Chương 3 động lực học của vật rắn

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

79

Chương 3

ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
Chương này nghiên cứu các phương trình động lực học của vật rắn, đặc biệt
là chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định.
§3.1 – VẬT RẮN
1 – Khái niệm về vật rắn:
Hệ chất điểm là một hệ gồm nhiều vật mà mỗi vật đều coi là một chất điểm.
Các chất điểm trong hệ có thể tương tác lẫn nhau, các lực tương tác đó gọi là nội lực;
đồng thời có thể tương tác với các vật bên ngoài hệ, các lực tương tác này gọi là ngoại
lực.
Vật rắn là một hệ chất điểm phân bố liên tục (theo góc độ vĩ mô) trong một
miền không gian nào đấy mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ không thay đổi.
Như vậy, vật rắn luôn có hình dạng, kích thước và thể tích nhất định. Trên
thực tế, không có vật rắn tuyệt đối. Bởi lẽ, dưới ảnh hưởng của các điều kiện bên
ngoài như: nhiệt độ, áp suất, lực tác dụng, … thì khoảng cách giữa các phần tử trong
vật có thay đổi đôi chút. Tuy nhiên, trong phạm vi khảo sát, nếu sự thay đổi đó là
không đáng kể thì ta coi vật đó là vật rắn.
2 – Tính khối lượng của một vật rắn:
Trong chương 2, ta đã biết khối lượng là đại lượng đặc trưng cho mức quán
tính và mức hấp dẫn của vật. Trong phạm vi giới hạn của Cơ học cổ điển, khối lượng
là đại lượng bất biến. Do đó khối lượng của một hệ cô lập luôn bảo toàn.
hệ:

Khối lượng m của một hệ chất điểm bằng tổng khối lượng các phần tử tạo nên
m = mi
(3.1)

∑
i

Vật rắn là một hệ chất điểm phân bố liên tục trong miền Ω nên khối lượng của vật rắn
m = dm
(3.2)
được tính bởi:

∫

Ω

với dm là vi phân của khối lượng m (chính là khối lượng của phần tử nhỏ bé cấu tạo
nên vật rắn).
Trường hợp vật rắn phân bố liên tục trong thể tích V (hình 3.1), tại mỗi điểm
khảo sát M, ta lấy một yếu tố thể tích dV bao quanh M, gọi dm là khối lượng của vật
chất chứa trong yếu tố dV, ta định nghĩa mật độ khối lượng khối :
ρ(M) =

dm
dV

(3.3)


80

Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt in

Khi ú, dm = (M)dV

v

m = (M )dV

(3.4)

V

Nu vt rn l ng nht (hay thun nht) thỡ = const (lỳc ny chớnh l khi lng
riờng ca cht liu cu to nờn vt rn). Khi ú (3.4) tr thnh:
m = V

(3.5)

Tng t, nu h phõn b liờn tc trờn b mt (S) (hỡnh 3.2), thỡ ta nh ngha
mt khi lng mt:

( M ) =

dm
dS

(3.6)

vi dm l khi lng vt cht cha trờn yu t din tớch dS. Khi ú ta cú:
dm = (M)dS

v

m = (M )dS

(3.7)

S

Nu h phõn b liờn tc trờn chiu di L (hỡnh 3.3), ta nh ngha mt khi
=

lng di:

dm
dA

(3.8)

vi dm l khi lng vt cht cha trờn yu t chiu di d A . Khi ú ta cú:
dm = d A

v

m = (M)dA

(3.9)

L

Nu h thun nht thỡ t (3.7), (3.9) ta cú:

M

m = S = L

(3.10)

dV
M
dS

M
dA

a) Yu t th tớch
dV bao quanh M

b) Yu t din tớch
dS bao quanh M

c) Yu t chiu di
d A bao quanh M

Hỡnh 3.1
Mt h phc tp cú th chia thnh nhiu phn, khi lng ca mi phn thuc
v mt trong nhng dng nh ngha trờn. V khi lng ca h l tng khi lng ca
cỏc phn ú.


81

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

§3.2 KHỐI TÂM
Khi nghiên cứu chuyển động của một hệ chất điểm hay chuyển động của vật
rắn, trong một số trường hợp có thể rút gọn về chuyển động của một điểm đặc trưng
cho hệ đó. Điểm đặc biệt này chính là khối tâm của hệ.
1 – Định nghĩa khối tâm:
Khối tâm được định nghĩa xuất phát từ
bài toán tìm trọng tâm (điểm đặt của trọng lực)
của hệ 2 chất điểm. Xét hai chất điểm M1 và M2
có khối lượng m1 và m2. Trọng lực tác dụng lên
→

→

→

2 chất điểm đó là P 1 và P 2 . Hợp lực của P 1 và
→

M2

→

→

m1.M1G

–

m2.M2G

=

→

P1

→

P

M 1G P2 m 2
=
=
M 2 G P1 m1
→

M1

P2

P 2 là P có điểm đặt tại G sao cho:

⇒

G

Hình 3.2: Khối tâm của hệ 2
chất điểm

0

→

m1 . M 1G + m 2 . M 2 G = 0

hay
(3.11)

Điểm G thỏa mãn (3.11) được gọi là khối tâm của hệ 2 chất điểm M1 và M2.
Trường hợp tổng quát, hệ có n chất điểm có khối lượng lần lượt là m1, m2, …,
mn đặt tương ứng tại các điểm M1 , M2 , … , Mn , ta định nghĩa khối tâm của hệ là một
điểm G thoả mãn:

→

→

m1 M 1G + m 2 M 2 G +
n

∑m

hay:

i =1

→

... + m n M n G = 0

→

=0
i MiG

(3.12)

Với vật rắn, khối tâm là điểm G thỏa mãn:
→

∫ MG dm =

Vaät raén

→

∫ MG ρdV = 0

(3.13)

Vaät raén

trong đó M là điểm bất kì trên vật rắn, dV là yếu tố thể tích bao quanh M (hình 3.1)
Khối tâm G được định nghĩa theo (3.12) và (3.13) là một điểm đặc trưng cho
hệ, chỉ phụ thuộc vào vị trí tương đối và phân bố khối lượng giữa các phần tử trong
hệ, không phụ thuộc vào các yếu tố bên ngoài. Các kết quả tính toán cho thấy, nếu hệ
có một yếu tố đối xứng (tâm đối xứng, trục đối xứng, mặt đối xứng) thì khối tâm của
một hệ nằm trên yếu tố đối xứng đó. Như vậy, nếu hệ có nhiều yếu tố đối xứng thì
khối tâm G thuộc về giao của các yếu tố đối xứng đó.

82

Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

Ví dụ, khối tâm của đĩa tròn đồng chất, khối lượng phân bố đều chính là tâm
của đĩa (giao điểm của hai đường kính); khối tâm của miếng sắt mỏng đồng chất, hình
chữ nhật chính là giao điểm của 2 đường chéo, …
Cần phân biệt hai thuật ngữ “khối tâm” và “trọng tâm”! Trọng tâm G’ của hệ
là điểm đặt của trọng lực tác dụng vào hệ, nghĩa là vị trí của G’ khơng những phụ
thuộc vào vị trí, khối lượng của các phần tử cấu tạo nên hệ mà còn phụ thuộc vào gia
tốc trọng trường. Trong khi đó vị trí khối tâm G khơng phụ thuộc vào gia tốc trọng
trường.
Trên thực tế, hầu hết kích thước các hệ vật lí mà ta khảo sát là khơng lớn, do
đó gia tốc trọng trường hầu như khơng đổi tại mọi điểm và G’ trùng với G. Việc phân
biệt vị trí của G’ và G là khơng cần thiết!
Ví dụ 3.1: Hệ ba chất điểm có khối lượng bằng nhau, đặt tại ba đỉnh của tam giác
ABC. Xác định khối tâm của hệ.
Giải
→

→

→

Theo định nghĩa, khối tâm G thỏa: m1 AG + m 2 BG + m 2 CG = 0
→

→

→

Vì m1 = m2 = m3 = m nên: AG + BG + CG = 0
Điểm G thỏa phương trình trên chính là trọng tâm (giao điểm của ba trung tuyến) của
tam giac ABC.
2 – Toạ độ của khối tâm:
Trong kỹ thuật, việc xác định chính xác khối tâm của vật rắn là hết sức quan
trọng, nhất là đối với các vật rắn có chuyển động quay. Xác định khối tâm G theo định
nghĩa (3.12) và (3.13) là rất phức tạp. Trong thực hành, ta có thể xác định G bằng cách
tìm giao điểm của các trục đối xứng. Phương pháp này đặc biệt tiện lợi đối với các vật
phẳng đồng nhất.
Trong lí thuyết, ta dùng phương pháp tọa độ. Chọn điểm O làm gốc tọa độ, vị
→

→

trí của khối tâm G được xác định bởi vectơ bán kính rG = OG . Áp dụng “qui tắc 3
→

→

điểm” đối với 3 điểm O, G và Mi bất kì, ta có: OG = OM i

→

+ MiG .

Nhân hai vế phương trình này với mi rồi lấy tổng theo i, ta có:
→

→

m i OG = m i OM i
n

→

n

→

∑ m OG = ∑ m OM

và

i =1

i

i =1

→

+ mi MiG

i

n

→

∑m M G

+

i

i

i =1

i

→

Vì OG khơng phụ thuộc vào chỉ số chạy i nên ta đưa ra ngồi dấu tổng:
→

n

n

i =1

i =1

→

OG ∑ mi = ∑ mi r i

+

n

→

∑m M G
i =1

i

i


83

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
n

∑m

Mà theo định nghĩa (3.12), ta có:

i =1

→

MiG = 0 .

i

n

→

→

rG = OG =

Vậy:

→

∑ mi ri
i =1
n

∑m
i =1

(3.14)

i

→

Trong hệ toạ độ Descartes, vectơ ri có tọa độ ( x i , y i , z i ) nên khối tâm G của hệ có

tọa độ:

⎛ n
⎜ ∑ mi x i
;
G ⎜ i =1n
⎜
⎜ ∑ mi
⎝ i =1

n

∑ mi yi
i =1
n

∑m
i =1

⎞
⎟
i =1
⎟
n
⎟
mi ⎟
∑
i =1
⎠
n

∑m z
i

;

i

i

(3.15)

Với vật rắn thì tọa độ của G là:

⎧
⎪
⎨x G =
⎪
⎩

∫ xdm

vaät raén

m

; yG =

∫ ydm

vaät raén

m

; zG =

∫ zdm

vaät raén

(3.16)

m

Trong đó (x,y,z) là tọa độ của yếu tố khối lượng dm; m là khối lượng của vật rắn.
Ví dụ 3.2: Có ba chất điểm khối lượng m1 = m2 = 2mo, m3 = 6mo đặt tại ba đỉnh A, B,
C của tam giác đều, cạnh a. Xác định khối tâm G của hệ. Phải tăng hay giảm khối
lượng của m3 đi bao nhiêu để khối tâm G trùng với trọng tâm ∆ABC?
Giải

x
m3

Dễ thấy, hệ đối xứng qua đường cao OC, nên G
nằm trên OC. Chọn trục Ox như hình vẽ. Theo
(3.15), ta có: x G =

m1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3
m1 + m 2 + m 3

G

m1
A

Dễ thấy: x1 = xA = 0; x2 = xB = 0;
x3 = xC = a 3 /2.
Suy ra:

xG =

0 + 0 + 6m o a 3 / 2 3a 3
=
10m o
10

Để G trùng với trọng tâm ∆ABC thì : x G =

C

O
Hình 3.3

xA + xB + xC a 3
=
3
6

B
m2

84

Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

⇒

0 + 0 + m 3a 3 / 2 a 3
=
⇒ m3 = 2mo
2m o + 2m o + m 3
6

dA = Rdϕ
α

Vậy phải giảm khối lượng vật m3 một lượng ∆m = 4mo

O -α

Ví dụ 3.3: Xác định khối tâm của một vật thể hình cung
tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở tâm 2α.

ϕ

x

x

R

Giải

Hình 3.4:
Chọn trục Ox là đường phân giác của góc ở tâm như
hình (3.4). Dễ thấy Ox chính là trục đối xứng của hệ. Suy ra khối tâm G phải nằm trên
Ox.
Xét một yếu tố dài dA chắn góc ở tâm dϕ. Hồnh độ của yếu tố này là: x = Rcosϕ;
khối lượng chứa trong dA là dm = λ dA = λRdϕ. Theo (3.16), ta có:

xG =

∫ xdm ∫ R cos ϕ.λRdϕ
L

m

=

L

m

α

λR
=

2

∫ cos ϕ

−α

λR.2α

=

R sin α
α

(3.17)

trong đó λ là mật độ khối lượng dài của cung tròn; m = λR.2α là khối lượng của cung
tròn.
Vậy khối tâm của vật thể hình cung tròn đồng
nhất nằm trên phân giác của góc ở đỉnh, cách tâm
một đoạn xG được xác định bởi (3.17).

dS = r.dr.dϕ
dr

Ví dụ 3.4: Xác định khối tâm của một vật thể
hình quạt tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở
tâm 2α.
Giải
Tương tự như ví dụ 3 ta cũng suy ra khối tâm G
của hình quạt đồng nhất nằm trên trục đối xứng
Ox (đường phân giác của góc ở tâm).

dϕ

r

O

ϕ
x
R

Xét một yếu tố diện tích dS. Trong hệ tọa độ cực,
ta có dS = r.dr.dϕ. Khối lượng chứa trong dS là
dm = σdS; hồnh độ của dS là x = r.cosϕ. Hồnh
độ của khối tâm G là:

xG =

∫ xdm ∫∫ r. cos ϕ.σdS
S

m

=

S

m

=

Hình 3.5

∫∫ r. cos ϕ.σ.r.dr.dϕ
S

m

x


85

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

⇒ xG =

R

α

0

−α

σ ∫ r 2 dr. ∫ cos ϕdϕ
σ.αR

2

=

2R sin α

3α

(3.18)

Trong đó, m = σ.S = σ.αR2 là khối lượng của hình quạt
Vậy khối tâm của vật thể hình quạt đồng nhất nằm trên phân giác của góc ở đỉnh, cách
tâm một đoạn xG được xác định bởi (3.18).
Ví dụ 3.5:
Xác
định
khối tâm của
một vật thể
hình
nón
đồng
nhất,
đường cao h.

x

α
x

dx

r

Giải
Chia
hình

nón
thành
những phần
nhỏ, có dạng
đĩa tròn bán
kính r, bề
dày dx (hình

h–x

h

G

h
4

O

O

Hình 3.6: Khối tâm của vật hình nón

3.6). Ta có: x G =

∫ x.dm

vaät raén

m

=

∫ xρdV

vaät raén

∫ ρdV

=

vaät raén

xG =

2
2
∫ x (h − x ) .tg α.dx

vaät raén

∫ (h − x )

2

.tg α.dx
2

vaät raén

∫ xρπr

2

.dx

vaät raén

∫ ρπr

2

.dx

vaät raén

h

=

∫ x (h − x )

2

.dx
=

0
h

∫ (h − x )

2

.dx

h
4

0

Vậy, khối tâm của khối hình nón đồng nhất nằm trên trục hình nón, cách đáy một

xG =

khoảng:

3 – Chuyển động của khối tâm:
Vận tốc của khối tâm:

h
4

(3.19)


86

Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

→

→

vG =

d rG
=
dt

→
d n
m i ri
∑
dt i =1
n

∑m
i =1

→

dr
mi i
∑
dt
i =1
n

=

i

n

∑m
i =1

n

=

∑m

i

i =1
n

→

vi

i

∑m
i =1

(3.20)
i

n

→

→

aG =

Tương tự, gia tốc của khối tâm:

d vG
=
dt

∑m
i =1
n

∑m
i =1

→

→

ai

i

(3.21)
i

→

Gọi Fi và fi là tổng các ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i;
m=

→

→

→

∑ m i là khối lượng của tồn hệ. Theo (2.6) ta có : Fi + f i = m i a i .
→

Suy ra:

→

aG =

→

∑ Fi + ∑ f i
m

.

Mà theo định luật III Newton, các vật trong hệ tương tác nhau bằng các lực trực đối,
nên tổng các nội lực

→

∑f

= 0.

i

→

Vậy:

→

aG

∑F
=

i

m

→

→

hay m a G = ∑ Fi

(3.22)

(3.22) chính là phương trình chuyển động của khối tâm. Từ đó ta thấy rằng, khối tâm
của hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng tổng khối lượng các vật
trong hệ.
Ví dụ: Khi ta ném cái rìu lên trời thì nó vừa bay, vừa xoay. Tuy vận tốc và qũi đạo của
mỗi điểm trên cái rìu là hồn tồn khác nhau và rất phức tạp, nhưng qũi đạo của khối
tâm chắc chắn phải là đường Parabol như chuyển động ném xiên của một chất điểm
(bỏ qua sức cản khơng khí).


87

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
§ 3.3 CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN

Trong chương 1, chúng ta đã nghiên cứu tính chất các chuyển động của chất
điểm. Vật rắn có những chuyển động riêng và trong mỗi dạng chuyển động, có những
tính chất đặc trưng riêng. Giáo trình này chỉ nghiên cứu chuyển động song phẳng của
vật rắn, nghĩa là trong quá trình chuyển động, mỗi điểm trên vật rắn luôn có qũi đạo
nằm trong một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định.
1 – Vật rắn tịnh tiến:
Chuyển động của vật rắn được gọi là tịnh tiến nếu một đoạn thẳng nối hai
điểm bất kì trên vật rắn luôn song song với chính nó (có phương không đổi).
Xét điểm M bất kỳ trên vật rắn và khối tâm
G của vật rắn. Chọn điểm O làm gốc tọa độ, theo qui
tắc 3 điểm ta có:
→

→

G

OM = OG + GM
hay

→

→

M

→

rM = rG

M

+ GM
→

→

G

→

Hình 3.7: Chuyển động tịnh

tiến của vật rắn.

→

d rM d rG
=
Suy ra:
dt
dt

+

d GM
dt

→

d GM
= 0.
Vì vật rắn tịnh tiến nên vectơ GM không đổi. Do đó
dt
→

→

→

Vậy:

d rM d rG

=
dt
dt

→

→

hay v M = v G

(3.23)

Khi vật rắn tịnh tiến thì mọi điểm trong vật rắn đều vạch ra các qũi đạo giống
nhau với cùng một vận tốc bằng với vận tốc của khối tâm. Do đó chuyển động của vật
rắn trong trường hợp này được qui về chuyển động của khối tâm. Nói cách khác, toàn
bộ vật rắn được coi như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng toàn vật rắn,
đặt tại khối tâm G.
2 – Vật rắn quay quanh một trục cố định:
Khi vật rắn quay quanh trục cố định (∆) với vận tốc góc ω thì mọi điểm của
→

vật rắn sẽ vạch ra những đường tròn đồng trục ∆, với cùng một vận tốc góc ω .
→

Xét một điểm M bất kì trên vật rắn, gọi R là vectơ bán kính quĩ đạo của M, ta có:
- Vận tốc dài:

→

→

→

v=ω x R

(3.24)


88

Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện
v = ωR

và độ lớn:
→

→

(3.25)
→

- Gia tốc tiếp tuyến: a t = β x R

(3.26)

at = βR

và độ lớn:

(3.27)

- Gia tốc pháp tuyến: a n = ω 2 R
→

→

(3.28)

→

- Gia tốc tồn phần: a = a t + a n
và độ lớn:

→

ω

→

R M

(3.29)

a = a 2t + a 2n

(3.30)

ω

Ví dụ 3.6: Một dây cuaroa truyền động, vòng qua vơlăng I và

Hình 3.8: Chuyển
bánh xe II. Bán kính vơlăng là R1 = 10cm; bánh xe là R2 =
động quay của
50cm. Vơlăng đang quay với vận tốc 720 vòng/phút thì bị
vật rắn quanh trục
ngắt điện, nó quay chậm dần đều, sau đó 30 giây vận tốc chỉ
cố định.
còn 180 vòng/phút. Tính vận tốc quay của bánh xe trước khi
ngắt điện, số vòng quay của vơlăng và bánh xe trong khoảng
trời gian trên. Sau bao lâu, kể từ lúc ngắt điện, hệ thống sẽ dừng? Tính vận tốc góc
trung bình của vơlăng và bánh xe trong khoảng thời gian từ lúc ngắt điện đến lúc
dừng (dây cuaroa khơng bị trượt trên vơlăng và bánh xe).
Giải
Gọi ω1 và ω2 là vận tốc góc của vơlăng
và bánh xe; ω01 và ω02 là các vận tốc
góc ban đầu của chúng. Ta có: ω01 =
720 vòng/phút = 24π rad/s.

R1

t1 = 30s; ω1 = 180 vòng/phút = 6π rad/s.
Vì dây cuaroa khơng bị trượt trên
Hình 3.9
vơlăng và bánh xe nên các điểm tiếp
xúc giữa vơlăng – dây cuaroa, bánh xe
– dây cuaroa ln có cùng vận tốc dài. Suy ra: ω1R1 = ω2R2 ; ω01R1 = ω02R2
Vậy vận tốc quay của bánh xe trước khi ngắt điện là:

ωo 2 =

R1
10
ωo1 = .720 = 144 vòng/phút = 4,8π rad/s.
R2
50

Gia tốc góc của vơlăng: β1 =

ω1 − ωo1 6π − 24π
=
= −0,6π rad/s2.
t1
30

Góc mà vơlăng đã quay trong thời gian t1 = 30s:

1
θ1 = ωo1 t 1 + β1 t 12 = 24π.30 − 0,3π.30 2 = 450π rad.
2

R2