Chuyen de luyen thi dai hoc mon toan

Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2015
KHÓA 12 THÁNG

THÁNG 3
BÀI TOÁN THAM SỐ (TT)
KHỐI LĂNG TRỤ VÀ MẶT CẦU

Địa chỉ: H40/47 K543 TÔN ĐỨC THẮNG, Đ NẴNG.
ĐT: 0975.050.027
FACEBOOK: facebook.com/nobi39
FAGE HỌC TOÁN: LTĐH Toán “Mỗi tuần một chuyên đề”
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP

1


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
LỜI NÓI ĐẦU
Các em thân mến.
Thấm thoát đã mười hai năm, từ cái ngày đầu đến trường còn
rụt rè bỡ ngỡ, giờ đây các em đã đi đến những ngày tháng cuối cùng
của thời học sinh.Năm cuối cùng của khoảng thời gian đẹp nhất của
cuộc đời và đây cũng là năm quan trọng làm tiền đề cho tương lai
của các em.
Kể từ hôm nay, các em sẽ lần lượt trải qua những thử thách
khó khăn của cuộc sống.Thử thách đầu tiên các em phải trải qua đó
là kì thi đại học. Đây là một thử thách không có chổ cho những suy
nghĩ bồng bột, lười nhác…
Để giúp các em có sự chuẩn bị tốt hơn, thầy đã soạn ra tuyển
tập các chuyên đề ôn thi đại học Môn Toán.

Hy vọng những chuyên đề mà thầy soạn, sẽ giúp các em trang
bị tốt hơn kiến thức, giúp các em có thể vượt qua thử thách đầu tiên
của cuộc đời một cách dễ dàng hơn.
Đây là lần đầu tiên thầy soạn chuyên đề, nên không tránh khỏi
sai sót…các em đọc và góp ý để thầy chỉnh sửa kịp thời, để các em
khóa sau có sự chuẩn bị tốt hơn các em nhá.
Chúc các em học tốt.

Địa chỉ: H40/47 K543 TÔN ĐỨC THẮNG, Đ NẴNG.
ĐT: 0975.050.027
FACEBOOK: facebook.com/nobi39
FAGE HỌC TOÁN: LTĐH Toán “Mỗi tuần một chuyên đề”
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP

2


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
3

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
PHẦN 1. BÀI TOÁN THAM SỐ (TT).
CHƢƠNG III: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. Lý thuyết
1. Ý nghĩa hình học
( ) có đồ thị là ( ), một điểm ( ; )
Cho hàm số

( ). Phương trình đường thẳng tiếp xúc với ( ) tại có phương
trình
( )(
)
.
2. Sự tiếp xúc
( ) có đồ thị là ( ),
( ) có đồ thị là
Cho hàm số
( ). Đồ thị ( ) ( ) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ sau
( )
( )
( )
{
( )
( )
có nghiệm.
3. Đặc điểm phƣơng trình tiếp tuyến
Nếu ( ) là đường con bậc 3 thì số tiếp tuyến với ( ) bằng số
tiếp điểm.
Đường thẳng
không phải là tiếp tuyến của ( )
II. Bài toán
1. Bài toán về tiếp tuyến tại M cho trƣớc trên ( )
Phương pháp
- Gọi ( ; ) ( ) là tọa độ tiếp điểm
- Phương trình đường thẳng tiếp tuyến với ( ) tại có
( )(
)
phương trinh

Ví dụ 1.
( )
Cho
Viết phương trình tiếp biết tiếp tuyết vuông góc

Giải
TXĐ:
Gọi

( ;

) tiếp điểm. Tiếp tuyến cần tìm có dạng
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP

1


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
(
)(
)
Vì tiếp tuyến vuông góc với

nên

(
)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng

Ví dụ 2. Cho
( )
Viết phương trình tiếp tuyến với ( ) cắt trục hoành, trục tung
lần lượt tại
sao cho tam giác
vuông cân.

Giải
TXĐ:

*

(
Gọi ( ;

)
) tiếp điểm. Tiếp tuyến cần tìm có dạng

(
)
(
)
vuông cân tại O nên

( )
Vì
(
|

(

+

)
)

|

( )
Với
( )
Với
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm
.

(loại)
.

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP

2


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
3

Ví dụ 3. Cho
( )
Tìm
( ) sao cho tiếp tuyến với ( ) tại M cắt trục hoành,

trục tung lần lượt tại
sao cho diện tích tam giác
bằng

Giải
TXĐ:

*

+

(
)
Gọi ( ;

) là điểm cần tìm. Tiếp tuyến với (C) tại

có dạng
(

)

(

)

Cho

(

Cho

(
(

(

(

)

)

)

)

)

[
(

)
(

)

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP

Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Ví dụ 4. Cho
( )
Tìm m để ( ) cắt đường thẳng
tại 3 điểm phân biệt A,
D, E sao cho tiếp tuyến tại D, E với ( ) (có hoành độ khác 0) vuông
góc nhau.

