de thi thử THPTQG quoc hoc QN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG QUỐC HỌC QUY NHƠN

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
----------------------------------------------------------------

Câu 1 (2 điểm):

2x +1
có đồ thị ( C ) .
x −1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Gọi ( d ) là đường thẳng đi qua điểm B (−2; 2) và có hệ số góc m .Tìm m để ( d ) cắt ( C ) tại hai
điểm phân biệt M , N sao cho các đường thẳng đi qua M và N song song với các trục tọa độ tạo
thành một hình vuông .
Câu 2 (1 điểm):
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin x + cos 2 x trên đoạn [ 0; π ] .
b) Cho log 2 5 = m , log 2 3 = n . Tính theo m, n giá trị của biểu thức A = log 3 225 .
Cho hàm số y =

Câu 3(1 điểm):
 2
2 xy
2
x + y + x + y = 1
Giải hệ phương trình: 
 x + y = x2 − y


Câu 4(1 điểm):
e

 ln x

+ ln 2 x ÷dx
Tính tích phân I = ∫ 

1  x 1 + ln x
Câu 5(1 điểm):
2. ( 3 − i ) .z
a) Cho số phức z thỏa mãn ( 9 + i ) .z +
= −4 + 9i .
1 − 2i
Tìm môđun của số phức w = 1 − z + z 2 .
b) Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên
3 viên bi. Tính xác suất để được cả 3 viên bi đỏ.
Câu 6(1 điểm):
·
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc BAC
= 600 , hình chiếu vuông góc
của S trên mặt ( ABCD ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng ( SAC ) hợp với mặt phẳng
( ABCD ) góc 600. Tính thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách từ B đến ( SCD ) theo a.
Câu 7(1 điểm):
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm C ( 2; −5 ) và đường thẳng ∆ : 3x − 4 y + 4 = 0 .Tìm trên
 5
∆ hai điểm A và B đối xứng nhau qua I  2; ÷ sao cho diện tích tam giác ABC bằng15.
 2
Câu 8(1 điểm):
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P ) có phương trình: x + y – 2 z – 6 = 0 . Lập phương

trình mặt cầu ( S ) có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) ,tìm tọa độ tiếp điểm.
Câu 9(1 điểm):
Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

x 2 (y + z) y 2 (z + x) z 2 (x + y)
+
+
.
yz
zx
xy

----------- HẾT ----------


MA TRẬN ĐỀ
Cấp độ
Chủ đề
1.Hàm số, đồ thị và
bài toán liên quan

Số câu
Số điểm (Tỉ lệ)
2.Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số và
tính giá trị biểu thức
chứa logarit
Số câu

Số điểm (Tỉ lệ)
3.Giải hệ phương
trình.
Số câu

Vận dụng
Cấp độ thấp
Cấp độ cao
Biết khảo sát Áp dụng bài
sự biến thiên toán
liên
và vẽ đồ thị quan để tìm
hàm số
điều
kiện
của tham số
thỏa
điều
kiện
cho
trước
0,5
0,5
1,0 (10%)
1,0 (10%)
Tính giá trị Ứng dụng đạo
biểu
thức hàm
tìm
chứa logarit GTLN-GTNN

của hàm số
Nhận biết

0,5
0,5 (5%)

Thông hiểu

0,5
0,5 (5%)

Cộng

1
2,0 (20%)

1
1,0 (10%)
Giải
hệ
phương trình.
1
1,0 (10%)

1
1,0 (10%)

4.Tích phân
Số câu
Số điểm (Tỉ lệ)

5.Số phức và xác
suất

Tính xác
suất
0,5
0,5 (5%)
Áp
dụng
công
thức
tính thể tích
để tính thể
tích
khối
chóp
0,5
0,5 (5%)

6.Khối đa diện

Số câu

Tính tích
phân
1
1,0 (10%)
Thực hiện các
phép tính trên
tập số phức

0,5
0,5 (5%)

Số câu
Số điểm (Tỉ lệ)

trong

1
1,0 (10%)
Tính
khoảng
cách
từ
điểm
đến
mặt phẳng

7. Tọa độ trong mặt
phẳng.

8.Tọa độ
không gian

1
1,0 (10%)

Lập phương
trình mặt cầu ,
tìm tọa độ tiếp

0,5
0,5 (5%)
Xác định
tọa độ điểm
thỏa điều
kiện cho
trước

1
1,0 (10%)

1
1,0 (10%)

1
1,0 (10%)


điểm.
1
1,0 (10%)

1
1,0 (10%)

9.Tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của
biểu thức

Tổng số câu
Tổng số điểm
Tỉ lệ

Tìm giá trị
nhỏ nhất của
biểu thức

1,5
1,5
15%

3,5
4,0
40%

2
2,5
25%

1
1,0 (10%)
2
2,0
20%

1
1,0 (10%)
7
10

100%

-----------------------------------------------HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu

Ý

Nội dung

Điểm

+ TXĐ: D = ¡ \ { 1} .
+ Sự biến thiên: y ' =

−3

( x − 1)

2

< 0, ∀x ∈ D .

0,5

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;1) , ( 1; +∞ ) .
Tiệm cận đứng : x = 1 vì lim+ y = +∞; lim− y = −∞ .
x →1

1

(2 điểm)

a)
(1đ)

x →1

y = lim y = 2 .
Tiệm cận ngang : y = 2 vì xlim
→+∞
x →−∞

Bảng biến thiên:
x
−∞
y'

1
P

−

+∞

2
y

−

+∞

]

P
−∞

0,25

]

2

Vẽ đúng đồ thị và nhận xét đồ thị nhận điểm I ( 1; 2 ) làm tâm đối xứng .

 1 
+ Đồ thị (C) cắt Oy tại ( 0; −1) , cắt Ox tại  − ; 0 ÷
 2 
b)

Pt của đường thẳng( d ) : y = m( x + 2) + 2 .
2x +1
= m( x + 2) + 2 ( 1) .
PT hoành độ giao điểm của (C) và (d):
x −1
 mx 2 + mx − 2m − 3 = 0 ( 2 )
( 1) ⇔ 
 x ≠ 1
(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M , N khi và chỉ khi PT (2) có 2 nghiệm
phân biệt khác 1 , nghĩa là:

0,25

0,25

0,25
0.25


(1đ)

m ≠ 0
m ≠ 0
m > 0


m > 0
2
⇔ 
⇔
 ∆ = 9m + 12m > 0
4 ( *) .

m
<
−
4

m < −
2
3


 m ( 1) + m.1 − 2m − 3 ≠ 0
 
3

Gọi M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) ( x1 ≠ x2 ) và P, Q là hai đỉnh còn lại của hình
vuông, khi đó MPNQ là hình vuông khi và chỉ khi
MP = MQ ⇔ y2 − y1 = x2 − x1 ⇔ m ( x2 − x1 ) = x2 − x1 .

0.25

Kết hợp điều kiện ( *) suy ra m = 1 .

a)
(0,5 điểm)
2
(1 điểm)

Biến đổi y = −2sin 2 x + 2sin x + 1 .
Đặt t = sin x, t ∈ [ 0;1] . Xét hàm số y = −2t 2 + 2t + 1 trên đoạn [ 0;1] .
1
y ' = −4t + 2; y ' = 0 ⇔ t = ∈ ( 0;1) .
2
1 3
Tính y  ÷ = ; y ( 0 ) = 1; y ( 1) = 1 .
2 2
1 3
Suy ra Maxy = y  ÷ = ; Miny = y ( 0 ) = y ( 1) = 1.
t∈[ 0;1]
 2  2 t∈[ 0;1]

π 
 5π  3
π 
Kết luận Maxy = y  ÷ = y  ÷ = ; Miny = y ( 0 ) = y  ÷ = y ( π ) = 1.
x∈[ 0;π ]
6
 6  2 x∈[ 0;π ]
2
Biến đổi A = log 3 225 = 2 log 3 ( 15 ) = 4(1 + log 3 5) .
2

b)
(0,5 điểm)

Với log 2 5 = m , log 2 3 = n suy ra log 3 5 =

log 2 5 m
= .
log 2 3 n

 m
Suy ra A = 4 1 + ÷.
n


0,25

0,25

0,25

0,25

ÑK : x + y > 0

2 xy
 2
2
 x + y + x + y = 1 ( 1)

 x + y = x2 − y
( 2)


( 1) ⇔ ( x + y )
3
(1 điểm)

2

− 2 xy +

2 xy
−1 = 0
x+ y

0,25

⇔ ( x + y ) − 2 xy ( x + y ) + 2 xy − ( x + y ) = 0
3

⇔ ( x + y)

( ( x + y ) − 1) − 2 xy ( x + y − 1) = 0
2

⇔ ( x + y − 1) ( x + y ) ( x + y + 1) − 2 xy  = 0

 x + y = 1 ( 3)
⇔ 2
2
 x + y + x + y = 0 ( 4 )
Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x + y > 0. Thế (3) vào (2) ta được x 2 − y = 1
x + y = 1
 x = 1; y = 0
⇒
Giải hệ  2
(nhận)
 x − y = 1  x = −2; y = 3
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (1;0) và (-2;3).
4
(1 điểm)

e

 ln x

+ ln 2 x ÷dx =I1 + I2
+ I = ∫


1  x 1 + ln x

0,25
0,25
0,25
1,0


4−2 2
3
+ Tính được I 2 = e − 2
+ Tính được I1 =

5
(1 điểm)

a)
(0,5 điểm)

b)
(0,5 điểm)

+ Tính đúng đáp số đúng
1
37
w = 1 − z + z 2 = − + 3i ⇒ w =
2
2
- Gọi Ω là tập hợp tất cả các cách lấy ra 3 viên bi trong số 12 viên bi.

0,5

3
Ta có: Ω = C12 = 220.

- Gọi A là biến cố “lấy được 3 viên bi màu đỏ”. Số các cách lấy ra 3 viên bi
3
màu đỏ trong 7 viên bi màu đỏ là ΩA = C7 = 35.
- Vậy xác suất P(A) để lấy ra được 3 viên bi màu đỏ là :
Ω
35
7
P ( A) = A =
= .
Ω
220 44

0,25

0,25

6
(1 điểm)
0,5

7
(1 điểm)

8
(1 điểm)

Trong (SBD) kẻ OE//SH. Khi đó OC,OD,OE đôi một vuông góc và
a
a 3
3a
OC = , OD =
, OE =
2
2
8
1
1
1
1
3a
=
+
+
⇒d =
Áp dụng công thức 2
2
2
2
d (O,( SCD )) OC
OD OE
112
6a
Mà d ( B,( SCD)) = 2d (O ,( SCD)) =
112
3a + 4

16 − 3a
) ⇒ B (4 − a;
) . Khi đó diện tích tam giác ABC là
+ Gọi A(a;
4
4
1
S ABC = AB.d (C , ∆) = 3 AB .
2
2
a = 4
 6 − 3a 
2
+Theo giả thiết ta có AB = 5 ⇔ (4 − 2a ) + 
÷ = 25 ⇔  a = 0
 2 

Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4).
Ta có O(0;0;0), do mặt cầu (S)có tâm O và tiếp xúc với mp(P) nên ta có:
| −6 |
= 6
R=d(O,(P))= 2 2
1 + 1 + (−2) 2
Vậy pt mặt cầu (S) là: x2 +y2 +z2 = 6
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(P), H chính là tiếp điểm của
mặt cầu (S) và mp(P)
r
Đường thẳng OH đi qua O và vuông góc mp(P) nhận n = (1;1; −2) là vectơ
pháp tuyến của mp(P) làm vectơ chỉ phương, pt đường thẳng OH có dạng:
x = t


* H ∈ OH ⇒ H (t ; t ; −2t )
y = t
 z = −2t

*Ta lại có H ∈ mp ( P ) ⇒ t + t − 2( −2t ) − 6 = 0 ⇔ t = 1 . Vậy H ( 1;1; −2 )

9
(1 điểm)

Ta có : P =

2

2

2

2

2

2

x
x
y
y
z
z

+
+
+
+ +
y
z
z
x
x
y

(*)

0,5

0,5

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25
0,25


Nhận thấy : x2 + y2 – xy ≥ xy ∀x, y ∈ ¡
Do đó : x + y ≥ xy(x + y) ∀x, y > 0

3

3

Tương tự, ta có :

x 2 y2
+
≥ x + y ∀x, y > 0
hay
y
x
y2 z2
+ ≥ y+z
z
y

∀y, z > 0

z2 x 2
+
≥z+x
x
z

∀x, z > 0

0,25

Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta

được:
P ≥ 2(x + y + z) = 2 ∀x, y, z > 0 và x + y + z = 1
Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z =

1
. Vì vậy, minP = 2.
3

( Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa )

0,25
0,25