tập mờ loại hai và suy diễn với tập mờ loại hai
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (611.47 KB, 41 trang )
Mục lục
Vũ công đoàn
bộ giáo dục và đào tạo
trờng đại học bách khoa hà nội
---------------------------------------
luận văn thạc sĩ khoa học
công nghệ thông tin
ngành : công nghệ thông tin
Tập mờ loại hai
và suy diễn với tập mờ loại hai
Vũ công đoàn
2006 - 2008
Hà Nội
2008
Hà Nội 2008
Mục lục............................................................................................................ 1
Danh mục hình vẽ............................................................................................ 3
Mở đầu............................................................................................................. 5
Chơng 1. Cơ bản về tập mờ ........................................................................... 7
1.1. Tập mờ.................................................................................................. 7
1.2. Các phép toán tập hợp trên tập mờ ....................................................... 8
1.3. Quan hệ mờ ........................................................................................ 10
1.3.1. Quan hệ mờ trên cùng không gian .............................................. 10
1.3.2. Quan hệ mờ và phép hợp thành trên các không gian khác nhau. 13
1.4. Cơ bản về suy diễn mờ ....................................................................... 14
1.5. Nguyên lý mở rộng ............................................................................ 17
1.6. Kết luận chơng ................................................................................. 18
Chơng 2. tập mờ loại hai ............................................................................. 19
2.1. Giới thiệu chung................................................................................. 19
2.2. Hàm thuộc loại hai ............................................................................. 19
2.2.1. Khái niệm tập mờ loại hai ........................................................... 19
2.2.2. Định nghĩa tập mờ loại hai và các khái niệm.............................. 19
2.2.3. Hàm thuộc trên và hàm thuộc dới ............................................ 26
2.3. Tập mờ loại hai nhúng........................................................................ 27
2.4. Các phép toán trên tập mờ loại hai..................................................... 30
2.4.1. Hợp của các tập mờ loại hai ........................................................ 30
2.4.2. Giao của các tập mờ loại hai ....................................................... 32
2.4.3. Phần bù của một tập mờ loại hai ................................................. 33
2.5. Kết luận chơng ................................................................................. 36
Chơng 3. Suy diễn với tập mờ loại hai ........................................................ 37
3.1. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành ............................................. 37
3.1.1. Khái niệm chung ......................................................................... 37
3.1.2. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành trên cùng một không gian
............................................................................................................... 38
3.1.3. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành trên các không gian khác
nhau ....................................................................................................... 41
3.1.4. Phép hợp thành của một tập mờ loại hai và một quan hệ mờ loại
hai .......................................................................................................... 42
3.2. Tích Đê-các của các tập mờ loại hai .................................................. 43
3.3. Các dạng luật mờ................................................................................ 45
3.4. Một số phơng pháp suy diễn mờ loại hai ......................................... 46
3.4.1. Suy diễn mờ dựa vào phép hợp thành.......................................... 46
3.4.2. Suy diễn mờ dựa trên sự tơng tự của các tập mờ....................... 48
3.5. Nhận xét ............................................................................................. 57
1
Chơng 4. Hệ logic mờ loại hai khoảng........................................................ 59
4.1. Định nghĩa.......................................................................................... 59
4.2. Hàm thuộc trên và hàm thuộc dới của tập mờ loại hai khoảng........ 60
