Chương 1 động lực học chất điểm

Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

15

Chương 1

ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
Động học là một phần của ngành Cơ học, nghiên cứu chuyển động của vật
thể (vĩ mô) mà không chú ý đến nguyên nhân của chuyển động đó. Chương này
nghiên cứu các tính chất tổng quát về chuyển động của chất điểm. Vì thế khi nói
chuyển động của một vật hay vận tốc, gia tốc của vật, ta hiểu vật đó là chất điểm.

§1.1 – CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUYỂN ĐỘNG
1 – Chuyển động cơ học – Chất điểm:
Chuyển động cơ học (chuyển động cơ) là sự thay đổi vị trí của vật thể
trong không gian theo thời gian. Chuyển động của vật có tính tương đối. Vì, vị trí
của vật có thể thay đổi đối với vật này, nhưng lại không thay đổi đối với vật khác.
Nghiã là vật có thể chuyển động so với vật này, nhưng lại là đứng yên so với vật
khác. Ví dụ: Người ngồi trên xe lửa, đối với nhà ga thì người đó đang chuyển động
cùng với xe lửa, nhưng đối với hành khách bên cạnh, thì người đó lại không hề
chuyển động.
Khi ta nói “vật A đang chuyển động” mà không nói rõ chuyển động so với
vật nào thì ta ngầm hiểu là so với Trái Đất.
Mọi vật đều có kích thước xác định. Tuy nhiên, nếu kích thước của vật quá
nhỏ bé so với những khoảng cách mà ta khảo sát thì vật được coi như một chất
điểm. Vậy, chất điểm là một vật thể mà kích thước của nó có thể bỏ qua so với
những kích thước, những khoảng cách mà ta khảo sát. Chất điểm là một khái niệm
trừu tượng, không có trong thực tế nhưng rất thuận tiện trong việc nghiên cứu
chuyển động của các vật. Khái niệm chất điểm cũng mang tính tương đối. Nghĩa là
trong điều kiện này vật được coi là chất điểm, nhưng trong điều kiện khác, nó lại
không thể coi là chất điểm. Ví dụ: Khi nghiên cứu chuyển động của Trái Đất quanh

Mặt Trời, ta có thể coi Trái Đất là chất điểm, nhưng nghiên cứu chuyển động tự
quay quanh trục của nó thì Trái Đất không thể coi là chất điểm.
2 – Quĩ đạo, quãng đường và độ dời:
Qũi đạo của chất điểm là tập hợp các vị trí của chất điểm trong quá trình
chuyển động. Nói một cách khác, khi chất điểm chuyển động, nó sẽ vạch ra trong
không gian một đường gọi là quĩ đạo. Căn cứ vào hình dạng quĩ đạo, ta có thể phân
chia chuyển động của chất điểm là thẳng, cong hoặc tròn.
Xét một chất điểm M chuyển động trên quĩ đạo cong bất kì từ vị trí M1 qua
điểm A đến vị trí M2 (hình 1.1). Ta gọi độ dài của cung M1AM 2 là quãng đường


Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

16

uuuuuur
vật đi từ M1 đến M2 và được kí hiệu là s. Và ta gọi vectơ M1M 2 là vectơ độ dời
(hay độ dời) của chất điểm từ điểm M1 đến điểm M2.
Như vậy quãng đường s là một đại
Quãng đường s
lượng vô hướng luôn dương; còn độ dời là
một vectơ. Nếu vật chuyển động trên đường
M2
A
cong kín hoặc đổi chiều chuyển động sao
cho vị trí đầu và cuối trùng nhau thì độ dời
sẽ triệt tiêu nhưng quãng đường là khác M1
uuuuuur
không. Khi vật chuyển động trên đường
Độ dời M1M 2

thẳng theo một chiều duy nhất thì quãng
đường vật đi được bằng với độ lớn của
Hình 1.1: Quan hệ giữa
vectơ độ dời.
quãng đường và độ dời
3 – Hệ qui chiếu, phương trình chuyển
động – phương trình quĩ đạo:
z
Muốn xác định vị trí của
vật trong không gian, ta phải
chọn một vật làm mốc, gắn vào
đó một hệ tọa độ và một đồng hồ
để đo thời gian. Hệ thống đó
được gọi là hệ qui chiếu. Tại
mỗi thời điểm t, vị trí của chất
điểm M sẽ được xác định bởi
vectơ vị trí (hay vectơ tia, vectơ
bán kính):
→

z

→

k
→

i

M

r
y
→

y

j

x

→

r ( t ) = OM

O

→

(1.1)

x

Phương trình (1.1) cho phép ta
Hình 1.2: Vị trí của chất điểm M trong
xác định vị trí của chất điểm ở
hệ toạ độ Descartes
từng thời điểm, nên gọi là
phương trình chuyển động tổng
quát của chất điểm.

