Tài liệu phương pháp giải toán 12 nâng cao

Tài liệu ôn tập

THPT Trần Văn Thành

TÀI LIỆU ÔN TẬP TÚ TÀI 1
(phần lý thuyết)

c

B

iê

n

so
ạn
:

H

ồ

P
hạ
m

T

ha
nh

N

gô

n

Tài liệu ôn tập tú tài này soạn cho học sinh lớp 12, chủ yếu tóm tắt lý thuyết và tổng hợp các
phương pháp giải toán cũng như các dạng toán thường gặp.

1

Composed with TEXMaker on MiKTEX version 2.7

c Hồ Phạm Thanh Ngôn

Trang số – 1


Tài liệu ôn tập

THPT Trần Văn Thành
Phương trình - Bất phương trình

1. Bất phương trình bậc nhất ax + b > 0(< 0,

0,

0) với a = 0

Cách giải:
Biến đổi ax + b > 0 ⇐⇒ ax > −b. Sau đó chia hai vế cho a (chú ý đổi chiều bất pt nếu
a < 0).
Bảng xét dấu nhị thức bậc nhất
−b/a

ax + b

trái dấu a 0

+∞
cùng dấu a
0,

0) (a = 0)

N

2. Bất pt bậc hai ax2 + bx + c > 0(< 0,

n

−∞

gô

x

ha
nh

Cách giải: Lập bảng xét dấu và căn cứ vào chiều bất pt để lấy ra tập nghiệm. Ta có 3
trường hợp sau đây:
a. Biệt thức ∆ > 0
x1

ax2 + bx + c cùng dấu a 0

trái dấu a 0

b. Biệt thức ∆ = 0

cùng dấu a

c. Biệt thức ∆ < 0

so
ạn
:

−∞

ax2 + bx + c

+∞

cùng dấu a

b
2a

0

+∞

cùng dấu a

ồ

ax2 + bx + c

x

−

−∞

H

x

x2

T

−∞

P
hạ
m

x

+∞

cùng dấu a

iê

n

Chú ý: Cho f (x) = ax2 + bx + c. Nếu hệ số a có chứa tham số (m) thì ta phải xét
trường hợp a = 0.

c

B

Với a = 0, ta có các trường hợp sau:

a > 0
f (x) 0, ∀x ∈ R ⇔
∆ 0

a > 0
f (x) > 0, ∀x ∈ R ⇔
∆ < 0

a < 0
f (x) 0, ∀x ∈ R ⇔

∆ 0

a > 0
f (x) < 0, ∀x ∈ R ⇔
∆ < 0

c Hồ Phạm Thanh Ngôn

Trang số – 2


Tài liệu ôn tập

THPT Trần Văn Thành

Ngoài ra ta còn có các điều kiện hẹp và mạnh hơn là
Với a > 0 thì f (x) = ax2 + bx + c

Với a < 0 thì f (x) = ax2 + bx + c

0
0
0

S
b
=− ∈
/ (α, β) hoặc ([α, β]) thì
2
2a

(không cần biết dấu của a)

ha
nh

S
b
=− ∈
/ (α, β) hoặc ([α, β]) thì
2
2a

0

T


f (α)
0, ∀x ∈ (α, β) hoặc (x ∈ [α, β]) ⇔
f (β)

0
0

P
hạ
m

f (x) = ax2 + bx + c

0

n


f (α)
0, ∀x ∈ (α, β) hoặc (x ∈ [α, β]) ⇔
f (β)

gô

f (x) = ax2 + bx + c

Với

0

N

Với


f (α)
0, ∀x ∈ (α, β) hoặc (x ∈ [α, β]) ⇔
f (β)

f (α)
0, ∀x ∈ (α, β) hoặc (x ∈ [α, β]) ⇔
f (β)

(không cần biết dấu của a)
3. Phương trình, bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối

ồ

Các dạng thường gặp là |A| = |B|, |A| = B, |A| > |B|, |A| < B, |A| > B

so
ạn
:

H

Cách giải chung: Lập bảng xét dấu cho biểu thức nằm trong dấu trị tuyệt đối để khử
dấu trị tuyệt đối. Trong đó ta lưu ý:
• |A| = |B| ⇔ A2 = B 2 ⇔

A=B
A = −B

c

B

iê

n

• |A| > |B| ⇔ A2 > B 2 ⇔ A2 − B 2 > 0 ⇔ (A − B)(A + B) > 0





B 0


B 0
⇔
• |A| = B ⇔
A=B

A2 = B 2



 A = −B
• |A| < B ⇔ −B < A < B
• |A| > B ⇔

Chú ý: |A| =

A>B
A < −B
A nếu A
−A nếu A

0
.
0

4. Phương trình, bất phương trình chứa căn thức
Cách giải chung: Đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa, sau đó bình phương (nâng
lũy thừa) để khử căn thức. Trong đó ta lưu ý:
c Hồ Phạm Thanh Ngôn

Trang số – 3


Tài liệu ôn tập

•
•
•

√
√
√

A=

THPT Trần Văn Thành
√

A=B⇔
A>

√

A 0 hoặc B

A=B

B⇔

0

B 0
A = B2

B⇔

B 0
A>B

P
hạ
m

Chú ý:
√
A có nghĩa khi và chỉ khi A

T

ha
nh

N

gô

n

 
B < 0

 
 A 0
√

• A>B⇔
 
 B 0

A > B 2




B 0
√
• A


A < B 2

0.

c

B

iê

n

so
ạn
:

H

ồ

Khi bình phương hai vế, phải luôn bảo đảm hai vế không âm (hoặc cùng dấu).

c Hồ Phạm Thanh Ngôn

Trang số – 4


Tài liệu ôn tập

THPT Trần Văn Thành
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1. Hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d
• TXĐ: D = R.
• Sự biến thiên

(i) Tính các giới hạn: lim y và lim y
x→−∞

x→+∞

gô

n

(ii) Tính: y = 3ax2 + 2bx + c và giải y = 0, lập bảng biến thiên, nêu rõ cực
trị (nếu có) và nêu rõ trong bài làm các khoảng đồng biến và nghịch biến của
hàm số.
Tính: y = 6ax + 2b. Giải y = 0 để tìm điểm uốn (làm nháp)

N

• Điểm đặc biệt (chọn tùy theo bảng biến thiên).

ha
nh

• Vẽ đồ thị: Vẽ từng khoảng và chú ý đến chiều lên xuống trong bảng biến thiên.
2. Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c

• Tính các giới hạn: lim y và lim y
x→−∞

x→+∞

T

• TXĐ: D = R.

P
hạ
m

• Tính: y = 4ax3 + 2bx và giải y = 0, lập bảng biến thiên, nêu rõ cực trị (nếu
có)và nêu rõ trong bài làm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
• Điểm đặc biệt (chọn tùy theo bảng biến thiên).

H

ồ

• Vẽ đồ thị: Vẽ từng khoảng và chú ý đến chiều lên xuống trong bảng biến thiên.
ax + b
cx + d

so
ạn
:

3. Hàm hữu tỷ nhất biến (còn gọi là hàm 1 trên 1) y =
• TXĐ: D = R \ −

d
.
c

• Tính giới hạn và tìm tiệm cận:

c

B

iê

n

Tính được

lim −

x→−

d

c

y,

lim +

x→−

d

c

y, lim y =
x→−∞

a
a
và lim y =
x→+∞
c
c

a
d
Từ đó suy ra tiệm cận đứng là x = − . Tiệm cận ngang là y = .
c
c
ad − bc
. Căn cứ vào dấu của ad − bc (> 0 hay < 0) để kết luận
• Đạo hàm: y =
(cx + d)2
cho y , từ đó lập bảng biến thiên, và nêu rõ trong bài làm các khoảng đồng biến
và nghịch biến của hàm số.
• Tìm thêm 4 điểm đặc biệt. Chú ý đến các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.

