Bài toán xác định góc góc giữa 2 mặt phẳng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau

BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH GÓC – GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG – GÓC
GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG VÀ GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG
THẲNG CHÉO NHAU
- Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (P) là góc tạo bởi đường thẳng SA
và hình chiếu SB của nó trên mặt phẳng (P)
( )) ( ̂ ) SB ⏊ (P)  SB chính là hình chiếu của SA
Tức là ( ̂
trên mặt phẳng (P) .
- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai
mặt phẳng đó và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
( )
) ( )) (̂) với {
Tức là (( ̂
( ) ( )
⏊
- Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc tạo bởi một đường thẳng này và
một đường thẳng song song với đường thẳng kia
Tức là (̂) (̂) với d //
Hoặc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau
và cùng song song với hai đường thẳng kia :
Tức là (̂) ( ̂)
THÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA = a ,
SB = a√ và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi M , N lần lượt
là trung điểm của các cạnh AB , BC . Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN
và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM , DN .
Giải :

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1


Gọi H là hình chiếu của S trên AB => SH ⏊ (ABCD) hay SH là đường cao của
hình chóp S.BMDN
Ta có

nên SAB vuông tại S

=> SM =

=a

Do đó SAM đều cạnh a , nên ta có : SH =

√

Diện tích tứ giác BNDM
=
√

Kẻ thêm MG // ND , ta có ND = √(

√

)

√ và ta có :

√

MG =

Kẻ thêm SK vuông góc với MG , ta có : MH.MA = MK.MG
 MK =

√

√

=> cos ( ̂ )

√

√

.

Chú ý : Ta có thể tính diện tích tứ giác BNDM

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2


√

( vì MN ⏊ BD ) .

√

Thí dụ 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt
bên SAB là tam giác đều và SC = a√ . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và AD .
1. Chứng minh SH ⏊ (ABCD) , AC ⏊ (SHK)
2. Tính số đo góc giữa SC và mặt phẳng (SHD)
Giải :

1. SB = BC = a =>
.
Do đó SBC vuông tại B .
CB ⏊ (SAB) => CB ⏊ SH
Mặt khác SH ⏊ AB => SH ⏊ (ABCD)
Ta có HK // BD => HK ⏊ AC.
Suy ra AC ⏊ (SHK) .
2. Gọi I = CK HD => DIK ~ CDK
 CK ⏊ (SHD) => CK ⏊ HD . Góc ̂ là góc giữa SC và (SHD) .
DIK ~ DHA => DI =
SI = √

=

√
√

√

=> cos ̂

√

√

.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


Thí dụ 4 : Cho khối lăng trụ tam giác ABC

có đáy là tam giác đều cạnh

2a , điểm
cách đều ba điểm A , B , C . Cạnh bên
tạo với mặt phẳng đáy
một góc α . Hãy tìm α , biết thể tích khối lăng trụ ABC
bằng 2√
.
Giải :

Ta có tam giác ABC đều cạnh 2a nên

√ .

Mặt khác


là tứ diện đều .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , ta có

là đường cao .

Trong tam giác ABC có :
AG =

√

Trong tam giác vuông
̂

có :
α

α

√

α

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


ă

ụ

√

√

α

.

Thí dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , SA = a
vuông góc với đáy (ABCD) .
1. Chứng tỏ các mặt bên của hình chóp là tam giác vuông .
2. Tính cosin góc nhị diện (SBC,SDC) .
Giải :

1. Các mặt bên là tam giác vuông .
Ta có : SA ⏊ (ABCD) => {

⏊
⏊

 Các tam giác SAB , SAD vuông tại A .
⏊
Ta có :
} => BC ⏊ (SAB) => BC ⏊
⏊
 Tam giác SCD vuông tại D .
2. Cosin góc nhị diện (SBC,SDC) .
Vẽ BE ⏊ SC . Vì tam giác SBC và tam giác SDC có các cạnh bằng nhau tương
ứng nên DE ⏊ SC và BE = DE .
Tam giác SBC có :

=> BE =

√

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5


Ta có cos((

̂
)(

)) =

Thí dụ 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA
vuông góc với đáy và SA = a√ .
1. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB . Chứng minh rằng AH vuông góc
với mặt phẳng (SBC) và tính AH .
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) .
3. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng
(SBC) .
Giải :

1. Chứng minh AH ⏊ (SBC) và tính AH :
Ta có : BC ⏊ (SAB) => BC ⏊ AH mà SB ⏊ AH
Tam giác SAB vuông cho :



√

2. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) :
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6


Hình chiếu của SC lên (ABCD) là AC
 Góc giữa SC và (ABCD) là ̂
√

Ta có : tan ̂ =

√

√

̂

3. Tính khoảng cách từ O đến (SBC) :
Ta có : AH ⏊ (SBC) => AH ⏊ HC . Vẽ OI ⏊ HC
 OI ⏊ (SBC) => OI là khoảng cách từ O đến (SBC)
 OI =

√

( đường trung bình ) .

