Bài tập đạo hàm lớp 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (82.3 KB, 5 trang )
BÀI TẬP ĐẠO HÀM
f ( x ) = x2 − 2x + 1
Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số
tại
f ( x ) = x2 − x
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số
tại
Câu 3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số
x0 = 1
x0 = 0
bằng định nghĩa?
f ( x ) = 2 x2 − 4 x + 1
f ( x) =
Câu 4: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số
Câu 5: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số
Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số
Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số
y=
Câu 8: Tính đạo hàm
Câu 9: Tính đạo hàm
x−1
2x + 1
y = f ( x) = x3
bằng định nghĩa?
4x − 7
3− x
x2 + x + 1
f ( x) =
x +1
Câu 10: Cho hàm số y= 3 +
trên khoảng
y = f ( x) = x3 + 5 x 2 − 2 x + 3
x0 = 3
trên khoảng
chứng minh rằng xy’ + y = 3
Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số
tại
.
.
bằng định nghĩa.
.
Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số
x0 = −2
.
( −∞, +∞ )
y = x − 5 + 4 − x2
5
x
tại
tại
x0 = 1
y = x 4 − x2
f ( t ) = 1 − t + 6t 2
( 0, +∞ )
bằng định nghĩa.
ĐÁP ÁN
Câu 1:
Hàm số
f ( x ) = x2 − 2x + 1
xác định trong một lân cận của
x0 = 1
. Ta có:
f (1) = 0
x 2 − 2 x + 1) − 0
(
f ( x) − f (1)
( x − 1) 2
lim
= lim
= lim
= lim( x − 1) = 0
x →1
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1
x −1
Vậy
f ' (1) = 0
.
Câu 2:
Giả sử
∆x
là số gia của đối số tại
x0 = 0
. Ta có:
f (0) = 0
2
∆y = f ( 0 + ∆x ) − f ( 0 ) = ( ∆x ) − ( ∆x ) − 0=∆x.(∆x − 1)
∆y ∆x.( ∆x − 1)
=
= ∆x − 1
∆x
∆x
∆y
= lim ( ∆x − 1) = −1
∆x → 0 ∆x
∆x → 0
lim
f '(0) = −1
Vậy
.
Câu 3:
Hàm số
f ( x ) = 2x2 − 4x + 1
f (1) = −1
xác định trong một lân cận của
x0 = 1
. Ta có:
2 x 2 − 4 x + 1) − (−1)
(
f ( x) − f (1)
2( x − 1) 2
lim
= lim
= lim
= lim 2 ( x − 1) = 0
x →1
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1
x −1
Vậy
f '(1) = 0
.
Câu 4:
f ( x) =
4x − 7
3− x
Hàm số
xác định trong một lân cận của
x0 = −2
. Ta có:
f (−2) = −3
4x − 7
4 x − 7 + 3(3 − x )
− (−3)
f ( x) − f (−2)
3− x
lim
= lim 3 − x
= lim
x →−2
x →−2
x →−2
x+2
x+2
x+2
x+2
1
1
= lim
= lim
=
x →−2 ( x + 2)(3 − x )
x →−2 3 − x
5
f '(−2) =
Vậy
1
5
Câu 5:
Giả sử
∆x
f (3) =
là số gia của đối số tại
x0 = 3
13
4
( 3 + ∆x ) + ( 3 + ∆x ) + 1 − 13 = ( ∆x ) + 7 ∆x + 13 − 13 = 4 ( ∆x ) + 15∆x
f ( 3 + ∆x ) − f ( 3) =
4
4 + ∆x
4
4∆x + 16
( 3 + ∆x ) + 1
2
∆y =
. Ta có:
2
4 ( ∆x ) + 15∆x
2
4 ( ∆x ) + 15∆x
∆y
4
∆
x
+
16
=
=
∆x
∆x
∆x.(4∆x + 16)
2
4 ( ∆x ) 2 + 15∆x
∆x. ( 4∆x + 15 )
∆y
4∆x + 15 15
lim
= lim
= lim
=
= lim
∆x →0 ∆x
∆x →0 ∆x.(5∆x + 20)
∆x →0 ∆x.(4∆x + 16) ∆x →0 4∆x + 16 16
f '(3) =
Vậy
Câu 6:
15
16
.
2
Với mọi
x
thuộc khoảng
( −∞, +∞ )
, ta có:
3
2
∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ( x + ∆x ) − x 3 = ∆x. 3 x 2 + 3 x.∆x + ( ∆x )
2
2
∆y ∆x. 3 x + 3 x.∆x + ( ∆x )
2
=
= 3 x 2 + 3 x.∆x + ( ∆x )
∆x
∆x
lim
∆x →0
∆y
2
= lim 3 x 2 + 3x.∆x + ( ∆x ) = 3x 2
∆
x
→
0
∆x
Vậy hàm số
y = f ( x)
có đạo hàm trên khoảng
( −∞, +∞ )
và
f '( x) = 3 x 2
.
Câu 7:
Với mọi
x
thuộc khoảng
( 0, +∞ )
, ta có:
∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ( x + ∆x ) + 5 ( x + ∆x ) − 2 ( x + ∆x ) + 3 − ( x 3 + 5 x 2 − 2 x + 3 )
3
2
= 3 x 2 .∆x + 3x. ( ∆x ) + ( ∆x ) + 10 x.∆x + 5 ( ∆x ) − 2∆x
2
3
2
2
= ∆x. 3 x 2 + 3 x.∆x + ( ∆x ) + 10 x + 5∆x − 2
2
2
∆y ∆x. 3 x + 3 x.∆x + ( ∆x ) + 10 x + 5∆x − 2
2
=
= 3x 2 + 3x.∆x + ( ∆x ) + 10 x + 5∆x − 2
∆x
∆x
∆y
2
= lim 3x 2 + 3 x.∆x + ( ∆x ) + 10 x + 5∆x − 2 = 3x 2 + 10 x − 2
∆x → 0 ∆x
∆x → 0
lim
Vậy hàm số
y = f ( x)
có đạo hàm trên khoảng
Câu 8:
y'=
2x + 1 − 2(x − 1)
( 2x + 1)
2
=
3
( 2x + 1)
2
( 0, +∞ )
và
f '( x ) = 3x 2 + 10 x − 2
.
Câu 9:
y ' = 1−
2x
2 4 − x2
=
4 − x2 - x
4 − x2
Câu 10:
y'= −
5
x2
xy '+ y = −
5x
5
+ 3+ = 3
2
x
x
Câu 11:
y ' = 4 − x2 −
x2
4 − x2
=
4 − 2 x2
4 − x2
Câu 12:
t ∈ (1; +∞)
Nếu
thì
f ( t ) = t − 1 + 6t 2 , f ' ( t ) = 1 + 12t
.
f ( t ) = 1 − t + 6t 2 , f ' ( t ) = −1 + 12t
t ∈ (−∞;1)
Nếu
f ( t ) = t − 1 + 6t 2
thì
