Phương pháp sử dụng đạo hàm trong bài toán cực trị hàm nhiều biến

www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

A. Lý do chọ
chọn đề
đề tài

Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là bài toán luôn có mặt hầu hết
trong các kỳ thi HSG và tuyển sinh Đại Học. Không những thế nó còn là bài toán hay
và khó nhất trong đề thi.
Trong chương trình giảng dạy và học tập bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhất nhỏ luôn là chủ đề hấp dẫn đối với người dạy lẫn người học. Việc giảng dạy để
làm sao cho học sinh học tốt chủ đề này luôn là môt vấn đề khó. Chủ đề này thường
dành cho học sinh giỏi nên các bài toán đưa ra thường hay và khó.
Để chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhất nhỏ nhất có nhiều
phương pháp, và không có phương pháp nào là vạn năng để giải được mọi bài toán
cực trị mà chỉ chỉ có những phương pháp giải được một nhóm các bài toán mà thôi.
Một trong các phương pháp khá hiệu quả là dùng đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư
tưởng cơ bản là khảo sát lần lượt từng biến, bằng cách xem các biến còn lại là tham số
cố định. Không có một thuật giải chi tiết nào cho phương pháp này mà chỉ thông qua
ví dụ để HS rèn luyện để tự mình tìm ra cách giải quyết như thế nào trong từng bài
toán cụ thể và từ đó tìm thấy sơ đồ giải cho riêng mình.
Vì những lý do trên chúng tôi viết chuyên đề này nhằm giúp học sinh có cái nhìn
rộng hơn về phương pháp sử dụng đạo hàm trong các bài toán chứng minh BĐT và
tìm GTLN, GTNN.

B. Nội Dung

1. Phương pháp đưa v
về
ề một biế
biến trong các bài toán hai biế
biến.
Biế
đổi giả
giả thiế
thiết và biể
biểu thứ
thức cầ
cần tìm cự
cực trị
trị để tìm mố
mối quan hệ
hệ giữ
giữ chúng rồ
rồi
Biến đổ
tìm
tìm cách đặt ẩn phụ
phụ hợp lý,
lý, đưa biể
biểu thứ
thức đã cho về
về hàm
hàm mộ
một biế
biến để
để khả

khảo sát.

Thí dụ
dụ 1: Cho x, y là số thực và thoả mãn xଶ + yଶ = 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của biểu thức:

2008ሻ
Hoạ
Hoạt độ
động khám phá:
-

-

ܲ = 2ሺ‫ ݔ‬ଷ + ‫ ݕ‬ଷ ሻ − 3‫ݕݔ‬

ሺCao đẳ
đẳng khố
khối A, B –

Từ giả thiết xଶ + yଶ = 2 có thể đưa bài toán về một ẩn không?
Ta nghĩ tới hằng đẳng thức: ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ = ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ − 2‫ ݔ ; ݕݔ‬ଷ + ‫ ݕ‬ଷ = ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻሺ ‫ ݔ‬ଶ −
‫ݕݔ‬+‫ݕ‬2
Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất hiện x ଶ + yଶ để sử dụng giả thiết.
Biến đổi biểu thức P và thế vào ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ = 2 ta có: ܲ = 2ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻሺ ‫ ݔ‬ଶ − ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ ሻ −

3‫ݕݔ‬

Từ giả thiết: ሺ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬ሻଶ − 2‫ = ݕݔ‬2 ⇒ ‫= ݕݔ‬

= 2ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻሺ 2 − ‫ ݕݔ‬ሻ − 3‫ݕݔ‬
ሺ௫ା௬ሻమିଶ
ଶ

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

1


www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc đưa có thể P về hàm một biến số nếu ta đặt: ‫ ݔ = ݐ‬+ ‫ݕ‬

Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức: ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ≥
Lời giả
giải:
Ta có:

ሺ௫ା௬ሻమ
ଶ

ܲ = 2ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻሺ ‫ ݔ‬ଶ − ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ ሻ − 3‫ݕݔ‬
= 2ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻሺ 2 − ‫ݕݔ‬ሻ − 3‫ݕݔ‬

Ta có: ‫= ݕݔ‬

ሺ௫ା௬ሻమ ିଶ
ଶ

Ta có: ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ≥

, vì thế sau khi đặt ‫ ݔ = ݐ‬+ ‫ݕ‬, thì

ܲ ሺ‫ݐ‬ሻ = 2‫ ݐ‬ቆ2 −

ሺ௫ା௬ሻమ
ଶ

‫ݐ‬ଶ − 2
‫ݐ‬ଶ − 2
3
ቇ−3
= −‫ ݐ‬ଷ − ‫ ݐ‬ଶ + 6‫ ݐ‬+ 3
2
2
2

⇒ ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ ≤ 4 ⇒ −2 ≤ ‫ ≤ ݐ‬2

Xét hàm số: ܲ ሺ‫ݐ‬ሻ = −‫ ݐ‬ଷ − ‫ ݐ‬ଶ + 6‫ ݐ‬+ 3 với −2 ≤ ‫ ≤ ݐ‬2
ଷ
ଶ

Ta có: ܲ ᇱ ሺ‫ݐ‬ሻ = −3‫ ݐ‬ଶ − 3‫ ݐ‬+ 6
Ta có bảng biến thiên

t

-2
2

P’ሺtሻ

−

0

+

ଵଷ

Pሺtሻ

Vậy:

1

ଶ

-7
1

max ሾିଶ;ଶሿ ݂ ሺ‫ݐ‬ሻ = ݂ ሺ1ሻ =

ଵଷ
ଶ

‫=ݔ‬
;‫= ݕ‬
ଶ
ଶ
khi ቎
ଵା√ଷ
ଵି√ଷ
;‫= ݕ‬
‫=ݔ‬
ଵା√ଷ

ଵି√ଷ

ଶ

ଶ

minሾିଶ; ଶሿ ݂ ሺ‫ݐ‬ሻ = ݉݅݊ሼ݂ሺ−2ሻ; ݂ ሺ2ሻሽ = ݉݅݊ሼ−7; 1ሽ = −7 khi ‫ = ݕ = ݔ‬−1
SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

2


www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

Thí dụ
dụ 2: Cho x, y ≥ 0 và x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu

thức:

ܵ = ሺ4‫ ݔ‬ଶ + 3‫ݕ‬ሻሺ4‫ ݕ‬ଶ + 3‫ݔ‬ሻ + 25‫ݕݔ‬

2009ሻ
Hoạ
Hoạt độ
động khám phá:
-

ሺĐạ
ሺĐại họ
học khố
khối D –

Từ giả thiết x + y = 1 có thể đưa bài toán đã cho về một ẩn không?
Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất hiện ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬để sử dụng giả thiết.

Chú ý hằng đẳng thức:

‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ = ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ − 2‫ݕݔ‬

‫ ݔ‬ଷ + ‫ ݕ‬ଷ = ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻሺ ‫ ݔ‬ଶ − ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ ሻ

Sau khi khai triển và thế vào x + y = 1, ta có: ܵ = 16‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ − 2‫ ݕݔ‬+ 12
-

Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc đưa có thể S về hàm một biến số nếu ta đặt:
‫ݕݔ = ݐ‬

Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức: 0 ≤ ‫≤ ݕݔ‬

Lời giả
giải:

ሺ௫ା௬ሻమ
ସ

Ta có: ܵ = ሺ4‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݕ‬ሻሺ4‫ ݕ‬ଶ + 3‫ݔ‬ሻ + 25‫ = ݕݔ‬16‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ + 12ሺ‫ ݔ‬ଷ + ‫ ݕ‬ଷ ሻ + 34‫ݕݔ‬
= 16‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ + 12ሺ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬ሻሺ ‫ ݔ‬ଶ − ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ ሻ + 34‫ݕݔ‬
= 16‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ + 12ሾሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ − 3‫ݕݔ‬ሿ + 34‫ݕݔ‬
= 16‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ − 2‫ ݕݔ‬+ 12

ሺ݀‫ ݔ ݋‬+ ‫ = ݕ‬1ሻ

Đặt xy = t. Ta có: do ‫ ≥ ݔ‬0, ‫ ≥ ݕ‬0 ݊ê݊ 0 ≤ ‫≤ ݕݔ‬

ሺ௫ା௬ሻమ
ସ

ሺ݀‫ ݔ ݋‬+ ‫ = ݕ‬1ሻ
=

ଵ
ସ

⇒ 0≤‫≤ݐ‬

ଵ
ସ

Xét hàm số: ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = 16‫ ݐ‬ଶ − 2‫ ݐ‬+ 12 với 0 ≤ ‫ ≤ ݐ‬. Ta có: ݂ ᇱ ሺ‫ݐ‬ሻ = 32‫ ݐ‬− 2
Bảng biến thiên
t

f’ሺtሻ
fሺtሻ

ଵ
ସ

0

ଵ

ଵ଺

ଵ
ସ

12

−

0

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

+

3


www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

ଶହ
ଶ

Vậy: minቂ଴;భቃ ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = ݂ ቀ ቁ =
ଵ

ଵ଺

ర

khi ቎

ଵଽଵ
ଵ଺

‫=ݔ‬

‫=ݔ‬

ଶା√ଷ

ଵଽଵ
ଵ଺

;‫= ݕ‬

ସ
ଶି√ଷ

;‫= ݕ‬

ସ

max ቂ଴;భቃ ݂ ሺ‫ ݐ‬ሻ = ݉ܽ‫ ݔ‬ቄ݂ሺ0ሻ; ݂ ቀ ቁቅ = ݉ܽ‫ ݔ‬ቄ12;
ଵ

ଶହ

ସ

ర

ଶ

ଶି√ଷ

ቅ=

ସ
ଶା√ଷ
ସ

ଶହ
ଶ

khi ‫= ݕ = ݔ‬

Thí dụ
dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:

ଵ
ଶ

‫ = ܣ‬3ሺ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ + ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ ሻ − 2ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ + 1
với x, y là các số thoả mãn điều kiện: ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଷ + 4‫ ≥ ݕݔ‬2.

ሺĐạ
ሺĐại họ
học khố
khối B –

2009ሻ
Hoạ
Hoạt độ
động khám phá:
-

Vì giả thiết là biểu thức khá phức tạp nên ta khai thác nó trước cho gọn để dễ sử dụng

‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ = ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ − 2‫ݕݔ‬
hơn. Chú ý hằng đẳng thức:
‫ ݔ‬ଷ + ‫ ݕ‬ଷ = ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻሺ ‫ ݔ‬ଶ − ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ ሻ

và ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ ≥ 4‫ݕݔ‬. Khi đó điều kiện bài toán trở thành: ‫ ݔ‬+ ‫ ≥ ݕ‬1
-

Ta biến đổi được A như sau:

‫ = ܣ‬3ሺ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ + ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ ሻ − 2ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ + 1

= ଶ ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻଶ + ଶ ሺ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ ሻ − 2ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ + 1
ଷ

≥ ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻଶ +
ଷ
ଶ

hay

-

ଷ

ଷ൫௫ మ ା௬ మ൯

ሺdo ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ ≥

ସ

൫௫ మା௬ మ൯
ଶ

‫ ≥ ܣ‬ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻଶ − 2ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ + 1
ଽ

మ

మ

− 2ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ + 1

ሻ

ସ

Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc đưa có thể A về hàm một biến số được
không?ሺnếu ta đặt: ‫ ݔ = ݐ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ
Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức:‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ≥

Lời giả
giải:

ሺ௫ା௬ሻమ
ଶ

Theo bất đẳng thức hiển nhiên: ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ ≥ 4‫ݕݔ‬, nên từ

ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଷ + 4‫ ≥ ݕݔ‬2 ⇒ ሺ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬ሻଷ + ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ ≥ ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଷ + 4‫ ≥ ݕݔ‬2
SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

4


www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

⇒ ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଷ + ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ ≥ 2
⇒ ሾሺx+yሻ-1ሿሾ ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ + ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ + 2ሿ ≥ 0
⇒ ሺx+yሻ - 1≥ 0
ଵ ଶ

ሺdo ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ + ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ + 2 = ቂሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ + ቃ + > 0, ∀‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ
଻

ଶ

ସ

Bài toán được đưa về tìm min, max của:
‫ = ܣ‬3ሺ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ + ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ ሻ − 2ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ + 1
với x, y thoả mãn: x+y ≥ 1.
Ta biến đổi A như sau:
‫ = ܣ‬3ሺ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ + ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ ሻ − 2ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ + 1
=

ଷ

ଶ

ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻଶ + ሺ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ ሻ − 2ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ + 1

≥ ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻଶ +
ଷ
ଶ

Vì ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ≥

ଶ
ଶ

ଽ

ସ

ଽ

ସ
ᇱ ሺ‫ݐ‬ሻ

⇒݂

= ‫ݐ‬−2
ଽ

ସ

Ta có bảng biến thiên:

ସ

+∞
ଽ

ଽ

ଵ଺

ଵ
ଶ

ଵ

ଽ

ଵ଺

ଵ
ଶ

ଶ

+

ଵ଺

ଽ

ଵ଺

+∞

xẩy ra khi t =

ଵ
ଶ

. Mặt khác ta dễ thấy ‫ = ݕ = ݔ‬thì ‫= ܣ‬

Tóm lại: minA =

ሻ

ଶ

f’ሺtሻ

Vậy min௧ஹభ ݂ ሺ‫ݐ‬ሻ = ݂ ቀ ቁ =

ଶ
ଶ

మ

ଵ

ଽ

fሺtሻ

൫௫ మା௬ మ൯

− 2ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ + 1

ሺdo x+y ≥ 1ሻ nên ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ≥

Ta có: ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ ݐ‬ଶ − 2‫ ݐ‬+ 1 với ‫≥ ݐ‬

t

ସ

మ

‫ ≥ ܣ‬ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻଶ − 2ሺ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ ሻ + 1

ሺ௫ା௬ሻమ

Đặt ‫ ݔ = ݐ‬+ ‫ݕ‬
ଶ

Suy ra ‫≥ ܣ‬

ଶ

ଷ൫௫ మ ା௬ మ൯

ሺdo ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ ≥

hay

మ

ଷ

khi ‫= ݕ = ݔ‬

ଵ

ଵ
ଶ

ଽ

ଵ଺

ଶ

Thí dụ
dụ 4: Cho hai số thực x, y ሺkhác 0ሻ thay đổi thoả mãn điều kiện: ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ‫ ݔ = ݕݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ −

‫ݕݔ‬
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

5

www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

‫=ܣ‬

Hoạ
Hoạt độ
động khám phá:

Gv Thái Văn Duẩn

1
1
+ ଷ
ଷ
‫ݔ‬
‫ݕ‬

ሺĐạ
ሺĐại họ
học khố
khối A – 2006ሻ
2006ሻ

Từ giả thiết ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ‫ ݔ = ݕݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ − ‫ ݕݔ‬có thể đưa bài toán về ít ẩn hơn không?
Biến đổi biểu thức A, ta được:

-

‫=ܣ‬

ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻሺ‫ ݔ‬ଶ − ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ ሻ
‫ݔ‬+‫ ݕ‬ଶ
1 1 ଶ
‫ݔ‬ଷ + ‫ݕ‬ଷ
൬
൰
൬
=
=
+ ൰
=
‫ݔ‬ଷ‫ݕ‬ଷ
‫ݕݔ‬
‫ݕ ݔ‬
‫ݔ‬ଷ‫ݕ‬ଷ

Do giả thiết là biểu thức mà số mũ trong các hạng tử ở vế trái lớn hơn vế phải nên ta
đặt x = ty thì ta có thể rút được x hoặc y theo t: ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ‫ ݔ = ݕݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ − ‫ ⟹ ݕݔ‬đặt x =

-

ty ⟹ ‫= ݕ‬

௧ మ ି௧ାଵ
௧ మ ା௧

; ‫= ݕݐ = ݔ‬

௧ మ ି௧ାଵ
௧ାଵ

Vậy đến đây ta có thể đưa có thể A về hàm một biến t. Đến đây ta khảo sát hàm biến t
là đi đến được kết quả.

-

Lời giả
giải:

Từ giả thiết, ta có:

ሺ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬ሻሺ‫ ݔ‬ଶ − ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ ሻ
1
1
‫ݔ‬ଷ + ‫ݕ‬ଷ
‫ݔ‬+‫ ݕ‬ଶ
1 1 ଶ
൰ = ൬ + ൰
‫ =ܣ‬ଷ+ ଷ=
=
=൬
‫ݔ‬ଷ‫ݕ‬ଷ
‫ݕ ݔ‬
‫ݔ‬
‫ݕ‬
‫ݔ‬ଷ‫ݕ‬ଷ
‫ݕݔ‬

Đặt: ‫ݕݐ = ݔ‬

từ giả thiết ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ‫ ݔ = ݕݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ − ‫ ⟹ ݕݔ‬ሺ‫ ݐ‬+ 1ሻ‫ ݕݐ‬ଷ = ሺ‫ ݐ‬ଶ − ‫ ݐ‬+ 1ሻ‫ ݕ‬ଶ
do đó: ‫= ݕ‬
Từ đó

௧ మ ି௧ାଵ
௧ మ ା௧

; ‫= ݕݐ = ݔ‬

Xét hàm số:
Ta có bảng biến thiên:
t

f’ሺtሻ

−∞
+∞

௧ మ ି௧ାଵ
௧ାଵ

‫ ݐ‬ଶ + 2‫ ݐ‬+ 1
1 1 ଶ
ቇ
‫=ܣ‬൬ + ൰ = ቆ ଶ
‫ ݐ‬−‫ݐ‬+1
‫ݕ ݔ‬
݂ ሺ‫ ݐ‬ሻ =

-

ଶ

‫ ݐ‬ଶ + 2‫ ݐ‬+ 1
−3‫ ݐ‬ଶ + 3
ᇱሺ ሻ
ܿó
݂
‫ݐ‬
=
ሺ‫ ݐ‬ଶ − ‫ ݐ‬+ 1ሻଶ
‫ݐ‬ଶ − ‫ ݐ‬+ 1
-1

+

1

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

-

6


www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

fሺtሻ

1

Gv Thái Văn Duẩn

4

0

1
ଵ
Vậy: GTLN của A là: ݂ ଶ ሺ1ሻ = 16 khi ‫ = ݕ = ݔ‬.
ଶ

khả
ảo sát lầ
2. Phương pháp kh
lần lượ
lượt từ
từng biế
biến trong bài toán ba biế
biến.

Đối vớ
với bấ
bất đẳ
đẳng thứ
thức nhiề

nhiều biế
biến, ta có thể
thể khả
khảo sát lầ
lần lượ
lượt từ
từng biế
biến mộ
một bằ
bằng
cách chọ
chọn mộ
một biế
biến làm tham số
số biế
biến thiên và cố
cố định các biế
biến còn lạ
lại, bài toán
lúc này trở
trở thành bấ
bất đẳ
đẳng thứ
thức mộ
một biế
biến. Luôn
Luôn có tâm thế
thế nhìn biể
biểu thứ
thức nhiề

nhiều
biế
biến mà ta cầ
cần tìm
tìm GTLN, GTNN dướ
dưới dạ
dạng là một hàm số
số để ta sử
sử dụng đượ
được
công cụ
cụ hiệ
hiệu quả
quả trong giả
giải toán là đạ
đạo hàm.
hàm.
Sơ đồ
đồ tổng quát
Giả
Giả sử tìm cự
cực trị
trị của biể
biểu thứ
thức ba biế
biến x, y, z: Pሺx, y, zሻ với điề
điều kiệ
kiện T nào đó.
• Bướ
Bước 1: Xem Pሺx, y, zሻ là hàm theo biế

biến x, còn y, z la hằ
hằng số
số. Khả
Khảo sát
hàm này tìm cự
cực trị
trị với điề
điều kiệ
kiện T. Ta đượ
được:
ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≥ ࢍሺ࢟, ࢠሻሺࢎ࢕ặࢉ ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≤ ࢍሺ࢟, ࢠሻሻ

• Bướ
Bước 2: Xem gሺy, zሻ là hàm biế
biến y, còn z là hằng số
số. Khả
Khảo sát hàm này
này vớ
với
điề
điều kiệ
kiện T. Ta đượ
được ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≥ ࢎሺࢠሻ ሺࢎ࢕ặࢉ ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≤ ࢎሺࢠሻሻ
• Bướ
Bước 3: Cuố
Cuối cùng Khả
Khảo sát hàm mộ
một biế
biến hሺz
hሺzሻ với điề

điều kiệ
kiện T tìm min,

max của hàm này.
này.
Ta đi đế
đến kế
kết luậ
luận: ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≥ ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≥ ࢎሺࢠሻ ≥ ࢓
ሺࢎ࢕ặࢉ ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≤ ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≤ ࢎሺࢠሻ ≤ ࡹሻ

Thí dụ
dụ 5: Cho hai số thực x, y, z là 3 số thực thuộc ሾ1; 4ሿ và ‫ݕ ≥ ݔ‬, ‫ݖ ≥ ݔ‬. Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức:

2011ሻ
Hoạ
Hoạt độ
động khám phá:

ܲ=

‫ݔ‬
‫ݕ‬
‫ݖ‬
+
+
2‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ ݕ‬+ ‫ ݖ ݖ‬+ ‫ݔ‬

ሺĐạ
ሺĐại họ
học khố
khối A –

Khảo sát lần lượt từng biến như thế nào?
Xem P là một hàm theo biến z, con x, y là hằng số. Khảo sát hàm số với điều kiện đã
cho suy ra GTNN của P, tức là ܲሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫ݖ‬ሻ ≥ ܲሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ
- Khảo sát hàm Pሺx, yሻ, ở đây có thể đưa Pሺx, yሻ về hàm một biến không?
-

-

Bằng cách đặt ẩn phụ ‫ = ݐ‬ට௬ để đưa ܲሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ về hàm một biến. Tìm GTNN của hàm
௫

một biến
ଷସ
- Vậy ܲሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫ݖ‬ሻ ≥ ܲ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ = ܲሺ‫ݐ‬ሻ ≥
ଷଷ
Lời giả
giải:

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

7


www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI

TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Ta có:

Gv Thái Văn Duẩn

‫ݕ‬
‫ݖ‬
‫ݔ‬
+
+
2‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ ݕ‬+ ‫ ݖ ݖ‬+ ‫ݔ‬

ܲ=

Xem đây là hàm theo biến z; còn x, y là hằng số.

ሺ‫ ݔ‬− ‫ݕ‬ሻሺ‫ ݖ‬ଶ − ‫ݕݔ‬ሻ
‫ݔ‬
−‫ݕ‬
+
=
ܲ ‫ݖ‬ሻ =
ሺ‫ ݕ‬+ ‫ݖ‬ሻଶ ሺ‫ ݖ‬+ ‫ݔ‬ሻଶ ሺ‫ ݕ‬+ ‫ݖ‬ሻଶ ሺ‫ ݖ‬+ ‫ݔ‬ሻଶ
ᇱሺ

Theo giả thiết: ‫ ݔ ⇒ ݕ ≥ ݔ‬− ‫ ≥ ݕ‬0 nếu ܲ ≥ 0 ⇔ ‫ ≥ ݖ‬ඥ‫ ݕݔ‬ሺdo x, y, z ∈ ሾ1; 4ሿሻ
t

P’ሺzሻ

ඥ‫ݕݔ‬

-

Pሺzሻ

0

+

min

Từ bảng biến thiên:

ܲ ≥ ܲ൫ඥ‫ݕݔ‬൯ =
=

௫

ଶ௫ାଷ௬

ೣ
೤
ೣ
ଶ೤ାଷ

+

+

ଶ√ ௬

√௫ା√௬

ଶ

ೣ
೤

ଵାට

Đặt ‫ = ݐ‬ට , do ‫ݕ ≥ ݔ‬, ‫ ݖ ≥ ݔ‬và x, y, z ∈ ሾ1; 4ሿ nên 1 ≤ ‫ ≤ ݐ‬2.
௫

Xét hàm

௬

݂ሺ‫ݐ‬ሻ =

݂ ᇱ ሺ‫ݐ‬ሻ =

௧మ

ଶ௧ మ ାଷ

+

ଶ

ଵା௧

ିଶൣସ௧ య ሺ௧ିଵሻାଷሺଶ௧ మ ି௧ାଷሻ൧
ሺଶ௧ మ ାଷሻమ ሺଵା௧ሻమ

< 0, ∀ ‫ ∈ ݐ‬ሾ1; 2ሿ

Suy ra fሺtሻ giảm trên ሾ1; 2ሿ, do đó ܲ ≥ ܲ൫ඥ‫ݕݔ‬൯ = ݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ≥ ݂ሺ2ሻ =

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

ଷସ

ଷଷ

8


www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Đẳng thức xẩy ra: ቐ
Vậy: ܲ௠௜௡ =

ଷସ
ଷଷ

‫ = ݖ‬ඥ‫ݕݔ‬

‫=ݐ‬ට =2
௫

௬

Gv Thái Văn Duẩn

⇒ ‫ = ݔ‬4, ‫ = ݕ‬1, ‫ = ݖ‬2

݇ℎ݅ ‫ = ݔ‬4, ‫ = ݕ‬1, ‫ = ݖ‬2

Thí dụ
dụ 6: Cho hai số thực ܽ, ܾ, ܿ là 3 số thực thuộc ቂଷ ; 3ቃ. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
ଵ

thức:

ܲ=

Hoạ
Hoạt độ
động khám phá:

ܽ
ܾ
ܿ
+
+
ܽ+ܾ ܾ+ܿ ܿ+ܽ

Khảo sát lần lượt từng biến như thế nào?
Xem P là một hàm theo biến a, còn b, c là hằng số. Khảo sát hàm số với điều kiện đã
cho, suy ra GTLN của P của, tức là ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤ ݃ሺܾ, ܿሻ
- Xem Pሺb, cሻ là một hàm theo biến c, còn b là hằng số. Khảo sát hàm số với điều kiện
đã cho, suy ra GTLN của Pሺb, cሻ, tức là ݃ሺ ܾ, ܿሻ ≤ ℎሺܾሻ
଼
- Tiếp theo khảo sát hàm hሺbሻ suy ra ℎሺܾሻ ≤
ହ
-

-

Vậy: ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤ ݃ሺܾ, ܿሻ ≤ ℎሺܾሻ ≤ ହ
଼

Lời giả
giải:
Đặt

ܲሺܽሻ =

ܽ
ܾ
ܿ
+
+
ܽ+ܾ ܾ+ܿ ܿ+ܽ

Xem đây là hàm theo biến a; còn b, c là hằng số.

ܲᇱ ሺܽሻ =

ሺܾ − ܿሻሺܽ ଶ − ܾܿሻ
ܾ
ܿ
−
=
ሺܽ + ܾሻଶ ሺܽ + ܿሻଶ ሺܽ + ܾሻଶ ሺܽ + ܿሻଶ

• Trường hợp 1: ܽ ≥ ܾ ≥ ܿ và ܽ, ܾ, ܿ ∈ ቂ ; 3ቃ
ଵ
ଷ

Suy ra: ܾ − ܿ ≥ 0; ܽ − ܾܿ ≥ 0 nên ܲ ܽ ሻ ≥ 0. Do đó: Pሺaሻ tăng trên ቂ ; 3ቃ
ଶ

ᇱሺ

3
ܾ
ܿ
⇒ ܲ ሺܽ ሻ ≤ ܲ ሺ3ሻ =
+
+
= ݃ሺܿ ሻ
3+ܾ ܾ+ܿ ܿ+3
ሺxem gሺcሻ là hàm theo biến cሻ
Mặt khác
݃ᇱ ሺܿሻ =

ଵ
ଷ

ሺܾ − 3ሻሺ3ܾ − ܿ ଶ ሻ
3
−ܾ
+
=
≤0
ሺܾ + ܿሻଶ ሺܿ + 3ሻଶ ሺܾ + ܿሻଶ ሺܿ + 3ሻଶ

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

9


www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

Do đó: gሺcሻ giảm trên ቂ ; 3ቃ
ଵ
ଷ

3
3ܾ
1
1

+
+
= ℎሺܾሻ
⇒ ݃ሺܿ ሻ ≤ ݃ ൬ ൰ =
3 + ܾ 3ܾ + 1 10
3
ሺxem hሺbሻ là hàm theo biến bሻ
Ta có
ℎ ᇱ ሺܾ ሻ =

Ta có bảng biến thiên:
b

ሺ1 − ܾሻሺ1 + ܾሻ
3
3
−
=
ሺ3ܾ + 1ሻଶ ሺܾ + 3ሻଶ ሺ3ܾ + 1ሻଶ ሺܾ + 3ሻଶ
1

ଵ
ଷ

h’ሺbሻ

3

+

଼
ହ

hሺbሻ
Suy ra ℎሺܾ ሻ ≤ ℎሺ1ሻ =

-

଼
ହ

Vậy: ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤ ܲሺ3, ܾ, ܿሻ ≤ ܲ ቀ3, ܾ, ቁ ≤ ܲ ቀ3, 1, ቁ =
ଵ
ଷ

ଵ
ଷ

• Trường hợp 2: ܿ ≥ ܾ ≥ ܽ và ܽ, ܾ, ܿ ∈ ቂ ; 3ቃ
ଵ
ଷ

Từ kết quả của trường hợp 1, ta có: ܲሺܿ, ܾ, ܽሻ ≤

Mặt khác:
ܲ ሺܽ, ܾ, ܿሻ − ܲ ሺܿ, ܾ, ܽ ሻ =
=

଼
ହ

khi ܽ = 3; ܾ = 1; ܿ = .
ଵ
ଷ

଼
ହ

ሺܽ − ܾሻሺܾ − ܿሻሺܽ − ܿሻ
≤0
ሺܽ + ܾሻሺܾ + ܿሻሺܽ + ܿ ሻ
⇒ ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤

8
5

Vậy ‫ = ܵ ݔܽܯ‬, xẩy ra khi và chỉ khi ሺܽ, ܾ, ܿ ሻ = ቄቀ3, 1, ቁ ; ቀ , 3, 1ቁ ; ቀ3,
଼
ହ

ଵ
ଷ

ଵ
ଷ

ଵ
ଷ

, 1ቁቅ

Thí dụ
dụ 7: Cho ba số thực dương ܽ, ܾ, ܿ thảo mãn điều kiện: abc + a + c = b
SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

10


www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
ܲ=

2008
2008ሻ
08ሻ
Hoạ
Hoạt độ
động khám phá:

Gv Thái Văn Duẩn

2
2
3
−
+
ܽଶ + 1 ܾଶ + 1 ܿଶ + 1

ሺĐề
ሺĐề thi GV giỏ
giỏi tỉ
tỉnh–
nh–

Từ giả thiết abc + a + c = b có thể đưa bài toán về ít ẩn hơn không?
௔ା௖
- Biến đổi giả thiết ܽ + ܿ = ܾሺ1 − ܽܿ ሻ > 0 : ta có ܾ =
, có thể đưa P về 2 biến
ଵି௔௖
-

-

ሺchặn biến: ܽ < ௖ ሻ
ଵ

Khi đó: ܲ = ௔మାଵ + ሺ௔మାଵሻሺ௖ మାଵሻ − 2 + ௖ మାଵ ሺ0 < ܽ < ௖ ሻ
ଶ

ଶሺ௔ା௖ሻమ

ଷ

Với bài này suy nghĩ khám phá hàm số như thế nào? Ta nhìn biểu thức P là hàm một
biến a, còn c xem như hằng số.
ଵ
ଶ௖

ଷ
Khảo sát hàm biến a là fሺaሻ với 0 < ܽ < ௖ suy ra ݂ሺܽሻ ≤ √ଵା௖ మ + ௖ మାଵ = ݃ሺܿሻ
Tiếp tục khảo sát hàm gሺcሻ với ܿ ∈ ሺ0, +∞ሻ suy ra ݃ሺܿሻ ≤
Vậy: ܵ ≤ ݃ሺܿሻ ≤ ݃ሺܿ଴ ሻ =

Lời giả
giải:

ଵ଴
ଷ

Biến đổi giả thiết thành:

ܽ + ܿ = ܾ ሺ1 − ܽܿ ሻ > 0 ⇒ ܽ <

Thay vào biểu thức P ta được:
ܲ=

Xét hàm số:
Ta có

ଵ

݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ =

ଵ଴
ଷ

ܽ+ܿ
1

‫ݒ‬à ܾ =
1 − ܽܿ
ܿ

3
2ሺܽ + ܿሻଶ
2
+
+
−2
ܽ ଶ + 1 ܿ ଶ + 1 ሺܽ ଶ + 1ሻሺܿ ଶ + 1ሻ

2
2ሺܽ + ܿሻଶ
3
= ଶ
+ ଶ
−2+ ଶ
ଶ
ܽ + 1 ሺܽ + 1ሻሺܿ + 1ሻ
ܿ +1

1
ሺ‫ ݔ‬+ ܿሻଶ
1
+
− 1 ‫ݒ‬ớ݅ 0 < ‫ݒ < ݔ‬à ܿ‫݈ ܿ ݅݋‬à ‫ݐ‬ℎܽ݉ ‫ݏ‬ố ሺܿ > 0ሻ
ଶ
ଶ
ଶ

‫ ݔ‬+ 1 ሺ‫ ݔ‬+ 1ሻሺܿ + 1ሻ
ܿ
݂ ᇱ ሺ‫ݔ‬ሻ =

−2ܿሺ‫ ݔ‬ଶ + 2ܿ‫ ݔ‬− 1ሻ
=0
ሺ1 + ‫ ݔ‬ଶ ሻଶ ሺ1 + ܿ ଶ ሻ

⇔ ‫ݔ‬଴ = −ܿ + √ܿ ଶ + 1 ∈ ቀ0, ቁ
ଵ
௖

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

11


www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Bảng biến thiên:
x

0
ଵ
ୡ

f’ሺxሻ
fሺxሻ

‫ݔ‬଴

+

݂ሺ‫ݔ‬ሻ ≤ ݂ሺ‫ݔ‬଴ ሻ =

ܵ = 2݂ ሺܽ ሻ +

Ta có

݃

Bảng biến thiên:
c

g’ሺcሻ
gሺcሻ

ᇱ ሺܿሻ

=

ܿଶ

ܿ=

ଵ

√଼

√1 + ܿ ଶ

2ሺ1 − 8ܿ ଶ ሻ

ሺ1 + ܿ ଶ ሻଶ ሺ3ܿ + √1 + ܿ ଶ ሻ
ଵ

√଼

∈ ሺ0, +∞ሻ
ܿ଴

+

⇒ ܵ ≤ ݃ሺܿሻ ≤ ݃ሺܿ଴ ሻ =

, ܽ=

√ଶ
ଶ

, ܾ = √2 ‫ݐ‬ℎì ‫= ܵ ݔܽܯ‬

=0

-

gሺܿ଴ ሻ

Từ bảng biến thiên suy ra: ݃ሺܿሻ ≤ ݃ሺܿ଴ ሻ
Vậy với

ܿ

2ܿ
3
3
≤
+ ଶ
= ݃ሺܿሻ
+ 1 √1 + ܿ ଶ ܿ + 1

⇔ܿ = ܿ଴ =

0
+∞

-

fሺ‫ݔ‬଴ ሻ

Khi đó: Từ bảng biến thiên

Gv Thái Văn Duẩn

10
3

ଵ଴

ଷ

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

12


www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

Thí dụ
dụ 8: Cho ba số thực dương ܽ, ܾ, ܿ thảo mãn điều kiện: 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 2 3
ܲ= + +
ܽ ܾ ܿ

ሺĐề
ሺĐề thi Olympic
Olympic 30/4 –

2004ሻ
2004ሻ
Hoạ
Hoạt độ
động khám phá:

Với bài này suy nghĩ khám phá hàm số như thế nào? ሺcó thể chuyển theo ẩn mới được
không?ሻ
- Có thể biểu diễn để biểu thức P và giả thiết cho đơn giản hơn không?
ଵ
ଵ
ଵ
- Nếu đặt: ‫ = ݔ‬, ‫ = ݕ‬, ‫ = ݖ‬bài toán chuyển thành bài toán là gì?
௔
௕
௖
-

Có thể chuyển bài toán sao cho ít ẩn được không?
ଶ௫ା଼௬
଻
- Từ giả thiết: 2‫ ݔ‬+ 8‫ ݕ‬+ 21‫ ≤ ݖ‬12‫≥ ݖ ⇒ ݖݕݔ‬
‫ݒ‬à ‫> ݔ‬
ଵଶ௫௬ିଶଵ
ସ௬
-

-

-

-

Khi đó: ܵ ≥ ‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬+ ସ௫௬ି଻ = ݂ሺ‫ݔ‬ሻ
ଶ௫ା଼௬

Khảo sát hàm fሺxሻ xem y là tham số cố định. Ta được: ܵ ≥ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ≥ ݂ሺ‫ݔ‬଴ ሻ = 2‫ ݕ‬+ ସ௬ +

ඥଷଶ௬ మାଵସ
ଶ௬

= ݃ሺ‫ݕ‬ሻ

Tiếp tục khảo sát một biến gሺyሻ

Ta đi đến kết luận: ܵ ≥ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ≥ ݃ሺ‫ݕ‬ሻ ≥

Lời giả
giải:
Đặt:

Từ:

‫=ݔ‬

ଽ

ଵହ
ଶ

1
1
1
, ‫ = ݕ‬, ‫ݔ ⇒ = ݖ‬, ‫ݕ‬, ‫ > ݖ‬0; 2‫ ݔ‬+ 8‫ ݕ‬+ 21‫ ≤ ݖ‬12‫ݒ ݖݕݔ‬à ܵ = ‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬+ 3‫ݖ‬
ܽ
ܾ

ܿ
2‫ ݔ‬+ 8‫ ݕ‬+ 21‫ ≤ ݖ‬12‫≥ ݖ ⇒ ݖݕݔ‬

Từ biểu thức S suy ra được:

ܵ ≥ ‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬+

2‫ ݔ‬+ 8‫ݕ‬
7
‫ݒ‬à ‫> ݔ‬
12‫ ݕݔ‬− 21
4‫ݕ‬

2‫ ݔ‬+ 8‫ݕ‬
= ݂ሺ‫ݔ‬ሻ
4‫ ݕݔ‬− 7

⇒ ݂ ᇱ ሺ‫ ݔ‬ሻ = 1 −

14 − 32‫ ݕ‬ଶ
=0
ሺ4‫ ݕݔ‬− 7ሻଶ

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

13


www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI

TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

⇔ ‫ݔ = ݔ‬଴ =

Bảng biến thiên:
x

f’ሺxሻ

଻

ସ௬

+

ඥଷଶ୷మାଵସ
ସ୷

+∞

fሺxሻ

଻

ସ௬

, +∞ቁ

‫ݔ‬଴

଻

ସ௬

∈ ቀ

+

Gv Thái Văn Duẩn

0

-

fሺ‫ݔ‬଴ ሻ

Khi đó: Từ bảng biến thiên

9 ඥ32‫ ݕ‬ଶ + 14
ܵ ≥ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ≥ ݂ሺ‫ݔ‬଴ ሻ = 2‫ ݕ‬+
+
= ݃ሺ‫ݕ‬ሻ
4‫ݕ‬
2‫ݕ‬
⇒ ݃ ᇱ ሺ‫ ݕ‬ሻ =

ሺ8‫ ݕ‬ଶ − 9ሻඥ32‫ ݕ‬ଶ + 14 − 28
4‫ ݕ‬ଶ ඥ32‫ ݕ‬ଶ + 14

Đặt: ‫ = ݐ‬ඥ32‫ ݕ‬ଶ + 14 thì phương trình ݃ᇱ ሺ‫ݕ‬ሻ = 0

=0

⇔ ሺ8‫ ݕ‬ଶ − 9ሻඥ32‫ ݕ‬ଶ + 14 − 28

⇔ ‫ ݐ‬ଷ − 50‫ ݐ‬− 122 = 0 ⇔ ‫ = ݐ‬8 ⇔ ‫= ݕ‬
y

g’ሺxሻ

gሺxሻ

0
+∞

ହ
ସ

ହ
ସ

-

0

+

ଵହ
ଶ

Từ bảng biến thiên suy ra: ݃ሺ‫ݕ‬ሻ ≥ ݃ ቀ ቁ
ହ
ସ

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

14


www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

5
15
⇒ ܵ ≥ ݃ሺ‫ݕ‬ሻ ≥ ݃ ൬ ൰ =
4
2

Vậy với:
‫=ݕ‬

ହ
ସ

Gv Thái Văn Duẩn

, ‫ = ݔ‬3, ‫= ݖ‬

ଶ

ଷ

⇔ ܽ = , ܾ = ,ܿ =
ଵ

ସ

ଷ

ହ

ଷ
ଶ

‫ݐ‬ℎì ‫= ܵ ݊݅ܯ‬

ଵହ
ଶ

Thí dụ
dụ 9: Chứng minh rằng nếu ܽ, ܾ, ܿ là độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của: ܶ = 3ሺܽ ଶ +ܾଶ + ܿ ଶ ሻ + 4ܾܽܿ

Hoạ
Hoạt độ
động khám phá:

Bài toán cần chứng minh chứa 3 ẩn a, b, c và thoả mãn ܽ + ܾ + ܿ = 3. Hãy suy nghĩ
biến đổi ܶ = 3ሺܽ ଶ +ܾ ଶ + ܿ ଶ ሻ + 4ܾܽܿ sao cho ít ẩn hơn?

ଷ
- Từ giả thiết: ܽ + ܾ + ܿ = 3 ⇒ ܽ + ܾ = 3 − ܿ, ݉à ܽ + ܾ > ܿ ⇒ 1 ≤ ܿ ≤
ଶ
-

-

Khi đó: ܶ = 3ሺ3 − ܿሻଶ + 3ܿ ଶ + 2ܾܽሺ2ܿ − 3ሻ
Tích ab và tổng a + b = 3 – c gợi cho các em nghĩ đến bất đẳng thức nào?

-

Khi đó ܶ ≥ 3ሺ3 − ܿሻଶ + 3ܿ ଶ + 2ሺ2ܿ − 3ሻ ቀ

-

ܽ+ܾ ଶ
3−ܿ ଶ
൰ =൬
൰
ܾܽ ≤ ൬
2
2
ଷି௖ ଶ

Khảo sát hàm một biến fሺcሻ đi đen kết quả.

Ta đi đến kết luận ܶ ≥ ݂ ሺܿ ሻ ≥ ݂ ሺ1ሻ = 13

ଶ

ቁ = ܿଷ − ܿଶ +
ଷ
ଶ

ଶ଻
ଶ

= ݂ሺܿሻ

Lời giả
giải:

Do vai trò bình đẳng của a, b, c nên ta có thể giả sử: 0 < ܽ ≤ ܾ ≤ ܿ

Chu vi bằng 3 nên ܽ + ܾ + ܿ = 3 ⇒ ܽ + ܾ = 3 − ܿ, ݉à ܽ + ܾ > ܿ ⇒ 1 ≤ ܿ ≤

Ta biến đổi: ܶ = 3ሺܽ ଶ +ܾ ଶ + ܿ ଶ ሻ + 4ܾܽܿ = 3ሺܽ ଶ +ܾ ଶ ሻ + 3ܿ ଶ + 4ܾܽܿ
Măt khác:
ܾܽ ≤ ቀ

Do đó:

ଶ

= 3ሾሺܽ + ܾ ሻଶ − 2ܾܽሿ + 3ܿ ଶ + 4ܾܽܿ = 3ሺ3 − ܿሻଶ + 3ܿ ଶ + 2ܾܽሺ2ܿ − 3ሻ

௔ା௕ ଶ
ଶ

ଷ

ଷି௖ ଶ

ቁ =ቀ

ଶ

ቁ ⇒ ܾܽሺ2ܿ − 3ሻ ≥ ቀ

ଷି௖ ଶ
ଶ

ቁ ሺ2ܿ − 3ሻ ሼ‫ݒ‬ì ܿ < ⇒ 2ܿ − 3 < 0ሽ

ܶ ≥ 3ሺ3 − ܿሻଶ + 3ܿ ଶ + 2ሺ2ܿ − 3ሻ ቀ

Xét hàm số: ݂ ሺܿ ሻ = ܿ ଷ − ܿ ଶ +
ଷ
ଶ

ଶ଻
ଶ

, ‫ݎݐ‬ê݊ ቂ1; ቃ
ଷ

ଷ
ଶ

ଷି௖ ଶ
ଶ

ቁ = ܿଷ − ܿଶ +
ଷ
ଶ

ଶ଻
ଶ

= ݂ሺܿሻ

ଷ

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

15


www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

⇒ ݂ ᇱ ሺܿ ሻ = 3ܿ ଶ − 3ܿ = 0 ⇔ ܿ = 1

Bảng biến thiên
c

f’ሺcሻ

1

ଷ

0

ଷ

+

fሺcሻ

13
Khi đó: Từ bảng biến thiên suy ra

݂ ሺܿ ሻ ≥ ݂ ሺ1ሻ = 13

Suy ra ܶ ≥ ݂ ሺܿሻ ≥ ݂ ሺ1ሻ = 13 khi ܿ = 1, ܽ = 1, ܾ = 1

Vậy min P =13 khi c = 1, a = 1, b = 1.

‫ݔ‬+‫ݕ‬+‫=ݖ‬4
‫ = ݖݕݔ‬2

Thí dụ
dụ 10: Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện sau: ൜
Chứng minh rằng:

2004ሻ
Hoạ
Hoạt độ
động khám phá:

183 − 165√5 ≤ ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ + ‫ ݖ‬ସ ≤ 18

ሺĐề
ሺĐề thi Olympic Toán THPT Việ
Việt Nam –

Biểu thức ܲ = ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ + ‫ ݖ‬ସ đối xứng với ba ẩn x, y, z. Biến đổi P theo ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+
‫ݖ‬, ‫ݖݕݔ‬, ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݖݕ‬+ ‫ ݔݖ‬như thế nào?
- Ta có ܲ = ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ + ‫ ݖ‬ସ = ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ + ‫ ݖ‬ଶ ሻଶ − 2ሺ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ‫ ݖ‬ଶ + ‫ ݖ‬ଶ ‫ ݔ‬ଶ ሻ
-

= ሺ4ଶ − 2ሺ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݖݕ‬+ ‫ݔݖ‬ሻሻଶ − 2ሺ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݖݕ‬+ ‫ݔݖ‬ሻଶ − 2‫ݖݕݔ‬ሺ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+ ‫ݖ‬ሻ

-

-

Với mỗi quan hệ trên, chuyển P theo biến mới như thế nào?
Đặt ‫ ݕݔ = ݐ‬+ ‫ ݖݕ‬+ ‫ ݔݖ‬và từ giả thiết ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬4; ‫ = ݖݕݔ‬2 ta có ܲ = 2ሺ‫ ݐ‬ଶ − 32‫ ݐ‬+

144ሻ

Tìm điều kiện theo ẩn mới như thế nào?
ଶ
ଶ

Từ các điều kiện đối với x, y, z ta được ‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬4 − ‫ = ݖݕ ;ݔ‬௫ do đó ‫ ݔ = ݐ‬ሺ4 − ‫ݔ‬ሻ + ௫
Tìm điều kiện đối với ẩn x và chuyển điều kiện đó theo ẩn t.
Áp dụng bât đẳng thức Côsi cho 2 số dương y, z ta có
SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

16


www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

ሺ‫ ݕ‬+ ‫ݖ‬ሻଶ ≥ 4‫ ⇔ ݖݕ‬ሺ4 − ‫ݔ‬ሻଶ ≥ ⇔ ‫ ݔ‬ଷ − 8‫ ݔ‬ଶ + 16‫ ݔ‬− 8 ≥ 0 ⇔ ሺ‫ ݔ‬− 2ሻሺ‫ ݔ‬ଶ − 6‫ ݔ‬+
଼

௫

4≥0
-

⇔ 3 − √5 ≤ ‫ ≤ ݔ‬2

Xét hàm số ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ሺ4 − ‫ݔ‬ሻ + ௫ trên đoạn ൣ3 − √5; 2൧, ta có ‫ ݐ‬ᇱ ሺ‫ݔ‬ሻ =
ଶ

Từ việc xét dấu của ‫ ݐ‬ᇱ ሺ‫ݔ‬ሻ trên đoạn ൣ3 − √5; 2൧, ta được 5 ≤ ‫≤ ݐ‬
Khảo sát hàm số ܲ = 2ሺ‫ ݐ‬− 32‫ ݐ‬+ 144ሻ trên 5 ≤ ‫≤ ݐ‬
ଶ

ଷ

ଶ

183 − 165√5 ≤ ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ + ‫ ݖ‬ସ ≤ 18

Bài tậ
tập đề
đề nghị
nghị

ଶ

ହ√ହିଵ

‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫ ≥ ݖ‬0
Cho ൜
‫ݔ‬+‫ݕ‬+‫=ݖ‬1
Tìm GTLN của ܵ = ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬+ ‫ ݕ‬ଶ ‫ݖ‬+‫ ݖ‬ଶ ‫ݔ‬

ିଶሺ௫ିଵሻሺ௫ మ ି௫ିଵሻ
௫మ

ହ√ହିଵ
ଶ

và suy ra

Đáp số

số: min ܵ = ଶ଻ ‫ݔ‬ẩ‫݇ ܽݎ ݕ‬ℎ݅ ‫ = ݔ‬ଷ , ‫ = ݕ‬0, ‫= ݖ‬
ସ

ଵ

Cho x, y, z là số thực thoả mãn ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ + ‫ ݖ‬ଶ = 2. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
ܲ = ‫ ݔ‬ଷ +‫ ݕ‬ଷ + ‫ ݕ‬ଷ − 3‫ݖݕݔ‬
Đáp số
số: max ܲ = 2√2 ‫ݔ‬ẩ‫݇ ܽݎ ݕ‬ℎ݅ ‫√ = ݔ‬2, ‫ = ݖ = ݕ‬0

min ܲ = −2√2 ‫ݔ‬ẩ‫݇ ܽݎ ݕ‬ℎ݅ ‫ = ݔ‬−√2, ‫ = ݖ = ݕ‬0

Cho ‫ > ݔ‬0, ‫ > ݕ‬0, ‫ > ݔ‬0 và thoả mãn điều kiện ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

ܲ = ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݖݕ‬+ ‫ ݔݖ‬− 2‫ݖݕݔ‬

ଵ
ଷ

Cho ܽ, ܾ, ܿ ∈ ሾ1; 2ሿ. Chứng minh rằng:
Tìm GTNN của:

Đáp số
số: min ܲ = ଶ଻ ‫ݔ‬ẩ‫݇ ܽݎ ݕ‬ℎ݅ ‫= ݖ = ݕ = ݔ‬
଻

1 1 1
ሺܽ + ܾ + ܿሻ ൬ + + ൰ ≤ 10
ܽ ܾ ܿ

ܽ ସ ܾସ
ܽଶ ܾ ଶ
ܽ ܾ
ቇ
ቆ
+
−
+
+
+
ܾସ ܽସ
ܾଶ ܽ ଶ
ܾ ܽ
Đáp số
số: min ܶ = −2 ‫ݔ‬ẩ‫݇ ܽݎ ݕ‬ℎ݅ ܽ = −ܾ
Cho ܽ, ܾ, ܿ ∈ ሾ0; 1ሿ. Chứng minh rằng
ܾ
ܿ
ܽ
+
+
+ ሺ1 − ܽሻሺ1 − ܾሻሺ1 − ܿሻ ≤ 1
ܾ+ܿ+1 ܿ+ܽ+1 ܽ+ܾ+1
ܶ=

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

17

www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

Cho ‫ > ݔ‬0, ‫ > ݕ‬0, ‫ > ݔ‬0 và thoả mãn điều kiện ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+ ‫≤ ݖ‬
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

ܲ =‫ݔ‬+‫ݕ‬+‫ݖ‬+

ଵ
ଶ

C. Kết luậ
luận

1 1 1
+ +
‫ݖ ݕ ݔ‬

Đáp số
số: min ܲ =

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

ଷ
ଶ

ଵହ
ଶ

‫ݔ‬ẩ‫݇ ܽݎ ݕ‬ℎ݅ ‫= ݖ = ݕ = ݔ‬

18