Thí dụ 7 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = 1 , CC’ = m
( m > 0 ) . Tìm m biết rằng góc giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ bằng

.

Giải :

Kẻ BD // AB’ ( D

A’B’ )

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7


( ̂ )
 ̂

( ̂ )
hoặc ̂

.

TH1 : Nếu ̂
Vì lăng trụ đều nên BB’ ⏊ (A’B’C’) .
Áp dụng định lý Pitago và định lý cosin ta có :
BD = BC’ = √

à DC’ = √ .

Kết hợp ̂

ta suy ra BDC’ đều .
m=√

Do đó
TH2 : Nếu ̂

Áp dụng đinh lý cosin cho BDC’ suy ra m = 0 ( loại ) .
Vậy m = √ .
Chú ý : Có thể sử dụng phương pháp vecto hoặc tọa độ với nhận xét :
Cos( ̂ )

|

( ̂ )|

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

.

Thí dụ 8 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp
tam giác đều cạnh đáy AB = a , cạnh bên AA’ = b . Gọi α là góc giữa hai
mp(ABC) và mp(A’BC) . Tính tanα và thể tích chóp A’.BCC’B’.
Giải :

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

8


Gọi O là tâm đáy suy ra A’O ⏊ (ABC) và góc α = ̂
Tính tanα
tanα

với OI = AI =

=

√

√

√

Tính
=
√

√

√

√

Thí dụ 9 : Cho hình lăng trụ tam giác đề ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a .
Gọi C’’ là trung điểm của C’C , tính góc giữa hai đường thẳng C’’B và A’B’ . Tính
góc giữa hai mặt phẳng (C’’AB) và (ABC) .

Giải :

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

9


Vì AB // A’B’ nên góc giữa BC’’ và A’B’ là góc giữa BC’’ và AB .
Dễ thấy AC’’ = BC’’ nên ABC’’ là tam giác cân . Từ đó ̂
Vậy góc giữa AB và BC’’ là ̂
Gọi M là trung điểm của AB thì :
MB =
Từ đó cos ̂

√

, MB ⏊ MC’’
√

Cũng từ kết quả trên , ta có :
(CMC’’) ⏊ AB và CMC’’ là tam giác vuông tại C
Nên góc giữa mp(BAC’’) và (CAB) là ̂
Ta có tan ̂
Vậy ̂

√

√

hay góc giữa mp(ABC’’) và mp(ABC) bằng

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

10


Thí dụ 10 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật , AB = a ,BC = 2a ,
cạnh bên SA vuông góc với đáy , SA = a . Tính :
a. Các góc giữa hai mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy của hình
chóp .
b. Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện
của hình chóp .
Giải :

(
)⏊(
a. Dễ thấy {
(
)⏊(
mp(ABCD) bằng

)
nên góc giữa mặt bên (SAB) và (SAD) với
)

Ta có (SDA) ⏊ CD và SDA là tam giác vuông tại A nên ̂ là góc giữa hai
mặt phẳng (SDC) và (ABCD)
Từ đó : tan ̂
Tương tự tan ̂

̂

Vậy mp(SCD) tạo với mp(ABCD) góc

mà tan

= và mp(SBC) tạo với

mp(ABCD) góc
b. Vì (SAD) ⏊ (SAB) nên góc giữa hai mặt phẳng đó bằng
Ta cũng có CD ⏊ (SAD) nên (SCD) ⏊ (SAD)
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) bằng
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

11


Tương tự , ta có góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng
Ta cần phải tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)
Trong mp(ABCD) , qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AC , nó cắt hai
đường thẳng BC và DC lần lượt tại I và J , thì IJ ⏊ SC
̂ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD)
Do đó ̂ hoặc
Ta có : AJ = AC.tan ̂
√
=> A
Đặt ̂

α thì tan α =

Đặt ̂

β thì tan β =

Đặt ̂

thì tan

=

√
√
√

√
√

= 2√
̂

√

√

√
√
√

√
√

√

√

Vậy góc giữa mp(SBC) và (SCD) là

mà tan

√

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

12