4. Hàm hữu tỷ bậc 2 trên bậc 1 y =
c Hồ Phạm Thanh Ngôn

ax2 + bx + c
(dành cho chương trình nâng cao)
dx + e
Trang số – 5

Tài liệu ôn tập

THPT Trần Văn Thành

• TXĐ: D = R \ −

e
.
d

• Tiệm cận:
M
Chia tử cho mẫu trong y ta viết lại y ở dạng: y = Ax + B +
.
dx + e
e
Khi đó: Tiệm cận đứng là x = − . Tiệm cận xiên là y = Ax + B.
d

• Đạo hàm: y =

a b
a c
b c
x2 + 2
x+
0 d
0 e

d e
(dx + e)2

=

adx2 + 2aex + be − cd
(dx + e)2

gô

n

• Giải y = 0 ⇔ adx2 + 2aex + be − cd = 0. Từ đó lập bảng bthiên và nêu rõ cực trị
nếu có và nêu rõ trong bài làm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

c

B

iê

n

so
ạn
:

H

ồ

P
hạ
m

T

ha
nh

N

• Cho thêm điểm đặc biệt và vẽ đồ thị.

c Hồ Phạm Thanh Ngôn

Trang số – 6


Tài liệu ôn tập

THPT Trần Văn Thành

Một số bài toán liên quan đến việc khảo sát hàm số (C) : y = f (x)
1. Đồng biến - nghịch biến
a. Hàm số y = f (x) đồng biến trên miền D ⇔ y

0, ∀x ∈ D

b. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên miền D ⇔ y

0, ∀x ∈ D

(y = 0 tại hữu hạn giá trị x.)
Chú ý:
Đối với hàm y =

n

biến)

ax + b
thì ta buộc điều kiện y > 0 (đồng biến) và y < 0 (nghịch
cx + d

gô

2. Cực trị

N

a. Điều kiện chung: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x = x0 .

ha
nh

• y = f (x) có cực trị ⇐⇒ y đổi dấu.

P
hạ

m

T

• y = f (x) có cực trị tại x0 ⇒ f (x0 ) = 0 (phải thử lại).

f (x ) = 0
0
• y = f (x) có cực đại tại x0 ⇔
f (x0 ) < 0

f (x ) = 0
0
• y = f (x) có cực tiểu tại x0 ⇔
f (x0 ) > 0
b. Điều kiện cụ thể

hai cực trị
CĐ và CT

⇔ y = 0 có hai

H

ồ

• Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) có
nghiệm phân biệt.

ax2 + bx + c

có
dx + e

so
ạn
:

• Hàm số y =

hai cực trị
CĐ và CT

⇔ y = 0 có hai nghiệm phân biệt

iê

n

thuộc tập xác định.
ax + b
• Hàm số y =
không có cực trị.
cx + d
• Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị nếu a.b > 0, có 3 cực trị nếu a.b < 0.

c

B

c. Đường thẳng qua các điểm cực trị

Khi hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) có hai cực trị, hãy viết phương
trình đường thẳng đi qua hai cực trị đó?
• Chia đa thức y cho y ta được: y = (Ax + B).y + mx + n.

y (x ) = 0
0
• Gọi (x0 , y0 ) là điểm cực trị thì ta có:
y(x0 ) = (Ax0 + B).y (x0 ) + mx0 + n
⇒ y(x0 ) = mx0 + n.
Vậy phương trình đường thẳng qua các cực trị là y = mx + n.

