Tổng hợp các bài toán dao động cơ có đáp án cực hay

TỔNG HỢP
CÁC BÀI TOÁN
DAO ĐỘNG CƠ

RLC
nơi giao
lưu,
học hỏi
chia sẻ
nơi tìm
được
niềm
đam mê

Vật lí phổ
thông

ωt + ϕ

Ngôi nhà
nơi cùng
nhau
học tập
nơi cùng
nhau
chém gió

λ

Người bạn

thân
thiết

vui tính

Diễn đàn Vật lí phổ thông
LATEX by Mod GS.Xoăn





1 Dao động điều hòa
Bài toán 1: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x1 = A1 cos ωt thì có cơ
π
năng W1 . Khi chất điểm này dao động với phương trình x2 = A2 cos ωt +
thì có cơ năng
3
W2 = 4W1 . Khi chất điểm dao động với phương trình x = x1 + x2 thì có cơ năng?
Lời giải:
1
Ta có: W = m (ωA)2
2

2

A1
A2

W1

=
⇒
W2

=

1
4

⇒ A2 = 2A1
Biên độ dao động tổng hợp:
A=

√
A21 + A22 + 2A1 A2 cos ∆ϕ = A1 7

W
⇒
=
W1

A
A1

2

= 7 → W = 7W1

Bài toán 2: Cho con lắc lò xo dao động trên trần thang máy, khi thang máy đứng yên thì
con lắc dao động với chu kì T = 0, 4(s) và biên độ A = 5(cm). Khi con lắc qua vị trí lò xo

không biến dạng theo chiều từ trên xuống thì cho thang máy chuyển động nhanh dần đều
lên với gia tốc a = 5(m/s2 ). Tìm
con lắc.
√ biên độ sau đó của√
A. 5cm.
B. 5 3cm.
C. 3 5.
D. 7.
Lời giải:
Ta có độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng:
x = ∆l =

T 2g
mg
=
= 4cm.
k
4π 2

Xét chuyển động của con lắc với thang máy: Chọn chiều dương hướng lên. Thang máy chuyển động
nhanh dần đều ở vị trí
x = ∆l.
Khi thang máy chuyển độn, vị trí cân bằng bị dịch xuống dưới một đoạn bằng:
y = ∆l =
Nên li độ lúc sau là:

m(g + a) mg
−
.
k

k
x + y.

Ta có:
A 2 = x2 +

v
ω

A 2 = (x + y)2 +
Từ đó ta có:

2

.
v
ω

2

.

A 2 = A2 + y 2 + 2xy.
2




Tính ra:

√
A = 3 5.

Chọn C.
Bài toán 3: Một vật thực hiện ba dao động điều hòa có phương trình x1 =
10. sin (100πt + ϕ) (cm) ; x2 = 5. cos (100πt + ϕ) (cm) và x3 = A. cos (100πt + ϕ) (cm). Biết
rằng x21 + x22 + x23 = 100 . Tìm A?
Lời giải:
Ta có: x21 + x22 + x23 = 100
⇔ 102 [1 − cos2 (ωt + ϕ)] + 52 cos2 (ωt + ϕ) + A cos2 (ωt + ϕ) = 100
Vì ϕ như nhau. Đặt cos2 (ωt + ϕ)
√
⇒ −102 + 52 + A2 = 0 ⇒ A = 5 3
Bài toán 4: Một con lắc đơn có khối lượng của quả cầu m = 0, 2kg, chiều dài của dây treo
l = 0, 4m, treo vào một điểm cố định tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2 . Kéo vật
khỏi vị trí cân bằng sao cho dây reo hợp với phương thẳng đứng một góc 0, 1rad, rồi truyền
cho vật một vận tốc 0, 15 (m/s) theo phương vuông góc với dây treo về vị trí cân bằng. Sau
khi vật được truyền vận tốc xem như con lắc dao động đều hòa. Lực căng của dây treo khi
So
vật nặng qua vị trí s = , So là biên độ dài.
2
A. 1, 01N .
B. 2, 02N .
C. 3, 03N .
D. 4, 04N .
Lời giải:
Sử dụng công thức độc lập ta có:
(Lα0 )2 = (0, 1L)2 +

0, 152

g ⇒ α0 = 0, 125 (rad)
l

Do vật dao động với góc nhỏ, nên ta có:
3
T = mg α02 − α2 + 1
2

5
= mg 1 + α02
8

≈ 2, 02 (N )

Đáp án B.
Bài toán 5: Một vật thực hiện đồng thời 3 giao động điều hòa cùng tần số x1 ,x2 ,x3 . Với
π
x12 = x1 + x2 ,x23 = x2 + x3 ,x13 = x1 + x3 ,x = x1 + x2 + x3 . Biết x12 = 6 cos πt +
,
6
√
2π
5π
x23 = 6 cos πt +
,x13 = 6 2 cos πt +
. Tìm x biết x2 = x21 + x23
3
12
Lời giải:
Phương trình của dao động tổng hợp là :

x = x1 + x2 + x3 =

√ 5π
x12 + x23 + x13
= 6 2∠
2
12

√
5π
⇒ x = 6 2cos πt +
12
Tương tự:

(cm)


π


 x1 = x − x23 = 6 cos πt + 6 cm
x2 = x − x13 = 0

2π

 x3 = x − x12 = 6 cos πt +
cm
3
3


2

Theo bài:x =

x21 +x23

và x = x1 +x2 +x3 = x1 +x3 ⇒ x1 x3 = 0 ⇒

x1 = 0 ⇒ 
x3 = 0



3π
5π
√
5π
 πt + 12 = 4 + kπ
⇒
⇒
x
=
6
2 cos πt +
5π
π
12

πt +
= + kπ
12
4

π
π
= + kπ
6
2
2π
π
πt +
= + kπ
3
2
πt +

= ±6 cm

Bài toán 6: Một con lắc lo xò nằm ngang có độ cứng là k vật nối vào lò xò có khối lượng
m = 0, 1 kg kích thích để con lắc dao động điều hòa với W = 0, 02J khoảng thời gian ngắn
vật đi giữa 2 vị trí có cùng tốc độ vo = 10π (cm/s) < vmax là 1/6(s). Gọi Q là điểm cố định
của lò xò khoảng thời gian ngắn nhất giữa 2 lần liên tiếp Q chịu lực dụng lúc kéo lo xò có
độ lớn 0,2N là.
1
1
A. 0, 5s.
B. .
C. 0, 25s.

D. .
6s
3s
Lời giải:
Chọn chiều dương hướng ra xa đầu cố định.
0, 02 =

2
mVmax
⇒ Vmax = 20π ( (cm/s))
2
√
Vmax
A 3
v=
↔ |x| =
2
2

Quãng đường vật đi trong 1/6(s) là:
√
√
A 3
A 3
→A→A
2
2
⇒
Ta có:

1
T
T
=
+
⇒ T = 1 (s)
6
12 12


V

A = max = 10 (cm)
ω
N

 K = mω 2 = 4
m

A
Vậy khi chịu tác dụng lực kéo 0, 2 (N ) vật đang ở li độ x = . Để thời gian ngắn nhất thì vật đi:
2
A
A
→A→
2
2
T
T
1

⇒ t = + = (s)
6
6
3
Ta chọn đáp án D.
Bài toán 7: Một vật có khối lượng m1 = 1, 25kg mắc vào lò xo nhẹ có độ cứng k = 200 N/m,
đầu kia của lò xo gắn chặt vào tường. Vật và lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang có ma
sát không đáng kể. Đặt vật thứ hai có khối lượng m2 = 3, 75kg sát với vật thứ nhất rồi đẩy
chậm cả hai vật cho lò xo nén lại 8 cm. Khi thả nhẹ chúng ra, lò xo đẩy hai vật chuyển động
về một phía. Lấy π 2 = 10, khi lò xo giãn cực đại lần đầu tiên thì hai vật cách xa nhau một
đoạn là:
A. 4π − 8 (cm).
B. 16 (cm).
C. 2π − 4 (cm).
D. 4π − 4 (cm).
Lời giải:
4




k
= 2π
m1 + m2
Hệ vật chuyển động từ VT li độ (-8cm) đến VTCB, vận tốc tại VTCB là v0 :
v0 = ω1 A1 = 16π (cm/s) (A1 = 8 (cm))
Từ VTCB 2 vật rời nhau:
+m1 chuyển động chậm dần tới VT biên A2 (lò xo giãn cực đại)
+m2 chuyển động thẳng đều với vận tốc v0 (vì không có ma sát)
m1 dao động điều hoà với:

k
v0
ω2 =
= 4π; T2 = 0, 5 (s) ; A2 =
= 4 (cm)
m1
ω2
T2
Thời gian m1 từ VTCB tới biên là: ;
4
v0 .T2
+Trong thời gian đó m2 chuyển động được đoạn: S =
= 2π (cm)
4
+Khoảng cách giữa 2 vật là : S˘A2 = 2π − 4 (cm). Từ đó ta chọn đáp án C.
Ban đầu hệ 2 vật dao động với: ω1 =

Bài toán 8: Một con lắc đồng hồ được coi như một con lắc đơn có chu kỳ dao động T = 2 (s),
vật nặng có khối lượng m = 1 kg. Biên độ góc dao động lúc đầu là α0 = 50 . Do chịu tác dụng
của lực cản không đổi là Fc = 0, 011 (N ) nên nó chỉ dao động trong một thời gian τ (s) rồi
dừng lại. Người ta dùng một phi có suất điện động 3V điện trở không đáng kể để bổ sung
năng lượng cho con lắc với hiệu suất H = 25%. Pin có điện lượng ban đầu Q0 = 104 (C). Hỏi
đồng hồ chạy được thời gian bao lâu rồi mới lại thay pin?
Lời giải:
Gọi ∆α là độ giảm biên độ góc mỗi lần qua vị trí cân bằng ∆α = α0 − α
Cơ năng ban đầu của con lắc đơn:
α2
α2
T 2g
W0 = mgl (1 − cos α0 ) = mgl.2 sin2 0 ≈ mgl 0 với l =

2
2
4π 2
mgl (α02 − α2 )
Độ giảm cơ năng sau nửa chu kỳ: ∆W =
2
mgl (α02 − α2 )
∆W = Fc .l (α0 + α) ,
= F c.l (α0 + α)
2
2Fc
⇒ ∆α =
= 0, 00245
mg
5.3, 14
α0 =
= 0, 08722
180
∆W = 2Fc .l (α0 + α) = 2Fc .l (2α0 − ∆α) = 0, 00376 (J)
Đây là phần năng lượng tiêu hao sau một chu kì tức là sau 2s
Năng lượng của nguồn: W = ξ.Q0 = 3.104 (J)
Năng lượng có ích cung cấp cho đồng hồ: Wcoich = HW = 0, 75.104 (J)
Thời gian pin cung cấp năng lượng cho đồng hồ:
Wcoich
7500
19946808, 5
=
= 19946808, 5 =
= 23, 086 ≈ 23ngày.
t=

∆W
0, 00376
86400
Bài toán 9: Hai chất điểm chuyển động trên quỹ đạo song song sát nhau, cùng gốc tọa độ
với các phương trình x1 = 3 cos (ωt) (cm) và x2 = 4 sin (ωt) (cm). Khi hai vật ở xa nhau nhất
thì chất điểm 1 có li độ bao nhiêu?
Lời giải 1:
5




Ta nhận thấy 2 phương trình chuyển động vuông pha với nhau. A2 = x21 + x22 ⇔ A = 5
Khi 2 vật ở xa nhau nhất có nghĩa khoảng cách chúng nó max suy ra hình đó phải là hình chữ nhật
1
1
1
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác. 2 = 2 + 2
x
x1 x2
⇔ x = 2, 4 Đặt cạnh cần tìm là y.
y 2 + (2, 4)2 = 32 ⇔ y = 1, 8
Chất điểm 1 có li độ bằng 1, 8 cm
Lời giải 2:
+Khoảng cách hai chất điểm: d = |x1 − x2 | = 5.| cos ωt +
⇒ Khoảng cách này cực đại:
√
dmax = 32 + 42 = 5 (cm) ⇒

53π

180

| (cm)

53π
= ±1 ⇒ ωt = ±0, 6
180
+Li độ của chất điểm 1 là: x1 = 3 cos (ωt) = 3 cos (±0, 6) = ±1, 8 (cm)
ωt +

Bài toán 10: Có hai con lắc lò xo giống hệt nhau dao động điều hoà trên mặt phẳng nằm
ngang dọc theo hai đường thẳng song song cạnh nhau
√ và song song với trục Ox. Biên độ
của con lắc 1 là A1 = 4cm, của con lắc 2 là A2 = 4 3cm, con lắc 2 dao động sớm pha hơn
con lắc 1. Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc treo trục Ox là
a = 4cm. Khi động năng của con lắc 1 cực đại là W thì động năng của con lắc 2 là?
Lời giải 1:
Ta có: Khoảng cách cực đại hai con lắc: ∆xmax = A1 − A2
Suy ra
∆x2max = A21 + A22 − 2A1 .A2 cos ∆ϕ
hay
√
42 = 42 + 4 3

√
− 2.4.4 3 cos ∆ϕ ⇒ cos ∆ϕ =

√

3

π
⇒ ∆ϕ =
2
6
Con lắc thứ 2 dao động sớm pha hơn con lắc thứ nhất, nên không mất tính tổng quát ta có thể
π
chọn ϕ1 = 0, ϕ2 =
6
Khi đó phương trình dao động hai con lắc là:
2

x1 = A1 cos (ωt )
x2 = A2 cos ωt +
Khi v1 max = ωA1 suy ra ωt =

π
6

π
Suy ra
2

π π
v2 = (x2 ) = −ωA2 sin
+
2
6

√
3

= −ωA2
2
6




Nên:

1 2 2
ω A1
W
4 A21
4
2
=
=
=
2
1
3
W
3 A2
9
ω 2 A22 .
2
4

Lời giải 2:Giả sử dao động của con lắc thứ hai sớm pha hơn con lắc thứ nhất là ϕ, vẽ giản đồ
−

→ −
→
vecto A1 , A2 như hình vẽ.

Khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc theo trục Ox khi M0 N0 song song với trục Ox.
Ta có tam giác OM0 N0 là tam giác cân và có:√
OM0 = M0 N0 = A1 = 4 (cm)√
, ON0 = A2 = 4 3 (cm)
π
3
Góc M0 ON0 = ϕ ⇒ cos ϕ =
⇒ϕ=
2
6
Động năng của con lắc thứ nhất cực đại khi x1 = 0
√
−
→
kA21
A2
π
. Khi đó: x2 = −
= −2 3 (cm)
Vật 1 ở M: A1 quay góc . W =
2
2
2
kA22 kx22
3 kA21
9W

W =
−
= .3.
=
2
2
4
2
4
Bài toán 11: Cho một con lắc đơn có vật nặng 100g, tích điện 0, 5mC, dao động tại nơi có
gia tốc g = π 2 = 10 m/s2 . Đặt con lắc trong điện trường đều có véc tơ điện trường nằm
√
V
ngang, độ lớn 2000 3
. Đưa con lắc về vị trí thấp nhất rồi thả nhẹ. Tìm lực căng dây
m
treo khi gia tốc vật nặng cực tiểu?
Lời giải 1:

7




Biểu thức lực căng khi gia tốc vật nặng cực tiểu:
τ = mg (3 − 2 cos α0 )
√
Fd
qE
1

=
= 3 ⇒ α0 = 600 ⇒ cos α0 = Nên khi đó τ = 2N
P
mg
2
Lời giải 2:Biên độ góc là α
qE
Tại vị tí cân bằng dây treo lệch góc α, ta có: tgα =
⇒ α = 300
mg
Gia tốc hướng tâm: aht = 2g (cos ϕ − cos α0 ) 0 ≤ ϕ ≤ 600
Gia tốc tiếp tuyến: att = 2g sin ϕ
√ 2
√
3
Gia tốc của con lắc: a2 = a2ht + a2tt = g 2 sin2 ϕ + 4g 2 cos ϕ −
⇒a=g 3
2
amin ⇔ cos ϕ = 1 ⇒ ϕ = 0
Với tan α0 =

Lại có: T = mghd = m

g2 +

qE
m

2
√ − cos ϕ

3

2

2

= 0, 1.20 = 2 (N )

Bài toán 12: Một con lắc đơn có chiều dài l = 64 (cm) và khối lượng m = 100 (g). Kéo con
lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 60 rồi thả nhẹ cho dao động. Sau 20 chu kì thì biên độ
góc chỉ còn là 30 . Lấy g = π 2 = 10 m/s2 . Để con lắc dao động duy trì với biên độ góc 60
thì phải dùng bộ máy đồng hồ để bổ sung năng lượng có công suất trung bình là?
Lời giải:
Ta có: α0 = 60 = 0, 1047 (rad)
α02
α0
Cơ năng ban đầu: W0 = mgl (1 − cos α0 ) = 2mgl sin
≈ mgl
2
2
α2
α2
2 α
≈ mgl
= mgl 0
Cơ năng sau t = 20T : W = mgl (1 − cos α) = 2mgl sin
2
2
8
α02 α02

3α02
Độ giảm cơ năng sau 20 chu kì: ∆W = mgl
−
= mgl
= 2, 63.10−3 (J)
2
8
8
2

l
0, 64
= 2π
= 1, 6 (s)
g
π2
Công suất trung bình cần cung cấp để con lắc dao động duy trì với biên độ góc là
∆W
2, 63.10−3
60 : Wtb =
=
= 0, 082.10−3 (W ) = 0, 082 (mW )
20T
32
T = 2π

Bài toán 13: Cho 2 chất điểm A và B dao động theo phương vuông góc nhau
√ có cùng vị trí
cân bằng tại O và có phương trình lần lượt là:x1 = A cos (ωt + ϕ1 ) và x2 = A 2 cos (ωt + ϕ2 ).
T

Tại thời điểm t1 chất điểm A có li độ là 3 (cm) và chất điểm B có li độ a (cm). Sau đó chu kì
4
A có li độ là b (cm) và B có li độ là 5 (cm). Biết tại mọi thời điểm ta luôn có x1 v1 + x2 v2 = 0.
Khoảng cách giữa hai chất điểm bằng?
Lời giải:
Hai thời điểm cách nhau khoảng thời gian

T
thì dao động vuông pha nên:
4

32 + b2 = A2
a2 + 52 = 2A2
⇒ a2 + 52 = 2 32 + b2 ⇔ a2 − 2b2 = −7 (1)

8




Mặt khác từ dữ kiện đề bài x1 v1 + x2 v2 = 0 Nguyên hàm 2 vế:
(x1 v1 + x2 v2 ) =

0

⇔ x21 + x22 = C
với C là hằng số, nên khi đó:
32 + a2 = b2 + 52 ⇔ a2 − b2 = 52 − 31 3 = 16 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:

√
a2 − 2b2 = −7 ⇔ a = √ 39
a2 − b2 = 16
b = 23
√
√
⇒ d = 25 + b2 = 48

Bài toán 14: Một lò xo lí tưởng P Q có độ cứng 3N/cm. Đầu dưới Q của lò xo gắn với mặt
sàn nằm ngang, đầu trên P gắn với vật nhỏ có khối lượng 750g. Từ vị trí cân
√ bằng của vật,
người ta đưa vật đến vị trí lò xo bị nén 5mm, rồi truyền cho vật vận tốc 40 3 (cm/s) hướng
về vị trí cân bằng. Lấy g = 10 m/s2 , giả thiết, trong suốt quá trình chuyển động của vật,
lò xo luôn được giữa theo phương thẳng đứng. Trong khoảng thời gian t = kT ( k nguyên
8 ≤ k ≤ 12) kể từ lúc vật bắt đầu dao động. Gọi t1 là khoảng thời gian lúc tác dụng lên điểm
Q cùng chiều với trọng lực, t2 là khoảng thời gian lực tác dụng lên điểm Q ngược chiều với
t1
=?
trọng lực. Tỉ số
t2
Lời giải:
Ta có: tần số góc dao động: ω = 20 ( (rad/s))
mg
7, 5
1
Độ giãn của lò xo tại VTCB: ∆l =
=
=
(m) = 25 (mm)
k

300
40
Tại t=0: x0 = 20 (mm). Biên độ dao động của con lắc lò xo: A2 = x20 +

v2
⇒ A = 0, 04 (m) =
ω2

40 (mm)
Thời gian lực tác dụng lên điểm Q cùng chiều với trọng lực ứng với thời gian lò xo bị nén, ngược
chiều ứng với thời gian lò xo bị giãn tượng ứng với thời gian vật đi từ li độ x = −∆l = −25 (mm)
đến vị trí biên âm −40 (mm) và ngược lại Xét trong một chu kì thời gian lò xo giãn ứng với góc
quét 2ϕ
25
5
Với cos ϕ =
= ⇒ ϕ = 0, 285π ⇒ 2ϕ = 0, 57π
40
8
0, 57T
tgian =
= 0, 285T ⇒ tnen = 1 − 0, 285T = 0, 715T
2
t2 = ktgian = 0, 3 = 0, 285kT
t1 = ktnen = 0, 715kT
t1
0, 715
⇒
=
= 2, 509 ≈ 3

t2
0, 285

9




Bài toán 15: Một lò xo nhẹ có chiều dài l0 , độ cứng k = 16 N/m được cắt ra thành hai lò
xo, lò xo thứ nhất có chiều dài l1 = 0, 8l0 , lò xo thứ hai có chiều dài l2 = 0, 2l0 .Hai vật nhỏ
m1 và m2 có khối lượng bằng nhau m1 = m2 = 500 (g) đặt trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang
và được gắn vào tường nhờ các lò xo trên (hình vẽ) Khoảng cách giữa hai vật khi hai lò xo
chưa biến dạng là O1 O2 = 20 (cm). Lấy gần đúng π 2 = 10. Người ta kích thích cho hai vật
dao động dọc theo trục x: Vật thứ nhất bị đẩy về bên trái còn vật thứ hai bại đẩy về bên
phải rồi đồng thời buông nhẹ để hai vạ dao động điều hòa. Biết động năng cực đại của hai
vật bằng nhau và bằng 0, 1 (J). Kể từ lúc thả các vật, sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao
nhiêu khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất, tính khoảng cách nhỏ nhất đó?

Lời giải:
2W0
2W0
= 10 (cm) và A2 =
= 5 (cm)
k1
k2
Tần số góc dao động mỗi vật là:
k1
k2
ω1 =
= 2π ( (rad/s)) , ω2 =

= 2ω
m
m
Phương trình dao động mỗi vật đối với vị trị cân bằng của chúng
x1 = A1 cos (ω1 t + ϕ1 ) = 10 cos (ωt − π)
Biên độ mỗi vật A1 =

x2 = A2 cos (ω2 t + ϕ2 ) = 5 cos (2.ωt)
Khoảng cách hai vật tại một thời điểm bất kỳ:
d = |O1 O2 + x2 − x1 = 20 + 5 cos (2ωt) − 10 cos (ωt − π) |
Biến đổi:
d = |20 + 5 2 cos2 ωt − 1 + 10 cos ωt = 15 + 10 cos2 ωt + cos ωt |
1
1
⇒ d = 15 + 10 cos2 ωt + 2 cos ωt +
2
4
1
= 12, 5 + cos ωt +
2

− 2, 5

2

−1
2
Để tìm khoảng cách kể từ lúc thả đến khi đạt khoảng cách cực tiểu lần đầu tiên ta giải phương
−1
2π

1
1
= cos ±
. Vậy t = + k hoặc t = − + k. Từ đó ta lấy nghiệm :
trình trên:cos ωt =
2
3
3
3
1
tmin = (s)
3
Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật là : dmin = 12, 5 (cm) xảy ra khi và chỉ khi cos ωt =

Bài toán 16: Cho cơ hệ như hình vẽ. Lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng
k = 50N/m. Vật M = 200g, vật m = 300g. Khi m2 đang cân bằng ta thả M từ độ cao h (so
với m). Sau va chạm m dính chặt với M , cả hai cùng dao động với biên độ A = 10cm. Tính
độ cao h

10




Lời giải:
Chọn chiều dương hướng xuống. Ta thấy, sau khi va chạm thì vị trí cân bằng mới sẽ thấp hơn vị
trí cân bằng cũ một đoạn:
Mg
= 0, 04 (m).
s=

k
Tại vị trí cân bằng, lò xo nén đoạn:
(M + m) g
= 0, 1 (m) = A
s =
k
Do đó. Khi va chạm, hệ vật ở vị trí có li độ x = −4 (cm). Vận tốc của hệ vật:
√
√
k √ 2
cm
v = ω A 2 − x2 =
A − x2 = 20 21
M +m
s
Lại có:
√
√
cm
21 m
v (M + m)
= 50 21
=
v0 =
M√
s
2
s
21
⇔ 2gh =

→ h = 0.2625 (m)
2
Bài toán 17: Con lắc lò xo gồm vật nhỏ có khối lượng m = 1kg và lò xo nhẹ có độ cứng
k = 100N/m được treo thẳng đứng vào một điểm cố định. Vật được đặt trên một giá đỡ D.
Ban đầu giá đỡ D đứng yên và lò xo dãn 1cm. Cho D chuyển động nhanh dần đều thẳng
đứng xuống dưới với gia tốc a = 1m/s2 . Sau khi rời khỏi giá đỡ, vật m dao động điều hoà
với biên độ xấp xỉ bằng
A. 6,08cm.
B. 9,08cm.
C. 4,12cm.
D. 11,49cm.
Lời giải:
Nếu không có giá đỡ thì độ giãn của lò xo là:
mg
∆l =
= 10 (cm)
k
Khi còn ở trên giá đỡ vật chịu tác dụng của lực đàn hồi, trọng lực và phản lực. Theo định luật 2
Newton thì:
−→ →
− →
−
−
Fdh + P + N = m→
a
Khi rời giá đỡ phản lực bằng 0 nên
P − Fdh = ma → mg − k∆l = ma
→ ∆l =

m (g − a)

= 9cm
k
11




Vậy giá đỡ rời vật khi lò xo giãn 9cm → Quãng đường đi được tới lúc giãn 9cm là S = 9−1 = 8 (cm)
và vật cách VTCB 1 đoạn x = 1cm.
√
Vận tốc của vật lúc rời khỏi giá đỡ:v = 2a.S = 40 (cm/s)
A2
Hệ thức độc lập với thời gian:A = x2 + 2 = 4, 12cm
ω
Bài toán 18: Một con lắc đơn có khối lượng m1 = 400 (g), có chiều dài l = 160 (cm). Ban
đầu người ta kéo vật lệch khỏi VTCB một góc 600 rồi thả nhẹ cho vật dao động, khi vật đi
qua VTCB vật va chạm mềm với vật m2 = 100 (g) đang đứng yên, lấy g = π 2 = 10 m/s2 .
Khi đó biên độ góc của con lắc sau khi va chạm là?
Lời giải:
Vận tốc của con lắc khi ở VTCB:
v1 =

√
2 10
2gl (1 − cos α0 ) =
5

Vận tốc của hệ vật sau khi va chạm:
√
m1 v1

8 10
V =
=
m1 + m2
25
Mà :V =

2gl (1 − cos α0 ) Nên:
v1
=
V

1 − cos α0
1 − cos α0

Từ đó suy ra: α0 = 0, 823 (rad) ≈ 470
Hình vẽ:

Công thức tính nhanh:
v1
=
V

1 − cos α0
m1 + m2
=
1 − cos α0
m1

Bài toán 19: Một con lắc đơn có khối lượng m1 = 400 (g), có chiều dài l = 160 (cm). Ban

đầu người ta kéo vật lệch khỏi VTCB một góc 600 rồi thả nhẹ cho vật dao động, khi vật đi
qua VTCB vật va chạm mềm với vật m1 = 100 (g) đang đứng yên, lấy g = π 2 = 10 m/s2 .
Khi đó biên độ góc của con lắc sau khi va chạm là?

12




Lời giải:
Tốc độ ngay trước lúc va chạm là : vmax = 2gl (1 − cos α)
m1 vmax
Tốc độ ngay sau lúc va chạm là: V =
(m1 + m2 )
Đây cũng là vận tốc cực đại của con lắc sau khi va chạm:
=⇒

V
vmax

=

m1
=
m1 + m2

m1 vmax
=
(m1 + m2 )

2gl (1 − cos αmax )

1 − cos αmax
=⇒ α ≈ 0, 823 (rad)
1 − cos α

Bài toán 20: Đưa vật nhỏ của con lắc đơn đến vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng
một góc 50 rồi thả nhẹ cho dao động. Khi dao động vật luôn chịu tác dụng bởi một lực cản
có độ lớn bằng 1% trọng lượng vật. Biết biên độ của vật giảm đều trong từng chu kỳ. Sau
khi qua vị trí cân bằng được 20 lần thì biên độ dao động của vật là?
Lời giải:
αo2
Do bài cho biên độ giảm đều sau
2
αo 2 − α 2
1 chu kì nên cơ năng giảm đều 1 lượng ∆W được xác định bởi : ∆W = Wo − W = mgl
2
Hiển nhiên thấy cơ năng giảm do có lực cản nên phần cơ năng mất đi bằng với công của lực cản
nên ta có:

Cơ năng lúc đầu của con lắc đơn được tính gần đúng Wo = mgl

mgl

αo 2 − α2
2

→ = FC .l (αo + α) =⇒ FC =
= A−
FC

mg
2FC
(αo − α) ⇐⇒ αo − α =
2
mg

Độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB:
∆α = αo − α =

2.0, 01.mg
2FC
=
= 0, 02
mg
mg

Sau khi qua vị trí cân bằng được 20 lần thì biên độ dao động của vật là:
∆α20 = αo − 20∆α = 5o − 20.0, 2o = 4, 6o = 0, 08 (rad)
Bài toán 21: Hai vật A và B có cùng khối lượng 1kg và có kích thước nhỏ được nối với
nhau bởi sợi dây mảnh nhẹ dài 10cm, hai vật được treo vào lò xo có độ cứng k = 100 N/m
tại nơi có gia tốc trong trường g = π 2 = 10 m/s2 . Khi hệ vật và lò xo đủ cao sao với mặt
đất, người ta đốt sợi dây nối hai vật và vật B sẽ rơi xuống tự do và vậy A sẽ dao động điều
hòa theo phương thẳng đứng. Lần đầu tiên A lên đến vị trí cao nhất thì khoảng các giữa 2
vật là bao nhiêu?

13

Lời giải:
+Trước khi đốt sợi dây, ở vị trí cân bằng của hệ, lò xo giãn:
∆l1 =

2m
k

+Khi đốt sợi dây, ở vị trí cân bằng vật A, lò xo giãn:
m
∆l2 =
k
+Biên độ dao động vật A là:
mg
2m m
−
=
= 0, 1 (m)
k
k
k
m
= 0, 2π ( (rad/s)) Khi đốt sợi dây, vật B rơi tự do
Khi đó vật A dao động với chu kỳ T = 2π
k
với gia tốc g còn vật A dao động điều hòa: Để lên vị trí cao nhất vật A phải đi quãng đường là
T
2A = 0, 2 (m)và thời gian đi lên điểm đó là :t = = 0, 1π Trong thời gian t vật B rồi quãng đường
2
1 2

S = gt = 0, 5 (m) Vậy khoảng cách hai vật là:
2
d = 2A + S + l = 0, 8 (m)
A=

Bài toán 22: Một lò xo nhẹ có độ cứng k = 50 N/m, đầu trên gắn cố định đầu dưới treo
quả cầu nhỏ khối lượng m = 1kg sao cho vật có thể dao động không ma sát theo phương
thẳng đứng. Lúc đầu dùng giá đỡ m để lò xo không không biến dạng. Sau đó cho giá chuyển
động thẳng đứng xuống dưới nhanh dần đều với gia tốc 1 m/s2 . Bỏ qua mọi ma sát. Thời
gian m đi từ lúc bắt đầu chuyển động cho tới khi m bắt đầu rời khỏi giá là:

Lời giải:
Khi m bắt đầu rời giá thì m có gia tốc
a = 1 m/s2
1
P − k∆l = ma ⇒ ∆l = 0, 18m; s = 0, 18m = at2 ⇒ t = 0, 6s
2
Bài toán 23: Con lắc đơn dao động trong môi trường không khí. Kéo con lắc lệch phương
thẳng đứng một góc 0, 1 (rad) rồi thả nhẹ, biết lực căn của không khí tác dụng lên con lắc là
không đổi và bằng 0,001 lần trọng lượng của vật. Coi biên độ giảm đều trong từng chu kỳ.
Số lần con lắc qua vị trí cân băng đến lúc dừng lại là?

14




Lời giải:Gọi ∆α là độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB (∆α < 0, 1)
Cơ năng ban đầu:
α

α2
W0 = mgl (1 − cos α) = 2mgl sin2 ≈ mgl
2
2
Độ giảm cơ năng sau mỗi lần qua VTCB:
mgl 2α.∆α − (∆α)2
mgl α2 − (α − ∆α)2
=
(1)
∆W =
2
2
Công của lực cản trong thời gian trên:
Ac = Fc s = 0, 001mgl (2α − ∆α) (2)
Từ (1),(2), theo định luật bảo toàn năng lượng: ∆W = Ac
mgl[2α.∆α − (∆α)2 ]
⇒
= 0, 001mgl (2α − ∆α)
2
⇒ (∆α)2 − 0, 202∆α + 0, 0004 = 0 ⇒ ∆α = 0, 002
α
0, 1
=
= 50 lần.
Vậy số lần vật qua VTCB: N =
∆α
0, 002
Bài toán 24: Cho hai vật dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox, có cùng vị trí
cân bằng O, có cùng biên độ và với chu kỳ lần lượt là T1 = 1s và T2 = 2s. Tại thời điểm ban
đầ, hai vật đều ở miền có gia tốc âm, cùng đi qua vị trí có động năng gấp 3 lần thế năng và

cùng đi theo chiều âm trục Ox. Thời điểm ngay sau đó mà hai vật lại gặp nhau là:
2
4
2
1
A. s.
B. s.
C. s.
D. s.
9
9
3
3
Lời giải:
A
và đi theo chiều âm
2
⇒ phương trình của mỗi vật:
π
x1 = A cos 2πt +
3
và
π
x2 = A cos πt +
3
π
−2 2k
π
π
π

+
hoặc ⇒ 2πt + = πt + + k.2.π ⇒
Khi gặp nhau: ⇒ 2πt + = −πt − + k.2.π ⇒ t =
3
3
9
3
3
3
4
t = 2k Từ trên suy ra tmin ứng với k = 1 ⇒ t = (s). Chọn B
9
Tại t = 0 vật đang ở

Bài toán 25: Một lò xo khối lượng không đáng kể, một đầu cố định một đầu mang vật
nặng khối lượng m có thể trượt lên mặt phẳng nghiêng góc α = 450 . Đưa vật về vị trí sao
cho lò xo không biến dạng rồi thả ra. Vì có ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng nên vật
dao động tắt dần. Hỏi để vật thực hiện được ít nhất 10 dao động rồi mới dừng hẳn thì hệ số
ma sát tối đa µmax là?
A. 0,016.
B. 0,024.
C. 0,08.
D. 0,048.

15




Lời giải:

Gọi A1 , A2 là hai li độ cực đại liên tiếp

k (A21 − A22 )
2
Công lực ma sát đi trong quãng đường: S = S1 + S2
Ams = µmg cos (A1 + A2 )
Bảo toàn năng lượng:
Độ giảm cơ năng sau nửa chu kỳ: ∆E =

2µmg cos α
(1)
k
Tương tự, độ giảm li độ cực đại trong nửa chu kì tiếp theo:
∆E = Ams ⇒ A1 − A2 =

A2 − A3 =

2µmg cos α
(2)
k

Từ (1),(2) ⇒ độ giảm trong một chu kỳ hay trong dao động toàn phần: ∆A =
A
Số dao động vật thực hiện đến khi dừng lại: N =
(3)
∆A
Trong đó: A là biên độ đầu tiên và cũng là độ giãn của lò xo khi vật ở VTCB
Ta có:
→
− −

→ −−→
P + F0 + Fms = 0

4µmg cos α
k

⇒ mg sin α − kA − µmg cos α = 0
mg
⇒A=
(sin α − µ cos α)
k
1 tgα
1 1
Từ (3) ta được: N =
−1 =
−1
4
µ
4 µ
1 1
1
1
Theo giả thiết: N ≥ 10 ⇒
− 1 ≥ 10 ⇒ µ ≤
⇒ µmax =
≈ 0, 024
4 µ
41
41
Từ đó ta chọn đáp án B

N
được treo 2 vật nặng
m
m1 = m2 = 100 (g). Bỏ qua khoảng cách giữa hai vật. Khi hệ đứng yên ta đốt dây nối giữa
4, 9
hai vật. Biết trước khi đốt khoảng cách giữa hai vật tới mặt đất h =
(m). Hỏi khi vật
18
m2 chạm đất thì vật m1 đi được quãng đường bao nhiêu? Lấy g = π 2 = 10 m/s2
A. 3 cm.
B. 4 cm.
C. 6 cm.
D. 4,5 cm.
Bài toán 26: Một lò xo khối lượng không đáng kể có k = 100

Lời giải:
Vật 2 rơi tự do. Thời gian từ lúc đốt dây đến lúc chạm đất là t =
mg
Trong khi đó vật 1 dao động điều hòa với A =
= 1cm; T = 2π
k
4.1 + 0, 5 = 4, 5cm

2h
7
= s
g
30
k
7T

= 0, 2s ⇒ t =
⇒s=
m
6

Bài toán 27: Cho hai con lắc lò xo (1) và (2) giống hệt nhau. Kích thích cho hai con lắc
dao động điều hòa với biên độ lần lượt là 2A và A và dao động cùng pha. Chọn gốc thế năng
tại vị trí cân bằng của con lắc. Khi động năng của con lắc (1) là 0, 6J thì thế năng của con
lắc (2) là 0, 05J. Khi thế năng của con lắc (1) là 0, 4J thì động năng của con lắc (2) là
A. 0,1 J.
B. 0,2 J.
C. 0,4 J.
D. 0,6 J.
Lời giải:
Do hai con lắc luôn dao động cùng pha nên:
16




Cơ năng con lắc thứ nhất: W1 = 4W = Wd1 + Wt1
Cơ năng con lắc thứ hai: W1 = W = Wd2 + Wt1
Wd1 = 4Wd2
Wt1 = 4Wt2
Khi Wd1 = 0, 6 (J) ⇒ Wd2 = 0, 15 (J)
Cơ năng con lắc thứ hai là: W2 = 0, 05 + 0, 15 = 0, 2 (J)
Khi Wt1 = 0, 4 (J) ⇒ Wt2 = 0, 1 (J)
⇒ Wd2 = W2 − Wt2 = 0, 1 (J). Vậy đáp án A
Bài toán 28: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo có độ cứng k và vật nặng có khối
lượng m1 . Khi m1 cân bằng ở O thì lò xo giãn nhẹ 10 cm. Đưa vật nặng m1 tới vị trí lò xo

m1
giãn 20 cm rồi gắn thêm vào m1 vật nặng có khối lượng m2 =
, thả nhẹ cho hệ chuyển
4
động, lấy g=10 m/s2 . Khi 2 vật về đến O thì m2 tuột khỏi m1 . Biên độ của dao động m1
sau khi bị tuột là bao nhiêu?

Lời giải:
Xét đối với vật 1 khi ở vị trí cân bằng O lò xo giãn:
m1 g
∆l01 =
= 10cm
k
Xét với hệ vật gồm m1 và m2 ở VTCB O của hệ lò xo giãn:
∆l02
Nên:

5
m1 g
(m1 + m2 ) g
4
=
=
= 12, 5cm
k
k

OO = x0 = ∆l02 − ∆l01 = 2, 5cm

Khi đưa lò xo đến vị trí lò xo giãn 20cm và thả nhẹ, đối với hệ vật lò xo ở li độ x1 = 20 − 12, 5 =

7, 5 = A Khi đến vị trí O và vật m2 rời khỏi m1 thì vận tốc tại đó là vận tốc cực đại nên:
√
v
A = = A2 − x20 = 7, 52 − 2, 52 = 5 2cm
ω
17




1, 75π
s đến động năng của một vật
96
dao động điều hòa tăng từ 0, 096J đến giá trị cực đại rồi giảm đến giá trị 0, 064J. Biết rằng
ở thời điểm t1 thế năng của vật cũng bằng động năng. Cho khối lượng của vật là m = 100g.
Biên độ dao động của vật bằng
A. 32 cm.
B. 3,2 cm.
C. 16 cm.
D. 5 cm.
Bài toán 29: Trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t1 =

Lời giải:
t1 : W1 = Wd1 + Wt1 = 0, 128 (J)
t : Wt = W1 − Wd = 0, 128 − 0, 064 = 0, 032 (J)
Lại có:
Wd
A2 − x2
A
0, 096

t:
=
=
3
⇒
x
=
±
=
Wt
x2
0, 032
2
√
A2 − x2
A 2
Wd1
0, 064
=
=1⇒x=±
t1 :
=
Wt1
x2
0, 064
2
√
A 2
A
5T

1, 75π
Từ giả thuyết động năng vật tăng rồi giảm nên vật sẽ đi từ −
→
và ∆t =
=
⇒
2
2
24
96
160
ω=
7
2
160
0,
1.
.A2
mω 2 A2
7
= 0, 064 =
⇒ A = 0, 05 (m) = 5 (cm) Chọn D
Lại có:
2
2
Bài toán 30: Con lắc gồm lò xo có khối lượng m = 200 g,k = 100 N/m, q = 100µC. Ban
đầu vật dao động điều hòa với A=5cm theo phương thẳng đứng. Khi vật qua vị trí cân bằng
người ta thiết lập một điện trường đều thẳng đứng hướng lên có cường độ E=0.12MV/m.
Tìm biên dao động lúc sau của vật trong điện trường.
Lời giải:

+Khi chưa có lực điện thì ở VTCB O con lắc giãn:
∆l0 =

mg
k

+Khi có thêm lực điện, Ở VTCB O’ thì con lắc lò xo giãn:
∆l1 =

mg − qE
k

Nên :
OO = x0 = ∆l0 − ∆l1 =

qE
= 12cm
k

Khi qua VTCB O(lúc đã có lực điện): Sử dụng CT độc lập:
A =

x20 +

Với v = vmax = ωA nên:
A =

x20 + A2 =

√

v
ω

2

122 + 52 = 13cm

18




Bài toán 31: Một vật thực hiện hai dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình
π
lần lượt là x1 = A1 cos (ωt) và x2 = A2 cos ωt +
. Biết rằng khoảng cách lớn nhất giữa
3
hai tọa độ của chất điểm không vượt quá 2 (cm) và trong quá trình dao động hai biên độ
1
1
1
thành phần luôn thỏa mãn hệ thức 2 + 2 = . Tìm biên độ dao động tổng hợp
A1 A2
2
Khoảng cách lớn nhất:
∆xmax = A1 − A2 ⇒ ∆x2 = A21 + A22 − 2A1 A2 cos

π
3

Từ giả thiết
1
1
1
+ 2 =
2
A1 A2
2
π
π
Ta suy ra A1 A2 ≥ 4 Nên: ∆x2 ≥ 2A1 A2 − 2A1 A2 cos = 2A1 A2 1 − cos
3
3
dấu bằng xảy ra khi:
∆x2 = 4
A1 = A2 = 2
Suy ra A =

≥ 4 Mà ∆x2 ≤ 4 Nên

√
1
22 + 22 + 2.2.2. = 2 3 cm
2

Bài toán 32: Một con lắc đơn dao động tuần hoàn, trong quá trình dao động, lực căng cực
đại lớn gấp 4 lần lực căng cực tiểu. Tại thời điểm vật đi qua vị trí mà lực căng của sợi dây
gấp 2 lần lực căng cực tiểu thì nó va chạm mềm với vật có cùng khối lượng và chuyển động
cùng chiều với tốc độ lớn gấp 2 lần. Tìm biên độ dao động của vật sau va chạm?

Lời giải:
Ta có:

3
5
4 cos α0
4
⇒ 3 cos α − 2 cos α0 = 2 cos α0 ⇒ cos α =
=
3
5

Tmax = 4Tmin ⇒ 3 − cos α0 = 4 cos α0 ⇒ cos α0 =
T = 2Tmin

Vậy vận tốc trước va chạm: v =

2gl

=

2gl
5

4 3
−
5 5
m1 v1 + m2 v2
Sau đó vật va chạm, ta có công thức: v =
⇒ v = 1, 5v

m1 + m2
Dùng định luật bảo toàn năng lượng, ta được:
0, 5.2m. (1, 5v)2 + 2mgl (1 − cos α) = 2mgl 1 − cos α0 ⇒ cos α0 = 0, 35
⇒ α0 = 69, 50 ≈ 700

19




Bài toán 33: Một vật thực hiện đồng thời 10 dao động điều hòa cùng phương với x =
√
π
(cm). Phương trình dao động tổng hợp là?
a 2 cos ωt − k
6
k=1
√
11π
A. x =
3 + 1 a cos ωt −
.
12
√
5π
B. x =
.
3 − 1 a cos ωt −
6
√

5π
C. x =
3 + 1 a cos ωt −
.
6
√
11π
D. x =
.
3 − 1 a cos ωt −
12
10

Lời giải:
Dễ thấy cứ lệch nhau π thì dao động triệt tiêu. Khi đó các cặp triệt tiêu là:
1 + 7; 2 + 8; 3 + 9; 4 + 10
Như vậy còn cái k = 5, 6 tổng hợp với nhau.
√
√
5π
x = a 2. cos (ωt − π) + a 2 cos ω.t −
6
Chọn A
Bài toán 34: Một vật nhỏ được treo vào một đầu lò xo nhẹ để tạo thành một con lắc lò xo.
Tại thời
√ điểm t=0, người ta đưa vật tới vị trí lò xo dãn Deltal = 4 cm rồi truyền vận tốc
v = 20 15 cm/s
√ hướng thẳng đứng xuống dưới thì thấy vật dao động điều hòa với vận tốc
cực đại v = 40 5cm/s. Trong quá trình dao động, gia tốc lớn nhất của vật là?
A. 10m/s2 .

B. 20m/s2 .
C. 5m/s2 .
D. 15m/s2 .
Lời giải 1:
Gọi ∆lo là độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng, khi đó vị trí cân bằng có tọa độ:
xo = ∆lo − ∆l.
Phương trình dao động của vật có dạng:
x = A sin(ωt + ϕ) + xo .
⇒ v = Aω cos(ωt + ϕ).
Trong đó:
vo = Aω = A
Theo bài ta có:
x − xo
A

2

+

g
.
∆lo

v2
= 1.
A2 ω 2

⇒ ∆lo2 − 10∆lo + 16 = 0.
1.Nếu ∆lo =2 cm.

√
ω1 = 10 5.
xo = ∆lo − ∆l = −2; A = 4.
amax1 = 20m/s2 .
20




2.Nếu ∆lo =8 cm.

√
ω2 = 5 5.
xo = 4cm; A = 8cm.
amax2 = 10m/s2 .

Ta có hai trường hợp có gia tốc tương ứng cực đại. Nhưng bài hỏi gia tốc lớn nhất trong quá trình
dao động nên chọn B.
Lời giải 2:
√
v2
g 2 v 2 A2
v 2 a2
= 0, 04 − 2 +
=
Ta có vmax = ωA = 40 5(cm/s) A2 = x2 + 2 = (0, 04 − ∆l0 )2 +
ω
vmax
ω
vmax

2
gA2
v 2 A2
0, 04 − 2
+
vmax
vmax
√
√
v2
Thay v = 0, 4 5và vmax = 0, 4 5 ta giải ra được A = 0, 04(m) Suy ra amax = max = 20(m/s)
A
Đáp án B
Bài toán 35: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng K = 10 N/m và vật nặng
m = 100g. Từ vị trí cân bằng kéo vật để lò xo giãn ra một đoạn 7cm rồi truyền cho vật vật
tốc 80 (cm/s) hướng về vị trí cân bằng . Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng là 0,1. lấy
g = 10 m/s2 . Tốc độ cực đai của vật sau khi truyền vận tốc là :
√
√
B. 10 113 (cm/s). C. 100 (cm/s).
D. 70 (cm/s).
A. 6 31 (cm/s).
Lời giải:
Ta gọi O’ là vị trí cân bằng của vật khi dao động điều hòa trong chu kì đầu tiên. Khi đó
OO =

µ.m.g
= 0, 01m
K

⇒ x0 = 0, 06m
v2
= 0, 1m
ω2
⇒ v = ω.A = 1 (m/s) = 100 (cm/s)
⇒A=

x2 +

Bài toán 36: Con lắc lò xo gồm vật m1 gắn đầu lò xo khối lượng không đáng kể, có thể
trượt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Người ta chồng lên m1 một vật m2 . tại thời
điểm ban đầu giữ hai vật ở bị trí lò xo bị nén 2cm rồi buông nhẹ. Biết độ cứng của lò xo
k = 100 N/m;m1 = m2 = 0, 5kg và ma sát giữa hai vật đủ lớn để chúng không trượt lên
nhau trong quá trình dao độg. Tính tốc độ trung bình của hệ tính từ thời điểm ban đầu đến
thờ điểm mà lực đàn hồi của lò xo có độ lớn bằng độ lớn lực ma sát nghỉ cực đại giữa hai
vật lần thứ 2 là:
30
15
45
25
A.
(cm/s).
B.
(cm/s).
C.
(cm/s).
D.
(cm/s).
π
π

π
π
Lời giải:
k
kA
.A =
m1 + m2
2
Vậy vật đến vị trí lực đàn hồi của lò xo có độ lớn bằng độ lớn lực ma sát nghỉ cực đại giữa hai vật
A
lần thứ 2 khi vật đi từ x = −A → x =
2
3A
1
m1 + m2
π
45
S=
= 3cm t = .2π
=
→v=
( (cm/s))
2
3
k
15
π
Đáp án C.
Fmsn = m2 a → Fmsnmax = m2 .amax = m2 .

21




Bài toán 37: Có 2 con lắc lò xo giống hệt nhau, dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm
ngang dọc theo 2 đường song song cạnh nhau và song song với trục Ox. Biên độ của con lắc
thứ 1 là A1 = 3cm, của con lắc thứ 2 là√6 cm.Trong quá trình dao động khoảng cách lớn
nhất giữa 2 vật theo phương Ox là a = 3 3cm. Khi động năng con lắc thứ nhất bằng W thì
động năng con lắc thứ 2 là:
A. W.
B. 2W.
C. W/2.
D. 3W/2.
Lời giải:
Ta có độ lệch pha của 2 dao đông là ϕ với:
√
32 + 62 − 3 3
cos ϕ =
2.3.6

2

1
π
= ;⇒ ϕ =
2
3

Động năng cực đại khi vật 1 ở vị trí cân √

bằng.
Theo đó ta có vật 2 đang ở vị trí x = ±3 3 (cm), hay là tại vị trí có động năng bằng một phần tư
năng lượng dao động.
Vì 2 con lắc có biên độ gấp đôi nhau nên năng lượng dao động gấp 4 lần.
Do đó động năng của con lắc thứ 2 là W.
Chọn A.
Bài toán 38: Cho ba chất điểm (1), (2) và (3) dao động theo phương thẳng đứng trong cùng
π
một hệ trục tọa độ với phương trình của vật (1) và (2) tương ứng là x1 = 4 cos 5πt −
cm
2
π
và x2 = 2 cos 5πt +
cm. Biết trong quá trình dao động, chất điểm (2) luôn cách đều hai
6
chất điểm (1) và (3) và ba chất điểm luôn thẳng hàng. Phương trình dao động của chất điểm
thứ 3 là:
π
A. x3 = 4 cos 5πt +
cm.
3
√
π
B. x3 = 4 3 cos 5πt +
cm.
3
√
2π
C. x3 = 4 3 cos 5πt −
cm.

3
2π
D. x3 = 4 cos 5πt −
cm.
3
Lời giải:
Ta có

|x2 − x1 | = |x3 − x2 |.

Theo bài suy ra:
2x2 = x1 + x3 .
Từ đó bằng tổng hợp dao động ta có đáp án A.
Bài toán 39: Hai con lắc đơn có cùng khối lượng vật nặng dao động trong hai mặt phẳng
song song cạnh nhau và có cùng VTCB. Chu kì dao động của con lắc thứ nhất bằng hai lần
chu kì dao động của con lắc thứ hai. Biên độ dao động của con lắc thứ hai bằng ba lần biên
độ dao động của con lắc thứ nhất. Khi hai con lắc gặp nhau thì con lắc thứ nhất có động
năng bằng ba lần thế năng. Tỉ số độ lớn vận tốc của con lắc thứ hai và con lắc thứ nhất khi
chúng gặp nhau:
14
140
A. 4.
B.
.
C.
.
D. 8.
3
3
Lời giải:

Con lắc thứ nhất có tốc độ góc ω, biên độ A thì con lắc thứ hai có tốc độ góc 2ω, biên độ 3A.
22




Khi hai con lắc gặp nhau thì con lắc thứ nhất có động năng bằng ba lần thế năng nên cả 2 con lắc
A
đều có li độ |x| = .
2
Khi đó
140
v2
⇒
=
v1
3
Bài toán 40: Hai con lắc lò xo giống nhau đều gồm hai vật nặng có khối lượng 4kg gắn vào
hai là xo có độ cứng 100N/m. Hai con lắc được đặt sát bên nhau sao cho hai trục dao động
( cũng là trục của lò xo) được coi là trùng nhau và nằm ngang. Từ VTCB kéo hai vật theo
phương của trục là xo về cùng một phía thêm một đoạn 4cm và buông nhẹ không cùng lúc.
Chọn t=0 là thời điểm buông vật một. Thời điểm buông vật hai để dao động của vật hai so
với vật một có biên độ dao động cực đại có thể là:
π
3π
2π
3π
A.
s.
B.

s.
C.
s.
D.
s.
10
10
5
5
Lời giải:
Ta có, Chu kì:
4
2π
=
.
100
5
Điều kiện đề dao động (2) đối với dao động (1) có biên độ lớn nhất nghĩa là:
T = 2π.

x = x2 − x1 = A cos (ω (t − to )) + A cos (ωt − π) .
Có biên độ tổng hợp cực đại hay x2 ; x1 ngược pha nhau
(Với to là khoảng thời gian sau khi thả vật 1 dao động thì buông vật 2). Do đó: tại thời điểm thả
vật (2) vật (1) phải ở biên âm ( do vật (2) ở biên dương)
Do vậy:
Khoảng thời gian này ứng với bội lẻ của nửa chu kỳ. Chọn D.
Bài toán 41: Một con lắc đơn gồm dây treo có chiều dài l=1m gắn với 1 vật nặng khối
lượng m,một đầu gắn vào trần xe ô tô.Ô tô đang đi lên dốc chậm dần đều với gia tốc có độ
lớn 5m/s2 Biết dốc nghiêng30◦ so với phương ngang.Lấy g = 10m/s2 ; π 2 = 10.Chu kỳ dao
động của con lắc là:

A. 2, 421s.
B. 2, 101s.
C. 2, 135s.
D. 2, 400s.
Lời giải:
Ta có:
g =

√
g 2 + a2 − 2.a.g. sin α = 5 3

Suy ra:
T = 2π.

l
= 2, 135s
g

Chọn C
Bài toán 42: Một con lắc đơn gồm một vật nhỏ có khối lượng m = 2g và một dây treo
mảnh, chiều dài l, được kích thích cho dao động điều hòa. Trong khoảng thời gian ∆t con
lắc thực hiện được 40 dao động. Khi tăng chiều dài con lắc thêm một đoạn bằng 7,9 cm, thì
cũng trong khoảng thời gian ∆t nó thực hiện được 39 dao động. Lấy gia tốc trọng trường
g = 9,8 m/s2 .Để con lắc với chiều dài l’ có cùng chu kỳ dao động như con lắc chiều dài l,
người ta truyền cho vật điện tích q = +0, 5.10−8 C rồi cho nó dao động điều hòa trong một
điện trường đều có đường sức thẳng đứng. Độ lớn của vectơ cường độ điện trường là:
A. 4,02.105 V/m.
B. 2,04.105 V/m.
C. 2,4.105 V/m.
D. 4.03.105 V/m.

23




Lời giải:
Ta có:
N2
T1
=
=
N1
T2
l
T =T ⇔ =
l

g
=
q.E
g+
m

39
l1
=
l2
40
39

40

2

⇒ E = 2, 04.105 V /m

Chọn B.
Bài toán 43: Một con lắc đơn dao động với chu kì T0 trong chân không. Tại nơi đó, đưa
con lắc ra ngoài không khí ở cùng một nhiệt độ thì chu kì con lắc là T . Biết T khác T0 chỉ
do lực đẩy Acsimet của không khí. Gọi tỉ số khối lượng riêng của không khí và khối lượng
riêng của chất làm vật nặng là ε. Mối liên hệ giữa T và T0 là
T
T
T0
T0
.
B. T = √
.
C. T = √
.
D. T = √
.
A. T = √
1−ε
1−ε
1+ε
1+ε
Công thức:
1
T = T0 . 1 + .

2
D0
, Trong đó D0 , D lần lượt là khối lượng riêng chất khí và khối lượng riêng của chất
D
làm con lắc. Mà D0 << D ⇒ << 1 nên theo công thức gần đúng:
Với

=

√

1
1
=1+ .
2
1−

Chọn D.
Bài toán 44: Cho một con lắc lò xo treo thẳng đứng .Một học sinh tiến hành hai lần kích
thích dao động .Lần thứ nhất ,nâng vật lên rồi thả nhẹ thì thời gian ngắn nhât đến vị trí lực
đàn hồi triệt tiêu là x.Lần thứ hai ,đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ thì
2
x
thời gian ngắn nhất đến lúc lực hồi phục đổi chiều là y.Tỉ số = .Tỉ số gia tốc vật và gia
y
3
tốc trọng trường ngay sau khi thả lần thứ nhất là:
3
1
A. .

B. 3.
C. .
D. 2.
5
2
Lời giải:
Điểm lực đàn hồi triệt tiêu ở lần 1 chính là điểm mà lò xo không biến dạng.
Điểm mà lực phục hồi đổi chiều ở lần 2 chính là vị trí cân bằng của lò xo.
T
Từ lần 2 ta suy ra :y = tương đương với chạy 1 góc 90 độ trên đường tròn lượng giác (kể từ biên
4
x
2
−A) và vì = nên ở lần 1 vật chạy 1 góc 60 độ trên đường tròn lượng giác (kể từ biên −A)
y
3
A
điều này chứng tỏ ∆l =
2
Và tỉ số gia tốc sẽ là
g
A.
Aω 2
A
= ∆l =
=2
g
g
∆l
Chọn D.

24




Bài toán 45: Một vật dao đông theo phương trình x = 20 cos(5πt/3 − π/6) . Kể từ lúc t=0
đến lúc vật đi qua vị trị x = −10 lần thứ 2013 theo chiều âm thì lực hồi phục sinh công âm
trong thời gian:
A. 2013, 08.
B. 1207, 88.
C. 1207, 4.
D. 2415, 8.
Lời giải:
T = 1, 2 Lực phục hồi sinh công âm khi vật đi từ VTCB ra biên
T
Từ vị trí ban đầu đến x = A vật đi trong khoảng thời gian: t1 =
12
T
−A
vật đi trong khoảng thời gian: t2 =
→ vật qua vị trí
Từ vị trí x = 0(v < 0) đến x =
2
12
x = −10 theo chiều âm 1 lần
T
Vật đi qua vị trí x = −10 theo chiều âm 2012 lần để lực phục hồi sinh công âm: t3 = 2012
2
⇒ t = t1 + t2 + t3 = 1207, 4

Chọn C.
Bài toán 46: Con lắc lo xo giao đông theo phương ngang có biên độ A năng lượng W khi
tốc độ bằng một nửa tốc độ cực đại thì lò xo đang giãn thì giữ điểm chính giữa của lò xo lúc
này lò xo
√
√ giao động với biên độ:
5
76
5
7
A.
B.
A.
C.
A.
D.
A.
A.
4
4
16
16
Lời giải:

√

3
Tại đây thế năng bằng 3 lần động năng, hay thế năng bằng 0,75
2
lần năng lượng dao đông của hệ. Khi bị giữ thì thế năng chỉ còn lại 1 nửa, năng lượng mất là:

Lò xo bị giữ ở vị trí: x = A

3E
8
Vật dao động với năng lượng mới:
5E
8
51
1
⇒
k1 A2 = k2 A 2
82
2
E =

Lại có:

√
k1
l2
1
5
= = →A =A
k2
l1
2
4

Đáp án A.
Bài toán 47: Cho hai dao động điều hòa x1 = A1 cos (ωt + π), x2 = A2 cos ωt +

động tổng
√ hợp có A= 5cm. Tìm A2 để A1 đạt giá trị lớn nhất
√
5 3
10
A.
.
B. 5 3.
C. √ .
3
2

π
, dao
3

D. 10.

Lời giải:

25