Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ

GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Nguyễn Tăng Vũ
Tôi là một người không giỏi tính toán, và thực sự ít sử dụng phương pháp này trong
việc giải toán hình học, tuy nhiên thầy tôi là thầy Trần Nam Dũng thì lại rất thích phương
pháp này, và thầy đã giải bài toán “Tìm quỹ tích những điểm M cách đều điểm F và đường
thẳng d cho trước” khi thầy học lớp 9 với vốn công cụ còn rất hạn chế. Với kiến thức lớp
9, nếu ta dùng phương pháp tổng hợp sẽ không đoán được nó là đường nào vì ta chỉ biết
hai quỹ tích cơ bản là đường thẳng và đường tròn. Nhưng khi dùng phương pháp tọa độ thì
ta sẽ tìm được phương trình biểu diễn quỹ tích điểm M và đó là phương trình của một
Parabol.
Các bạn đã quen với hình học suy luận thì đôi khi không thích đến phương pháp dựa
nhiều vào tính toán, tuy nhiên, thế mạnh của Phương pháp tọa độ là giúp ta giải quyết
được các bài toán quỹ tích khó, hoặc các bài chứng minh mà ta ko giải được bằng suy luận,
phương pháp này là cứu cánh mỗi khi ta bí, và hiệu quả trong lúc còn ít thời gian, vì dù
tính toán có hơi rắc rối nhưng không cần phải suy nghĩ nhiều. Cái hay của phương pháp
này theo tôi là nó không phụ thuộc vào cách chọn trục, nhưng để bài toán có lời giải đẹp thì
ta phải chọn trục một cách khéo léo và ít tham số.
Trong bài viết nhỏ này tôi chỉ nêu một vài ví dụ ứng dụng nhỏ của phương pháp tọa
độ và hầu hết là chọn hệ trục tọa độ Decartes vuông góc. Bạn sẽ không tìm thấy hệ trục
affine hay là các bài toán liên quan đến các đại lượng có hướng trong đây.
I. Tóm tắt kiến thức.
1. Phương trình đường thẳng
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(x0,y0) và có vectơ pháp


tuyến n   A, B  là : A  x  x0   B  y  y0   0

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu.


1

 x  x0  at
 y  y0  bt

Phương trình tham số của đường thẳng 

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(a, 0) và B(0, b) là:

x y
  1 (PT đoạn
a b

chắn)
2. Phương trình đường tròn, trục đẳng phương của hai đường tròn.
2

2

Phương trình đường tròn tâm I(a, b) bán kính R là:  x  a    y  b   R 2
2

2

2

2

Cho hai đường tròn (C1):  x  a1    y  b1   R12 và (C2):  x  a2    y  b2   R22 ,
khi đó phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn là:

2  a1  a2  x  2  b1  b2  y  R12  R22  0

3. Phương trình các đường Conic.
Phương trình chính tắc của Parabol: y 2  2 px
Phương trình chính tắc của Elip:

x2 y2

1
a 2 b2

Phương trình chính tắc của Hyperbol:

x2 y 2

1
a 2 b2

II. Ví dụ áp dụng.
1. Các bài toán chứng minh các tính chất hình học.
Ví dụ 1. Cho hai hình vuông ABCD và AB’C’D’ cùng cùng chiều. Chứng minh rằng các
đường thẳng BB’, CC’ và DD’ đồng quy.
Lời giải.

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu.


2

Bài toán này đề bài khá đơn giản, nhưng chứng minh bằng phương pháp tổng hợp thì
cũng khá rắc rồi, và trong hình có nhiều yếu tố vuông góc nên ta có thể nghĩ tới cách
giải dùng tọa độ. Và với bài này ta có thể thấy ngay cách xây dựng hệ trục để bài toán
được đơn giản hơn.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho A(0, 0), B(0,1), D(1, 0), suy ra C(1, 1). Gọi B(a, b) vì hai hình
vuông cùng chiều nên ta suy ra D’(b, -a), C(a+b, b-a). Trong đó (a, b) ≠ (0, 1)
Khi đó phương trình các đường thẳng
Đường thẳng BB’: (1 − )
Đường thẳng CC’: (1 +
)

+ ( +

− 1)

–

+

( – 1) = 0 hay (1 −

)( − 1) + (

+

)

+

=

(1)

– 1)( – 1) = 0 hay ( + 1 −

= 2 (2)

Đường thẳng DD’: ( − 1) +

–1

= 0 hay

+ ( − 1)

=

(3)

Ta có (1) + (3) được phương trình (2). Do đó BB’ và DD’ cắt nhau tại (x0, y0) thì (x0, y0)
cũng thỏa phương trình của đường thẳng CC’. Vậy 3 đường thẳng BB’, CC’ và DD’ đồng
quy.
Chú ý. Cho 3 đường thẳng lần lượt có phương trình
a1 x  b1 y  c1  0, a2 x  b2 y  c2  0, a3 x  b3 y  c3  0 . Khi đó 3 đường thẳng trên đồng quy khi

và chỉ khi định thức:
a1

b1

c1

a2

b2

c2  0

a3

b3

c3

a1

b1

c1

Trong đó: a2

b2

c2  a1

a3

b3

c3

b2 c2
b3 c3

 b1

a2 c2
a3 c3

 c1

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu.


a2 b2
a3 c3

3


-

Cách chọn độ dài hình vuông bằng 1 là phương pháp chuẩn hóa, nhằm giảm các
tham số rất có lợi trong việc tính toán.

Ví dụ 2. (Thi vào chuyên Toán PTNK năm học 2009 – 2010) Cho đường tròn  O  tâm

O , đường kính AB. C là một điểm thay đổi trên đường tròn  O  sao cho tam giác ABC
không cân tại C . Gọi H là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ C . Hạ HE , HF

vuông góc với AC , BC tương ứng. Các đường thẳng EF và AB cắt nhau tại K . Gọi D
là giao điểm của  O  và đường tròn đường kính CH , D  C . Chứng minh rằng K, D, C
thẳng hàng.
Bài này hình vẽ khá rắc rối và có thể ít khi nào các bạn nghĩ tới phương pháp tọa độ
mà nghĩ tới các phương pháp khác, tuy vậy nếu biết cách chọn trục một cách khéo léo
thì dùng phương pháp tọa độ ta giải bài toán này mà không phải tính toán quá nhiều.
Lời giải.
Đối với bài toán này, ta chọn trục như sau:

C(0;b)

F
E

A(-1+a)

H

O(a;0)

B(1+a)

H(0;0), O(0;a), A(-1+a), B(0;1+a) và C(0;b). Khi đó b2 = |(-1+a)(1+a)| = 1 – a2
Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu.


4


Khi đó:

Phương trình đường tròn (I): x2 + (y - b/2)2 = b2/4
Phương trình đường tròn (O): (x-a)2 + y2 = 1.
Đường thẳng CD là trục đẳng phương của hai đường tròn (I) và (O) nên có phương trình là:
- 2ax + a2 + by – b2/4 = 1 – b2/4  2ax – by + b2 = 0
Phương trình đường thẳng AC: x/(a – 1) + y/b = 1  bx + (a – 1)y = b(a – 1)
Phương trình đường thẳng HE: (a – 1)x – by = 0
Suy ra tọa độ điểm E: (-b2/2; b(1 – a)/2)
Suy ra phương trình đường thẳng EF:

x
2

b / 2



y b / 2
b 1  a  / 2  b / 2

Suy ra tọa độ giao điểm K của EF và AB là K(- b2/2a; 0)
Dễ thấy tọa độ điểm K thỏa phương trình đường thẳng CD, suy ra K thuộc CD.
Vậy 3 điểm K, C, D thẳng hàng. ■
Nhận xét. Bài toán trên là bài toán khá hay và có nhiều cách giải. Trong cách giải bằng
phương pháp tọa độ như trên nhận xét CD là trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và
(I) là khá quan trọng, giúp ta giảm nhiều trong việc tính toán. Ý tưởng này cũng thường
hay được sử dụng để viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của hai đường tròn hay
là đường thẳng đi qua hai tiếp điểm.
Ví dụ 3 (China TST 1996) Cho tam giác ABC, đường tròn đường kính BC cắt AB, AC
lần lượt tại E và D. Gọi F, H là hình chiếu của D và E trên BC. Gọi M là giao điểm của EF
và DG. Chứng minh rằng AM ⊥ BC.

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu.


5


Nhìn vào đề bài có nhiều yếu tố vuông góc và hình vẽ thì thấy bài toán này rất thuận
lợi trong việc áp dụng phương pháp tọa độ.
Lời giải.

Ta chọn hệ trục như sau. Chân đường cao hạ từ A là H làm gốc tọa độ, A(0,1), B(0,b) và
C(0,c)
+

Khi đó phương trình đường thẳng AC:
−

Phương trình đường thẳng AB:

−

–

= 0

=0

Phương trình đường cao BD:

−

−

=0

Phương trình đường cao CE:

−

−

=0

 bc 2  c c 2  bc 
 cb 2  b b 2  bc 
Tọa độ điểm D  2
, 2
, 2
 và E  2

 c 1 c 1 
 b 1 b 1 
 bc 2  c



 cb 2  b



Suy ra tọa độ điểm F  2
,0,G  2
,0
 c 1   b 1 
Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu.


6


cb 2  b
2
y
Phương trình đường thẳng DG: 2 b  12
 2
bc  c cb  b c  bc
 2
c2 1
b 1
c2 1
x

Suy ra giao điểm của DG với trục tung là M có là tung độ
yM 

bc  bc  1 c  b 

 bc  1  cb

2

 c  bc  b 
2



bc
bc  1

Ta thấy biểu thức trên đối xứng với b, c nếu gọi M’ là giao điểm của EF với trục tung thì
M’ cũng có tung độ như trên. Do đó EF, DG cắt nhau tại một điểm trên trục tung, hay AM
⊥ BC.
2. Chứng minh đường đi qua điểm cố định
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A không phải vuông cân, trên cạnh AB và AC lấy M,
N sao cho BM = CN. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố
định.
Lời giải.
Chọn hệ trục tọa độ như sau: A(0, 0), B(0,
b) và C(1, 0). M(0, m) thay đổi trên cạnh
AB với 0 < m < b ≠ 1.
Ta có MB = CN, suy ra N(1 + m – b, 0)
Suy ra trung điểm P của MN có tọa độ

 1 m  b m 
P
,  và MN  1  m  b,  m 
2
2


Suy ra phương trình đường trung trực của MN là :

1  m  b   x 


1 m  b 
m

  m  y    0 hay
2
2



Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu.


7