Trong hệ tọa độ Descartes, (1.1) có dạng:
→

→

r = x. i

→

+ y. j

→

(1.2)
+ z. k
r r r
Trong đó (x,y,z) là tọa độ của điểm M và i, j, k là các vectơ đơn vị trên các trục
Ox, Oy, Oz. Vì vị trí của chất điểm M thay đổi theo thời gian nên toạ độ của nó là
hàm của thời gian: x = f(t); y = g(t); z = h(t)
(1.3)
(1.2), (1.3) là các phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ toạ độ Oxyz.
Nếu khử tham số t trong các phương trình (1.3), ta được:

 F( x , y, z) = 0

 G ( x , y, z ) = 0

(1.4)

17

Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

(1.4) biểu diễn tất cả các vị trí mà chất điểm sẽ đi qua trong quá trình chuyển động
nên được gọi là phương trình qũi đạo của chất điểm.
Vậy, phương trình chuyển động cho phép ta xác định được vị trí của chất điểm ở
một thời điểm t bất kì; phương trình qũi đạo cho biết hình dạng qũi đạo của vật.
Tùy theo việc chọn hệ qui chiếu và mốc thời gian, phương trình chuyển
động và phương trình quĩ đạo của chất điểm sẽ có dạng tường minh khác nhau.
Trên thực tế, khi giải các bài toán về chuyển động, người ta thường chọn hệ qui
chiếu và gốc thời gian sao cho phương trình chuyển động ở dạng đơn giản nhất.
Trong trường hợp đã biết trước
qũi đạo của vật, ta có thể chọn điểm mốc
O là một điểm nào đó nằm ngay trên qũi
đạo, và vị trí của vật được xác định theo
hoành độ cong: s = s(t) = OM

s
M
O

(1.5)

Hình 1.3: Vị trí của chất điểm M được
xác định theo hoành độ cong s.

Phương trình (1.5) được gọi là phương
trình chuyển động của vật trên qũi đạo.
Ví dụ 1.1: Chất điểm M chuyển động

 x = A 1 cos(ωt + ϕ1 )
. Hãy xác định
y
=
A
cos(
ω
t
+
ϕ
)
2
2


trong mặt phẳng Oxy với phương trình: 
dạng qũi đạo khi:
a) ϕ1 – ϕ2 = k2π;

b) ϕ1 – ϕ2 = (2k + 1)

a) Ta có ϕ1 – ϕ2 = k2π

π
.
2

Giải
⇒ ϕ1 = ϕ2 + k2π

⇒ x = A1 cos(ωt + ϕ2 +k2π) = A1 cos(ωt + ϕ2)
⇒

x
y
=
A1 A 2

⇒ y=

A2
A
x = ax ; vôùi a = 2
A1
A1

Vậy qũi đạo là đường thẳng y = ax, với – A1 ≤ x ≤ A1

x 2 y2
b) Tương tự, ta có: 2 + 2 = 1 ⇒ Qũi đạo là Elíp.
A1 A 2
§1.2 – TỐC ĐỘ VÀ VẬN TỐC
1 – Tốc độ trung bình và vận tốc trung bình:
Xét chất điểm M chuyển động trên quĩ đạo cong bất kì. Giả sử ở thời điểm
→

t1, chất điểm ở vị trí M1 được xác định bởi vectơ vị trí r1 ; ở thời điểm t2 vật ở vị trí
→

M2 được xác định bởi vectơ vị trí r2 . Gọi s là quãng đường vật đã đi và


Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

18

r uuuuuur ur ur
∆ r = M1M 2 = r2 − r1 là độ dời từ M1 đến M2. Ta định nghĩa tốc độ trung bình và
vận tốc trung bình của chất điểm như sau :
Tốc độ trung bình vs trên một đoạn đường nhất định của một chất điểm
chuyển động là đại lượng đo bằng thương số giữa quãng đường s mà chất điểm đi
được với khoảng thời gian t để chất điểm đi hết quãng đường đó.

