DE CUONG ON TAP KIEM TRA CHUONG IV

ĐẠI SỐ.
A/LÝ THUYẾT CẦN NẮM VỮNG:

f ( x ) = ax + b ( a ≠ 0 )
I.

Nhị thức bậc nhất:
PHẢI CÙNG”

.

x

−

−∞
ax+b

II.
Nếu

Nếu
Nếu

∆<0

∆=0

∆>0

Trái dấu với a

Tam thức bậc hai:

Xét dấu theo qui tắc: “TRÁI TRÁI –

b
a
0

+∞
Cùng dấu với a

f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) ∆ = b 2 − 4ac
,

thì f(x) cùng dấu với a.

x=

−b
2a

thì f(x) cùng dấu với a trừ
thì dấu của f(x) theo qui tắc : “TRONG TRÁI – NGOÀI CÙNG”

x

ax 2 + bx + c

−∞

Cùng dấu a

x1

0

x2

Trái dấu a

0

LƯU Ý: Có thể thay biệt thức bằng biệt thức thu gọn
B/CÁC DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP:
DẠNG 1: BPT CHỨA ẨN Ở MẪU.
CÁCH GIẢI
GỒM CÓ 5 BƯỚC
Bước 1: Chuyển vế
Bước 2: Qui đờng
Bước 3: Tìm nghiệm
Bước 4 Xét dấu
Bước 5: Ghi tập nghiệm.

+∞

Cùng dấu a


VD: Giải các BPT sau:

x 2 − 3x + 2
≥0
1− 2x

a)

b)

x−6 x+7
≤
x+2 x−2

1
3
>
( *)
2 x − 1 4 − 3x

c)

−x + 6
> 2x −1
3x − 6

d)

BÀI TẬP MẪU:

a) Tìm nghiệm:

x = 1
x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ 
x = 2

1− 2x = 0 ⇔ x =

b) bpt ( *) ⇔

1
2

⇔

4 − 3x − 6 x + 3
−9 x + 7
⇔
>0
2
8 x − 6 x − 4 + 3x
−6 x 2 + 11x − 4

Bảng xét dấu:

−9 x + 7 = 0 ⇔ x =
1
2

x

−∞

∞
1

x − 3x + 2
2

1 − 2x
VT

+
+ 0
+

2

+

+ 0 - 0 +
-

0 + 0 -

-

Tìm nghiệm:

7
9

1

x=

2
−6 x 2 + 11x − 4 = 0 ⇔ 
x = 4

3
Bảng xét dấu:

1
2

x

1 
S =  ;1 ∪ [ 2; +∞ )
2 
Vậy tập nghiệm

1( 4 − 3 x ) − 3 ( 2 x − 1)
1
3
−
>0⇔
>
2 x − 1 4 − 3x
( 2 x − 1) ( 4 − 3 x )

−∞

7
9

4
3

∞
+

-9x + 7

−6 x + 11x − 4
2

VT

+
-

+ 0 0 +

+

+ 0 -

1 7 4


S =  ; ÷∪  ; +∞ ÷
2 9 3

Vậy tập nghiệm :

0

+


c)

x+6
x+6
> 2x +1 ⇔
− (2 x + 1) > 0
−3 x + 6
−3 x + 6

⇔

x + 6 − ( 2 x + 1) ( −3x + 6 )
>0
−3 x + 6
⇔

⇔

d)

x−6 x+7
x−6 x+7
≤
⇔
−
≤0
x+2 x−2
x+2 x−2

⇔

( x − 6) ( x − 2) − ( x + 7 ) ( x + 2)
( x + 2) ( x − 2)

x + 6 + 6 x 2 − 12 x + 3x − 6
>0
−3 x + 6

⇔

6 x 2 − 8x
>0
−3 x + 6

⇔
x = 0
6x − 8x = 0 ⇔ 
x = 4
3


−17 x − 2 = 0 ⇔ x = −

x = 2
x2 − 4 = 0 ⇔ 
 x = −2

Bảng xét dấu:

Bảng xét dấu:

−∞

2

+

0 -

+

+

0

+

VT

+

0

-

0 +

4 
S = ( −∞;0 ) ∪  ; 2 ÷
3 

VT

-

b)

x+3
x −1
≥
−2 x + 6 2 − x

+ 0
+

2

S =  −2; −  ∪ ( 2; +∞ )
17 


Vậy tập nghiệm :

*BÀI TẬP VẬN DỤNG: Giải các bất phương trình sau:

5
3
>
2x +1 3 − 2x

+

x2 − 4

+
+ 0

-2

−17 x − 2

+

−3 x + 6

−

−∞

0

∞
6 x 2 − 8x

x

4
3

x

a)

