Góp phần rèn luyện và phát triển tư duy toán học cho sinh viên ngành sư phạm toán thông qua hoạt động huy động tổ chức vận dụng các kiến thức và kinh nghiệm

Đỗ Văn Hùng

... Rèn luyện và phát triển t duy toán học ..., TR. 28-36

GóP PHầN Rèn luyện và phát triển t duy toán học cho
sinh viên ngành s pHạM toán thông qua hoạt động
Huy động - Tổ chức vận dụng các kiến thức và kinh nghiệm
Đỗ Văn Hùng

(a)

Tóm tắt. Trong bài viết này, chúng tôi đề cập đến vấn đề rèn luyện và phát triển
t duy toán học cho sinh viên đại học ngành s phạm toán trong quá trình dạy học
toán ở trờng s phạm dựa trên việc hớng dẫn sinh viên tham gia hoạt động Huy
động - Tổ chức vận dụng các kiến thức và kinh nghiệm. Đây là một trong những hoạt
động hữu hiệu để rèn luyện và phát triển t duy cho sinh viên trong quá trình dạy
học toán.

1. Đặt vấn đề
Rèn luyện và phát triển t duy nói chung, t duy toán học nói riêng cho sinh
viên s phạm trong quá trình dạy học toán là một yêu cầu, một nhiệm vụ quan
trọng, đợc đặt ra từ lâu trong các trờng s phạm. Đây không phải là vấn đề mới,
nó đã đợc nhiều tác giả quan tâm ở những mức độ khác nhau và cũng đợc nhiều
nhà khoa học chọn làm các đề tài nghiên cứu. Ngày nay, trớc sự đổi mới và phát
triển, trớc yêu cầu của xã hội, của khoa học công nghệ, đòi hỏi ngành giáo dục đào
tạo phải đáp ứng nguồn nhân lực có chất lợng cao, đào tạo ra những con ngời năng
động, sáng tạo hơn trong lao động và cuộc sống thì vấn đề này càng đòi hỏi các
trờng s phạm phải quan tâm nhiều hơn.
Các thao tác cơ bản và cần thiết để rèn luyện và phát triển t duy toán học
cho ngời học trong quá trình dạy học toán, cũng nh các phơng pháp t duy đã
đợc nhiều nhà nghiên cứu khoa học giáo dục đề cập trong các giáo trình Tâm lý học,

Giáo dục học, Lý luận và phơng pháp dạy học bộ môn toán, Tuy nhiên, một trong
những khó khăn đặt ra cho giáo viên đang giảng dạy ở các trờng phổ thông hiện
nay là với một khoảng thời gian ngắn giảng dạy trên lớp, ngời giáo viên phải làm
thế nào, dạy nh thế nào để vừa giúp học sinh lĩnh hội đợc những nội dung kiến
thức theo chơng trình quy định, vừa rèn luyện và phát triển t duy toán học cho
học sinh trong quá trình dạy học toán.
Để nâng cao hiệu quả việc rèn luyện và phát triển t duy toán học cho học
sinh trong quá trình dạy toán ở phổ thông sau này thì ngoài việc phải hiểu thấu,
nắm vững kiến thức chuyên môn, phơng pháp dạy học bộ môn, trớc hết mỗi sinh
viên ngành s phạm toán phải có kỹ năng, có phơng pháp để rèn luyện và phát
triển t duy toán học của mình ngay trong quá trình học toán ở trờng s phạm.
2. Rèn luyện và phát triển t duy trong dạy học toán
2.1. Cơ sở khoa học của việc rèn luyện và phát triển t duy toán học
Theo Tâm lý học, T duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính
bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của các sự vật và hiện tợng. Sản
phẩm của t duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận đợc biểu đạt bằng ngôn
Nhận bài ngày 06/5/2008. Sửa chữa xong 21/7/2008.

28


trờng Đại học Vinh

Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008

ngữ nói, viết, ký hiệu. Theo K. K. Plantônôv, t duy là một hoạt động trí tuệ với quá
trình gồm 4 bớc cơ bản: xác định đợc vấn đề (tìm đợc câu hỏi cần giải đáp); huy
động tri thức, kinh nghiệm, liên tởng hình thành giả thuyết và cách giải quyết vấn
đề, trả lời câu hỏi; kiểm nghiệm xác minh giả thuyết (chứng minh); nhận xét, đánh
giá kết quả, vận dụng.

