Đề cương ôn tập môn toán lớp 9 (15)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKII NĂM HỌC 2014-2015
TRƯỜNG THCS LÊ THÁNH TÔNG
MÔN: TOÁN LỚP 9
A.LÍ THUYẾT
Câu 1: Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: Các phương pháp giải
Câu 2: Hàm số y = ax2 (a khác 0): Tính chất và đồ thị?
Câu 3: Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn, công thức nghiệm thu gọn.
Câu 4: Hệ thức Vi-et: Phát biểu và ứng dụng.
Câu 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình: (toán năng suất, chuyển động và quan
hệ số)
Câu 6: Góc ở tâm và góc nội tiếp: Định nghĩa, số đo, tính chất?
Câu 7: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài
đường tròn: Định nghĩa, số đo, tính chất?.
Câu 8: Liên hệ giữa cung và dây: Phát biểu định lí, vẽ hình, chứng minh.
Câu 9: Cung chứa góc:
- Quỹ tích các Điểm M nhìn đoạn thẳng AB một góc 900 .
- Quỹ tích các Điểm M nhìn đoạn thẳng AB một góc α ( 0 < α < 1800)
Câu 10: Tứ giác nội tiếp:
- Định nghĩa, tính chất?
- Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.
Câu 11: Độ dài đường tròn, cung tròn. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn: Vẽ hình, viết
công thức tính.
Câu 12:Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của hình: Hình trụ, hình nón,
nón cụt, hình cầu.
B.BÀI TẬP
*Dạng 1: TOÁN RÚT GỌN
2 x + x
−
 x x −1

Bài 1: Cho biểu thức P= 

a) Rút gọn P
Bài 2: Cho biểu
a) Rút gọn P

1  
x +2 
 : 1 −



x − 1   x + x + 1 

b/Tính

P khi x= 5 + 2 3
 2a + a − 1 2a a − a + a  a − a
.
thức:P= 1 +  1 − a −
 2 a −1
1
−
a
a


6
c) Cho P=
, tìm giá
1+ 6

trị của a?

1


2
3
a2 + a
2a + a
−
+1
:P=
a − a +1
a

b) Chứng minh rằng P >
Bài 3: Cho biểu thức
a) Rút gọn P
c) Tìm a để P=2

b) Biết a >1 Hãy so sánh P với P
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

(

)

 ( a − 1). a − b
3 a
3a

1
:
−
+
 2a + 2 ab + 2b
a
+
ab
+
b
a
a
−
b
b
a
−
b




Bài 4: Cho biểu thức:P= 

a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
1
1   a +1
a + 2


−
−
 : 
a   a −2
a − 1 
 a −1


Bài 5: Cho biểu thức: P= 
a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của a để P >
Bài 6: Cho A=

1
6

 x− x +7
1   x +2
x −2 2 x 
+
: 
−
−

÷
÷
÷
x −2  x −2
x +2 x−4÷

 x−4


với x > 0 , x ≠ 4.

a) Rút gọn A.
b) So sánh A với

1
A

Bài 7 : Cho biểu thức:

A=

(

 x x −1 x x +1  2 x − 2 x +1
−

÷:
x −1
x+ x ÷
 x− x


).

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.

c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
*Dạng 2: Các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai một ẩn và áp dụng hệ
thức Vi-et:
2
Bài 1: Cho phương trình x − 2( m + 2) x + m + 1 = 0 .
Giải phương trình khi m =2
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để :
x1 (1 − 2 x2 ) + x2 (1 − 2 x1 ) = m 2
2: Cho phương trình : x 2 − 2( m + 1) x + m 2 − 4m + 3 = 0

Bài
a) Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
2


b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn không.
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phương trình . Tính M = x12 + x22 theo m. Tìm giá trị
nhỏ nhất của M ( nếu có)
Bài 3: Cho phương trình: x 2 − 2mx + 2m − 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1; x2 với mọi m.
b) Đặt A= 2( x12 + x22 ) − 5 x1 x2 .
1) Chứng minh rằng: A= 8m 2 − 18m + 9
2) Tìm m sao cho A= 27.
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia.
Bài 4: Cho phương trình x 2 + mx + n − 3 = 0 (1)
(n , m là tham số)
Cho n = 0. CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m
 x1 − x2 = 1
2 = 7

