Các công thức lượng giác cần ghi nhớ tài liệu học tập môn toán

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
I. Các hệ thức cơ bản và hệ quả:
1/ sin 2 a + cos2 a = 1

sin a
2/ t ga =
cos a
cos a
3/ cot ga =
sin a
1
4/ 1 + t g2a =
cos2 a
1
5/ 1 + cot g2a =
sin 2 a
6/ t ga. cot ga = 1

t

}

cot ga

cotg

a

{

cos

Cosa

sin

tg

II. Công thức cộng - trừ:

(
)
2/ sin ( a - b ) = sin a. cos b - sin b. cos a
3/ cos ( a + b ) = cos a. cos b - sin a. sin b
4/ cos ( a - b ) = cos a. cos b + sin a. sin b
1/ sin a + b = sin a. cos b + sin b. cos a

(

)

5/ t g a + b =

(

)

t ga + t gb
1 - t ga.t gb

7/ cot g a + b =

(

)

6/ t g a - b =

t ga - t gb
1 + t ga.t gb

cot ga. cot gb - 1
cot ga + cot gb

8 / cot g ( a - b ) =

cot ga cot gb + 1
cot ga - cot gb

III. Công thức góc nhân đôi:

(

1/ sin 2a = 2 sin a. cos a = sin a + cos a

)

2

- 1 = 1 - ( sin a - cos a )

2

2/ cos 2a = cos2 a - sin 2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a

2t ga
3/ t g2a =
1 - t g2 a

cot g2a - 1
4/ cot g2a =
2 cot ga

IV. Công thức góc nhân ba:
1/ sin 3a = 3 sin a - 4 sin 3 a

2/ cos3a = 4 cos 3 a - 3 cos a


3/ t g3a =

3t ga - t g 3a
1 - 3t g 3a

4/ cot g3a =

cot g 3a - 3 cot ga
3 cot g2a - 1

V. Công thức hạ bậc hai:

1 - cos 2a
t g 2a
=
1/ sin a =
2
1 + t g 2a
2

2/

1 + cos 2a
cot g2a
cos a =
=
2
1 + cot g2a
2

3/ t g2a =

1 - cos 2a
1 + cos 2a

4/ sin a cos a =

1
sin 2a
2

VI. Công thức hạ bậc ba:

1/ sin 3 a =

1
( 3 sin a - s in3a )
4

2/ cos 3 a =

1
( 3 cos a + cos 3a )
4

t gx
VII. Công thức biểu diễn sin x, cos x, t gx qua t =
:
2

2t
1 + t2
2t
3/ t gx =
1- t2
1/ sin x =

1 - t2
1 + t2
1- t2
cot gx =
2t

2/ cos x =

VIII. Công thức biến đổi tích thành tổng:

1é
cos ( a - b ) + cos ( a + b ) ù
ê
ú
ë
û
2
1
2/ sin a. sin b = é
cos ( a - b ) - cos ( a + b ) ù
ê
ú
ë
û
2
1
3/ sin a. cos b = é
sin ( a + b ) + sin ( a - b ) ù
ê
ú
ë
û
2
1/ cos a. cos b =

IX. Công thức biến đổi tổng thành tích:

a+b
a- b
. cos
2
2
a+ b
a- b
2/ cos a - cos b = - 2 sin
. sin
2
2
a+ b
a- b
3/ sin a + sin b = 2 sin
. cos
2
2
1/ cos a + cos b = 2 cos


a+ b
a- b
. sin
2
2
sin ( a + b )

4/ sin a - sin b = 2 cos
5/ t ga + t gb =

cos a. cos b
sin ( a + b )
7/ cot ga + cot gb =
sin a. sin b
- sin ( a - b )
cot ga - cot gb =
sin a. sin b
sin ( a - b )
9/ t ga + cot gb =
cos a. sin b
cos ( a + b )
10/ cot ga - t gb =
sin a. cos b

6/ t ga - t gb =

sin ( a - b )
cos a. cos b

8/

9/ t ga + cot ga =

2
sin 2a

11/ cot ga - t ga = 2 cot g2a

X. Công thức liên hệ của các góc (cung) liên quan đặc biệt:

ìï sin ( - a ) = - sin a
ïï
ïï cos - a = cos a
( )
ï
1/ Góc đối: í
ïï t g ( - a ) = - t ga
ïï
ïï cot g ( - a ) = - cot ga
î
ìï sin ( p - a ) = sin a
ïï
ïï cos p - a = - cos a
(
)
ï
2/ Góc bù: í
ïï t g ( p - a ) = - t ga
ïï
ïï cot g ( p - a ) = - cot ga
î
ìï sin ( p + a ) = - sin a
ïï
ïï cos p + a = - cos a
(
)
ï
3/ Góc sai kém p : í
ïï t g ( p + a ) = t ga