vs =

s
t

(1.6)

s

Nếu quãng đường s gồm nhiều quãng
đường nhỏ s1, s2, …, sn và thời gian tương
ứng để vật đi hết các quãng đường đó là t1,
t2, …, tn thì (1.6) được viết dưới dạng:

s + s + ... + s 2
vs = 1 2

t1 + t 2 + ... + t n

(1.7)

Đôi khi tốc độ trung bình còn được kí hiệu

M2

r
∆r

M1

ur
r2

ur
r1

O

bởi vtb hoặc v .
Hình 1.4
Vận tốc trung bình của một chất
điểm chuyển động trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 là đại lượng đo bằng thương
số giữa vectơ độ dời và khoảng thời gian đó :

r ur ur
uur ∆ r r − r
v tb =

= 2 1
∆t t 2 − t1

(1.8)

Tốc độ trung bình là đại lượng vô hướng, không âm, đặc trưng cho mức độ
nhanh, chậm của chuyển động trên một đoạn đường nhất định ; còn vận tốc trung
bình là một đại lượng vectơ đặc trưng cho sự thay đổi của vectơ độ dời trong một
khoảng thời gian nhất định. Khi vật chuyển động liên tục trên đường thẳng theo
một chiều duy nhất thì tốc độ trung bình bằng với độ lớn của vectơ vận tốc trung
bình. Trong hệ SI, đơn vị đo tốc độ trung bình và vận tốc trung bình là mét trên
giây (m/s) ; trên thực tế, người ta thường dùng đơn vị kilômét trên giờ (km/h). Ta
có : 1km / h =

5
m/s.
18

Từ (1.8) suy ra, khi chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox thì ta có thể
tính được giá trị đại số của vận tốc trung bình theo công thức :

v tb =

∆x x 2 − x1
=
∆t
t 2 − t1

(1.9)

Trong trường hợp tổng quát, ta có thể chiếu (1.8) lên các trục tọa độ cần thiết để
tìm các thành phần của vectơ vận tốc trung bình, từ đó tìm được độ lớn của vận tốc
trung bình.
Cần nhấn mạnh sự khác biệt của các công thức định nghĩa (1.6) và (1.8) là:
đối với tốc độ trung bình, ta quan tâm đến quãng đường s mà chất điểm đã đi và
thời gian t mà chất điểm dùng để đi hết quãng đường đó, không quan tâm đến thời


Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

19

gian nghỉ ; còn đối với vận tốc trung bình, ta quan tâm đến vị trí và thời điểm đầu
và cuối, không quan tâm đến quá trình diễn biến của chuyển động.
Để phân biệt được hai khái niệm tốc độ trung bình và vận tốc trung bình,
chúng ta khảo sát các ví dụ sau đây :
Ví dụ 1.2: Một ôtô dự định đi từ A đến B với tốc độ 30km/h. Nhưng sau khi đi
được 1/3 đoạn đường, ôtô bị chết máy. Tài xế phải dừng 30 phút để sửa, sau đó đi
tiếp với tốc độ 40km/h và đến B đúng giờ qui định. Tính tốc độ trung bình của ôtô
trên đoạn đường AB và thời gian dự định ban đầu. Có thể tính được độ lớn của
vectơ vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ A đến B hay không ?
Giải
v1 = 30km/h
v2 = 40km/h
Giả sử ôtô chết máy tại C. Gọi
t1, t2 là thời gian ôtô chuyển
động trên các đoạn AC, CB. A
C
B
Tốc độ trung bình của ôtô trên

đoạn đường AB là :

s AC + BC
vs = =
=
t
t1 + t 2

AB
3v1.v 2
3.30.40
=
=
= 36km / h
1 AB
2 AB
+
+
2v
v
2.30
40
3
3
1
2
+
v1
v2

Vì ôtô đến B đúng giờ qui định nên thời gian dự định bằng thời gian thực tế:

tdđ = tttế ⇒

AB
=
v1

1

2 AB
AB
⇒ AB = 90 km
+ 0,5 + 3
v1
v2

3

Vậy thời gian dự định ban đầu là: t =

AB
= 3 (giờ).
v1

Với giả thiết của bài toán trên, ta không thể tính được độ lớn của vectơ vận
tốc trung bình, vì không biết quĩ đạo từ A đến B là thẳng hay cong. Nếu quĩ đạo là

r
uur | ∆ r |

AB
90
đường thẳng thì | v tb |=
=
=
= 30m / s ; nếu quĩ đạo là đường
∆t
tB − tA
3
cong thì chưa đủ dữ kiện để tính vận tốc trung bình.
Ví dụ 1.3: Một ôtô đi từ A đến B với tốc độ v1 = 30km/h rồi quay về A với tốc độ
v2 = 50km/h. Tính tốc độ trung bình và vận tốc trung bình trên lộ trình đi – về.
Giải
Tốc độ trung bình trên lộ trình đi – về:

s AB + BA
2AB
2v1v 2 2.30.50
vs = =
=
=
=
= 37,5km / h
t
t di + t ve
AB / v1 + AB / v 2 v1 + v 2 30 + 50
Vận tốc trung bình trên lộ trình đi – về:

ur ur uur uur
uur r − r r − r

r
2
1
A
A
v tb =
=
=0
t 2 − t 1 t 2 − t1


Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

20

2 – Tốc độ tức thời và vận tốc tức thời:
Tốc độ trung bình đặc trưng cho tính chất nhanh, chậm của chuyển động
trên một đoạn đường s xác định. Để đặc trưng cho tính chất nhanh, chậm của
chuyển động ở từng điểm trên quĩ đạo, ta dùng khái niệm tốc độ tức thời. Tốc độ
tức thời (hay tốc độ) tại một điểm đã cho trên qũi đạo là đại lượng đo bằng thương
số giữa quãng đường đi rất nhỏ tính từ điểm đã cho và khoảng thời gian rất nhỏ để

s ds
v = lim =
t →0 t
dt

vật đi hết quãng đường đó:

(1.10)

Kí hiệu: ds là vi phân của đường đi, dt là vi phân của thời gian và tỉ số ds/dt là đạo
hàm của quãng đường theo thời gian. Vậy tốc độ tức thời bằng đạo hàm của quãng
đường theo thời gian.
Một cách tương tự, vectơ vận
→
tốc tức thời (hay vectơ vận tốc) là đạo
v
hàm của vectơ độ dời theo thời gian:
r
r
M’
ds
→

∆ r dr
=
∆t →0 ∆t
dt

v = lim

(1.11)

Để hiểu rõ ý nghĩa của vectơ
vận tốc tức thời, ta xét chuyển động của
một chất điểm trên một quĩ đạo cong (C)
bất kì (xem hình minh họa 1.5). Giả sử ở
thời điểm t, chất điểm ở vị trí M được
r

xác định bởi vectơ vị trí r và ở thời
điểm t + dt, chất điểm ở vị trí M’ được

ur r r
xác định bởi vectơ vị trí r ' = r + dr .

r
dr

M

(C)

ur
r'

r
r

O
Hình 1.5

r

Theo định nghĩa (1.11), vectơ vận tốc luôn có hướng của độ dời dr , nghĩa
là có hướng của cát tuyến MM’. Khi thời gian dt rất nhỏ thì điểm M’ rất gần với
điểm M. Lúc đó giới hạn của cát tuyến MM’ chính là tiếp tuyến với quĩ đạo tại
điểm M. Vậy vectơ vận tốc tức thời tại mỗi điểm có phương tiếp tuyến với quĩ đạo
tại điểm đó và có chiều là chiều chuyển động của chất điểm.

r
Mặt khác, môdun của độ dời dr chính là độ dài dây cung MM’ và quãng
r
đường ds chính là độ dài cung MM ' . Khi M’ tiến đến M thì | dr | = ds. Vậy:
r
r
| dr | ds
(1.12)
| v |= v =
=
dt
dt

Nghĩa là độ lớn của vận tốc tức thời chính bằng tốc độ tức thời.
→

Vậy, vectơ vận tốc tức thời v có đặc điểm:
- Phương: là tiếp tuyến với qũi đạo tại điểm khảo sát.
- Chiều: là chiều chuyển động.
- Độ lớn: bằng đạo hàm của quãng đường đối với thời gian.
- Điểm đặt: tại điểm khảo sát.


21

Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

Tốc độ tức thời là đại lượng vô hướng không âm, đặc trưng cho mức độ
nhanh, chậm của chuyển động tại mỗi điểm trên quĩ đạo; còn vận tốc tức thời là đại
lượng vectơ, đặc trưng cho cả phương, chiều và độ nhanh chậm của chuyển động

tại mỗi điểm trên quĩ đạo. Khi nói vật chuyển động với tốc độ không đổi, ta hiểu
vật chuyển động đều trên quĩ đạo thẳng hoặc cong bất kì, trong đó vật đi được
những quãng đường bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau bất kì ;
nhưng khi nói vật chuyển động với vận tốc không đổi thì ta hiểu chuyển động của
vật là thẳng đều.
Qua các khái niệm trên ta thấy rằng, tốc độ trung bình có ý nghĩa vật lý cụ
thể hơn vận tốc trung bình nhưng tốc độ tức thời lại không có ý nghĩa vật lý đầy đủ
bằng vận tốc tức thời. Do đó, khi nghiên cứu tính chất của chuyển động trên quãng
đường dài, người ta thường sử dụng khái niệm tốc độ trung bình ; còn khi nghiên
cứu tính chất của chuyển động tại từng vị trí trên quĩ đạo, ta sử dụng vận tốc tức
thời.
3 – Biểu thức giải tích của vectơ vận tốc:
→

→

→

→

Trong hệ toạ độ Descartes, ta có: r = x. i + y. j + z. k
→

→

d r dx → dy → dz →
v=
= . i + . j + .k
dt
dt

dt
dt

Suy ra :
Hay:

→

→

→

(1.13)

→

v = v x . i + v y . j + v z . k = (vx, vy, vz)

trong đó: v x =

(1.14)

dx
dy
dz
= x'; v y =
= y' ; v z =
= z'
dt
dt

dt
→

Suy ra, độ lớn của vectơ vận tốc: v = v =

(1.15)

v 2x + v 2y + v 2z

(1.16)

4 – Quãng đường vật đã đi:
Từ (1.12), suy ra quãng đường
vật đi được trong thời gian ∆t = t – to là:

v

t

s=

∫ vdt

(1.17)

to

S

trong đó, v là độ lớn của vận tốc.

Nếu trong khoảng thời gian ∆t, độ lớn
của vận tốc không đổi (vật chuyển động
đều) thì: s = v∆t = v(t – t0)
(1.18)

t
to

t

Hình 1.6: Ý nghĩa hình học của
đường đi.

Trong một số trường hợp, ta
có thể tính quãng đường dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân (1.17):
quãng đường vật đi được bằng trị số diện tích hình thang cong giới hạn bởi
đồ thị v = v(t) với trục Ot (hình 1.6).


Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

22

Ví dụ 1.4: Vật chuyển động trong mặt phẳng Oxy với phương trình:

x = 15t
(SI) . Tính quãng đường vật đã đi kể từ lúc t = 0 đến lúc t = 2s.

2
y

=
5
t

Giải

v x = x ' = 15
⇒ v = 15 2 + (10 t ) 2 = 10 t 2 + 2,25 (m/s)
v y = y' = 10t

Ta có: 
2

2

s = ∫ vdt = 10 ∫
0

0

2

2,25
t 2

t + 2,25dt = 10
t + 2,25 +
ln | t + t 2 + 2,25 |
2
2

0
2

u 2
a
u + a + ln | u + u 2 + a | +C - toán cao cấp)
2
2
Thay số vào ta tính được quãng đường là: s = 37, 4(m) .

(Lưu ý:

∫

u 2 + adx =

Ví dụ 1.5: Vật chuyển động trên đường thẳng với vận tốc biến đổi theo qui luật
cho bởi đồ thị hình bên. Tính quãng đường vật đã đi kể từ lúc t = 1s đến lúc t =
7,5s. Suy ra tốc độ trung bình trên quãng đường này và độ lớn của vận tốc trung
bình trong khoảng thời gian đó.
Giải
v (m/s)
Dựa vào ý nghĩa hình học của
tích phân (1.17), ta suy ra quãng
B
C
đường phải tìm là: s = trị số
30
(diện tích hình thang ABCD +
diện tích tam giác DEF).

⇒s=

1
1
(5,5 + 2,5).30 + .1.20
2
2

Vậy s = 130(m)
Suy ra tốc độ trung bình trên
quãng đường đó:

vs =

0

1
A

2,5

5

D 7,5
F
6,5

t (s)

- 20
E

s
130
=
= 20(m / s) .
∆t 7,5 − 1

Vì vật chuyển động trên đường thẳng và căn cứ đồ thị, ta thấy, từ t = 1s đến t = 6,5s
vật chuyển động theo chiều dương của qũi đạo (do v > 0) còn từ t = 6,5s đến t =
7,5s vật chuyển động ngược chiều dương của qũi đạo (do v < 0) nên môdun của độ
dời tính từ thời điểm t = 1s đến t = 7,5s là:

r
| ∆ r |= trị số diện tích hình thang ABCD – diện tích tam giác DEF
= 120 – 10 = 110m.