Theo Từ điển Tiếng Việt (Hoàng Phê - chủ biên), t duy là giai đoạn cao của
quá trình nhận thức, đi sâu vào cái bản chất và phát hiện ra quy luật của sự vật
bằng những hình thức nh biểu tợng, phán đoán và suy lý.
Nh vậy, t duy giúp con ngời nắm đợc bản chất và quy luật vận động của
tự nhiên, xã hội và con ngời; t duy có tác dụng cải tạo lại thông tin nhận thức cảm
tính làm cho chúng có ý nghĩa hơn trong cuộc sống; t duy vận dụng những cái đã
biết để đề ra giải pháp giải quyết những cái tơng tự, do đó tiết kiệm đợc công sức.
T duy toán học đợc hiểu là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc
tính bản chất, phát hiện ra những mối quan hệ bên trong có tính quy luật của các
đối tợng toán học mà trớc đó ta cha biết. Sản phẩm của t duy toán học là những
khái niệm, những định lý, quy tắc, phơng pháp, suy luận, mang tính khái quát,
tính trừu tợng cao, có tính khoa học, tính lôgic chặt chẽ, các tri thức có mối quan hệ
mật thiết và hỗ trợ lẫn nhau, đợc biểu đạt chủ yếu bằng ngôn ngữ viết (ký hiệu,
biểu thức, công thức,).
Theo Phơng pháp dạy học đại cơng môn toán của tác giả Nguyễn Bá Kim
[3] thì: việc dạy học toán không chỉ dừng lại ở chỗ chỉ để ngời học lĩnh hội đợc tri
thức toán học, rèn luyện đợc các kỹ năng, kỹ xảo, mà đòi hỏi không ngừng nâng cao
yêu cầu để thúc đẩy sự phát triển của ngời học, buộc họ phải tích cực suy nghĩ,
phấn đấu nhằm đạt đợc mục tiêu, đồng thời qua đó hình thành và rèn luyện cho
ngời học những phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp t duy và phơng pháp làm
việc khoa học. Phát triển t duy toán học cho ngời học là một lĩnh vực vừa rộng lớn,
vừa khó khăn, ngời giáo viên dạy toán cần phải biết tích luỹ kiến thức, rút kinh
nghiệm một cách thờng xuyên và lâu dài, để từ đó vững vàng hơn về chuyên môn
nghiệp vụ, có những biện pháp rèn luyện và phát triển t duy toán học một cách
thích hợp cho từng loại học sinh trong quá trình giảng dạy.
Theo tác giả Nguyễn Duy Thuận [6] thì việc rèn luyện và phát triển t duy
cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng trong sự nghiệp giáo dục, đặc biệt là trong
quá trình dạy học toán. Nó phải trải qua một quá trình thờng xuyên vận dụng các
nguyên tắc t duy cơ bản một cách thích hợp, phải xuất phát từ các vấn đề dễ đến
khó, đi từ các trờng hợp đơn giản đến phức tạp, phải vận dụng các phơng pháp suy

luận một cách linh hoạt. Kiến thức toán học đợc sắp xếp theo hệ thống lôgic chặt
chẽ và liên tục, tri thức trớc làm cơ sở cho tri thức sau cho nên phải hiểu và nắm
vững kiến thức, có kiến thức mới có cơ sở để dựa trên đó mà t duy đúng đắn, hiểu
biết càng sâu sắc, kiến thức càng vững vàng thì t duy càng chính xác, càng mạch
lạc.

29


Đỗ Văn Hùng

... Rèn luyện và phát triển t duy toán học ..., TR. 28-36

Việc hiểu, nắm vững hệ thống kiến thức đã học và thực hành vận dụng chúng
thờng xuyên trong học tập là cơ hội để rèn luyện t duy, tạo dựng đợc kỹ năng t
duy và vì thế t duy càng đợc phát triển. Tuy nhiên, nếu chỉ dừng lại ở việc thực
hành vận dụng kiến thức đã học theo khuôn mẫu đã đợc sắp đặt, định sẵn mà
không có sự phân tích, đánh giá, phê phán để loại bỏ những bất hợp lý và đúc rút
kinh nghiệm thì t duy cũng sẽ thiếu linh hoạt. Việc đúc rút tích luỹ kinh nghiệm
sau khi giải quyết một vấn đề, một bài toán không chỉ là cơ hội rèn luyện hoàn thiện
các thao tác t duy mà còn giúp ngời học t duy sâu sắc hơn, phát triển hơn. Một
trong những hoạt động hữu hiệu để rèn luyện và phát triển t duy toán học cho học
sinh trong quá trình dạy học toán là hớng dẫn cho học sinh tham gia hoạt động
Huy động - Tổ chức vận dụng các kiến thức và kinh nghiệm đã có.
2.2. Những khía cạnh cần rèn luyện cho sinh viên trong quá trình dạy học
toán
Để phát triển t duy toán học trong quá trình dạy học toán, chúng ta cần chú
ý rèn luyện cho ngời học một số ý thức và kỹ năng nh: ý thức tự học, tự phát hiện
và giải quyết vấn đề; kỹ năng sử dụng các phơng pháp suy luận phân tích, tổng
hợp; kỹ năng vận dụng các thao tác t duy khái quát hoá, đặc biệt hoá, tơng tự và

quy nạp, trong quá trình giải quyết vấn đề. Cụ thể là:
- Phân tích bài toán một cách toàn diện dới nhiều khía cạnh, nhiều góc độ
khác nhau, chia bài toán thành nhiều bài toán nhỏ, xét các khả năng có thể xảy ra,
đa bài toán về dạng có thể sử dụng đợc các định lý, công thức, khái niệm đã biết,
trên cơ sở đó tìm ra mối quan hệ giữa các đối tợng, các khái niệm và từ đó huy động
các kiến thức, kinh nghiệm đã có để dự đoán cách giải quyết cho từng vấn đề, từng
trờng hợp.
- Chuyển từ việc nghiên cứu cách giải quyết những trờng hợp đơn lẻ, trờng
hợp cụ thể của bài toán sang giải quyết trờng hợp tổng quát hoặc ngợc lại, từ đó có
thể cho ta những gợi ý tốt để tìm phơng án, cách thức giải quyết và vận dụng
những kiến thức, kinh nghiệm đã có vào thực hiện giải quyết các vấn đề.
- Khai thác đánh giá cách giải quyết bài toán để phát hiện ra các sai lầm,
nguyên nhân sai lầm, tìm ra nhiều cách giải khác nhau, từ đó tìm đợc cách giải
quyết tốt hơn, rút ra phơng pháp giải chung cho lớp các bài toán tơng tự hoặc đề
xuất ra các vấn đề mới, bài toán mới.
- Tổng kết, đúc rút kinh nghiệm và tìm cách ứng dụng vào giải quyết các vấn
đề trong thực tiễn.
Thông thờng, trớc một vấn đề, một bài toán mới cần giải quyết, sinh viên
phải thực hiện một loạt các hoạt động trí tuệ:
1) Xác định yêu cầu, nhiệm vụ cần giải quyết, xác định các dữ kiện đã biết, từ
đó dùng các thao tác t duy phát hiện ra mối quan hệ giữa chúng và mối quan hệ với
kiến thức, kinh nghiệm đã có;