4.3. Phép toán hợp và giao của tập mờ loại hai khoảng ............................ 62
4.4. Suy diễn với tập mờ loại hai khoảng .................................................. 63
4.5. Giảm loại và khử mờ .......................................................................... 68
4.6. Thiết kế hệ logic mờ loại hai khoảng bằng phơng pháp lan truyền
ngợc BP (Back-Propagation) ................................................................... 70
4.7. ứng dụng của hệ logic mờ loại hai khoảng ........................................ 76
4.8. Kết luận chơng ................................................................................. 79
Kết luận ......................................................................................................... 80
Tài liệu tham khảo......................................................................................... 81
Danh mục hình vẽ
Hình 1-1: Các hàm độ thuộc cho xe nội địa và xe ngoại nhập dựa trên tỷ lệ
phần trăm các thành phần sản xuất trong nớc 7
Hình 1-2: Các hàm thuộc: (a) à A (x) và à B (x) , (b) à A B (x) , (c) à A B (x) ,
(d) à B (x) 9
Hình 1-3: đồ thị hàm thuộc của quan hệ mờ à c (| x y |) 11
Hình 1-4 16
Hình 2-1: (a) hàm thuộc loại một, (b) vết mờ hàm thuộc loại một, (c) FOU
20
Hình 2-2: Ví dụ về hàm thuộc loại hai 21
Hình 2-3: (a): một tập mờ loại hai Gaussian. (b): hàm thuộc thứ cấp
Gaussian tại x = 4 23
Hình 2-4 24
Hình 2-5: FOU dạng tam giac 25
Hình 2-6: FOU của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số giá trị trung
bình m không chắc chắn 26
Hình 2-7: FOU của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số độ lệch chuẩn
không chắc chắn 26
Hình 2-8: Ví dụ về một tập loại một nhúng (đờng đứt tô đậm) trong một tập
mờ loại hai 28
Hình 2-9: Một tập mờ loại hai nhúng và một tập mờ loại một nhúng đợc
gắn với hàm thuộc loại hai đợc biểu diễn trong Hình 2-2. 29
Hình 3-1: Hệ logic mờ loại hai 37
Hình 4-1: Ví dụ về hàm thuộc của một tập mờ loại 2 khoảng trong không
gian rời rạc. Miền tô đen trong mặt phẳng x-u là FOU .. 60
Hình 4-2: (a) minh hoạ cho ví dụ 4-1, (b) minh hoạ cho ví dụ 4-2 .62
l
Hình 4-3: Xác định f l và f . (a) sử dụng minimum t-norm. (b) sử dụng
product t-norm. 67
Hình 4-4: Xác định à B~ ( y ) . (a) sử dụng minimum t-norm. (b) sử dụng
l
product t-norm ......67
2
3
Hình 4-5: Xác định
à
~
B
( y ) . (a) sử dụng minimum t-norm. (b) sử dụng
product t-norm .68
Hình 4-6: Minh hoạ cho tập mờ loại 2 khoảng đơn trị có hai luật. (a) FOU
~
~
~
~
của F11 và F21 trong luật 1. (b) FOU của F12 và F22 trong luật 2 ..73
Hình 4-7: Giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của RMSEs1, RMSEns1,
RMSEs2 . (a) giá trị trung bình, (b) độ lệch chuẩn . 78
Mở đầu
Lý thuyết tập mờ loại hai đợc Zadeh đa ra từ năm 1975. Tập mờ loại hai
ngày càng đợc khẳng định vị trí u việt của mình trong việc cải thiện và
nâng cao chất lợng xử lý thông tin so với nhiều phơng pháp truyền thống
khác. Ngày nay, Logic mờ đợc ứng dụng trong thực tiễn đặc biệt là trong
lĩnh vực dự báo, khai phá tri thức, điều khiển mờ
Tuy nhiên, việc tính toán và xử lý thông tin dựa trên tập mờ loại hai nói
chung có độ phức tạp rất lớn, điều này đã ảnh hởng không nhỏ tới khả năng
ứng dụng của tập mờ loại hai vào giải quyết các bài toán thực tế. Chính vì
vậy, những năm trở lại đây, lý thuyết tập mờ loại hai nhận đợc rất nhiều sự
quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Một trong những hớng
nghiên cứu đó là tìm ra các phơng pháp làm giảm độ phức tạp tính toán
trong các hệ logic mờ loại hai.
Suy diễn với tập mờ loại hai là một khâu quan trọng trong hệ logic mờ loại
hai. Phơng pháp suy diễn quyết định rất lớn tới chất lợng và độ phức tạp
tính toán của toàn hệ. Với mục đích tìm hiểu nghiên cứu về tập mờ loại 2,
đợc sự hớng dẫn của PGS.TS. Trần Đình Khang Khoa CNTT - Đại Học
Bách Khoa Hà Nội, tôi lựa chọn đề tài Tập mờ loại hai và suy diễn với tập
mờ loại hai. Đề tài thực hiện tìm hiểu nghiên cứu những vấn đề cơ bản đối
với tập mờ loại hai, một số phơng pháp suy diễn đối với tập mờ loại hai
tổng quát và tập mờ loại hai khoảng.
Đề tài đợc chia thành các phần sau:
Chơng 1. Cơ bản về tập mờ: Chơng này trình bày các khái niệm cơ bản
về tập mờ nói chung làm cơ sở để tìm hiểu, nghiên cứu các đặc trng của tập
mờ loại hai.
Chơng 2. Tập mờ loại hai: Tập mờ loại hai là sự phát triển và mở rộng
của tập mờ loại một nhằm khắc phục những nhợc điểm của tập mờ loại một.
Chơng này trình bày những khái niệm và những đặc trng cơ bản của tập
mờ loại hai. Các phép toán tập hợp trên tập mờ loại hai cũng đợc trình bày ở
đây, các phép toán này là công cụ không thể thiếu để thực hiện các phép suy
diễn mờ.