2

2

khi sử dụng phải trình bày phần chứng minh này lại

c Hồ Phạm Thanh Ngôn

Trang số – 7


Tài liệu ôn tập

THPT Trần Văn Thành

ax2 + bx + c
có hai cực trị, hãy viết phương trình đường
dx + e
thẳng đi qua hai cực trị đó?

u(x)
u (x).v(x) − v (x).u(x)
• Đặt y =
, ta có y =
.
v(x)
v 2 (x)
• Do y đạt cực trị tại x = x0 nên

d. Khi hàm hữu tỷ y =

y (x0 ) = 0 ⇔

u(x0 )
u (x0 )
2ax0 + b
u (x0 ).v(x0 ) − v (x0 ).u(x0 )
=
0
⇔
=
=
v 2 (x0 )
v(x0 )
v (x0 )
d

2ax0 + b
d
2ax + b 3

Vậy phương trình đường thẳng qua các cực trị là y(x) =
.
d
Chú ý: Nếu tìm được cụ thể 2 điểm cực trị là A(xA , yA ) và B(xB , yB ) thì đường
thẳng qua 2 cực trị A và B chính là đường thẳng AB.

ha
nh

N

gô

n

⇒ y(x0 ) =

3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Cho hàm số y = f (x), tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên miền D.

T

a. Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y = f (x) trên đoạn [a, b].

P
hạ
m

• Tính y và giải y = 0 tìm nghiệm. Giả sử có nghiệm là x1 , x2 ∈ [a, b].

• Tính f (a), f (b), f (x1 ), f (x2 ) và so sánh để kết luận.
b. Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y = f (x) trên khoảng (a, b), nửa
khoảng [a, b), nửa khoảng (a, b].

H

ồ

• Tính y và lập bảng biến thiên trên miền xác định tương ứng (là (a, b), [a, b)
hay (a, b]).

so
ạn
:

• Căn cứ vào bảng biến thiên để kết luận.
c. Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y = f (x) (đề bài không nói gì thêm).
• Tìm tập xác định của hàm số.
• Tính đạo hàm y và lập bảng biến thiên của hàm số để kết luận.

iê

n

4. Tìm giao điểm của hai đồ thị

B

a. Cho y = f (x) có đồ thị (C), y = g(x) có đồ thị (C ), hãy tìm giao điểm của (C) và
(C )?

c

• Hoành độ giao điểm của (C) và (C ) là nghiệm của pt: f (x) = g(x) (*)
• Số giao điểm của (C) và (C ) chính bằng số nghiệm của (*).

f (x) = g(x)
b. (C) và (C ) tiếp xúc ⇔ Hệ
có nghiệm.
f (x) = g (x)

5. Phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f (x) có đồ thị (C)
a. Phương trình tiếp tuyến tại M0 (x0 , y0 ) ∈ (C) (biết tọa độ tiếp điểm)
Phương trình có dạng:
3

khi sử dụng phải trình bày phần chứng minh này lại

c Hồ Phạm Thanh Ngôn

Trang số – 8


Tài liệu ôn tập

THPT Trần Văn Thành
y = f (x0 ).(x − x0 ) + y0

(f (x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến; f (x0 ) đôi khi được viết là y (x0 )).
b. Phương trình tiếp tuyến với hệ số góc k cho trước

• Gọi (x0 , y0 ) là tọa độ tiếp điểm.
• Giải f (x0 ) = k tìm ra x0 , thay x0 vào (C) có y0 = f (x0 ) ⇒ có được tọa độ
tiếp điểm.
Chú ý:

N

gô

n

Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì f (x0 ) = a; nếu tiếp tuyến
1
vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì f (x0 ) = − .
a
c. Phương trình tiếp tuyến đi qua (kẻ từ) M1 (x1 , y1 )

y = k.(x − x1 ) + y1

f (x) = k.(x − x ) + y
1

f (x) = k

1

⇒ tìm ra k.

T

• Dùng điều kiện tiếp xúc

ha
nh

• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M1 (x1 , y1 ) & có hệ số góc k là:

P
hạ
m

6. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Cho phương trình F (x, m) = 0 (x : ẩn, m : tham số). Biện luận theo m số nghiệm của
pt.