ïï
ïï cot g ( p + a ) = cot ga
î


æ
ö
ïìï
p
÷
- a÷
= cos a
ïï sin ç
ç
÷
ç
÷
è2
ø
ïï
ïï
æ
ö
p
ïï cos ç
÷
= sin a
ç - a÷
÷
÷

ç
ïï
è2
ø
4/ Góc phụ: í
ö
ïï æ
p
÷
= cot ga
ç - a÷
ïï t g ç
÷
÷
è2
ø
ïï ç
ïï
æ
ö
p
÷
ïï cot g ç
÷
a
= t ga
ç
÷
÷
ç

ïïî
è2
ø
XI. Công thức bổ sung:

æ

æ pö
pö
÷
ç
÷
÷
=
2
sin
a+ ÷
ç
÷
÷
ç
÷
÷
ç
4ø
4ø
è
è
æ pö
æ

ö
p
÷
ç
÷
÷
a+ ÷
=
2
sin
a
2/ cos a - sin a = 2 cos ç
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
4
4
è
ø
è
ø
æ pö
æ pö
ç
÷

÷
=
2
cos
3/ sin a - cos a = 2 sin ç
ça - ÷
ça + ÷
÷
÷
÷
÷
ç
ç
4ø
4ø
è
è
a1/ cos a + sin a = 2 cos ç
ç
ç

4/

A sin a + B cos a = A 2 + B 2 sin ( a + a ) = A 2 + B 2 cos ( a - b) ,

(

5/ 1 + sin a = cos a + sin a

)

(A

2

+ B2 > 0

2

XII. Bảng giá trị của hàm số lượng giác của các góc cung đặc biệt:
Góc

0

p/ 6

Hàm số

0

sin

0

cos

1

3/ 2

tg

0

3/ 3

cotg

||

3

0

300
1/ 2

XIII. Định lý hàm số cosin:
1/ a 2 = b 2 + c2 - 2bc. cos A
2/ b 2 = c2 + a 2 - 2ca. cos B
3/ c2 = a 2 + b 2 - 2bc. cos C

p/ 4

p/ 3

p/ 2

600
3/ 2

1/ 2

900

1

3

||

1

3/ 3

0

450
2/ 2
2/ 2

1
0

A
c
B

b
a

C

)


XIV. Định lý hàm số sin:

a
b
c
=
=
= 2R
sin A
sin B
sin C
Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp VABC

ìï a = 2R sin A
ïï
ï
Hay í b = 2R sin B
ïï
ïï c = 2R sin B
î

XV. Công thức tính diện tích tma giác:
Gọi h V là đường cao thuộc cạnh trong VABC .

a+ b+ c

là phân nửa chu vi VABC .
2
S là diện tích VABC .
R là bán kinh đường tròn ngoại tiếp VABC .
R là bán kính đường tròn nội tiếp VABC .
1
1
1
1/ S = a.h a = b.h b = c.h c
2
2
2
1
1
1
2/ S = ab. sin C = bc. sin A = ca. sin B
2
2
2
abc
3/ S =
;
4/ S = p.r
4R
p=

5/ S =

p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c)

(Công thức Héron)

XVI. Công thức nghiệm:

éu = a + 2k p
ê
sin
u
=
sin
a
ÛÎ
1/
êu = p - a + 2k p , k Z
ê
ë
éu = a + 2lp
2/ cos u = cos a ÛÎ ê
êu = - a + 2lp , l Z
ê
ë
t
gu
=
t
ga
Û
u
=
a + m pÎ, m Z

3/
4/ cot gu = cot ga Û u = a + n pÎ, n

Z

XVII. Hàm lượng giác và hàm hyperbolic được biểu diễn qua hàm mũ theo các công
thức sau:
1/ sin z =

eiz - e- iz
2i

2/ cos z =

eiz + e- iz
2


3/ sinh z =

ez - e- z
= - i sin iz
2

4/ cosh z =

e z + e- z
= cos iz
2