4
5
Chơng 3. Một số phơng pháp suy diễn trên tập mờ loại hai: Chơng
này trình bày một số phơng pháp suy diễn với tập mờ loại hai. Hai phơng
pháp suy diễn đợc trình bày ở đây đó là phơng pháp suy diễn dựa trên
phép hợp thành và phơng pháp suy diễn dựa trên độ tơng tự. Từ đó đa ra
những phân tích đánh giá, đây là một cơ sở quan trọng để lựa chọn phơng
pháp suy diễn phù hợp khi thiết kế và xây dựng các ứng dụng logic mờ.
Chơng 4: Tập mờ loại hai khoảng: Tập mờ loại hai tổng quát bộc lộ
một số nhợc điểm nh độ phức tạp tính toán lớn. Do có cấu trúc đặc biệt
nên việc tính toán và suy diễn trên tập mờ loại hai khoảng có độ phức tạp
nhỏ hơn rất nhiều lần so với tập mờ loại hai tổng quát. Chính vì vậy, tập mờ
loại hai khoảng thờng đợc ứng dụng trong các hệ logic mờ. Chơng này
trình bày những đặc trng cơ bản của tập mờ loại hai khoảng và phơng pháp
suy diễn trên tập mờ loại hai khoảng.
Chơng 1. Cơ bản về tập mờ
1.1. Tập mờ
Định nghĩa 1-1:
Tập mờ F xác định trong không gian X đợc định nghĩa nh sau:
F = {(x,
à
F
à
F
à
(x) )| x X} với
đợc gọi là hàm thuộc của tập mờ F và
à
F
F
(x) [0, 1]
(1-1)
(x) là giá trị độ thuộc của x
X vào F.
Để thuận tiên cho việc biểu diễn, ngời ta ký hiệu tập mờ F :
F=
à
F
( x) / x , khi X liên tục
(1- 2)
X
ở đây, các kí hiệu
F=
à
và
X
F
( x) / x , khi X rời rạc
(1-3)
không phải là phép tích phân và tổng đại số
mà là tập hợp tất cả các phần tử x X kết hợp với giá trị độ thuộc
à F (x) tơng ứng của chúng.
à
(x)
1
à
F
à
(x)
D
(x)
0.5
0
25
50
75
100
x
Hình 1-1. Các hàm độ thuộc cho xe nội địa và xe ngoại nhập dựa
trên tỷ lệ phần trăm các thành phần sản xuất trong nớc
6
7
à
Ví dụ 1-1:
Hình 1-1 mô tả việc phân loại tập các ô tô thành hai tập nội địa (D) và
ngoại nhập (F) theo tỷ lệ phần trăm các linh kiện đợc sản xuất trong nớc.
ở đây, F và D là các tập mờ có các hàm thuộc tơng ứng là
à
F
(x) và
à
D
(x) ;
x là tỷ lệ phần trăm các linh kiện sản xuất trong nớc. Một chiếc ô tô đợc
coi là nội địa nếu có à D (x) > à F (x) , ngợc lại nó đợc coi là xe ngoại nhập.
B
(x) =
1
,0 x 1
1 + ( x 0.707) 4
à
A
A
(x) ,
à
B
(x) ,
à
A B
(x) ,
à
A B
(x) ,
(x)
1
Thông thờng, đồ thị sử dụng để mô tả cho các hàm thuộc của một tập mờ
có dạng hình tam giác, hình thang, Gaussian .v.v. Các hàm thuộc thờng
đợc lựa chọn một cách tùy ý trên cơ sở kinh nghiệm của ngời sử dụng về
lĩnh vực liên quan hoặc phơng pháp tính toán tối u mà họ lựa chọn.
à
B
1.2. Các phép toán tập hợp trên tập mờ
à
(x)
A
(x)
à
1
x
0.5 0.707
1
à
A B
A B
(x)
x
0.5 0.707
(a)
Trong lý thuyết tập mờ, các phép toán tập hợp đợc định nghĩa thông qua
các hàm thuộc của chúng.
Giả sử A và B là hai tập mờ xác định trên không gian X đợc đặc trng
bởi các hàm thuộc tơng ứng là à A (x) và à B (x) .
à
Hình 1-2 dới đây mô tả các hàm thuộc
(1-8)
(b)
1
(x)
à
B
à
(x)
B
(x)
Định nghĩa 1-2:
Hợp của hai tập mờ A và B, ký hiệu A B , có hàm thuộc đợc định nghĩa:
à
A B
(x) = max[ à (x) , à (x) ]
A
(1-4)
B
x
0.5 0.707
Định nghĩa 1-3:
Giao của hai tập mờ A và B, ký hiệu A B , có hàm thuộc đợc định nghĩa:
(1-5)
(x) = min[
(x) ,
(x) ]
à
à
A B
à
A
B
à
A
(x) = 1 -
à
A
(x)
(1-6)
Xét ví dụ sau:
Ví dụ 1-2: Cho hai tập mờ A và B có hàm thuộc đợc xác định nh sau:
à
A
0, nếu 0 x 0.5
(x) =
2
1 /[1 + ( x 0.5) ], nếu 0.5 x 1
8
(d)
Hình 1-2: Các hàm thuộc: (a)
(b)
Phần bù của tập mờ A, ký hiệu A và hàm thuộc đợc định nghĩa:
(1-7)
x
0.5 0.707
(c)
à
A B
(x) , (c)
à
A B
à
A
(x) và
(x) , (d)
à
B
à
B
(x) ,
(x)
Ví dụ này cho thấy phép hợp, giao của một tập mờ với phần bù của nó có
kết quả khác so với trong tập rõ. Bởi vì, rõ ràng A A X và A A .
Ngoài việc sử dụng các phép toán maximum và minimum, ngời ta còn có
thể định nghĩa các phép hợp và phép giao khác cho tập mờ.
Chẳng hạn, Zadeh định nghĩa hai phép toán hợp và giao cho tập mờ nh
sau:
9
1. Phép hợp:
à
2. Phép giao:
à
A B
(x) = à (x) +
A B
A
à
B
(x) -
à
A
( x) à ( x)
(1-9)
B
(x) = à ( x) à ( x)
A
(1-10)
B
Sau đó, Klir và Yuan định nghĩa hai phép toán t-conorm cho phép hợp và
t-norm cho phép giao sử dụng cho tập mờ:
Phép toán t-conorm (còn gọi là s-norms) đợc sử dụng cho phép hợp, đợc
ký hiệu là . Maximum và phép tổng đại số là phép toán t-conorm. Dới
đây là hai ví dụ về t-conorm:
x y = min(1, x+y)
x nếu y = 0
x y = y nếu x = 0
1 nếu ngợc lại
Ví dụ 1-3: Giả sử U và V là hai tập các số thực. Xét quan hệ mờ mục
tiêu x là gần với mục tiêu y. Hàm thuộc của quan hệ mờ này đợc xác định
nh sau:
à c (| x y |) max{(5 | x y |) / 5,0}
Hàm thuộc của quan hệ này đợc diễn tả trong Hình 1-3. Chú ý rằng
khoảng cách giữa hai mục tiêu x và y đợc xác định bởi |x-y|, đợc hiểu nh
là một biến phụ thuộc.
à c (| x y |)
(1-11)
1
(1-12)
Phép t-norm đợc sử dụng cho phép giao, đợc ký hiệu là . Minimun và
hàm đại số là t-norm. Dới đây là hai ví dụ về t-norm.
x y=max(0, x+y-1)
x y =
(1-16)
x nếu y = 1
Hình 1-3: Đồ thị hàm thuộc của quan hệ mờ à c (| x y |)
y nếu x = 1
0 nếu ngợc lại
(1-14)
Việc định nghĩa các t-conom, t-norm và phép lấy phần bù khác nhau sử
dụng trong lý thuyết tập mờ cung cấp cho chúng ta một sự lựa chọn phong
phú hơn khi xây dựng hệ logic mờ.
1.3. Quan hệ mờ
Quan hệ mờ thể hiện độ thuộc của sự xuất hiện hoặc không xuất hiện của
sự kết hợp, sự ảnh hởng hoặc tính chất liên kết giữa các phần tử của hai hay
nhiều tập mờ.
Định nghĩa 1-4: Gọi U và V là hai không gian nền. Quan hệ mờ, R(U,V)
là một tập mờ trong không gian của tích Đê-các U ì V. Tập mờ này là tập con
của U ì V và đợc đặc trng bởi hàm thuộc à R ( x, y ) , với x U và y V .
10
Vì các quan hệ mờ là các tập mờ trong không gian Đê-các nên lý thuyết
tập hợp và các phép toán số học có thể đợc định nghĩa và sử dụng đối với
các quan hệ mờ này bởi việc sử dụng các phép toán hợp, giao, lấy phần bù
mà chúng ta đã định nghĩa ở các phần trớc. Giả sử R(U,V) và S(U,V) viết
tắt là R và S là hai quan hệ mờ trong cùng không gian tích Đê-các UxV. Các
phép hợp và giao của hai quan hệ này với các thành phần của nó đợc định
nghĩa:
à R S ( x , y ) = à R ( x, y ) à S ( x, y )
(1-17)
à R S ( x , y ) = à R ( x , y ) à S ( x, y )
(1-18)
ở đây, là các t-norm và là các t-conorm.
1.3.1. Quan hệ mờ trên cùng không gian
R(U,V) = {((x,y), à R ( x, y ) )| (x,y) U ì V }, với
|x-y|
5
(1-13)
à
R
( x, y ) [0,1]
(1-15)
Ví dụ 1-4: Xem xét mức độ phù hợp của hai quan hệ mờ sau đây: u gần
với v và u nhỏ hơn v; và quan hệ mờ u gần v hoặc u nhỏ hơn v. Tất
cả các quan hệ này cùng không gian tích Đê-các UxV. Để đơn giản, chúng ta
giả sử rằng U={u1, u2} = {2, 12} và V ={v1, v2, v3} = {1, 7, 13}. Chúng ta sẽ
tính toán giá trị độ thuộc của các thành phần trong phép hợp và giao của hai
quan hệ này. Hàm thuộc cho các quan hệ mờ gần và nhỏ ký hiệu là
11
à c (u, v) và à s (u, v) . Các số trong à c (u, v) và à s (u, v) đợc chọn để phù hợp với
khái niệm sự so sánh hai số trong U và V.
à c (u, v)
u1
u2
Định nghĩa 1-5:
v1
v2
v3
0.9
0.1
0.4
0.4
0.1
0.9
v2
v3
v1
u 0
à s (u , v) 1
u2 0
0.6 1
0 0.3
(1-19)
(1-21)
à c s (u i , v j ) = à c (u i , v j ) à s (u i , v j )
(1-22)
và
ở đây, i = 1, 2 và j = 1, 2, 3. Sử dụng các công thức (1-21) và (1-22), ta có:
u1
u2
v2
v3
0.9
0.1
0.6
0.4
1
0.9
v1
v2
v3
u 0
à cs (u, v) 1
u2 0
0.4
0
0.1
0.3
à
(1-20)
à c s (u i , v j ) = à c (u i , v j ) à s (u i , v j )
v1
Giả sử R(U,V) là một quan hệ mờ trên không gian tích Đê-các U ì V và
S(V,W) là một quan hệ mờ trên không gian tích Đê-các V ì W có các hàm
thuộc tơng ứng là à R ( x, y ) và à S ( y, z ) với à R ( x, y ) [0,1] , à S ( y, z ) [0,1].
Phép hợp thành giữa quan hệ mờ R và S ký hiệu là R o S, là một quan hệ mờ
có hàm thuộc à Ro S ( x, z ) đợc định nghĩa:
Giả sử dùng minimum t-norm ( ) và maximum t-conorm ( ) cho các
phép hợp và giao khi đó:
à cs (u, v)
1.3.2. Quan hệ mờ và phép hợp thành trên các không gian khác nhau
Từ (1-23) và (1-24) chúng ta thấy rằng u gần v hoặc u nhỏ hơn v
phù hợp hơn nhiều so với u gần v và u nhỏ hơn v bởi vì giá trị độ thuộc
à cs (u, v) tơng đối lớn, trong khi đó giá trị độ thuộc à c s (u, v) tơng đối nhỏ.
( x, z ) = supy V[ à (x,y)
R
S
(y,z)]
(1-25)
Ví dụ 1-5: Giả sử c là một quan hệ mờ u gần v trên không gian tích Đêcác U ì V, ở đây U={u1, u2} và V={v1,v2,v3}, với các giá trị đợc cho nh
sau: U={2,12}, V={1,7,13}; giá trị độ thuộc của quan hệ mờ này đợc cho
bởi (1-19). Và mb một quan hệ mờ v lớn hơn nhiều w trên không gian
V ì W, ở đây W={w1, w2}={4.8}, giá trị độ thuộc à mb (v, w) đợc cho trong
(1-26) dới đây:
w1
v1 0
à mb (v, w) = v2 0.6
v3 1
w2
0
0
0.7
(1-26)
Phát biểu u gần v và v lớn hơn nhiều w thể hiện phép hợp thành giữa
hai quan hệ mờ c và mb nó là một tập mờ có hàm thuộc à comb (u, w) đợc xác
định theo (1-25) và minimun-tnorm nh sau:
à
c o mb
(u i , w j ) = [ à (u i , v1 ) à (v1 , w j ) ] [ à (u i , v 2 ) à (v 2 , w j ) ]
c
mb
c
[ à (u i , v3 ) à (v3 , w j ) ]
c
mb
(1-27)
mb
với i = 1,2 ; j = 1,2,3; thể hiện minimum và thể hiện maximum.
Chẳng hạn:
12
à
ở đây toán tử supremum chính là hàm maximum và toán tử là một tnorm, chẳng hạn nh hàm minimum. Nh vậy, sup-star ở đây đợc hiểu nh
các sup-min và sup-product tơng đơng với các max-min và max-product.
(1-23)
(1-24)
Ro S
13
à
c o mb
(u1 , w1 ) = [ à (u1 , v1 ) à (v1 , w1 ) ] [ à (u1 , v 2 ) à (v 2 , w1 ) ]
c
mb
c
mb
(1-28)
[ à (u1 , v3 ) à (v3 , w1 ) ]
c
Hàm thuộc của mối quan hệ mờ giữa hai tập mờ A và B có thể đợc xác
định theo các Công thức (1-32) (1-34) dới đây:
mb
= [0.9 0] [0.4 0.6] [0.1 1]
= 0 0.4 0.1 = 0.4
Tính toán tơng tự cho các phần tử còn lại chúng ta có ma trận độ thuộc
của các thành phần của quan hệ mờ à comb (u, w) nh sau:
à comb (u, w) = u1
u2
w1
0.4
0.9
w2
0.1
0.7
(1-29)
Chú ý:
Trong trờng hợp V = U, khi đó hàm thuộc
à
R
à
(x,y) trở thành
R
à
khi đó phép hợp thành sup-star trong (1-25) trở thành:
(1-30)
đây chỉ là hàm của một biến đầu ra z. Nh vậy, chúng ta có thể đơn giản
ký hiệu à Ro S ( x, z ) thành à Ro S (z ) , và ta có
à
Ro S
(z ) = supx U[ à (x)
R
à
S
(x,z)]
(1-31)
1.4. Cơ bản về suy diễn mờ
Luật mờ là một thành phần chính trong hệ logic mờ. Trong Logic mờ các
luật thờng đợc phát biểu dới dạng mệnh đề if then (nếu thì):
If x is A, then y is B, với x X và y Y
(nếu x là A thì y là B, với x X và y Y)
Mệnh đề trên là một quy tắc thể hiện mối quan hệ giữa hai tập mờ A và B,
hàm thuộc của mối quan hệ này ký hiệu là à A B ( x, y ) , với à A B (x,y) [0,1].
ở đây,
à
A B
(x,y) xác định độ thuộc của mối quan hệ giữa x và y trong
không gian tích Đê-các X ì Y.
A B
à
A B
à
A B
( x, y ) = 1- min[ à (x) , 1 ( x, y ) = max[1-
à
A
(x) ,
à
B
B
( y) ]
( y) ]
( x, y ) =1- à (x) (1- à ( y ) )
A
(1-32)
(1-33)
(1-34)
B
Trong Logic mờ, luật Modus Ponen đợc tổng quát hóa nh sau:
Giả thiết: x là A*
Phép kéo theo: Nếu x là A thì y là B
Trong đó A*, A, B*, B là các tập mờ.
Từ dạng thức Modus Ponen tổng quát của luật chúng ta thấy có sự khác
nhau ở tên gọi của giả thiết (A và A*) và kết luận (B và B*). Điều này nói lên
rằng, trong logic mờ, tập mờ giả thiết A* không phải lúc nào cũng trùng với
tập mờ giả thiết A của luật if-then. Và tập mờ kết luận B* không phải luôn
trùng với kết luận B của luật if-then.
Trong logic rõ, một luật chỉ đợc đốt cháy nếu và chỉ nếu giả thiết trùng
với vế trái của luật và kết quả chính là vế phải của luật. Trong logic mờ, luật
đợc đốt cháy với một độ thuộc khác 0 của sự tơng tự giữa giả thiết và vế
trái của luật; và kết quả là một độ thuộc khác 0 của sự tơng tự giữa kết luận
và vế phải của luật.
Luật mờ dạng Modus Ponen tổng quát là một kết cấu mờ; ở đây, quan hệ
mờ thứ nhất là một tập mờ đơn thuần A*. Do vậy, sử dụng (1-31), à B ( y )
*
nhận đợc từ phép hợp thành sup-star nh sau:
à
B*
( y) =
sup
x X
[ à * ( x) à
A
A B
( x, y )]
(1-35)
Để hiểu rõ hơn về (1-35), chúng ta sẽ xem xét ví dụ sau đây. Trong ví dụ
này, chúng ta giả sử rằng tập mờ A* là một tập mờ đơn trị (singleton), còn
gọi là bộ mờ hóa đơn trị.