Giải
TXĐ:
Phương trình hoành độ giao điểm của (
(
)
Để ( ) cắt đường thẳng
thì phương trình ( )

) cắt đường thẳng

tại 3 điểm phân biệt A, D, E
có hai nghiệm phân biệt

{

{
( )
) (
) (
)
Gọi 3 giao điểm là (
Tiếp tuyến tại D và E vuông góc nhau cho ta

( ) ( )
(
)(
)
Áp dụng định lý Viet ta được
√

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP

4


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
2. Bài toán về tiếp tuyến qua (
) cho trƣớc.
Phương pháp
- Đường thẳng
không là tiếp tuyến của hàm số. Phương
trình đường thắng d qua M tiếp xúc với đồ thị có dạng
(
)
- Gọi là hoành độ tiếp điểm. Khi đó
( )
(
)
( )
{
( )
( )
- Thế (2) vào (1), tìm nghiệm.

Ví dụ 1.
( )
Cho
Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) đi qua

(

)

Giải
TXĐ:
Đường thẳng
không thể là tiếp tuyến của ( ) nên
) là tiếp tuyến của ( ) có
phương trình đường thẳng d qua (
dạng
(
)
Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d và ( ). Khi đó
(
)
( )
{
( )
Thế (2) vào (1) ta được
(
)(
)
[

[

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP

5


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Ví dụ 2. Cho
( )
Tìm M trên ( ) sao cho qua M có duy nhất một tiếp tuyến.
Giải
TXĐ:
Gọi (
) ( ) là điểm cầ tìm.
Đường thẳng
không thể là tiếp tuyến của ( ) nên
phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng
(
)
Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d tiếp xúc ( ).
Khi đó
(
)
( )
{
( )
Thế (2) vào (1) ta được
(
)

(
),
(
)
(
) (
)
[
Vì đƣờng cong bậc 3 có số tiếp tuyến bằng số tiếp điểm nên
để từ M chỉ có một tiếp tuyến với (C) thì
(
)
Nhận xét: Điểm M cần tìm ở đây chính là điểm uốn.

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP

6


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Ví dụ 3. Cho
( )
Tìm M trên trục hoành sao cho qua M có 3 tiếp tuyến tới ( )

Giải
TXĐ:
Gọi (
)
là điểm cầ tìm.
Đường thẳng

không thể là tiếp tuyến của ( ) nên
phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng
(
)
Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d tiếp xúc ( ).
Khi đó
(
) ( )
{
( )
Thế (2) vào (1) ta được
(
),
(
)
Đồ thì bậc ba có số tiếp tuyến bằng số tiếp điểm nên, để từ M
vẽ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị thì phương trình ( )
(
)
có hai nghiệm phân biệt
{

(

)

{

Ví dụ 4. Cho
( )

Tìm

( ) sao cho qua M có duy nhất một tiếp tuyến duy

nhất.

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP

7


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Giải
TXĐ:
(

8

* +
)

Gọi ( ;
) là điểm cần tìm.
Đường thẳng
không thể là tiếp tuyến của ( ) nên
phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng
(
)
Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d tiếp xúc ( ).
Khi đó

(

)

( )

( )
)
{(
Thế (2) vào (1) ta được
(
)
( )
Để từ M có duy nhất một tiếp thì phương trình (*) có nghiệm
duy nhất khác 1.
1.
{
{

0

( )
( )

Với
(

)
(

)
(
)
(
)
Vậy có 4 điểm trên d thỏa yêu cầu bài toán.

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
9

Ví dụ 5. Cho
( )
Tìm
sao cho qua M vẽ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị sao
cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía trục hoành.
Giải
TXĐ:

* +

(
)
Gọi (
) là điểm cần tìm.
Đường thẳng
không thể là tiếp tuyến của ( ) nên
phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng

Gọi
Khi đó

là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d tiếp xúc ( ).
( )

( )
)
{(
Thế (2) vào (1) ta được
(
)
(
)
( )
Để từ M có 2 tiếp tuyến tới đồ thị thì phương trình (*) có 2
nghiệm phân biệt
khác 1.
{

( )

{

( )
Gọi .

/

.