r
| ∆r |
110
Suy ra độ lớn của vận tốc trung bình: v tb =
=
= 16,9m/s
t 2 − t1 7,5 − 1


23

Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

§1.3 – GIA TỐC

1 – Định nghiã:
Gia tốc là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của vận tốc, đo bằng
thương số giữa độ biến thiên của vận tốc và khoảng thời gian xảy ra sự biến thiên
đó (thương số này còn được gọi là tốc độ biến thiên của vectơ vận tốc):
→

→

→

∆ v v− vo
a tb =
=
∆t
t − t0

→

Gia tốc trung bình:

→

→

(1.19)
→

∆v dv d r

=
= 2
∆t → 0 ∆t
dt
dt

→

Gia tốc tức thời: a = lim

2

(1.20)

Vectơ gia tốc tức thời đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc ở từng
thời điểm; còn vectơ gia tốc trung bình đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận
tốc trong khoảng thời gian ∆t khá lớn.
2 – Biểu thức giải tích của vectơ gia tốc:
Trong hệ tọa độ Descartes, tương tự như vectơ vận tốc, ta có:
→

→

a = ax. i

→

+ a y. j

→

+ a z . k = (ax, ay, az)


dv x d 2 x
= 2 = x' '
 ax =
dt
dt

dv y d 2 y

= 2 = y' '
 ay =
dt
dt


dv z d 2 z
= 2 = z' '
 az =
dt
dt


với

(1.21)

(1.22)

→

Suy ra, độ lớn của vectơ gia tốc : a = a = a 2x + a 2y + a 2z

(1.23)

Ví dụ 1.5: Một chất điểm chuyển động trong mặt phẳng Oxy với phương trình:

4 3

2
x = 3t − t
3 (SI)

 y = 8t
a) Xác định vectơ gia tốc tại thời điểm t = 3s.
b) Có thời điểm nào gia tốc triệt tiêu hay không?
Giải

a x = x ' ' = 6 − 8t
⇒ a = a 2x + a 2y =| 6 − 8t |
a y = y' ' = 0

Ta có: 

→

a) Lúc t = 3s thì : a = (-18; 0) và độ lớn a = 18m/s2.

Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

24

b) a = 0 ⇔ 6 − 8t = 0 ⇔ t = 0,75s
Vậy lúc t = 0,75 giây thì gia tốc bằng không.
3 – Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến:
Trong chuyển động cong, ngoài biểu thức giải tích của vectơ gia tốc, người
ta còn mô tả vectơ gia tốc theo thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến với qũi đạo. Ta
biết vectơ vận tốc luôn nằm trên tiếp tuyến của qũi đạo, nên ta có thể viết:
→

→

v = v. τ

(1.24)

→

trong đó τ là vectơ đơn vị nằm trên tiếp tuyến.
→

Suy ra:
Thành phần:

→

→

d v d(v. τ ) dv →
dτ
a=
=
= . τ + v.
dt
dt
dt
dt
→
dv →
at = .τ
dt

→

(1.25)
(1.26)

nằm trên tiếp tuyến qũi đạo nên gọi là gia tốc tiếp tuyến.
→

→

→ dτ
d( τ ) 2
2
Vì: τ = 1 ⇒ ( τ ) = 1 ⇒
= 0 ⇒ 2. τ .

=0⇒
dt
dt
→

→

→

→

Mà τ nằm trên tiếp tuyến nên vectơ
→

dτ
nằm trên pháp tuyến của qũi đạo.
dt

τ

dϕ

→

dτ

→

dτ
Do đó, thành phần: a n = v.

(2.27)
dt
→

→

→

Mặt khác, vectơ d τ = τ' − τ luôn
hướng vào bề lõm của qũi đạo
(hình 1.7), suy ra gia tốc pháp
tuyến luôn hướng vào bề lõm của
qũi đạo.
→

→

→

τ'

R

→

τ'

nằm trên pháp tuyến qũi đạo nên được
gọi là gia tốc pháp tuyến.
→

→

dτ
τ ⊥
dt

→

dϕ
Hình 1.7: Biến thiên của vectơ đơn vị
trên tiếp tuyến qũi đạo.
→

dϕ
2

τ

→

dτ

)

Do τ = τ' = 1
→

dϕ
ds

d τ = 2.1.
= dϕ =
2
R
→

nên

(xem hình 1.7 và 1.8)

τ'
→

Hình 1.8: Quan hệ giữa | d τ | và dϕ.