H

ồ

• Viết pt đã cho dưới dạng f (x) = g(m) (*), trong đó f (x) là hàm có đồ thị vẽ được
(1 trong 4 dạng) (thường là đã vẽ), y = g(m) là đường thẳng song song Ox.

so
ạn
:

• Số nghiệm của (*) chính bằng số giao điểm của hai đồ thị : (C) : y = f (x) và đường
thẳng y = g(m).
7. Tương quan (giao điểm) của đồ thị hàm số bậc 3 với các trục tọa độ (Ox và
Oy).

n

Cho y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) có đồ thị (C). Khi đó

c

B

iê

a. (C) cắt trục hoành Ox tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi y có cực trị và hai giá
trị cực trị trái dấu.
• Bước 1: Tính y , xét pt bậc 2 y = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 (chỉ xét điều
kiện ∆ > 0, không tính cụ thể x1 , x2 ).
• Bước 2:
Chia đa thức y cho y ta được y = (Ax + B).y + kx + h.
y(x ) = kx + h
1
1
.
Khi đó
y(x2 ) = kx2 + h
Hai giá trị cực trị trái dấu khi
y(x1 ).y(x2 ) < 0 ⇔ (kx1 + h)(kx2 + h) < 0 ⇔ k 2 x1 x2 + kh(x1 + x2 ) < 0 (∗)
c
b
Áp dụng Viét x1 x2 = ; x1 + x2 = − , thay vào (∗).
a
a

c Hồ Phạm Thanh Ngôn

Trang số – 9


Tài liệu ôn tập

THPT Trần Văn Thành

b. (C) cắt trục Ox chỉ tại 1 điểm khi hai giá trị cực trị cùng dấu (y(x1 ).y(x2 ) > 0)
hoặc y rơi vào 2 trường hợp :vô nghiệm/nghiệm kép ⇒ ∆ 0.
Chú ý:
• Hai cực trị nằm hai phía so với trục Oy khi x1 .x2 < 0
• Hai cực trị nằm cùng phía so với trục Oy khi x1 .x2 > 0.
• Hai cực trị nằm hai phía so với trục O khi y(x1 ).y(x2 ) < 0
• Hai cực trị nằm cùng phía so với trục O khi y(x1 ).y(x2 ) > 0

N

gô

n

• Nếu phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 có nghiệm dễ tìm (nghiệm hữu tỷ) thì
ta nên xét số nghiệm của phương trình này để suy ra số giao điểm của (C) và trục
hoành Ox.

ha
nh

8. Khoảng cách

Cho M (xM , yM ), N (xN , yN ), P (x0 , y0 ) và đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0. Khi đó:
(xN − xM )2 + (yN − yM )2
|Ax0 + By0 + C|
√
A2 + B 2

P
hạ
m

d(P, ∆) =

T

MN =

Chú ý:

• Khoảng cách từ M (x0 , y0 ) đến trục hoành là |y0 |

ồ

• Khoảng cách từ M (x0 , y0 ) đến trục tung là |x0 |

H

9. Tìm cặp điểm A, B ∈ (C) : y = f (x) sao cho A, B đối xứng nhau qua ∆ : y = ax+b

1
f (x) = − x + m
a

n

so
ạn
:

1
• Gọi d là đường thẳng vuông góc với ∆, khi đó d có dạng: y = − x + m.
a
• Giao điểm của d và (C) chính là A, B có hoành độ là nghiệm của phương trình:

iê

• Ta lập luận tìm điều kiện tồn tại của A và B.

c

B

• Gọi I là trung điểm của AB, do tính đối xứng nên ta có I ∈ ∆, từ đó tìm m rồi
suy ra tọa độ của A, B.
∆
(C) : y = f (x)

A

I

B

d

c Hồ Phạm Thanh Ngôn

Trang số – 10