Bai toan xac dinh mot da thuc (cuc hay)

Bài toán xác đ ịnh một Đa Thức

Việc tìm tòi lời giảI bài toán xác định một đa thức th ờng gây lúng túng cho
HS . Nguyên nhân chính là hs đ ợc trang bị đầy đủ các kiến thức cần thiêt
nh ng rời rạc ởcác khối lớp và th ờng thiếu bài tập áp dụng . Bài viết này
nhằm củng cố kiến thức về đa thức về đa thức trong ch ơng trình toán từ lớp
7 đến lớp 9 đặc biêt ch ơng trình HSG lớp 8
1, Một vài kiến thức cơ bản để giảI loại toán này :
Định lý Bơ-du : phần d của phép chia đa thức f(x) cho nhị thc x a bằng
giá trị của đa thức tại x = a , tức là f(x) = (x a)g(x) + f(a)
Thực vậy , giả sử f(x) = (x a)g(x) + r thì f(a) = r
Phơng Pháp hệ số bất định
Giả sử f(x) = a
3
x
3
+ a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
g(x) = b
3
x
3
+ b
2
x

2
+ b
1
x + b
0
Nếu f(x) = g(x) với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x thì a
3
=b
3
, a
2
=b
2
, a
1
=b
1
,
a
0
=b
0
.
Chứng minh : giả sử với 4 giá trị phân biệt x
1
, x
2
, x
3
, x

4
có :
f(x
1
)=g(x
1
) (1) f(x
2
)=g(x
2
) (2)
f(x
3
)=g(x
3
) (3) f(x
4
)=g(x
4
) (4)
Đặt c
3
=a
3
b
3
, c
2
=a
2

b
2
, c
1
=a
1
b
1
, c
0
=a
0
b
0
.
Trừ theo vế của (1) và (2) đợc :
C
3
(x
3
1
x
3
2
) + C
2
(x
1
2
x

2
2
) + C
1
(x
1
x
2
) = 0
Vì x
1
x
2


0 nên
C
3
(x
1
3
+x
1
x
3
+x
3
2
) + C
2

(x
1
+ x
2
) + C
1
= 0 (5)
Tơng tự từ (1) và (3) có
C
3
(x
1
2
+ x
1
x
3
+ x
3
2
) + c
2
(x
1
+x
3
)+c
1
= 0 (6)
Trừ theo tong vế của (5) và (6) rồi chia cho x

2
x
3


0 đợc
c
2
+c
3
(x
1
+x
2
+x
3
)=0 (7)
Tơng tự từ (1) , (2) , (4) có :
C
2
+c
3
(x
1
+ x
2
+ x
4
) = 0 (8)
Trừ theo từng vế của (7) và (8) đợc c

3
(x
3
x
4
) = 0

c
3
=0 vì x
3
x
4


0 .
Thay c
3
=0 vào (8) đợc c
2
= 0 . Từ đó và (6) đợc c
1
=0 . Thay vào (1) đợc a
0
=
b
0
suy ra đpcm .
2. Một số dạng toán thờng gặp
Dạng 1 : Xác định đa thức bậc n ( n = 2,3) khi biết (n + 1) giá trị của đa

thức
Bài toán 1 : Xác định đa thức bậc ba biết f(0) =1 ; f(1) = 0 ; f(2) = 5;f(3)= 22
Lời giải : Gọi đa thức cần tìm là :
F(x) = ax
3
+ b
2
+ cx + d
Theo bài ra ta có : f(0) = 1

d=1
f(1) = 0

a+b+c = -1 (1)
f(2) = 5

4a+2b+c=2 (2)
f(3) = 22

9a + 3b +c =7 (3)
Giải hệ phơng trình (1) , (2) , (3) đợc a=1, b=0, c=-2 . Vậy f(x)=x
3
-2x+1
Chú ý rằng để xác định đa thức bậc n thì cần biết n+1 giá trị đa thức , còn
nếu chỉ biết n giá trị thì đa thức tìm đợc có hệ số phụ thuộc một tham số .
Chẳng hạn ở bài toán 1 nếu bỏ đi điều kiện f(3) = 22 thì khi giải hệ phơng
trình (1) (2) và d =1 ta đợc f(x) =ax
3
+(3-3a)x
2

+(2a- 4)x+1 với a tham số .
Dạng 2 : Xác định đa thức d khi biết một số phép chia khác
Bài toán 2 : Đa thức f(x) khi chia cho x+1 d 4 , khi chia cho x
2
+1 d 2x+3 .
Tìm đa thức d khi chia f(x) cho (x+1)(x
2
+1) .
Lời giải : Theo định lí Bơ-du ta có f(-1) = 4 (4) . Do bậc của đa thức chia
(x+1)(x
2
+1) là 3 nên đa thức d có dạng bậc hai ax
2
+bx+c .
Giả sử
f(x) = (x+1)(x
2
+1).q(x)+ax
2
+bx+c
= [(x+1).q(x)+a].(x
2
+1)+bx+c-a (5)
Mà f(x) chia cho (x
2
+1) d 2x+3 (6)
Từ (4) , (5), (6) có b=2 (7) , c - a =3 (8),
a b + c =4 (9).
Giải hệ phơng trình (7)(8)(9) suy ra đa thức d cần tìm là
2

9
2
2
3
2
++
xx
. Chú ý
rằng để tìm đa thức d khi chia f(x) cho g(x) ở điều kiện để bài ta biết phép chia
f(x) cho các đa thức thơng của g(x) .
Dạng 3: Xác định đa thức khi biết điều kiện của các hệ số
Bài toán 3 : Tìm các đa thức f(x) có tất cả các hệ số đều là số nguyên không
âm nhỏ hơn 8 và thoả mãn : f(x) =2003.
Lời giải : Xét đa thức
F(x) = a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
++a
1
x+a
0
với a
0
,a
1

,,a
n-1
,a
n
đều là các số nguyên không
âm và nhỏ hơn 8. Do f(8) = 2003 nên a
n
8
n
+a
n-1
8
n-1
++a
1
8+a
0
= 2003. ở đây a
0
,
a
1
,..., a
n-1
, a
n
là các chữ số của năm 2003 cho 8 đợc d a
0
=3 , lại lấy thơng chia
cho 8 , liên tiếp nh thế , ta đợc đa thức cần tìm là :

F(x) = 3x
3
+7x
2
+2x+3
Bài toán tổng quát là : Tìm các đa thức f(x) sao cho tất cả các hệ số đều là số
nguyên không âm nhỏ hơn a và biết f(a) = b , trong đó a,b là các số đã cho.
Dạng 4: Xác định đa thức thoả mãn một hệ thức đối với f(x)
Bài toán 4 : Tìm các đa thức f(x) bậc nhỏ hơn 4 và thoả mãn hệ thức sau
với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x :
3f(x) f(1-x) = x
2
+1 (10)
Lời giải : Giả sử f(x) = a
3
x
3
+a
2
x
2
+a
1
x + a
0

Sử dụng phơng pháp hệ số bất định ta có :
4a
3
x

3
=0

a
3
=0 suy ra 2a
2
x
2
=x
2


a
2
=
2
1
, từ đó có (4a
1
+1)x = 0

a
1
=-
4
1

và 2a
0

-
4
1
= 1

a
0
=
8
5
. Vậy f(x)
8
5
4
1
2
1
2
+
x
Các bạn hãy chứng minh phơng pháp hệ số bất định đối với hai đa thức có bậc
4 , bậc 5 và tìm thêm các dạng khác của bài toán xác định đa thức .
Dạng 5: Tìm giá trị của một đa thức
Bài toán 5: Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) = 5 ,
f(2)=11, f(3) =21 .Tính f(-1) + f(5)
Lời giảI : Nhận xét g(x) = 2x
2
+ 3 thoả mãn f(1) =5 , f(2) = 11 , f(3) =21
Q(x) = f(x) g(x) là đa thức bậc 4 có 3 nghiệm x=1, x=2 , x=3.
Vậy Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) ta có :

f(-1) = Q(-1) + 2.(-1)
2
+ 3 = 29 + 24a
f(5) = Q(5) + 2,(5)
2
+3 =173 +24a Suy ra f(-1) + f(5) = 202
Bài toán 6 : Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số cao nhất là 1
Giả sử P( 1) = 0 , P (3) = 0 , P (5) = 0 , Hãy tính giá trị cúa biểu thức
Q = P(-2) +7 P(6) ( Trích đề thi Olympic lớp 8 (08-09)
Hơng Sơn Hà Tĩnh
Lời giảI : Vì P(1) = 0 , P(3) = 0, P(5) = 0 nên đa thức P(x) nhận 1; 3 ; 5 làm
nghiệm . VậyP(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(x-a). Từ đó suy ra P(-2) = 210 + 105a và
7P(6) = 630 105a vậy Q = P(-2) + 7P(6) = 840
Các bạn có thể giảI thêm các bài tập sau : Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1
và thoả mãn g(-1) = 5 ; g(2) = 11 ; g (4) = 35 . Tính P = G(-1) +4G(5)
Chúc các bạn thành công và học thật giỏi
Hơng Sơn ngày 10-5-2009