30


trờng Đại học Vinh

Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008

2) Khoanh vùng, huy động những kiến thức liên quan (khái niệm, tính chất,
định lý, quy tắc,) và những kinh nghiệm đã có, đã sử dụng (vấn đề tơng tự, bài
toán tơng tự, cách thức giải quyết,) có thể vận dụng trong trờng hợp này, tự đặt
ra những câu hỏi và tìm cách tự trả lời, từ đó đa ra những phán đoán, định hớng
cách giải quyết;
3) Lập kế hoạch giải quyết từng bớc các vấn đề đặt ra, xác định vấn đề nào
cần giải quyết trớc vấn đề nào giải quyết sau, kiến thức nào vận dụng trớc kiến
thức nào vận dụng sau, và thực hiện từng bớc theo kế hoạch giải;
4) Phân tích u, nhợc điểm của cách giải quyết đã thực hiện để tìm cách giải
quyết khác hợp lý hơn, từ đó đúc rút, tích luỹ kinh nghiệm;
5) Thay đổi các dữ kiện của bài toán ở mức độ khác nhau, tìm cách phát triển
các vấn đề, bài toán đã giải quyết thành những vấn đề mới, bài toán mới.
Hoạt động huy động - vận dụng các kiến thức liên quan và kinh nghiệm đã có
của sinh viên để phát triển t duy toán học cho sinh viên diễn ra trong suốt quá
trình học toán, tuy nhiên hoạt động này mang lại hiệu quả nhiều hơn trong quá
trình thực hiện các bớc giải các bài toán.
Theo G. Pôlya, muốn huy động những kiến thức liên quan, những kinh
nghiệm đã có và vận dụng chúng một cách thích hợp vào giải quyết các bài toán cụ
thể thì ngời học cần phải biết: khoanh vùng các kiến thức đã biết tơng ứng với bài
toán; xác định các mối quan hệ giữa bài toán đang giải quyết với các khái niệm, định
lý, công thức, tính chất, với các dạng bài toán đã biết; hồi tởng lại những khái niệm,
định lý, công thức, tính chất, các dạng bài toán đã biết cách giải;
2.3. Một số ví dụ
Sau đây, chúng tôi đa ra một vài ví dụ minh hoạ về việc từng bớc rèn cho
sinh viên một số hoạt động trí tuệ trong quá trình tự học, tự nghiên cứu khi thực
hành giải các bài toán sơ cấp.

f (0) = 5
với n N . Để giải quyết bài
f (n + 1) = 3. f (n)

Ví dụ 1: Tìm f (100) = ? biết

toán này, sinh viên có thể thực hiện một loạt các hoạt động trí tuệ sau đây:
1). Xác định yêu cầu của bài toán là tìm

f (100) = ? với dữ kiện

f (0) = 5
/ n N , đồng thời định hớng cách giải quyết bằng cách từ biểu

f (n + 1) = 3. f (n)
thức đã cho biết, tính lần lợt từng giá trị f (1); f (2); ... để tìm đợc f (100) . Tuy
nhiên, nhận thấy ngay rằng việc làm nh vậy không hiệu quả vì tốn nhiều thời gian
và công sức trong quá trình tính toán.
2). Huy động các kiến thức liên quan và kinh nghiệm đã có, sinh viên nhận
thấy đây là bài toán dạng tìm giá trị của một hàm số với đối số là số tự nhiên n hoặc
nhận thấy đây là bài toán tìm số hạng u100 của một cấp số nhân: u0 , u1 , u2 ,..., un có
31


Đỗ Văn Hùng

... Rèn luyện và phát triển t duy toán học ..., TR. 28-36

u0 = 5, q = 3 . Nh vậy, các kiến thức và kinh nghiệm cần huy động, vận dụng ở đây
liên quan đến hàm số, tính giá trị của hàm số hoặc tìm số hạng của một cấp số
nhân, Vấn đề đặt ra là phải biểu diễn f ( n) bằng một biểu thức đơn giản hơn hoặc
dùng công thức tính số hạng tổng quát của một cấp số nhân.
3). Lập kế hoạch giải quyết bài toán này là tìm cách biểu diễn f ( n) về dạng

hàm số f ( n) = 5.3n (bằng phơng pháp quy nạp) hoặc dùng công thức tìm số hạng
tổng quát của một cấp số nhân là un = 5.3n và từ đó có thể tính f (100) nhanh hơn.
4). Nhận xét u, nhợc điểm của cách giải này, sinh viên sẽ nhận thấy rằng:
tuy phải làm một bài toán trung gian, nhng thời gian và công sức tính toán giảm đi
rất nhiều. Từ đó, rút ra kinh nghiệm là trớc một bài toán ta nên suy nghĩ tìm cách
đa về các dạng bài toán quen thuộc đã biết cách giải.
5). Phân tích bài toán, thay đổi thêm, bớt các dữ kiện của bài toán, dùng các
phơng pháp suy luận khái quát hoá, tơng tự, để phát triển thành bài toán mới,
bài toán tổng quát. Chẳng hạn, từ cách giải và kết quả giải bài toán đã cho, ta có thể

f (0) = a
với
f (n + 1) = b. f (n)

rút ra công thức cho bài toán dạng tổng quát Tìm f (k ) = ? biết

n N , khi đó kết quả cần tìm là: f (k ) = a.b k ; hoặc phát triển thành bài toán: Tìm

f (0) = 5
f (100) = ? biết
với n N . Để tìm kết quả bài toán này, sinh
f (n + 1) = 3. f (n) + 4
viên có thể vận dụng kinh nghiệm đúc rút đợc từ cách giải bài toán trên bằng cách
biến đổi dữ kiện bài toán đã cho về dạng

f (0) = 5
và đặt

f (n + 1) + 2 = 3.[ f (n) + 2 ]

F (n + 1) = f (n + 1) + 2 .
Việc huy động - vận dụng các kiến thức và kinh nghiệm còn đòi hỏi sinh viên
phải có kỹ năng t duy linh hoạt, phải biết vận dụng những tính chất định lý thích
hợp, vận dụng phơng pháp giải những bài toán tơng tự đã biết, đồng thời phải
thờng xuyên rèn luyện.
Ví dụ 2: Tìm các số n Z sao cho: n 4 + 1 và n 4 + 4n3 + 6n 2 + 4n + 5 là các số
nguyên tố. Giải bài toán này sinh viên cần phải:
1). Xác định đợc yêu cầu của bài toán là tìm số n Z , vi d kiện bài toán
đã cho biết n 4 + 1 và n 4 + 4n3 + 6n 2 + 4n + 5 là các số nguyên tố.
2). Huy động các kiến thức liên quan, các kinh nghiệm đã có về số nguyên, số
nguyên tố, phơng pháp chứng minh một biểu thức là số nguyên tố, biến đổi biểu
thức thành nhân tử, từ đó định hớng tìm cách giải.
3). Lập kế hoạch giải và thực hiện các bớc giải: biến đổi các biểu thức thành
nhân tử với hệ số nguyên, cho các thừa số bằng 1 tìm n và xét các điều kiện còn lại
32


trờng Đại học Vinh
của

bài

toán,

từ

Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008
đó

tìm

ra

các

giá

trị

thích

hợp.

Ta

có:

n + 1 = (n + 1) 2.n = (n + 1 2 .n).(n + 1 + 2 .n) , nhận thấy các nhân tử không
4

2

2

2

2

2

có hệ số nguyên, do đó phải tìm trực tiếp và sinh viên có thể tìm đợc nhiều giá trị,
chẳng hạn: n = 1; 2; 6;...
Mt khác n 4 + 4n3 + 6n 2 + 4n + 5 = n 2 .( n 2 + 1) + 4n.( n 2 + 1) + 5.( n 2 + 1) =

= (n 2 + 1).(n 2 + 4n + 5) = (n 2 + 1).[(n + 2)2 + 1] .
Theo giả thiết n 4 + 4n3 + 6n 2 + 4n + 5 là số nguyên tố nên ( n 2 + 1).[( n + 2) 2 + 1]
là số nguyên tố.

n2 + 1 = 1
Khi ó

2
(n + 2) + 1 = 1

n = 0
n = 2 .


Kiểm chứng cả hai trờng hợp ta thấy chỉ có n = 2 thoả mãn điều kiện

n + 1 và n 4 + 4n3 + 6n 2 + 4n + 5 là các số nguyên tố.
4

4). T cách giải bài toán, thấy rằng vấn đề cốt lõi ở đây là sinh viên biết cách
biến đổi các biểu thức thành nhân tử, biết chọn biểu thức thích hợp và vận dụng
khái niệm số nguyên tố.
5). Thay đổi các biểu thức dữ kiện của bài toán hoặc thay đổi cách diễn đạt ta
có các bài toán mới, chẳng hạn: Cho n Z , chng minh rng n 4 + 1 và

n 4 + 4n3 + 6n 2 + 4n + 5 là các số nguyên tố khi và chỉ khi n = 2 .

Ví dụ 3: Cho đờng tròn (O) và hai dây cung
AB, CD cắt nhau tại E. Giả sử M là một điểm thuộc
đoạn BE. Tiếp tuyến tại E với đờng tròn ngoại tiếp
tam giác DEM cắt dây BC tại F và cắt dây AC kéo dài
tại G. Chứng minh:

EF MB
=
(xem hinh 1).
EG MA

1). Yêu cầu giải quyết của bài toán là cụ thể rõ
ràng, tuy nhiên việc định hớng để tìm ngay ra cách
giải thì không đơn giản, cho nên sinh viên cần phải
phân tích kỹ dữ kiện của bài toán để hiểu rõ bài toán.

C
F
B

E

M

A

D

2). Huy động - Vận dụng các kiến thức, kinh
G

Hình 1
nghiệm đã có vào giải quyết bài toán này sinh viên
phải t duy một cách linh hoạt, t t ra các câu hỏi và tự tìm cách trả lời để nhn
dng, phân loại, khoanh vùng bài toán; phi bit phỏng đoán (đôi khi phải mò mẫm)
nh hng các kiến thức liên quan, các kinh nghiệm đã biết cần huy động, vận
dụng chứng minh bài toán. Chẳng hạn
- Xét xem biểu thức cần phải chứng minh trong bài toán tơng đơng với
những biểu thức nào?
33


Đỗ Văn Hùng
(

... Rèn luyện và phát triển t duy toán học ..., TR. 28-36

EF MB
EF .MA
=
EF .MA = EG.MB
= 1 );
EG MA
EG.MB

- Các đoạn EF, EG, MB, MA quan hệ với những đối tợng hình học nào? (đoạn
EF là cạnh của các tam giác EFB và EFC, đoạn EG là cạnh của các tam giác EAG và
EAC, các đoạn MA, MB có thể biểu diễn MA = ME + EA, MB = EB ME );
- Các đoạn ME, EA, EB quan hệ với những đối tợng hình học nào? (đoạn ME
là cạnh của tam giác EMD, đoạn EA là cạnh của tam giác ECA, đoạn EB là cạnh của
tam giác ECB);

- Các đờng tròn, tiếp tuyến đờng tròn, các góc nội tiếp, các tam giác ABC,
EMD nội tiếp các đờng tròn cho biết những quan hệ gì với các đoạn thẳng trong các
tỷ lệ thức?
- Nh li hoc liên hệ với những công thức, định lý, tính chất, các bài toán
tơng tự đã giải,
T các phán đoán về quan hệ giữa các đối tợng hình học theo phân tích ở
trên, sinh viên có thể tự huy động các kiến thức, kinh nghiệm đa ra hàng loạt mối
quan hệ và kết quả để phán đoán, định hớng tìm cách chứng minh bài toán.
3). Chng minh:
Do các tam giác ECB, ECA có cùng chiều cao hạ từ C và áp dụng tính chất
diện tích tam giác, ta có:

dt ( ECF ) + dt ( EFB )
EB dt ( ECB ) dt ( ECF ) + dt ( EFB )
dt ( EMD)
.
=
=
=
EA dt ( ECA) dt ( ECG ) dt ( EAG ) dt ( ECG ) dt ( EAG )
dt ( EMD)
áp dụng công thức tính diện tích tam giác qua 2 cạnh và sin của góc xen giữa,

ta có:

FEC = DEG = EMD

dt ( ECF ) EF .EC
dt ( ECG ) EC.EG
=

và
=
.
dt ( EMD) ME.MD
dt ( EDM ) ME.MD

MDE = BEF = AEG

dt ( EFB )
EF .EB
dt ( AEG )
EA.EG
=
và
=
.
dt ( EMD) DM .DE
dt ( EDM ) DM .DE

Khi ó

dt ( ECF ) dt ( EFB )
EF .EC
EF .EB
+
+
EB dt ( EMD) dt ( EMD) ME.MD DM .DE EF ( EC.DE + EB.ME )
.
=
=

=
EC.EG
EA.EG
EA dt ( ECG ) dt ( EAG )
EG
(
EC
.
DE

EA
.
ME
)

dt ( EMD) dt ( EMD) ME.MD DM .DE
Mt khác EC.ED = EA.EB ,

34