (∗) có m = 1 là giá trị cần tìm.
Bài 7.
x−2
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B sao
Cho hàm số y =
x+1
cho bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác OAB lớn nhất
Giải
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.
Giao điểm hai đường tiệm cận I (−1; 1). Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hoành độ
x0 − 2
3
(x
−
x
)
+
x0 , phương trình tiếp tuyến có dạng: y =
0

x0 + 1
(x0 + 1)2
x0 − 5
Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng x = −1 tại điểm A −1;
, và cắt tiệm cận đứng tại điểm B (2x0 + 1; 1).
x0 + 1
6
x0 − 5
−1 =
; IB = |2x0 + 1 − (−1)| = 2|x0 + 1|
Ta có:IA =
|x0 + 1|
x0 + 1
6
1
Nên: IA.IB =
.2 |x0 + 1| = 12. Do vậy, diện tích tam giác IAB là: S = IA.IB = 6.
|x0 + 1|
2
6
S
Gọi p là nửa chu vi tam giác IAB, thì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác này là:r = = .
p p
Bởi vậy, r lớn nhất khi và chỉ khi p nhỏ nhất. Mặt khác, tam giác IAB vuông tại I nên:
√
√
√
√
√
2p = IA + IB + AB = IA + IB + IA2 + IB2 ≥ 2 IA.IB + 2IA.IB = = 4 3 + 2 6

√
Dấu ’=’ xảy ra khi IA = IB ⇔ (x0 + 1)2 = 3 ⇔ x = −1 ± 3
√
√
- Với x = −1 − 3 ta có tiếp tuyến: d1 : y = x + 2 1 + 3
√
√
- Với x = −1 + 3 ta có tiếp tuyến: d1 : y = x + 2 1 − 3
Bài 8.
2mx + 3
. Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận. Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của hàm số cắt hai
Cho hàm số y =
x−m
tiệm cận tại A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64
Giải
Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = m và đường tiệm cận ngang là
y = 2m. Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là I (m; 2m).
2mx0 + 3
(với x0 = m) là điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số đã cho.
Gọi M x0 ;
x0 − m

www.VNMATH.com

3

www.VNMATH.com


www.VNMATH.com

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm này là: y = −
+ 2m2 + 6

2m2 + 3
(x0 − m)

2

(x − x0 ) +

2mx0 + 3
x0 − m

2mx0
và cắt tiệm cận ngang tại B (2x0 − m; 2m).
x0 − m
2mx0 + 2m2 + 6
4m2 + 6
Ta có: IA =
− 2m =
; IB = |2x0 − m − m| = 2 |x0 − m|
x0 − m
x0 − m
1
Nên diện tích tam giác IAB là: S = IA.IB = 4m2 + 6
2
√
58
Bởi vậy, yêu cầu bài toán tương đương với: 4m2 + 6 = 64 ⇔ m = ±
2

Bài 9.
Tìm m sao cho đồ thị hàm số y = x4 − 4x2 + m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho diện tích
hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành có phần trên bằng phần dưới
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và Ox:x4 − 4x2 + m = 0 (1)
Đặt t = x2 ≥ 0. Lúc đó có pt: t 2 − 4t + m = 0 (2)
Để 
(C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt khi pt (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiêm phân biệt t > 0

′


∆ = 4 − m > 0
⇔ S=4>0
⇒ 0 < m < 4 (i)



P = m > 0
Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng tại A m;

Gọi t1 ;t2 (0 < t1 < t2 ) là 2 nghiệm của pt (2). Lúc đó pt(1) có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là:
√
√
√
√
x1 = − t2 ; x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2
Do tính đối xứng của đồ thị (C) nên có:
x3
x4

x5 4x3
(x4 − 4x2 + m) dx =
(−x4 + 4x2 − m) dx ⇒ 4 − 4 + mx4 = 0 ⇒ 3x44 − 20x42 + 15m = 0
5
3
0
x3

x4 − 4x2 + m = 0
(3)
4
Từ đó có x4 là nghiệm của hpt: 4
3x4 − 20x2 + 15m = 0 (4)
4
4

9m2
20
3m
3m
Thay x42 =
vào (3) có:
− 5m = 0 ⇒ m = 0 ∨ m =
2
2
4
9
20
Đối chiếu điều kiện (i) có m =
là giá trị cần tìm.