à
14
à
A
Kết luận: y là B*
(x) hoặc
R
(y), ví dụ quan hệ mờ y là một số trung bình và y nhỏ hơn z. vì V=U,
supy V[ à R (x,y) à S (y,z)] = supx U[ à R (x) à S (x,z)]
à
A*
1
với x = x '
( x) =
'
0
với
x
x
và
x X
15
(1-36)
Với bộ mờ hóa đơn trị, (1-35) trở thành:
à
=
vì
B*
( y) =
sup
x X
sup
[à
x X
1.5. Nguyên lý mở rộng
[ à * ( x) à
A
'
A B
( x , y ),0] =
A B
à
( x, y )]
'
A B
( x , y)
(1-37)
Nh vậy, với bộ mờ hóa đơn trị việc tính toán supermum dễ dàng hơn, bởi
à A ( x) chỉ khác không tại một điểm duy nhất, x.
*
Ví dụ 1-6: Sử dụng (1-32) cho
à
B*
à
A B
( x, y ) , khi đó (1-37) trở thành
( y ) = 1- min[ à ( x ' ) , 1 A
à
B
à
chúng ta xác định đợc min[ à
A
A
Gọi f là một ánh xạ từ không gian X vào không gian Y, khi đó:
( x ' ) cũng đợc đa ra trong hình (b), sau đó
(x' ) , 1 -
à
hình (b). Chú ý rằng, giá trị độ thuộc
à
B
( y ) ], cũng đợc thể hiện trong
y = f(x1, x2, , xr) Y
Tiếp theo, giả sử A1, A2, Ar lần lợt là các tập mờ loại một trong X1, X2,
Xr. Khi đó, nguyên lý mở rộng cho phép chúng ta ánh xạ r tập mờ loại một
A1, A2, Ar thành một tập mờ loại một B đợc xác định trên Y qua một hàm
f nh sau, B = f(A1, A2, Ar) với:
sup min{à ( x ), à ( x ), ..., à ( x )}
r
1
2
A1
A2
Ar
1
( x , x , .. x ) f ( y )
à B ( y) =
r
1
2
1
0 if f ( y ) =
'
A
( x ) trong hình (b) đợc chọn một
à ( x ) [0,1]. Cuối cùng, chúng ta
1- min[ à ( x ) , 1 - à ( y ) ] và đợc thể hiện trong hình (c).
'
cách tùy ý với
Tích Đê-các của r tập rõ bất kỳ X1, X2, , Xr , ký hiệu X1 ì X2 ì ì Xr là
một tập rõ của tập tất cả các bộ r phần tử đợc đánh chỉ số (x1, x2, , xr) với
xi Xi , i = 1 ..r
X = X1 ì X2 ì ì Xr = {(x1, x2, , xr) | x1 X1, , xr Xr}
( y) ]
Đồ thị minh họa kết quả phép hợp thành đợc đa ra trong Hình 1-4.
à B ( y) đợc thể hiện trong hình (a); chúng ta tính toán 1- à B ( y) và đợc thể
hiện trong hình (b); độ thuộc
Công cụ để tính toán các phép hợp, giao và phần bù của một tập mờ loại
hai là nguyên lý mở rộng của Zadeh (1975); Dubois và Prade (1980). Sau
đây là nguyên lý mở rộng tổng quát.
xác định đợc
A
'
A
à
B
B
ở đây f-1(y) ký hiệu tập tất cả các điểm x1 X1, , xr Xr thỏa mãn:
y = f(x1, x2, , xr)
1 - min[ à ( x ' ) ,
( y)
1 à
1
à
1
B
1-
( y)
à
Để tính toán (1-38), trớc tiên chúng ta xác định các giá trị x1, x2, ..xr thỏa
mãn y = f(x1, x2, , xr), sau đó tính toán các giá trị à A ( x1 ) , , à A ( x r ) và
A
B
( y) ]
1
xác định min{ à A ( x1 ) , ,
1
'
A
(x )
min[ à ( x ' ) ,
1-
à
1
A
B
y
(c)
Hình 1-4
Ar
lớn nhất của các min( à A ( x1 ) , ,
1
(b)
à
r
( x1 ) }. Nếu có nhiều hơn một bộ số (x1, , xr)
cho cùng một giá trị y = f(x1, x2, , xr), khi đó
( y) ]
y
y
(a)
(1-38)
à
Ar
à
B
( y ) đợc xác định là giá trị
( x r ) ) ứng với mỗi bộ số.