 1

Tìm m và n để hai nghiệm: x1 ; x2 của phương trình (1) thoả mãn hệ:  x 2 − x 2

Bài 5:Cho phương trình : x 2 − ( 2m − 3) x + m2 − 3m = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 0 < x1 < x 2 < 5
Bài 6: Cho phương trình
x 2 − 2( m + 1) x + 2m + 10 = 0 (với m là tham số )
a) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 ; hãy tìm một hệ
thức liên hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
b) Tìm giá trị của m để 10 x1 x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 7: Cho phương trình
( m − 1) x 2 − 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ∀m ≠ 1
b) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng
hai nghiêm của phương trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức:
x1 x2 5
+ + =0
x2 x1 2

Bài 8 : Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = -

9
2

b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm với mọi m

c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và
nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia.

3


*Dạng 3: Các bài tập về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn:
Bài 1: Tìm giá trị của m để hệ phương trình ;

( m + 1) x − y = m + 1

 x + ( m − 1) y = 2

Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x + y nhỏ nhất
Bài 2:Cho hệ phương trình :

(a + 1) x − y = 3

 a.x + y = a
a= - 2

a) Giải hệ phương rình khi
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện:
x+y>0
Bài 3 : Cho hệ phương trình :
 mx − y = 2

 x + my = 1

1) Giải hệ phương trình theo tham số m.

2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Bài 4 : Cho hệ phương trình:
(a − 1)x + y = a

 x + (a − 1)y = 2

có nghiệm duy nhất là (x; y).

a) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
b) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5.
c) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức

2x − 5y
x+y

nhận giá trị nguyên.

*Dạng 4: Các bài tập về hàm số bậc hai và đồ thị hàm số y = ax2 ( a
Bài 1 Cho (P) y = x 2 và đường thẳng (d) y=2x+m
a) Vẽ (P)
b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số: y =

≠

0)

1 2
x

2

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A 2 ; -2 ) và B 1 ; - 4 )
b) Tìm giao điểm của đường thẳng vừa tìm được với đồ thị trên .
Bài 3: Cho (P)

y=−

x2
4

và (d): y=x+ m

a) Vẽ (P)
4


b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại
điẻm có tung độ bằng - 4
Bài 4: Cho (P)

y=

1 2
x
4

và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm

lượt là -2 và 4
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phương trình đường thẳng (d)
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ x ∈ [ − 2;4] sao cho tam giác
MAB có diện tích lớn nhất.
(Gợi ý: cung AB của (P) tương ứng hoành độ x ∈ [ − 2;4] có nghĩa là A(-2; y A ) và B(4; yB
)⇒ tính y A; ; yB )
Bài 5*: Cho đường thẳng (d) 2(m − 1) x + (m − 2) y = 2
a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) y = x 2 tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max
d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
*Dạng 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Bài 1: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ô tô thứ nhất
mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ . Tính
vận tốc mỗi xe ô tô .
Bài 2: Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm. Trong 12 ngày đầu họ làm
theo đúng kế hoạch đề ra, những ngày còn lại họ đã làm vượt mức mỗi ngày 20 sản
phẩm, nên hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất
bao nhiêu sản phẩm.
Bài 3: Một đoàn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại để vận chuyển 40 tấn hàng.
Lúc sắp khởi hành đoàn xe được giao thêm 14 tấn hàng nữa do đó phải điều thêm 2 xe
cùng loại trên và mỗi xe chở thêm 0,5 tấn hàng. Tính số xe ban đầu biết số xe của đội
không quá 12 xe.
Bài 4: Một ca nô đi xuôi từ bến A đến bến B, cùng lúc đó một người đi bộ cũng đi
từ bến A dọc theo bờ sôngvề hướng bến B. Sau khi chạy được 24 km, ca nô quay
chở lại gặp người đi bộ tại một địa điểm D cách bến A một khoảng 8 km. Tính vận
tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết vận tốc của người đi bộ và vận tốc của dòng
nước đều bằng nhau và bằng 4 km/h

5


Bài 5: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút
sẽ đầy bể . Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ . Hỏi
nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu ?
Bài 6: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá , nhưng đã
vượt mức được 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà
còn vượt mức kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế hoạch đã định
Bài 7: Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định . Khi còn cách B 30
Km , người đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi ,
nhưng nếu tăng vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc của
xe đạp tren quãng đường đã đi lúc đầu.
Bài 8: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định .
Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác , tổ thứ hai
làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ . Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ
hoàn thành công việc.
*Dạng 6: Tứ giác nội tiếp
Câu 1: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ
BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC.
Chứng minh:
a) Tứ giác CBMD nội tiếp.
b) Khi điểm D di động trên trên đường tròn thì

BMˆ D

+

BCˆ D

không đổi.

c) DB . DC = DN . AC
Câu 2: Cho đường tròn tâm O. A là một điểm ở ngoài đường tròn, từ A kẻ tiếp tuyến
AM, AN với đường tròn, cát tuyến từ A cắt đường tròn tại B và C ( B nằm giữa A và C )
. Gọi I là trung điểm của BC.
1) Chứng minh rằng 5 điểm A, M, I, O, N nằm trên một đường tròn.
2) Một đường thẳng qua B song song với AM cắt MN và MC lần lượt tại E và F.
Chứng minh tứ giác BENI là tứ giác nội tiếp và E là trung điểm của EF
Câu 3: Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn. Các đường tròn đường kính AB, AC
cắt nhau tại D. Một đường thẳng qua A cắt đường tròn đường kính AB, AC lần lượt tại E
và F.
1) Chứng minh B , C , D thẳng hàng.
2) Chứng minh B, C , E , F nằm trên một đường tròn.
3) Xác định vị trí của đường thẳng qua A để EF có độ dài lớn nhất.
6


Câu 4:
Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường
kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ
hai F, G. Chứng minh:
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được trong một đường tròn.
c) AC song song với FG.
d) Các đường thẳng AC, DE và BF đồng quy.
Câu 5:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. M là một điểm trên cung AC
( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vuông góc với BC.
1) Chứng minh tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh góc AMB = góc HMK.
3) Chứng minh ∆ AMB đồng dạng với ∆ HMK.
Câu 6: Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Vẽ các tiếp tuyến
AB, AC và cát tuyến ADE tới đường tròn (B và C là tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của
DE.
a) CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn
đó.
b) CMR: HA là tia phân giác của góc BHC.
c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. CMR: AB2 = AI.AH
d) BH cắt (O) ở K. Chứng minh rằng: AE song song CK.
Câu 7: Cho ba điểm A , B , C trên một đường thẳng theo thứ tự ấy và đường thẳng (d)
vuông góc với AC tại A . Vẽ đường tròn đường kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì .
Tia CM cắt đường thẳng d tại D ; tia AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai N ; tia DB cắt
đường tròn tại điểm thứ hai P.
a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp được
b) CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí của M
c) Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ?
Câu 8: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn và P là điểm chính giữa của
cung AB không chứa C và D . Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E và F . Các dây
AD và PC kéo dài cắt nhau tại I ; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K . Chứng minh
rằng:
a) Góc CID bằng góc CKD
b) Tứ giác CDFE nội tiếp được
7


c) IK // AB
d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2011 - 2012

Môn: Toán lớp 9
Bài 1 : (1 điểm)
Tính nhẩm nghiệm của phương trình sau : x2 – 6x +8 = 0 .
Bài 2 : (1 điểm)
Chứng minh định lý: “Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 thì
tứ giác đó nội tiếp được đường tròn " .
Bài 3 : (1 điểm) .
4x + 2y = 4
Giải hệ phương trình
x - 2y = 6
Bài 4 : (2 điểm) .
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y = x2 và đường thẳng
(d) có phương trình y = x + 2 .
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ .
b) Tìm toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d) bằng phép tính .
Bài 5 : (2 điểm) .
Giải phương trình trùng phương : 6x 4 + x 2 − 1 = 0
Bài 6 : (3 điểm) .Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R . Lấy điểm A thuộc
cung BC sao cho BA= R, gọi D là điểm chính giữa cung BC . Vẽ các nửa đường tròn
(O1), đường kính AB và nửa đường tròn (O2), đường kính CD ra phía ngoài tam giác
ABC và tam giác DBC chúng cắt AD lần lượt tại E và F .
a) Chứng minh BE // CF .
b) Chứng minh tam giác AEB và tam giác AFC vuông cân .
c) Tính diện tích các hình viên phân giới hạn bởi cung và dây AB, DC của nửa đường
tròn (O)
theo R .
- Hết HƯỚNG DẪN CHẤM.
Đáp án
Bài 1 : (1 điểm)
Tính nhẩm nghiệm của phương trình sau x2 – 6x + 8 = 0 .

điểm
0,5đ

8


Vì: 2 + 4 = 6 và 2.4 = 8.
Vậy PT có hai nghiệm x1= 2, x2=4
Bài 2 : (1 điểm)

0,5đ

GT Tứ giác ABCD có
Bˆ + Dˆ = 180 0

KL Tứ giác ABCD nội tiếp .
* Hình vẽ chính xác; GT-KL đúng.
* Chứng minh :
+ Vẽ (O) qua A,B,C. Hai điểm A và C chia đường tròn (O) thành hai
cung ABC và AmC .

¼
Trong đó AmC
là cung chứa góc ( 180 0 − B )dựng trên đoạn thẳng AC .


 
+ D + B = 180 0 ( GT ) => D = 180 0 − B
Nên : điểm D nằm trên cung AmC tức là tứ giác ABCD có đỉng nằm

trên (O) .
Vậy : Tứ giác ABCD nội tiếp .

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

Bài 3 : (1 điểm) .
Giải hệ phương trình
⇔

4x + 2y = 4

(1)

x - 2y = 6

(2)

⇔

5x = 10
x – 2y = 6

0,25 đ
0,5 đ

⇔

x =2
x – 2y = 6

⇔

x=2
-2y = 4

⇔

x=2
y=-2
Vậy hệ PT có một nghiệm duy nhất ( 2; - 2)

0,25 đ

9


Bài 4 : (2 điểm)
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng toạ độ.
* Vẽ (P) : y = x2
+ Bảng giá trị của x và y .
x
-2 -1 0 1 2
2
y=x 4 1 0 1 4
+
Vẽ (P) : y = x2 chính xác
* Vẽ (d) : y = x + 2

Cho x = 0 ⇒ y = 2 được (0;2) .
Cho y = 0 ⇒ x = -2 được (-2;0) .
Vẽ (d) : y = x + 2 chính xác

b) Tìm toạ độ giao điểm của A và B của (P) và (d) bằng phép
tính .
Ta có : Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) :
x2 = x + 2 ⇔ x2 - x – 2 = 0
⇔ x1 = -1; x2 = 2
Với x1 = -1 ⇒ y = 1 . Ta được : A(-1;1)
Với x2 = 2 ⇒ y = 4 . Ta được : B(2;4)
Bài 5 : (2 điểm)
Giải phương trình trùng phương 6x 4 + x2 − 1 = 0
x2 = t ≥ 0
Ta co : 6t 2 + t − 1 = 0
∆ = 1+ 4.6.1 = 25

0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,5 đ

1

t = va t = − (loai ).

1 3
2
2
3

0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ

∆ =5
1

0,25đ

0,5 đ
3

Do do : x =
;x = −
1 3 2
3

0,5 đ
10


Bài 6 : (3 điểm)

GT, KL đúng .

Hình vẽ chính xác .

a) Chứng minh BE // CF .
·
·
Ta có : AEB
= CFD
= 90 0 (t/c góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
⇒ BE ⊥ EF vaø CF ⊥ EF

Nên BE //EF (Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với
đường thẳng thứ ba ) .

0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ

b) Chứng minh tam giác AEB và tam giác AFC vuông cân .
Chứng minh tam giác AEB vuông cân .
Ta có :
1 »
·
= SñBD
* BCD
(t/c góc nội tiếp ).
2

* D là điểm chính giữa của cung BC (GT) .

0
»
» = Sñ BC = 180 = 90 0
⇒ SñBD
2
2
1
·
= .90 0 = 450
Nên : BCD
(1)
2
·
·
Ta có : BAD
+ BCD
= 180 0 (2) (Tứ giác ABCD nội tiếp)
·
·
Ta có : BAD
+ BAE
= 180 0 (3) (Góc BAD và góc BAE là hai góc

kề bù).
·
·
Từ (1),(2),(3) ta được : BCD
= BAE
= 450

·
Do đó : Tam giác AEB vuông tại E và có BAE
= 450 nên cân .
Chứng minh tam giác AFC vuông cân .
Ta có :
* Tam giác CFD vuông tại F (Do CFD là góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn).

0,25 đ

0,25 đ

11


·
* Tam giác BDC vuông tại D và BCD
= 450 (Câu trên).
·
·
⇒ DAC
= DBC
= 450 (Trong 1 đường tròn các góc nội tiếp cùng
chắn cung DC ).
·
Nên DAC
= 450
Do đó : Tam giác AFC vuông cân .
c) Tính diện tích các hình viên phân giới hạn bởi cung và dây
AB, DC của nửa đường tròn (O) theo R .

*Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung và dây AB
cuả nửa đường tròn (O) theo R .

* SQuïatOAB =

0,25 đ
0,25 đ

πR 2 .60 πR 2
=
360
6

* Tính S∆ABO :
OA = OB = OC = R (GT)

(0,25 đ)

⇒ ∆ABO đều . Nên ta có : S∆ABO = 3R
4

2

Nên d/tích hình viên phân giới hạn bởi cung và dây AB của nửa đường
tròn (O) :
SVien phan AB = SQuatOAB − S ∆OAB
SVien phan AB

πR 2
3R 2

=
−
6
4

( 2π − 3 3 ) R
=

(0,25 đ)
2

( vdt )
12
*Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung và dây DC của
nửa đường tròn (O) theo R .
SVien phan AB

* SQuatOCD

πR 2 .90 πR 2
=
=
360
4

* Tính S∆OCD

R2
=
2

(0,25 đ)

Nên d/ tích hình viên phân giới hạn bởi cung và dây DC của nửa đường
tròn (O) :

12


SVien phan CD = SQuatOCD − S ∆OCD
SVien phan CD
SVien phan CD

(0,25 đ)

πR 2 R 2
=
−
4
2
π − 2) R2
(
=
( vdt )
4

(Giải cách khác mà đúng thì vẫn được điểm tối đa)
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 NĂM 2012
Bài 1: (3 điểm) Không dùng máy tính, hãy giải hệ phương trình và phương trình sau:
3 x + y = 3

a/
2 x − y = 7

b / 3x 2 + 5 x + 1 = 0

Bài 2: (2 điểm) Cho phương trình: x − 2mx − 1 = 0 ( 1) (m là tham số)
a/ Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m?
b/ Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của phương trình (1). Tìm m để x12 + x22 − x1 x2 = 7
Bài 3: (2 điểm) Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày
xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày.
Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày thì xong việc?
Bài 4: (3 điểm) Cho 2 đường tròn (O; R) và (O’: r) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường
kính AOC, AO’D. Đường thẳng AC cắt đường tròn (O’: r) tại E (A nằm giữa E và C).
Đường thẳng AD cắt đường tròn (O: R) tại F (A nằm giữa F và D). Chứng minh rằng:
a/ Ba điểm C, B, D thẳng hàng.
b/ Tứ giác CDEF nội tiếp được một đường tròn.
c/ Quay tam giác ACD quanh CD cố định. Tính thể tích hình tạo thành, biết AB =
R = 5cm;
r = 3cm.
ĐÁP ÁN
Bài 1: (3 điểm) Không dùng máy tính, hãy giải hệ phương trình và phương trình sau:
2

3 x + y = 3
5 x = 10
x = 2
x = 2
a/
⇔
⇔

⇔
2 x − y = 7
3 x + y = 3 6 + y = 3  y = −3
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2; −3)
b / 3x + 5 x + 1 = 0

(1,5đ)

2

Phương trình có các hệ số a = 3; b = 5;
Ta có ∆ = 52 − 4.3.1 = 13 ⇒ ∆ = 13

c =1

13


∆>0

Vì

nên

phương

−5 − 13 −5 − 13
=
2.3
6

x2 =

trình

có

2

nghiệm

phân

biệt: x1 =

−5 + 13 −5 + 13
=
2.3
6

;

(1,5đ)

Bài 2: (2 điểm) Cho phương trình: x − 2mx − 1 = 0 ( 1) (m là tham số)
a/ Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m?
Phương trình có các hệ số a = 1; b = −2m; c = −1; b ' = −m
2
Ta có ∆ ' = ( −m ) − ( −1) = m2 + 1
Vì ∆ ' = m2 + 1 > 0 với mọi m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt (1đ)

b/ Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của phương trình (1). Tìm m để x12 + x22 − x1 x2 = 7
2

Gọi

x1 ; x2

là 2 nghiệm của phương trình (1). Theo hệ thức Vi – ét, ta có:

Để x12 + x22 − x1 x2 = 7 ⇔ ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 = 7 ⇔ ( 2m )
Vậy m = ±1 thì x12 + x22 − x1 x2 = 7 (1đ)
2

2

 x1 + x2 = 2m

 x1.x2 = −1

− 3 ( −1) = 7 ⇔ 4m 2 = 4 ⇔ m 2 = 1 ⇔ m = ±1

Bài 3: Gọi x (ngày) là thời gian đội I làm một mình xong việc
ĐK: x > 4
Thời gian đội II làm một mình xong việc là: x + 6 (ngày)
Mỗi ngày, đội I làm được:

1
x

(công việc)

1
x+6
1
được:
4

Mỗi ngày, đội II làm được:

(công việc)

Mỗi ngày, cả 2 đội làm

(công việc)

1
1
1
+
=
(1đ)
x x+6 4
⇔ 4 ( x + 6 ) + 4 x = x ( x + 6 ) ⇔ 4 x + 24 + 4 x = x 2 + 6 x ⇔ x 2 − 2 x − 24 = 0

Theo đề bài, ta có phương trình:
∆ ' = ( −1) − ( −24 ) = 25 ⇒ ∆ ' = 5
2

Vì

∆' > 0

thỏa)
Trả lời:

nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 =

1+ 5
=6
1

(thỏa);

x2 =

1− 5
= −4 (không
1

Đội I làm một mình xong việc trong 6 ngày
Đội II làm một mình xong việc trong 12 ngày (1đ)

14


Bài 4: Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận:
F
E

GT

A

O
C

O'
B

D

KL

2 đường tròn (O;R) và (O’;r) cắt nhau
tại A và B. AOC, AO’D là các đường
kính , AC cắt đường tròn (O’: r) tại E,
AD cắt đường tròn (O: R) tại F
AB = R = 5cm; r = 3cm.
a/ Ba điểm C, B, D thẳng hàng.
b/ Tứ giác CDEF nội tiếp được một
đường tròn
c/ Tính thể tích hình tạo thành khi
quay tam giác ACD quanh CD cố
định.

a/ Chứng minh: Ba điểm C, B, D thẳng hàng.
Ta có: ·ABC = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O;R))
·ABD = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’;r))
·
⇒ CBD

= ·ABC + ·ABD = 900 + 900 = 1800

Do đó 3 điểm C, B, D thẳng hàng
b/ Chứng minh: Tứ giác CDEF nội tiếp được một đường tròn
Ta có: ·AFC = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O;R))
0
·
Hay DFC
= 900 ⇒ F thuộc cung chứa góc 90 dựng trên đoạn thẳng CD (1)
·AED = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’;r))
0
·
Hay CED
= 900 ⇒ E thuộc cung chứa góc 90 dựng trên đoạn thẳng CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác CDEF nội tiếp được một đường tròn
điểm)

(1 điểm)

(1

c/ Tính thể tích hình tạo thành khi quay tam giác ACD quanh CD cố định.
∆ABC vuông tại B có: AC 2 = AB 2 + BC 2 (Định lý Pytago)
BC 2 = AC 2 − AB 2 = 102 − 52 = 75 ⇒ BC = 75 = 5 3 ( cm )

Thể tích của hình nón tạo bởi

∆ABC

1

3

AD 2 = AB 2 + BD 2 (Định
BD 2 = AD 2 − AB 2 = 62 − 52 = 11 ⇒ BD = 11 ( cm )

∆ABD

vuông tại B có:

Thể tích của hình nón tạo bởi

∆ABD

1
3

là: V1 = π R12 h1 = π 525

3=

125 3
π cm 2
3

(

)

lý Pytago)

1
3

1
3

là: V2 = π R22 h2 = π 52

11 =

25 11
π cm 2
3

(

)

Vậy thể tích hình tạo thành khi quay tam giác ACD quanh CD cố định.
V = V1 + V2 =

125 3
25 11
25π
π+
π=
5 + 11 cm 2
3
3
3

(

)(

)

(1 điểm)

15


Trường THCS Lê Thánh Tông

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2011 - 2012
Câu 1.(1,0đ)
Giải hệ phương trình sau:
 x + 2 y = −4

2 x − y = 7

Câu2.(2,5đ)
Cho phương trình : x2 + x - 2 = 0
a) Giải phương trình trên.
b) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của hai hàm số y = x2 (P) và y = -x + 2
(d)
c) Chứng tỏ hoành độ giao điểm của (d) và (P) là hai nghiệm tìm được trong câu a)
Câu 3.(1,5đ)
Cho phương trình: x2 – 2x + m – 1 = 0
Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó của phương

trình.
Câu 4.(2đ)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình :
Quãng đường từ A đến B dài 120km. Hai ôtô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Ôtô
thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai 12km/h nên đến sớm hơn ôtô thứ hai 30 phút. Tính
vận tốc mỗi xe.
Câu 5.(3đ)
Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Điểm H thuộc đoạn thẳng AO ( H khác A
và O ). Đường thẳng đi qua điểm H và vuông góc AO cắt nửa đường tròn (O) tại C.
Trên cung BC lấy điểm D bất kì (D khác B và C). Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại
D cắt đường thẳng HC tại E. Gọi I là giao điểm của AD và HC.
a) Chứng minh tứ giác HBDI nội tiếp.
b) Chứng minh EI = ED.
c) Cho góc ABC có số đo 300.Tính diện tích hình quạt cung AC theo R?

Đề cương ôn tập môn toán 9 – Học kì 2- Năm học 2014- 2015

16


Câu Nội dung
1

Điểm

Trường THCS
Tông
y =Thánh
−4
 x + 2Lê

⇔ x+

2 x − y = 7

2a)
2b)

⇔

2y = -4

5x = 10

⇔

4x – 2y = 14
2x – y = 7
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2 : -3)
Giải phương trình x2 + x - 2 = 0
có a + b + c = 1 + 1 – 2 = 0
Nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = -2
Lập bảng giá trị
x
-3
-2
-1
0
2
y=x
9

4
1
0

0,5

x=2

0,5

y = -3

0,25
0,25
1
1

2
4

3
9

0,25

Đồ thị của hàm số y = - x + 2 (d) đi qua A(0 ;2) và B(2 ;0)

0,25

Vẽ đồ thị đúng

0,5

2c)
Tọa độ giao điểm giữa đường thẳng (d): y = -x + 2 và Parabol (P):y = x2 0,5
là (1 ;1) và (-2 ;4) Do đó hoành độ giao điểm giữa đường thẳng (d): y =
0,5
2
-x + 2 và Parabol (P):y = x
là nghiệm của phương trình x2 + x - 2 = 0
3

4)

Cho phương trình: x2 – 2x + m – 1 = 0
∆' = 1 – (m – 1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm kép khi ∆' = 0 ⇔ 2 - m = 0 ⇔ m = 2
Vậy với m = 2 thì phương trình có nghiệm kép và nghiệm képlà x1 = x2
= 1
Gọi x (km/h) là vận tốc của ô tô thứ nhất (ĐK x > 12 )
Thì vận tốc của ô tô thứ hai là x – 12 (km/h)
Thời gian đi của ô tô thứ
Thời gian đi của ô tô thứ

120
nhất đi từ A đến B là
(h)
x
120
hai đi từ A đến B là

(h)
x − 12

0,25
0,5
0,75

0,25
0,25

Vì ôtô thứ nhất đến B sớm hơn ôtô thứ hai 30 phút = 0,5 giờ nên ta có
phương trình:

0,5

120
x − 12

0,5

-

120
x

= 0,5

⇒

120x – 120(x – 12) = 0,5x(x – 12)

⇔ x2

– 12x - 2880 = 0
∆ = 36 + 2880 = 2916 ⇒ ∆' = 2916 = 54
x1 = 6 + 54 = 60 ; x2 = 6 – 54 = - 48 (loại)
0,25
Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là 60 km/h ; vận tốc của ô tô thứ hai là 60 –
0,25
17
12ôn= tập
48 km/h
. 9 – Học kì 2- Năm học 2014- 2015
Đề cương
môn toán
'

5

E


Trường THCS Lê Thánh Tông

Lưu ý: Mọi cách làm khác đúng đều cho điểm tối đa
HẾT

Đề cương ôn tập môn toán 9 – Học kì 2- Năm học 2014- 2015

18