ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÁY TÍNH BỎ TÚI

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I
TỔ TOÁN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MTBT LẦN 5
1.(3đ ) Cho đa thức P(x)= x
5
+ax
4
+bx
3
+cx
2
+dx+e, biết P(1)=-4; P(2)=3; P(3)=14;
P(4)= 239; P(5)=1224
a) Tìm đa thức P(x)
b) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho P(x) -1814 là một số chính phương
2.(3đ) Gọi S và p lần lượt là diện tích và chu vi của n- giác đều nội tiếp đường tròn
(O; 2,34567), S’ và C là diện tích hình tròn và chu vi đường tròn.
a)Tìm n để 0,0111≤ S’-S ≤ 0,0114
b) Tìm n nhỏ nhất để 0,025 ≤ C-p ≤0,028
3.(3đ) Cho hình 10 cạnh đều A
1
A
2
…A
10
nội tiếp đường tròn (O; R), trên các đoạn
OA
i
lấy các điểm M
i
sao cho

1
i
i
OM R
i
=
+
.
Tính S=M
1
M
2
+M
2
M
3
+…+M
9
M
10
+ M
10
M
1
, biết R=20cm
4.(3đ)Chohàmsốf(x)=-5x
9
+3x
7
a) Tính f’(1); f

(2)
(1); f
7
(1) b) f’(1)+f
2
(2)

+f
3
(3)+…+f
(7)
(7)
c) Viết quy trình bấm phím để tính f
1
(1)+f
2
(1,1) +f
3
(1,01)+…+f
9
(1,00…1), phần biến
số ở số hạng thứ n có n-1 chữ số thập phân, trong đó n-2 số 0 và cuối cùng là chữ số
1.
5.(3đ) Cho hàm số f(x) = 4cos
2
x -5cosx
a) Tính f
(12)
(25
0

)
b) Tính f
(1)
(10)+f
(2)
(20)+f
(3)
(30)+f
(4)
(40)+f
(5)
(50)+f
(6)
(60)
( số đo của biến số tính bằng độ)
6.(3đ) Một dãy có nhiều hơn 10 nhà trên một đường phố, tổng của các số nhà của
dãy là 1334. Tìm dãy đó

7.(2 đ)TÝnh gÇn ®óng gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè:

sin 2cos 1
( )
2 cos
x x
f x
x
+ +
=
+
trªn ®o¹n

[ ]
0;4
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MTBTLỚP 12 THPT
1. (3điểm)
Giải
a) Ta tìm đa thức Q(x) =mx
2
+nx+p sao cho P(x)- Q(x) có các nghiệm là
x
1
=1; x
2
=2; x
3
=3. Ta có hệ phương trình
4
4 2 3
9 3 14
m n p
m n p
m n p
+ + = −


+ + =


+ + =

Giải hệ trên ta có Q(x) = 2x

2
+x-7.
Do đó P(x)-Q(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x
2
+kx+h)
Thế x=4, và x=5 ta được các hệ phương trình
4 19
5 24
h k
h k
+ =


+ =

Giải được h=5, k=-1. Vậy P(x)=x
5
-x
4
-20x
3
+57x
2
-40x-1
b) x=12
2. (3đ)
a) n=100 b) n= 22
3. (3đ)
Giải
Chọn O là gốc toạ độ trong mặt phẳng Oxy, A

1
là đỉnh nằm trên Ox. Khi đó
i 1
2 2
20 20
( os36(i-1); sin36(i-1))
1 1
M
20( 1) 20 20( 1) 20
( cos36 cos36( 1)) ( sin36 sin 36( 1))
2 1 2 1
i
i
i i
M c
i i
M
i i i i
i i i i
i i i i
+
+ +
=
+ +
− − + − −
+ + + +
0 2 0 2
10 1
200 200
( cos324 10) ( sin 324 )

11 11
M M
= − +
Đáp số: 107,9687832
4. (3đ)
a) f’(1) = -24 f
2
(1) = -234 f
(7)
(1)=-892080
b) f’(1)+f
2
(2)

+f
3
(3)+…+f
(7)
(7) =-173876082
c,1 Sto A; 45 Sto B; 21 Sto C; -24 Sto D; A=A+1: B=B(10-A): C=C(8-A):
D=D-B(1+1/10^(A-1))^(9-A)+C(1+1/10^(A-1))^(7-A)
Đáp số : P=-3.077.049,897
5. (3đ)
4cos
2
x-5cosx = 2cox2x-5cosx +2 . Ta tính f
(12)
(10
0
) theo quy trình:

A
A
2 2
0 Sto A; A=A+2: B=2.2 .( 1) os20-5(-1) os10
A
c c
−
Đáp số : 7693,037911
Tính f
(1)
(10)+f
(2)
(20)+…+f
(10)(
100) theo quy trình:
0 Sto A; 0 Sto B; A=A+1:B=B+2.2^Acos(20A+AΠ/2)-5cos(10A+AΠ/2)
Đáp số: -1120,785888
6. (3đ)
Gọi số nhà đầu tiên của dãy là x+2, các số nhà tiếp theo là x+4, x+6,…, x+2n .
Tổng của các số trong dãy này là x+2+x+4 +…+x+2n
( 2 2 )
2 4 ... 2 1334
2
( 1) 1334
x x n n
x x x n
n x n
+ + +
+ + + + + + = =
⇔ + + =

Do 1334=29.46=23.58=2.667
Với n=29 ta có x=16, dãy nhà tương ứng là 18, 20, …., 74.
Với n= 23, ta có x=34, dãy nhà tương ứng là 36, 38, …, 80
n=2 không thoả mãn điều kiện
7, (2 đ )
( )
2
2 cos 3sin 1
'( )
2 cos
x x
f x
x
− +
=
+
Gi¶i pt:
'( ) 0 2 cos 3sin 1 0f x x x
= ⇔ − + =
trªn ®o¹n [0 ; 4], ta ®îc:
1 2
0,8690375051; 3,448560356x x≈ ≈
1 2
1,154700538; 1,154700538y y≈ ≈ −
So s¸nh víi
(0) 1; (4) 0,7903477515f f= ≈ −
, ta ®îc:
[ ]
[ ]
≈

≈ −
0; 4
0; 4
1,154700538;
1,154700538
( )
( )
Max f x
Min f x