Tóm tắt kiến thức và phương pháp giải toán 12

THPT Lộc Thành- Lâm Đồng Thầy: Nguyễn Văn Trang
TĨM TẮT TỐN 12 (Chương trình chuẩn)
A. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ
Bài tốn 1: Khảo sát hàm số
1.Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ( a ≠ 0 )
+ TXĐ :
D = ¡
+ Đạo hàm: y
/
= 3ax
2
+ 2bx + c với ∆
/
= b
2
− 3ac
∆
/
≤ 0 ∆
/
> 0
y
/
cùng dấu với hệ số a
•KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?)
y

/
= 0 có hai nghiệm x
1
; x
2

•KL: hàm số tăng? Giảm?
•Hàm số không có cực trò • Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?
+ Giới hạn: •
3 2
( 0)
lim ( )
( 0)
x
a
ax bx cx d
a
→+∞



+∞ >
+ + + =
−∞ <
•
3 2
( 0)
lim ( )
( 0)
x

a
ax bx cx d
a
→−∞



−∞ >
+ + + =
+∞ <
+ Bảng biến thiên:
a > 0:
x -∞ +∞
y’ +
y +∞
-∞
a < 0:
Chú ý : dù y
/
= 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
+ Vẽ đồ thò : • xác đinh Cực trò ? • Điểm uốn I(−
a
b
3
;f(−
a
b
3
)) (giải pt y’’ = 0 )
• điểm đặc biệt : Giao với Oy, Ox

a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT
2.Hàm phân thức :
ax b
y
cx d
+
=
+
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
+ TXĐ :
\
d
D
c
 
= −
 
 
¡
+ Đạo hàm :
2
'
( )
ad bc
y
cx d
−
=
+
ad−bc < 0 ad−bc > 0

y
/
< 0, ∀ x ∈D y
/
> 0 , ∀ x ∈D
Hàm số không có cực trò
Hàm số nghòch biến trên từng khoảng xác đònh Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác đònh
x -
∞
x
1
x
2
+
∞
y’ + 0 - 0 +
y
y
CĐ
+
∞
-
∞
y
CT
x -∞ +∞
y’ -
y +∞
-∞
x -

∞
x
1
x
2
+
∞
y’ - 0 + 0 -
y
+
∞
y
CĐ
y
CT
-
∞
THPT Lộc Thành- Lâm Đồng Thầy: Nguyễn Văn Trang
+ Tiệm cận:
•
d
x
c
= −
là tiệm cận đứng vì
( )
lim
d
x
c

ax b
cx d
+
 
 ÷
 
→−
+
= −∞ +∞
+
,
( )
lim
d
x
c
ax b
cx d
−
 
 ÷
 
→−
+
= +∞ −∞
+
•
a
y
c

=
là tiệm cận ngang vì
lim lim
x x
ax b ax b a
cx d cx d c
→−∞ →+∞
+ +
= =
+ +
+Bảng biến thiên :
y’ > 0
y’ < 0
+ Vẽ đồ thò : − Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt
− Chú ý đồ thò đối xứng qua giao điểm hai tiệm cận .

3 Hàm trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c ( a ≠ 0 )
+ TXĐ :
D = ¡
, Hàm số chẵn
+ Đạo hàm: y
/
= 4ax
3
+ 2b.x = 2x.(2a x
2

+ b)
a,b cùng dấu a, b trái dấu
y
/
= 0 ⇔ x = 0
•KL: tăng? Giảm
y
/
= 0 ⇔ 2x (2ax
2
+ b) = 0 ⇔ x= 0; x
1,2
=±
a
b
2
−
•KL: tăng? Giảm?
•Giá trò cực trò : y(0) = c có một cực trò
• Giá trò cực trò: y(0)= c ; y(±
2
b
a
−
) =−
a4
∆
Có 3 cực
trò
+ Giới hạn :

4 2
( 0)
lim ( )
( 0)
x
a
ax bx c
a
→±∞



+∞ >
+ + =
−∞ <
x -
∞
d
c
−
+
∞
y’ + +
y
+
∞
a
c
a
c

−∞
x -
∞
d
c
−
+
∞
y’ - -
y
+
∞
−∞
a
c
a
c
x= −d/ c
y= a/c
x= −d/ c
y= a/c
THPT Lộc Thành- Lâm Đồng Thầy: Nguyễn Văn Trang
+ Bảng biến thiên :
a > 0
a < 0
+ Vẽ đồ thò : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương

Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :
1. Tiếp tuyến tại M(x

0
; f(x
0
)) có phương trình là : y - f(x
0
) = f
/
(x
0
)(x− x
0
) hay y = y
/
(x
0
)(x− x
0
)+ y(x
0
)
Từ x
0
tính f(x
0
) ; • Đạo hàm : y
/
= f
/
(x) => f
/

(x
0
) = ? P.trình tiếp tuyến tại M là: y - f(x
0
) = f
/
(x
0
)(x− x
0
)
2. Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = −
a
1
+ giả sử M(x
0
; f(x
0
)) là tiép điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f
/
(x
0
).
+ Giải phương trình f
/
(x
0
) = k => x

0
= ? −> f(x
0
) = ?
+ Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x
0
) + f(x
0
)
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k
1
.k
2
= −1
+ Hai đường thẳng song song nhau : k
1
= k
2

3. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x
1
; y
1
) của đồ thò h/s y =f(x)
+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A
Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x
1
) + y
1
+ Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thò (C) là

hệ phương trình :
(1)
= − +
=



f(x) k(x x ) y
1 1
/
f (x) k (2)
có nghiệm
Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận
Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò :
+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 . Trong đó đồ thò hàm số y = f(x) .
+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m)
x -
∞
0 +
∞
y’ - 0 +
y
+
∞
+
∞
y
CT
x -
∞

x
1
0 x
2
+
∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
+
∞
y
CĐ
+
∞
y
CT
y
CT
x -
∞
0 +
∞
y’ + 0 -
y
y
CĐ

-
∞
-

∞
x -
∞
x
1
0 x
2
+
∞
y’ + 0 - 0 + 0 -
y
y
CĐ
y
CĐ
-
∞
y
CT
-
∞
a> 0
b>0
a< 0
b <0
a< 0
b>0
a> 0
b <0
THPT Lộc Thành- Lâm Đồng Thầy: Nguyễn Văn Trang

+ ∆: y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thò (C)
+ Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thò (C) với đồ thò ∆: y = M
Bài toán 4: Xác đònh khoảng tăng, giảm hàm số (xét tính đơn điệu) :
+ TXĐ D= ?
+ Đạo hàm : y
/
= ? .. cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/

+ BXD (sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
* y
/
> 0 thì hàm số tăng ; y
/
< 0 thì hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghòch biến trên khoảng ...
Đònh lý 2 (dùng để tìm giá trị m) :
a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)
b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b).
Bài tốn 5: Cực trị hàm số
• Dấu hiệu I :
+ TXĐ D=?

+ Đạo hàm : y
/
= ? ..
cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
+ Tính y
CĐ
; y
CT
; kết luận cực trị ?
Chú ý:
1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y
/
= 0.
3) x
0
là cực trị của hàm số
/
( ) 0
0
/
( )
=

⇔



y x
y x
• Dấu hiệu II:
+ TXĐ
+ Đạo hàm : y
/
= ? .. y
//
= ? ..
cho y
/
= 0 ( nếu có ) => x
1
, x
2
….. .
+ Tính y
//
(x
1
); y
//
(x
2
)…….
Nếu y

//
(x
0
) > 0 thì hàm số đạt CT tại x
0
, y
CT
= ?
Nếu y
//
(x
0
) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x
0
, y
CĐ
= ?
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y
/
khó xét dấu
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f
/
(x).
Dạng 2: Cực trò của hàm hữu tỉ :
Cho h/s y =
u
v
u(x) ; v(x) là các đa thức có TXĐ: D
Và y

/
=
u v v u
2
v
′ ′
−
=
g(x)
2
v
dấu của y
/
là dấu của g(x)
Nếu h/s đạt cực trò tại x
0
thì y
/
(x
0
)= 0 => g(x
0
) = 0 <=> u
/
v−v
/
u = 0
=>
u u
v v

′
=
′
. Do đó giá trò cực trò y(x
0
) =
u (x )
0
v (x )
0
′
′
Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
+ Miền đang xét [a;b]
+ Đạo hàm : y
/
= ? ..
cho y
/
= 0 ( nếu có ) _ x
1
, x
2
….. . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
+ Tính y(x
1
) ; y(x
2
) ………. So sánh → KL

y(a) ; y(b)
đổi dấu khi qua x
0
THPT Lộc Thành- Lâm Đồng Thầy: Nguyễn Văn Trang
+
max y
[a;b]
=
?
min y
[a;b]
=
?
2. P.pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX Đ :
+ Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ
+ Đạo hàm : y
/
= ? .. cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/

+ BBT:
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trò CT
( )
CT
a;b
min y
y
=

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trò CĐ
( )
a;b
max y
=
y
CĐ

* Nếu hàm số ln tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên khoảng (a;b).
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :
+ nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
+ nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1. Cho hai đồ thò (C
1
) : y = f(x) ; (C
2
) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) nếu có
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) không có điểm chung

• pt(1) có n nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) có n điểm chung
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
2. Điều kiện tiếp xúc :
Đồ thò (C
1
) tiếp xúc (C
2
) <=> hệ pt
f (x) g(x)
f (x) g (x)
=
′ ′
=



có nghiệm
Bài tốn 8: Cách xác đònh tiệm cận :
*Tiệm cận đứng :
( )
0
x x
lim f(x)
+
→
= +∞ −∞

hoặc
( )
0
x x
lim f(x)
−
→
= +∞ −∞
=> x = x
0
là tiệm cận đứng
Chú ý : tìm x
0
là những điểm hàm số không xác đònh
*Tiệm cận ngang :
0
x
lim y y
→−∞
=
hoặc
0
x
lim y y
→+∞
=
=> y = y
0
là tiệm cận ngang
Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì có

tiệm cận ngang
Phần 2: Hàm số mũ và logarit
Bài tốn 1: Dùng cơng thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc hàm số logarit
a
−
n
=
n
a
1
; a
0
= 1 0 ;
m
m
n
n
a a=
( m; n nguyên dương , n > 1)
• Các quy tắc:
a
x
.a
y
= a
x+y
(a.b)
x
=a
x

.b
x
x
a
x y
a
y
a
−
=
x
x
a a
x
b b
=
 
 ÷
 

( )
( )
x
y
y x.y
x
a a a
= =
• Hàm số mũ :
x

y a=
với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = R MGT : (0; +∞ )
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x
1
> x
2
⇔
1
x
a
>
2
x
a
+ 0 < a < 1 ; h/s nghòch biến : x
1
> x
2
⇔
1
x
a
<
2
x
a
* Hàm số logarit:
α = log
a

N ⇔ a
α
= N log
a
x = b ⇔ x= a
b
• Đặc biệt :
x
a
a
log
= x ; log
a
x
a
= x ; log
a
1 = 0
• Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta có:
THPT Lộc Thành- Lâm Đồng Thầy: Nguyễn Văn Trang
log
a
(B.C) = log
a
B + log
a
C log
a
B
C

 
 ÷
 
= log
a
B − log
a
C log
α
a
B
β
=
β
α
log
a
B
• Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có :
log
c
a.log
a
b =
log
c
b ⇔
log b
c
log b

a
log a
c
=
0 < a, b ≠ 1 : log
a
b =
1
log a
b
Chú ý : log
10
x = lg x ; log
e
x = ln x
• Hàm số Logarit: y = log
a
x với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = (0 ; +∞ ) MGT :
¡
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x
1
> x
2
> 0 ⇔ log
a
x
1
> log
a

x
2

+ 0 < a < 1; h/s ngh biến: x
1
> x
2
> 0 ⇔ log
a
x
1
<log
a
x
2

Bài tốn 2: giải phương trình mũ và logarit :
• Dạng cơ bản:
f (x)
a
=
g(x)
a
⇔ f(x) = g(x)
v(x)
u
= 1 ⇔ ( u −1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến )
f (x)
a
= b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = log

a
b
log
a
f(x) = log
a
g(x) ⇔
f (x) 0 g(x) 0
f (x) g(x)
> >
=



dạng:
log f (x) b
a
0 a 1
=
< ≠



⇔ f(x) =
b
a
log v(x)
u(x)
= b ⇔
[ ]

v(x) 0 ; u(x) 0 ; u(x) 1
b
v(x) u(x)
> > ≠
=





• Đặt ẩn phụ :
α.
2f (x)
a
+β.
f (x)
a
+ γ = 0 ; Đặt : t =
f (x)
a
Đk t > 0
α.
b f (x)
a
+
+β.
b f (x)
a
−
+ γ = 0 ; Đặt : t =

f (x)
a
Đk t > 0
α.
f (x)
a
+β.
f (x)
b
+ γ = 0 và a.b = 1; Đặt: t =
f (x)
a
;
1
t
=
f (x)
b
α.
2f (x)
a
+β.
( )
f (x)
a.b + γ.
2f (x)
b
= 0 ; Đặt t =
f (x)
a

b
 
 ÷
 
• Logarit hoá hai vế :
Bài tốn 3: Giải bất phương trình mũ và logarit
• Dạng cơ bản :

f (x)
a
>
g(x)
a
⇔
f (x) g(x) khi a 1
f (x) g(x) khi 0 a 1
> >
< < <




f (x)
a
> b ⇔ Nếu b ≤ 0 có nghiệm ∀x
Nếu b > 0 f(x) > log
a
b nếu a > 1
f(x) < log
a

b nếu 0 < a < 1

f (x)
a
< b ⇔ Nếu b ≤ 0 thì pt vô nghiệm
Nếu b > 0 ; f(x) < log
a
b nếu a > 1
f(x) > log
a
b nếu 0 < a < 1
•log
a
f(x) > log
a
g(x) ⇔ Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1
(a−1)[ f(x) − g(x) ] > 0
•log
a
f(x) > b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là f(x) >
b
a
* Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) <
b
a
•log
a
f(x) < b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là 0 < f(x) <
b
a

hoặc