/ là 2 tiếp điểm. Để A, B nằm về

2 phía trục hoành thì

Vì

(
)
( )
(
)
là nghiệm của phương trình (*) nên

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
(

)

{
Thế vào (1’) ta được
Kết hợp với (**) ta được
{

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP

10

Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
CHƢƠNG IV: SỰ TƢƠNG GIAO
I. Lý thuyết
1. Ý nghĩa hình học
( ) có đồ thị là ( ), hàm số
( ) có đồ
Cho hàm số
thị là ( ). ( ) và ( ) giao nhau tại m điểm phân biệt khi và chỉ khi
phương trình hoành độ giao điểm sau có m nghiệm phân biệt
( )
( ).
2. Mối liên hệ giữa số giao điểm của đƣờng cong bậc 3 (C)
với trục ox và cực trị của nó.
a) (C) giao trục hoành tại 3 điểm phân biệt
b) (C) giao trục hoành tại 2 điểm phân biệt
c) (C) giao trục hoành tại 1 điểm phân biệt
hoặc (C) không có cực trị.
II. Bài toán
1. Các bài toán cơ bản.

độ

Ví dụ 1.
(
)
Cho
Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành
sao cho

Giải
TXĐ:
Phương trình hoành độ giao điểm
(
)
(
)(
)
0
Đặt
. Để đồ thị giao trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì
phương trình ( )
có hai nghiệm phân biệt
khác 1.
{

( )

{

( )

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP

11


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Giả thiết

(

12

)

Kết hợp với (*) ta được
{

Ví dụ 2. Cho
( )

cho

và ( )
Tìm m để ( ) và (
√

) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B sao

Giải
TXĐ:
* +
Phương trình hoành độ giao điểm

{

(
Để ( ) và (
trình ( )

khác -1
{

(

Gọi (
Khi đó

)
) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B thì phương
(
)
có hai nghiệm phân biệt
( )

)

)

√ (
(

(

))
√

)

(

√ (

)
)

√

| |

| |√

√

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
13
Ví dụ 3.
Cho
(
Tìm m để ( ) và
hoành độ bé hơn 2.

)

( )
cắt nhau tại 4 điểm phân biệt có

Giải

TXĐ:
Phương trình hoành độ giao điểm
(
)
Đặt
. Để ( ) và
cắt nhau tại 4 điểm phân
biệt có hoành độ bé hơn 2 thì phương trình ( )
(
)
có 2 nghiệm phân biệt thỏa
{
{

( )

( )

{

{

Ví dụ 4.
Cho
Tìm m để ( ) và
hoành độ lớn hơn 1.

(

)

(
)
( )
cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Giải
TXĐ:
Phương trình hoành độ giao điểm
(
)
(
(
)(
)

14
)

0
Để ( ) và
cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ lớn hơn 1 thì phương trình ( )
có hai nghiệm phân biệt
và
{

( )

( )
( )
{

Ví dụ 5.
(
Cho
Tìm m để ( ) và
độ lập thành cấp số cộng.

)

( )
cắt nhau tại 4 điểm phân biệt có hoành

Giải
TXĐ:
Phương trình hoành độ giao điểm
(
)
Đặt
. Để ( ) và
(
biệt thì phương trình ( )
nghiệm phân biệt thỏa

cắt nhau tại 4 điểm phân
)

có 2

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
{

( )

15

{

{

( )

Hoành độ các giao điểm của (
√
√
√
theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì
| |

(

| |)

) với

√

lần lượt là
Để các hoành độ lập

[

( )

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
16

2. Bài toán ứng dụng cực trị hàm.

Ví dụ 1.
Cho
Tìm m để (

(
)
( )
) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Giải
TXĐ:
Phương trình hoành độ giao điểm
(

)
(
)
Đặt ( )
( )
(
)
Đồ thị hàm số
( ) đạt cực đại cực tiểu tại
khi chỉ
( )
Gọi (
), (
) là
cực tiểu và cực đại của hàm số
( ). Để ( ) cắt trục hoành tại
3 điểm phân biệt thì đồ thị hàm số
( ) có cực đại cực tiểu nằm
về 2 phía trục hoành. Do đó
(
)(
)
( )
khi

( )

là nghiệm phương trình
Thế vào (1), ta được (

Ví dụ 2.
Cho
Tìm m để (
điểm phân biệt.

nên {

)

(
)
(
) cắt đường thẳng ( )

)
tại đúng 2

Giải
TXĐ:
Phương trình hoành độ giao điểm
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
17

Đặt ( )
( )
Đồ thị hàm số
( ) đạt cực đại cực tiểu tại

khi chỉ
( )
Gọi (
), (
) là cực tiểu
và cực đại của hàm số
( ). Để ( ) cắt ( )
tại 2
điểm phân biệt thì đồ thị hàm số
( ) có cực đại hoặc cực tiểu
nằm trên trục hoành. Do đó
(
)(
)
(
)
khi

là nghiệm phương trình

( )

nên {

Thế vào (1), ta được
Kết hợp với (*) ta được

Ví dụ 3.
Cho
Tìm m để (

phân biệt.

( )
) cắt đường thẳng ( )

tại 3 điểm

Giải
TXĐ:
Phương trình hoành độ giao điểm
(
Với
Với

)

(vô lý)

ta được
ta được
(
( )

)
(

)

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP

Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
( )

(

( )

)(
(

)

18

)

Để ( ) cắt đường thẳng ( )
biệt thì đường thắng
cắt đồ thị
Do đó

tại 3 điểm phân
( ) tại 3 điểm phân biệt.