9
Bài 10.
Cho hàm số y = x4 − 2(1 − m2 )x2 + m + 1. Tìm m để hàm số đã cho có ba điểm cực trị và ba điểm cực
trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.
Giải
′
y = 4x3 − 4x(1 − m2 ) = 0 ⇔ x = 0, x2 = 1 − m2
Hàm số có 3 cực trị ⇔ −1 < m < 1
Khi đó, tọa độ điểm cực đại là A(0; 1 + m),
√
√
√
√
tọa độ 2 điểm cực tiểu là B(− 1 − m2 ; 1 − m2 );C( 1 − m2 ; 1 − m2 )
5
1
2
Diện tích tam giác ABC là: SABC = d(A; BC).BC = (1 − m ) 2 ≤ 1. Dấu = xảy ra khi m = 0.
2
Đáp số: m = 0
Bài 11.
−x + 1
Cho hàm số y =
có đồ thị là (H). Tìm trên (H) điểm M để tiếp tuyến tại M có hệ số góc lớn
x−3
√
2 5
hơn 1 tạo với đường thẳng ∆ : 3x + 4y − 1 = 0 một góc có giá trị bằng
25

Lấy 3.(3) − (4) ⇒ x42 =

www.VNMATH.com

4

www.VNMATH.com


www.VNMATH.com
Giải
Vì chỉ√biết công thức tính cos của góc từ 2 vecto cho trước, với lại bài này cho kết quả cos khá đẹp
2 5
) ≈ 0, 9999... ≈ 1 nên em nghĩ là sẽ áp dụng công thức tính cos của góc giữa 2 vecto luôn.
cos(
25
2
−
Gọi vecto chỉ phương của pt tiếp tuyến tại M là: →
u1 (
; −1) Vecto chỉ phương của dt ∆ : 3x+4y−1 = 0
(x − 3)2
8
+ 3|
|
3
(x − 3)2
→
−
→

−
→
−
= 1 ⇔ |8+3(x−3)2 | = 5 4 + (x − 3)4 ⇔ (x−3)2 = ⇔
là: u2 (4; −3) Có: cos ( u1 ; u2 ) =
2
4
5
+1
4
(x − 3)
x =? => M =?
Bài 12.
x+3
có đồ thị (H). Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m + 1 tại hai điểm phân biệt
Cho hàm số y =
x−2
A, B sao cho AOB nhọn.
Giải
x+3
Giao của (H) và d có hoành độ là nghiệm của pt:
= −x + m + 1 ⇔ x2 − (m + 2)x + 2m + 5 = 0
x
−
2

m2 − 4m + 16 > 0
Để pt trên có 2 nghiệm pb thì ∆ > 0, x = 2 ⇔
⇒ m =?
22 − 2(m + 2) + 2m + 5 = 0

Gọi A(x1 ; −x1 + m + 1), B(x2 ; −x2 + m + 1) là 2 giao điểm của (H) và d
Để AOB nhọn thì : AB2 < OA2 + AB2 ⇔ 2(x2 − x1 )2 < (−x1 + m + 1)2 + (−x2 + m + 1)2 ⇔ −2x1 x2 + (m +
1)(x1 + x2 ) − (m + 1)2 < 0 ⇔ m > −3
Kết hợp với đk ban đầu để suy ra giá trị của m.
Bài 13.
x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) của hàm số đã cho biết tiếp tuyến
Cho hàm số y =
x−1
√
tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bằng 2(2 + 2)
Giải
−1(x − xo )
xo
Cách 1. 2 đường tiệm cận của đồ thị là x = 1, y = 1 Gọi pttt của (H) tại M(xo ; yo ) là: y =
+
(xo − 1)2
xo − 1
xo + 1
xo + 1
⇒ A(1;
). Khi y = 1 ⇒ x = 2xo − 1 ⇒ B(2xo − 1; 1), I(1; 1)
Khi x = 1 ⇒ y =
xo − 1
xo − 1
√
xo + 1 2
xo + 1
⇒ P(ABC) = IA + IB + AB =

− 1 + 2xo − 2 + (2xo − 2)2 + (1 −
) = 2(2 + 2)
xo − 1
xo − 1
√
2
4
⇔
2 + 2(xo − 1) + (xo − 1) + 4 = 2(2 + 2)(xo − 1)
x − 1 = 0 (loại)
o
⇔
√
√
√
−2(1 + 2)(xo − 1)2 + (2 + 2)2 (xo − 1) − 2(2 + 2) = 0
Cách 2. - Phương trình tiệm cận đứng: x = 1, phương trình tiệm cận ngang y = 1
−1
a
a
), phương trình tiếp tuyến tại M: y =
(x − a) +
- Gọi M(a;
2
a−1
(a − 1)
a−1
a+1
- Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận đứng là: A(1;
)

a−1
- Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang là: B(2a − 1; 1)
√
1
2
+ 2|a − 1| + 2 (a − 1)2 +
≥
4
+
2
2, dấu
- Chu vi tam giác IAB là: C = IA + IB + AB =
|a − 1|
(a − 1)2
= xảy ra khi |a − 1| = 1 tức a = 0; a = 2
- Với a = 0 ⇒ y = −x
- Với a = 2 ⇒ y = −x + 4

www.VNMATH.com

5

www.VNMATH.com


www.VNMATH.com
Kết luận: y = −x, y = −x + 4 là 2 tiếp tuyến cần tìm.
Bài 14.
2x − m
(1) Chứng minh với mọi m = 0 đồ thị hàm số (1) cắt (d) : y = 2x − 2m tại 2

Cho hàm số: y =
mx + 1
điểm phân biệt A, B thuộc một đường (H) cố định. Đường thẳng (d) cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các
điểm M, N. Tìm m để SOAB = 3SOMN
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng d:
2x − m
1
(2)
= 2x − 2m ⇔ 2mx2 − 2m2 x − m = 0 x = −
mx + 1
m
1
(∗)
Do m = 0 nên (2) ⇔ f (x) = 2x2 − 2mx − 1 = 0 x = −
m
1
Để tồn tại 2 điểm A, B thì pt (∗) phải có 2 nghiệm phân biệt xA ; xB khác −
m

∆′ = m2 + 2 > 0
⇔ ∀m = 0
⇔
 f (− 1 ) = 2 + 1 = 0
m
m2
1
Mặt khác có xA .xB = nên A, B luôn thuộc một đường (H) cố định.
2
|−2m|

Kẻ OH⊥AB ⇒ OH = d(O,d) = √ . Lại có A, B ∈ d ⇒ yA = 2xA − 2m; yB = 2xB − 2m
5

xA + xB = m
.
Theo viet có:
xA .xB = 1
2
√
Có: AB = (xA − xB )2 + (yA − yB )2 = 5(xA − xB )2 = 5(xA + xB )2 − 20xA xB ⇔ AB = 5m2 + 10
Vì M, N là giao điểm của d với Ox, Oy nên M(m; 0); N(0; 2m)
|−2m| √
Theo giả thiết :SOAB = 3SOMN ⇔ OH.AB = 3OM.ON ⇔ √ . 5m2 + 10 = 3 |xM | |yN |
5
√
|−2m| √ 2
1
⇔ √ . 5m + 10 = 3 |m| |2m| ⇔ m2 + 2 = 3 |m| ⇔ m2 + 2 = 9m2 ⇔ m = ±
2
5
1
Vậy với m = ± là các giá trị cần tìm .
2
Bài 15.
−x + 1
Tìm trên (H) : y =
các điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 4 và đường thẳng AB
x−2
vuông góc với đường thẳng y = x
Giải

Do AB⊥d : y = x ⇒ pt AB : y = −x + m Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và đường thẳng AB:
−x + 1
= −x + m ⇔ g(x) = x2 − (m + 3)x + 2m + 1 = 0 (x = 2) (1)
x−2
Để 
tồn tại 2 điểm A, Bthì pt(1) cần có 2 nghiệm phân biệt xA ; xB và khác 2
∆
(m + 3)2 − 4(2m + 1) > 0
g(x) > 0
⇔
⇔
⇔ (m − 1)2 + 4 > 0; ∀m
g(2) = 0
4 − (m + 3)2 + 2m + 1 = 0

x + x = m + 3
B
A
Lại có: yA = −xA + m; yB = −xB + m
Theo viet có
xA .xB = 2m + 1

Mà AB = 4 ⇔ AB2 = 16 ⇔ (xB − xA )2 + (yA − yB )2 = 16 ⇔ (xB − xA )2 = 8 ⇔ (xB + xA )2 − 4xA .xB = 8
⇔ (m + 3)2 − 4(2m + 1) = 0 ⇔ m2 − 2m − 3 = 0 ⇔ m = −1 ∨ m = 3
√
√
+Với m = 3 thay vào pt (1) có:x2 − 6x + 7 = 0 ⇔ x = 3 ± 2 ⇒ y = ± 2. Lúc này tọa độ 2 điểm A, B là
√
√ √
√

√
√ √
√
A(3 + 2; − 2); B(3 − 2; 2) hoặc B(3 + 2; − 2); A(3 − 2; 2)

www.VNMATH.com

6

www.VNMATH.com


www.VNMATH.com
√
√
+Với m = −1 thay vào pt (1) có: x2 − 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± 2 ⇒ y = −2 ± 2. Lúc này tọa độ 2 điểm
√
√
√
√
√
√
√
√
A, B là A(1 + 2; −2 − 2); B(1 − 2; −2 + 2) hoặc B(1 + 2; −2 − 2); A(1 − 2; −2 + 2)
Vậy A, B là các điểm như trên thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 16.
3x − 1
sao cho tam giác ABC vuông
Tìm tọa độ hai điểm B,C thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị y =

x−1
cân tại A(2; 1).
Giải
√
Xét:x4 − mx2 + m + 1 = 0. ∆ = (m − 2)2 => ∆ = |m − 2| ⇒ x2 = m − 1(m > 1), x2 = 1
√
√
Vậy 4 giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là: A(−1; 0), B(− m − 1; 0),C(1; 0), D( m − 1; 0)
Để 4 điểm đó có hoành độ >-2 thì:
√
TH1:− m − 1 > −1 ⇔ m < 2, kết hợp với đk ⇒ 1 < m < 2
√
TH2:−2 < − m − 1 < −1| ⇔ 2 < m < 5
Vậy :m ∈ (1; 2) ∪ (2; 5) là giá trị cần tìm.
Bài 17.
x+3
Cho hàm số y =
có đồ thị là (H). Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + 3m cắt (H) tại hai điểm
x+2
−→ −→
phân biệt sao cho OA.OB = −4 với O là gốc tọa độ.
Giải
x+3
- Xét phương trình:
= 2x + 3m ⇒ 2x2 + 3(1 + m)x + 6m − 3 = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -2
x+2
khi ∆ = 9m2 − 30m + 33 > 0 điều này xảy ra với mọi m.
- Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là x1 , x2 thì A(x1 , 2x1 + 3m), B(x2 , 2x2 + 3m)
12m − 15
7

−→ −→
- Có: OA.OB = −4 ⇒ x1 .x2 + (2x1 + 3m)(2x2 + 3m) = −4 ⇒
= −4 ⇒ m =
2
12
Bài 18.
Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 ˘mx2 + m˘1 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn −2.

Giải
−
→
Đổi
 hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY bằng phép tịnh tiến OI với I(1; 3) Công thức đổi trục:
x = X + 1
y = Y + 3

Trong hệ tọa độ mới pt hàm số được viết lại là :Y =

2
(1) và điểm A trở thành A(1; −2)
X

2
2
;C b;
(a < 0 < b) thuộc đồ thị hàm số (1).
a
b
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B,C lên đường thẳng y = −2 ⇒ H(a; −2); K(b; −2)
Có BAH + CAK = 900 = CAK + ACK ⇒ BAH =

ACK
AH = CK
Vậy ∆AHB = ∆CKA (cạnh huyền_góc nhọn)⇒
(∗)
BH = AK

2 2

2

(1 − a) = 2 +
(2)
b
Lúc đó từ (∗) có hpt:
2


 2 + = |b − 1|
(3)
a
2
2
3b + 2
−b − 2
Từ (2) có 3 − a +
−a − 1 −
=0⇔a=
∨a =
b
b

b
b
2
3b + 9b + 6 = 0(4)
3b + 2
8b + 4
Với a =
từ (3) có
= |b − 1| ⇒
b
3b + 2
3b2 + 7b + 2 = 0(5)
Xét 2 điểm B a;

www.VNMATH.com

7

www.VNMATH.com


www.VNMATH.com
+ Với (4) pt có 2 nghiệm b = −1 ∨ b = −2 không thỏa do b > 0
1
4
−b − 2
=
+ Với (5) pt có 2 nghiệm b = − ∨ b = −2 không thỏa do b > 0 Với a =
từ (3) có
3

b
b+2
b2 + b − 6 = 0(6)
|b − 1| ⇒
b2 + b + 2 = 0(7)
+Với (7) pt vô nghiệm
+Với (6) pt có 2 nghiệm b = 2 ∨ b = −3 (loại)
Khi b = 2 ⇒ B(−2; −1);C(2; 1) hoặc ngược lại . Lúc đó 2 điểm B,C của bài toán cần tìm là: B(−1; 2);C(3; 4)
hoặc ngược lại.
Bài 19.
Cho hàm số y = x3 + 3x2 + m (1) .Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B sao cho AOB = 120o
Giải
- Phương trình y′ = 0 ⇔ x = 0, x = −2
- Tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị a(0; m), B(−2; m + 4)
- Yêu cầu của bài toán dẫn đến giải phương trình:
√
−→ −→
√
1
−12
+
132
OA.OB
= − ⇔ −2m(m + 4) = |m| m2 + 8m + 20 ⇔ m = 0, m =
OA.OB
2√
3
−12 + 132
Đáp số: m = 0, m =
3

Bài 20.
đề thi thử đại học THPT Thanh Thủy lần 2 tỉnh Phú Thọ
2x − 1
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
Cho hàm số y =
x +√1
A, B sao cho AB = 2 2
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:
2x − 1
= x + m ⇔ f (x) = x2 + (m − 1)x + m + 1 = 0 (1) (x = −1)
x+1
Để 
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B thì phương trình (2) có 2 nghiệm
phân biệt xA , xB khác −1

∆ = (m − 1)2 − 4(m + 1) > 0
x + x = 1 − m
B
A
⇔
(∗). Theo vi-et có :
 f (−1) = 1 − m + 1 + m + 1 = 0
xA .xB = m + 1
√
Lại có A, B ∈ d ⇒ yA = xA + m; yB = xB + m Do AB = 2 2 ⇔ AB2 = 8 ⇔ (xA − xB )2 + (yA − yB )2 = 8
⇔ (xA + xB )2 − 4xA .xB = 4 ⇔ (1 − m)2 − 4(m + 1) = 4 ⇔ m2 − 6m − 7 = 0 ⇔ m = −1 ∨ m = 7
Đối chiếu điều kiện (∗) ta có m = −1; m = 7 là giá trị cần tìm.

www.VNMATH.com

8

www.VNMATH.com