2
17

Tìm nghiệm:

−3x + 6 = 0 ⇔ x = 2

Vậy tập nghiệm :

x 2 − 2 x − 6 x + 12 − x 2 − 2 x − 7 x − 14
x2 − 2 x + 2x − 4

−17 x − 2
≤0
x2 − 4

2

Tìm nghiệm:

≤0

-

2
17


x −1
≥ x−2
3 − 2x

c)

2 x − 2 3x + 1
>
x2 − 4 x + 2

d)

e)

x + 3 2 x −1
+
>2
2x −1 x + 3
−3

( x + 2)

2

<

4
x+2

f)

g)

x2 − 4 x + 3
< 1− x
3 − 2x

DẠNG 2:

1 − 3x < 5
VD: Giải các bất phương trình sau: a)

1 + 3x < 5

b ) −3 x + 4 < 4 − 2 x

a)

1 + 3 x > 5

⇔
1 + 3 x < −5
3 x − 4 > 0
⇔
3 x − 6 < 0

KL: Tập nghiệm:

 8
S =  0; ÷
 5

4

x >
⇔
3
4 
 x < 2 ⇔ x ∈  3 ; 2 ÷


KL: Tập nghiệm :

4 
S =  ;2÷
3 
*BÀI TẬP: Giải các BPT sau:

−3 x + 4 < 4 − 2 x
b)

1 − 4x < 5 + 2x
a)

2x −1 < 2x2 + x −1
b)

4 x2 − 3 < 2 x − 3
c)

d)

x +1 > − x + 2x + 3
2

3 x − − x 2 + 5 x + 3 > −3

x2 − 6x + 5 < x + 5
f)

e)
DẠNG 3:

−3x − 4 − 2 > 0(*)
VD: Giải các BPT sau: a)

1 − 4 x ≥ 2 x + 1(*)
b)

x − 4 > x + 2(*)
2

(*) ⇔ −3 x − 4 > 2

b)

a)

 −3 x − 4 > 2
⇔
 −3 x − 4 < −2

Vậy tập nghiệm:S=

 x < −2
 −3 x − 6 > 0 ⇔ 
x > − 2
⇔
−
3
x
−
2
<
0
3


 2


x ∈ ( −∞; −2 ) ∪  − ; +∞ ÷
 3

Vậy tập nghiệm :

 2

S = ( −∞; −2 ) ∪  − ; +∞ ÷
 3

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Giải các bất phương trình sau:

a) x 2 − 4 > x + 2

b) 1 − 4 x ≥ 2 x + 1

d ) x 2 + 3x + 2 − 2 x + x 2 > 0

c)2 x + 3 − x − 6 > 0

c)


DẠNG 4:

x2 − 5x + 4 − x2 + x > 0

2 x − 1 ≥ 3 + 4 x (*)

VD: Giải các BPT sau: a)

a) Bpt(*) ⇔ ( 2 x − 1 + 3 + 4 x ) ( 2 x − 1 − 3 − 4 x ) ≥ 0
⇔ ( 6 x + 2 ) ( −2 x − 4 ) ≥ 0 ⇔ −12 x 2 − 28 x − 8 ≥ 0
Vì:

b)

⇔ x − 5 x + 4 > x 2 + x − 10
⇔  ( x 2 − 5 x + 4) − ( x 2 + x − 10)   x 2 − 5 x + 4 + x 2 + x − 10  > 0
b)Bpt
⇔ ( −6 x + 14 ) ( 2 x 2 − 4 x − 6 ) > 0
2

−6 x + 14 = 0 ⇔ x =

Bảng xét dấu:

 x = −1
2 x2 − 4 x − 6 = 0 ⇔ 
x = 3

7
3

Cho:

x

−∞

−12 x − 28 x − 8
2

-

−
-2
0

+

1
3

0

+∞

Bảng xét dấu:
x

-

-

∞

-1
+

-6x +14

Vậy tập nghiệm:

2 x2 − 4 x − 6

1

S =  −2; − 
3


VT

Vậy tập nghiệm :

để phá dấu giá trị tuyệt đối sau đó kèm theo điều kiện để giải
C/PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
LÝ THUYẾT CẦN NẮM VỮNG:

ax + bx + c = 0

S =−

2

có tởng

b

a

P=

và tích

c
a

3
+

+

0

-

+

0

-

7 
S = ( −∞; −1) ∪  ;3 ÷
3 

LƯU Ý: Các bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, Các em có thể dùng định nghĩa

Cho phương trình:

7
3

0

+

0

0

-


a)Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

a ≠ 0
⇔
∆ > 0

b) Phương trình có nghiệm kép

a ≠ 0
⇔
∆ = 0

c) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

d) Phương trình có nghiệm

⇔ a.c < 0

a ≠ 0
⇔
∆ ≥ 0

e) Phương trình vơ nghiệm

a ≠ 0
⇔
∆ < 0

(Nếu a có tham số m thì Xét TH a = 0)

f) Phương trình có 2 nghiệmdương phân biệt

g) Phương trình có 2 nghiệm âm

VD1: Cho pt:

∆ > 0

⇔ P > 0
S > 0


∆ ≥ 0


⇔ P > 0
S < 0


x 2 − 2mx + 3m − 2 = 0

Tìm m để pt trên:

a) Có 2 nghiệm phân biệt.
b) Có 2 nghiệm dương phân biệt.
c) Có 2 nghiệm trái dấu.
GIẢI
a = 1; b = -2m; c = 3m - 2

b)Pt có 2 nghiệm dương phân biệt

c) Pt có 2 nghiệm trái dấu

∆ = b − 4ac

⇔ a.c < 0

= ( −2m ) − 4.1(3m− 2)

⇔ 3m − 2 < 0

2

2

= 4m 2 − 12m + 8
a) Pt có 2 nghiệm phân biệt

a ≠ 0
⇔ '
∆ > 0
1 ≠ 0
⇔ 2
 m − 3m + 2 > 0
⇔ m ∈ ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ )

Vậy

m ∈ ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ )

thì
phương trình có 2 nghiệm
phân biệt


∆ > 0

c
⇔
 >0
∆ > 0

a
⇔ P > 0

 b
S > 0
− a > 0

m 2 − 3m + 2 > 0

⇔ 3m + 2 > 0
 2m > 0


2

⇔ m ∈  −∞; ÷
3


Vậy

2

m ∈  −∞; ÷
3


thì
phương trình có 2 nghiệm
trái dấu.

 m ∈ ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ )



 2

⇔  m ∈  − ; +∞ ÷
 3


 m ∈ ( 0; +∞ )

⇔ m ∈ ( 0;1) ∪ ( 2; +∞ )

Vậy

m ∈ ( 0;1) ∪ ( 2; +∞ )

thì
phương trình có 2 nghiệm
dương phân biệt

( m − 1) x 2 − 2 ( m + 1) x + 2m + 5 = 0
VD2: Cho pt:
a) Có nghiệm.
b) Có 2 nghiệm đều âm.
GIẢI

.Tìm m để pt:

a = m-1; b = -2(m+1) = – 2m – 2; c = 2m + 5
∆ = b 2 − 4ac = ( −2m − 2 ) − 4 ( m − 1) ( 2m + 5 )
2

= ( −2m) 2 − 2( −2m).2 + 22 − 8m 2 − 20m + 8m + 20
= 4m 2 + 8m + 4 − 8m 2 − 20m + 8m + 20
= −4m 2 − 4m + 24

b)Pt có 2 nghiệm âm


 −4m 2 − 4m + 2
∆ ≥ 0


c
⇔ P > 0 ⇔  > 0
S < 0
a

 b
 − a < 0


a)Pt có nghiệm

m − 1 ≠ 0
a ≠ 0
⇔
⇔
2
−4m − 4m + 24 ≥ 0
∆ ≥ 0


 −4m 2 − 4m + 24 ≥ 0
 m ∈ [ −3; 2]

 2m + 5

⇔
>0
5


⇔  m ∈  −∞; − ÷∪ ( 1; +∞ )
 m −1
2


 2m + 2
<
0
 m ∈ ( −1;1)
 m − 1


m ≠ 1
⇔
m ∈ [ −3; 2] ⇔ m ∈ [ −3;1) ∪ ( 1; 2 ]

*Nếu a = 0

⇔ m −1 = 0 ⇔ m = 1

−4 x + 7 = 0 ⇔ x =

⇔ m ∈∅

thì pt trở thành:

7
4

Vậy khơng có m nào để phương trình có 2 ngh
âm

vì phương trình có nghiệm nên nhận m = 1
Vậy:

m ∈ [ −3;1]

thì phương trình có nghiệm

BÀI TẬP
1. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu:

( m − 3) x 2 − 2mx + m + 2 = 0

( m − 2 ) x 2 − 2mx + m + 2 = 0

a.

b.

mx − 2 ( m − 1) x + m − 2 = 0

c.

2

( m − 1) x 2 − 2 ( m − 1) x + 3m − 3 = 0

( m + 1) x 2 − 2mx − m + 3 = 0

d.
e.
2. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

( m − 2 ) x 2 + 2mx + m + 2 = 0

a.

( m + 4 ) x 2 − 2mx + m + 1 = 0

b.

mx − 2 ( m − 2 ) x + m − 3 = 0

c.

2

( m − 1) x 2 − 2 ( m − 2 ) x + 3m − 4 = 0

( m + 1) x 2 − 2 ( m − 3) x − m + 3 = 0

d.
e.
3. Tìm m để phương trình có kép. Tính nghiệm kép

( m − 2 ) x 2 + 2mx + m + 2 = 0

a.

b.

mx 2 − 2 ( m − 2 ) x + m − 3 = 0

( m − 1) x 2 − 2 ( m − 2 ) x + 3m − 4 = 0

( m + 4 ) x 2 − 2mx + m + 1 = 0
c.

( m + 1) x 2 − 2 ( m − 3) x − m + 3 = 0

d.
e.
4. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt:

( m − 3) x 2 − 2mx + m + 2 = 0

a.

mx − 2 ( m − 1) x + m − 2 = 0
2

( m − 2 ) x 2 − 2mx + m + 2 = 0

b.

c.


BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:

Cho tam thức:

f (x) > 0

a)

có nghiệm đúng với mọi x

f ( x) = ax 2 + bx + c

a > 0
⇔
∆ < 0

f (x) ≥ 0

b)

có nghiệm đúng với

a > 0
⇔
∆ ≤ 0

mọi x
(Nếu a có tham số m thì Xét TH a = 0)
(Nếu a có tham số m thì Xét TH a = 0)
f (x) < 0

c)

có nghiệm đúng với mọi x

a < 0
⇔
∆ < 0

f (x) ≤ 0

d)

có nghiệm đúng với

a < 0
⇔
∆ ≤ 0

mọix
(Nếu a có tham số m thì Xét TH a = 0)
có tham số m thì Xét TH a = 0)

(Nếu a

VD: Tìm m để BPT sau :
a)

mx 2 − 2mx + 5 > 0

có nghiệm đúng với mọi x

b)

mx 2 + 4 x + m ≤ 0

f (x) = mx 2 − 2mx + 5
a)Đặt

vô nghiệm.

f (x) = mx 2 + 4 x + m
c) Đặt

.


f ( x) ≤ 0

∆ = b 2 − 4ac = ( −2m ) − 4.m.5 = 4m2 − 20m
2

a = 0 ⇔ m = 0 f (x) = 5 > 0

*NẾU
Do đó nhận m = 0

*NẾU

:

Khi đó

vơ nghiệm

ln đúng với m

∆ = b 2 − 4ac = 42 − 4m.m = 16 − 16m 2
luôn đúng với mọi x .
*NẾU

a > 0
f (x) > 0∀x ∈ R ⇔ 
a≠0⇔m≠0
∆ < 0

a = 0 ⇔ m = 0 f (x) = 4 x > 0 ⇔ x > 0
:

.

f ( x) > 0

Vì

:

 m ∈ ( 0; +∞ )
m > 0
⇔
⇔ 2
 m ∈ ( 0;5 ) ⇔ m ∈ ( 0;5 )
4m − 20m < 0

không đúng với mọi x Nên không nhận m

*NẾU

a > 0
f (x) > 0 ⇔ ∀x ∈ R ⇔ 
a≠0⇔m≠0
∆ < 0
:

m > 0
m > 0
⇔
⇔
Ñ


2
m ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ )
16 − 16m < 0

m ∈ ( 0;5]
Vậy

⇔ f ( x) > 0

thì bất phương trình có nghiệm

⇔ m ∈ [ 2; +∞ )
m ∈ [ 2; +∞ )
Vậy

thì bất phương trình vơ nghiệm.

*BÀI TẬP:
1/Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x:

x 2 − mx + m + 3 ≥ 0

a)

b)

( m + 2) x 2 + ( m + 2) x − 4 < 0
d)

( m + 1) x

2

( m + 1) x 2 − 2 ( m − 1) x + 3m − 3 ≥ 0

mx 2 − mx − 5 < 0

− 2 ( m + 1) x + 4m ≤ 0

c)

( m − 3 ) x 2 + 2 ( m − 3) x − 4 ≥ 0
e)

f)

2/Tìm m để các bất phương trình sau vơ nghiệm:

( m − 1) x 2 − 2 ( m + 1) x + 3m − 6 > 0
a.

( m + 3) x

2

− 2 ( m + 3) x + m + 2 ≤ 0

( m − 4) x2 − ( m − 6) x + m − 5 ≤ 0
b.

( m + 2) x

2

− 2 ( m + 2 ) x − 3m > 0

c.

d.

( m − 1) x 2 + ( m + 1) x + 3m − 2 > 0
e.

( m − 2 ) x 2 − 2 ( 2m − 3) x + 5m − 6 > 0
f.