Ví dụ 4. Cho
( )
Tìm trên ( ) hai điểm A, B đối xứng nhau qua ( )

Giải

Giả sử A, B là hai điểm cần tìm. Vì A, B đối xứng nhau qua
( )
nên phương trình AB có dạng
( )
( ) cắt ( ) tại hai điểm phân biệt A, B nên phương trình hoành
độ giao điểm sau có 2 nghiệm phân biệt

( )
(
)
Hệ (1) có hai nghiệm phân biệt khi chỉ khi phương trình
( )
(
)
có hai nghiệm phân biệt
khác 1
{

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
{
Gọi

(

)

(

√ ( ).

√

( )
(

(

)

).
)

Vì A, B đối xứng nhau qua d nên :
(
(

)
)

(

)
√

Kết hợp (*) ta được
(

√

√

)

(

√

√

√

)

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP

19


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
20
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho hàm số
( )
Viết phương trình tiếp tuyến với ( ) cắt tiệm cận ngang và
đứng lần lượt tại
sao cho
là giao điểm 2 tiệm cận.

Bài 2: Cho hàm số
( )
Tìm trên ( ) các điểm M sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm
cận của đồ thị tại A, B sao cho AB ngắn nhất.
Bài 3: Cho hàm số
( )
M là điểm bất kì trên đồ thị. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận
của đồ thị tại A, B. I là giao điểm 2 tiệm cận. Tìm M sao cho đường
tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích tam giác IAB nhỏ nhất.
Bài 4: Cho hàm số
( )
I là giao điểm 2 tiệm cận. Đường thẳng
của đồ thị. Tìm giá trị lớn nhất của ( )
Bài 5: Cho hàm số

là tiếp tuyến bất kì

( )
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết rằng tiếp tuyến
) (
)
cách đều (
Bài 6: Cho hàm số
( )
Tìm trên đường thẳng
các điểm từ đó kẻ được đúng 2
tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị.
Bài 7: Cho hàm số
( )
Tìm trên đường thẳng

các điểm từ đó kẻ được 3 tiếp
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
tuyến phân biệt tới đồ thị.

21

Bài 8: Cho hàm số
( )
Tìm trên ( ) những điểm là từ đó có duy nhất một tiếp tuyến
với đồ thị.
Bài 9: Cho hàm số
( )
Tìm m để phương trình đường thẳng d qua (
) có hệ số
góc m cắt ( ) tại ba điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến của
( ) tại N, P (có hoành độ khác -1) vuông góc nhau.
Bài 10 Cho
( )
Tìm m để ( ) và
cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ bé hơn 15.
(
)
Bài 11: Cho hàm số
( )
Tìm m để ( ) cắt ( )
tại 3 điểm phân biệt A, B, C

(
)
(B, C có hoành độ khác 0) sao cho
√
Bài 12: Cho hàm số
(
)
( )
Tìm m để ( ) cắt ( )
tại một điểm duy nhất.
(
)
Bài 13:Cho
( )
Tìm m để ( ) cắt
tại 3 điểm phân biệt có hoành
độ bé hơn 3.
(
)
Bài 14:Cho hàm số
Tìm để đồ thị hàm số cắt đường thẳng
tại 4 điểm
phân biệt
theo thứ tự sao
Bài 15: Cho hàm số
( )
Viết phương trình đường thẳng d qua (
) và cắt ( ) tại
hai điểm phân biệt M, N sao cho I là trung điểm MN.
Bài 16: Cho hàm số

( )
Tìm m để ( ) cắt đường thẳng ( )
phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O.

tại hai điểm

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP


Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
22
PHẦN 2. HÌNH KHÔNG GIAN (TT)
Vấn đề 3: Khối lăng trụ và các bài toán liên quan
I. Vài khái niệm cần nhớ:
Hình lăng trụ là hình có 2 đáy là 2 đa giác bằng nhau và
nằm ở 2 mp song song.
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc
với mặt đáy.
Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng và có đáy là đa giác
đều.
Hình hộp là hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành.
Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng và có đáy là hình
chữ nhật.
Chú ý:
Khi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ngoài
cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng thì ta còn một
cách nữa không cần biết hình chiếu vuông góc ở đâu ta vẫn tính được
khoảng cách nhờ công thức tính thể tích. Ví dụ :

d ( A, ( SBC )) 

3.VS . ABC
SSBC

Trong hình lăng trụ có nhiều yếu tố song song nên ta đặc biệt
chú ý đến điểm này để áp dụng cho kĩ thuật “đổi đỉnh” trong bài
toán về khoảng cách.

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP