Phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán

PHÁT TRIỂN TƯ DUY TOÁN
THÔNG QUA TÌM KIẾM QUY LUẬT
KHI GIẢI TOÁN
Sinh viên thực hiện
BÙI THỊ ĐỨC
Giảng viên hướng dẫn
PGS. TS. TRẦN VUI
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Với phương pháp dạy học truyền thống (truyền thụ một chiều từ giáo viên, sự tiếp thu thụ
động của học sinh) khiến các em học sinh có suy nghĩ rằng toán học đã tồn tại từ lâu với
những công thức và thuật toán bất di bất dịch. Đáng tiếc là những suy nghĩ như vậy hoàn toàn
không đúng với bản chất của toán học. Việc học toán là một quá trình mang tính sáng tạo chứ
không phải là tiếp thu một thực thể kiến thức đã có sẵn.
Yêu cầu đặt ra cho giáo dục Việt Nam hiện nay là phải đổi mới phương pháp dạy học, cần
phải thay đổi phương pháp dạy học truyền thống đến các phương pháp dạy học tích cực, sáng
tạo, người dạy tổ chức, định hướng nhận thức, phát huy vai trò chủ động, tích cực của HS để
HS tự chiếm lĩnh tri thức và hình thành kỹ năng. Phương pháp giải quyết vấn đề (GQVĐ) là
phương pháp dạy học đáp ứng phần nào những yêu cầu này. Tìm kiếm quy luật là một phương
án hiệu quả trong các phương án của GQVĐ và một số người còn gọi đó là nghệ thuật của toán
học (art of maths).
Khi thực hiện việc tìm kiếm một quy luật, tư duy các em đã được rèn luyện và phát triển,
đặc biệt là tư duy phê phán và sáng tạo – hai loại tư duy mà chúng ta đang quan tâm nhiều để
dạy cho HS.
Tuy nhiên, chưa có nghiên cứu nào thật chi tiết và sâu sắc về phương án tìm kiếm quy luật
và sự phát triển của tư duy toán thông qua việc tìm kiếm quy luật khi giải toán, để giáo viên và
học sinh có thể hiểu rõ và vận dụng một cách linh hoạt và có hiệu quả phương án này trong
giải toán.
Với những lý do như vậy, tôi quyết định chọn đề tài: “Phát triển tư duy toán thông qua
tìm kiếm quy luật khi giải toán” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp của mình.
Mở đầu
Chương 1: Cơ sở lý luận

1. Tư duy toán học
2. Phương pháp giải quyết vấn đề
3. Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán
Chương 2: Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết vấn đề
1. Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết các vấn đề từ các tình
huống thực tế hằng ngày
2. Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật trong giải toán
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
1. Mục đích và ý nghĩa thực nghiệm
2. Quá trình thực nghiệm
3. Thu thập dữ liệu, phân tích và lý giải các dữ liệu của thực nghiệm
4. Kết luận sư phạm
Kết luận
CẤU TRÚC KHOÁ LUẬN
3. Sử dụng phương án tìm
kiếm quy luật khi giải toán
3. Nhìn một bài
toán với nhiều
khía cạnh khác
nhau của toán
học, ta có nhiều
cách để tìm ra
quy luật của một
bài toán
2. Phân loại
mẫu để tìm ra
quy luật khi giải
toán
1. Tìm quy luật
bằng cách xét

các trường hợp
riêng, đặc biệt,
dễ thấy nhất
4. Sử dụng các
mô hình toán
để tìm kiếm
quy luật
Ví dụ 3.1.2:
Hãy tìm số dương n và , , …, nguyên dương thoả: và tích . …
lớn nhất có thể.
2 3 4 5 6 7 8 9
n 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3
Các
= 2 = 3 = 4 = 2
= 2
= 2
= 3
= 3
= 3
= 3
= 4
= 2
= 2
= 3
= 2
= 3
= 3
= 3
= 3
= 3

∑
=
n
i
i
a
1
i
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
2

a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
a
3
a
3
a
3
a
1
a
2
a
n
a
∑
=
=
n
i

i
a
1
1000
1
a
2
a
n
a
Khi bài toán có thông số biến đổi ta phân tích một cách thích hợp những mảng dữ liệu
để thay bằng mảng dữ liệu có thể quản lý tốt hơn. Trong bài toán này, chúng ta có thể
bắt đầu bằng cách kiểm tra một dãy các trường hợp đặc biệt thay cho 1000 là các số 2;
3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; … Kết quả thu được cho ở bảng sau:
Công việc này mất khá nhiều thời gian. Từ bảng trên, ta nhận thấy rằng, trường hợp
tích lớn nhất thoã mãn:
•
Không có nào lớn hơn 4;
•
Không có nào bằng 1;
•
Tất cả các có thể đổi thành 2 hoặc 3 (vì và );
•
Nhiều nhất có 2 bằng 2 (vì và ).
i
a
i
a
i
a

i
a
224
×=
224
+=
33222
×<××
33222
+=++
Mỗi điều trên đều dễ chỉ ra là đúng. Như vậy, khi thông số của ta 1000 thì tích lớn nhất
của chúng ta cần phải là .
2332
23
×
Ví dụ 3.1.3: Trên giấy kẻ ôly, hãy nối các đỉnh ôly để có các đa giác có diện tích bằng 5.
Giả sử độ dài cạnh ôly bằng 1.
Cách làm của chúng ta là cố gắng vẽ tất cả các hình thoả mãn bài toán. Tuy nhiên đây
không phải là công việc dễ vì chúng ta có thể bỏ sót một số hình. Chúng ta hãy quan sát
một số hình vẽ thoả mãn yêu cầu của bài toán:
Nếu gọi A, T, N lần lượt là diện tích của đa giác, số đỉnh ôly nằm ở miền trong của hình
đa giác, số đỉnh ôly nằm trên các cạnh đa giác. Bây giờ chúng ta hãy cố gắng tìm biểu
thức liên hệ giữa A, N, T.
N và T ứng với các hình vẽ trên được cho ở bảng sau:
N 12 10 8 6 4
T 0 1 2 3 4
A 5 5 5 5 5
Chúng ta tìm được quy luật với bảng trên như sau:

Thiết lập được công thức này, chúng ta sẽ vẽ được tất cả các hình vẽ thoả mãn

bài toán. Trường hợp T = 5 , khi đó N = 2 và khi T = 6 thì N = 0, những trường
hợp này rõ ràng không có hình vẽ thoả mãn.
1
2
−+= T
N
A

CHƯƠNG 2
PHƯƠNG ÁN TÌM KIẾM QUY LUẬT TRONG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết các vấn đề từ các tình huống
thực tế hàng ngày
Bài toán 1: Bản đồ của một khu vực thành
phố Huế được cho như ở Hình vẽ 1.1. Để
tiện theo dõi, chúng ta ký hiệu đường Đoàn
Thị Điểm là đường số 1, đường Đinh Tiên
Hoàng là đường số 2, đường Lê Thánh Tôn là
đường thứ 3, đường Ngô Đức Kế là đường
thứ 4, đường Xuân 68 là đường số 5. Trang
sống tại vị trí giao nhau của đường thứ 5 và
đường Mai Thúc Loan. Nhi sống tại vị trí
giao nhau của đường thứ 1 và đường Đinh
Công Tráng. Nhi quyết định một lần tới thăm
Trang, cô ấy sẽ đi bằng một tuyến đường khi
cô ấy đã tìm ra được mọi tuyến đường khác
nhau để tới nhà Trang. Cô ấy chỉ được đi về
phía hướng Đông và hướng Bắc. Có bao
nhiêu tuyến đường khác nhau để Nhi tới nhà
Trang?
543

2
1
Hình vẽ 1.1
Lời giải:
Thường thì nhiều học sinh cố gắng thử vẽ các tuyến đường có thể có và đếm xem có
bao nhiêu tuyến đường như thế. Tuy nhiên, đây không phải là một công việc dễ và chắc
chắn một vài tuyến đường sẽ bị bỏ sót.
Một số học sinh khác nhận ra rằng ở đây có bốn con đường phía Đông và năm con
đường phía Bắc là đi được. Do đó, họ tìm tất cả các cách sắp xếp có thể được của 5 con
đường B và 4 con đường Đ. Với cách này, nhiều học sinh bắt đầu liệt kê danh sách tất cả
các cách sắp xếp có thể được, như: ĐĐBBĐĐBBB; BĐBĐBĐBĐB; BBBĐBBĐĐĐ; …
Rõ ràng có quá nhiều cách sắp xếp.
Một số học sinh có thể nhận ra rằng bài toán này tương tự như bài toán quen thuộc
sau: “Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái ở trong từ song song?” Những học sinh này
cố gắng tìm xem có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái ĐĐĐĐBBBBB (tổng cộng 9 chữ
cái, 4 chữ Đ, 5 chữ B) và sẽ có: (tức bằng 126) cách sắp xếp.

Hãy xem chúng ta có thể giải bài toán này như thế nào với phương án tìm kiếm một
quy luật. Để làm theo cách này chúng ta phải kết hợp phương án này với phương án giải
bài toán đơn giản hơn. Giả sử chúng ta xét bài toán đơn giản hơn là nhà Trang ở vị trí giao
nhau của đường số 2 và đường Đinh Công Tráng - chỉ có một con đường để Nhi tới đây.
Cũng như vậy, nếu nhà Trang được “di chuyển” tới vị trí giao nhau của đường thứ 3 và
đường Đinh Công Tráng hay tới bất kỳ vị trí nào trên đường Đinh Công Tráng hay bất kỳ
vị trí nào trên đường số 1 – có đúng một con đường. Bây giờ chúng ta hãy xem có bao
nhiêu tuyến đường khác nhau mà Nhi có thể tới nhà Trang nếu chúng ta “chuyển” nhà của
Trang tới vị trí giao nhau của đường số 2 và đường Hàn Thuyên – chỉ có hai con đường.
!5!4
!9
“Chuyển” nhà tới vị trí giao nhau của đường số 3 và
đường Hàn Thuyên – có ba con đường (cũng giống

như vậy nếu nhà được “chuyển” tới vị trí giao nhau
giữa đường thứ 2 và đường Nguyễn Chí Diễu).
Chúng ta hãy xem có bao nhiêu tuyến đường mà Nhi
có thể đi nếu nhà của Trang được “chuyển” lần lượt
tới mỗi điểm trên lưới ô vuông (xem hình vẽ).
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
6
35155
20
10
4
5
6 21
56
70
35
15
10
43
2
126

Chú ý rằng các số này là các hệ số của tam giác
Pascal (Hình vẽ 1.2). Khi chúng ta nhận ra quy luật
này thì câu trả lời dễ dàng được tìm thấy, tức là có
126 tuyến đường khác nhau mà Nhi có thể đi để tới
nhà Trang.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Hình vẽ 1.2
2.5.
Một số bài
toán khác
2. Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật
trong giải toán
2.2.
Sử dụng
phương án
tìm kiếm
một quy
luật để giải
bài toán
hình học
2.4.

Bài toán
tìm tổng
2.3.
Giải hệ
phương
trình bằng
phương án
tìm kiếm
một quy
luật
2.1.
Tìm quy
luật của
dãy số
Bài toán 2.1.4: Tìm số hạng tiếp theo của dãy số:
1; 5; 14; 30; 55; 91; …
Lời giải: Quá trình tìm các sai khác giữa các dãy số như sau:
Sai khác 1
Sai khác 2
Sai khác 3
2
13
2
22
11
5 7 9
4
9 16 25 36 49
140
1

91
50
30
145
Thực ra, chúng ta đã tìm ra được quy luật cho dãy số tạo ra ở sai khác thứ nhất là số
hạng thứ n có dạng (n + 1)
2
và ta tìm được số hạng thứ sáu là 7
2
= 49. Do đó, số hạng tiếp
theo của dãy đã cho là 49 + 91 = 140. Tuy nhiên, chúng ta đã tìm các sai khác tiếp theo của
các dãy số mới tạo ra và đến sai khác thứ ba thì chúng ta đã tìm ra được cái bất biến tiềm ẩn
của bài toán là dãy hằng: 2; 2; 2; …
Từ sai khác thứ 3, ta tìm được số hạng tiếp theo của dãy số ở sai khác này là 2. Suy ra,
số hạng tiếp theo của dãy số ở sai khác thứ 2 là 2 + 11 = 13 và do đó, số hạng tiếp theo của
dãy số ở sai khác thứ nhất là 13 + 36 = 49.
Vậy số hạng tiếp theo của dãy số đã cho là 49 + 91 = 140.