Trong định nghĩa nguyên lý mở rộng của mình, Zadeh sử dụng minimum
t-norm và maximum t-conrm. Ngoai ra, Mizumoto, Tanaka và Dubois còn sử
dụng các t-norm và t-conorm. Khi sử dụng một t-norm khác thay cho
minimum trong (1-38), chúng ta sẽ thay thế thành phần sup-min bởi sup-star.
Một cách tổng quát, tập mờ loại một B đợc xác định từ r tập mờ loại một
A1, A2, Ar lần lợt xác định trên X1, X2, Xr qua hàm f đợc định nghĩa:
16
17
B = f(A1, A2, Ar) =
x1 X 1
...
xr X r
à
A1
( x1 ) ... à ( x r ) / f ( x1 ,.., x r )
Ar
(1-39)
cho trờng hợp Xi , i =1 ..r là không gian liên tục
2.1. Giới thiệu chung
và
B = f(A1, A2, Ar) =
x1X 1
... x X
r
r
à
A1
( x1 ) ... à ( x r ) / f ( x1 ,.., x r ))
Ar
(1-40)
cho trờng hợp Xi , i =1 ..r là không gian rời rạc
Ví dụ nếu f(x1, x2) = x1x2/(x1+x2) khi đó:
B = f(A1, A2) =
x1 X 1
x2 X 2
à
A1
Chơng 2. tập mờ loại hai
( x1 ) à ( x r ) /
A2
x1 x 2
x1 + x 2
1.6. Kết luận chơng
Trong chơng này đã trình bày sơ lợc về khái niệm tập mờ, các phép toán
tập hợp trên tập mờ bao gồm các phép toán hợp, giao, lấy phần bù. Ngoài ra,
còn giới thiệu về quan hệ mờ và cơ bản về suy diễn mờ.
Tập mờ trong chơng này có độ thuộc của mỗi phần tử trong không gian
nền là một số thực thuộc đoạn [0, 1], do đó đợc gọi là tập mờ loại một để
phân biệt với khái niệm tập mờ loại hai đợc đa ra ở chơng tiếp theo.
Trong Chơng một đã đề cập những vấn đề cơ bản nhất của lý thuyết tập
mờ. Tuy nhiên, lý thuyết tập mờ thông thờng (tập mờ loại một) tiềm ẩn
những mâu thuẫn nhất định. Đó là để phát triển bất cứ hệ logic mờ nào,
ngời thiết kế phải xây dựng hàm thuộc cho các tập mờ sử dụng trong hệ,
hay là phải mô tả sự không chắc chắn bằng các hàm thuộc rõ ràng, chắc
chắn. Điều đó có nghĩa là việc biểu diễn sự không chắc chắn lại sử dụng các
độ thuộc mà bản thân chúng là các số thực chính xác.
Năm 1975, Zadeh giới thiệu khái niệm tập mờ loại hai nhằm giải quyết
vấn đề trên. Đó là thay vì độ thuộc là một số thực nh với tập mờ thông
thờng, với tập mờ loại hai, độ thuộc là một tập mờ loại một trên đoạn [0, 1].
Tập mờ loại hai thờng đợc sử dụng trong những trờng hợp khó xác định
chính xác giá trị độ thuộc của các phần tử trong không gian nền. Trong
chơng này sẽ đề cập đến khái niệm tập mờ loại hai, các phép toán và các
tính chất trên nó.
2.2. Hàm thuộc loại hai
2.2.1. Khái niệm tập mờ loại hai
Đối với tập mờ loại một, độ thuộc của các phần tử là các giá trị số thực
trong khoảng [0, 1]. Trong trờng hợp chúng ta không thể xác định đợc giá
trị độ thuộc của các phần tử, khi đó chúng ta có sử dụng các tập mờ loại một
đề biểu diễn giá trị độ thuộc đó. Mở rộng tập mờ loại một bằng cách cho
phép các độ thuộc là các tập mờ loại một trong khoảng [0, 1] ta đợc khái
niệm tập mờ loại hai. Một trong những u điểm của tập mờ loại hai so với
tập mờ loại một đó là nó cho phép biểu diễn các giá trị độ thuộc bằng các giá
trị mờ, các giá trị ngôn ngữ chứ không phải là các giá trị số hoàn toàn chính
xác.
2.2.2. Định nghĩa tập mờ loại hai và các khái niệm
Hình 2-1 (a) biểu diễn hàm thuộc của một tập mờ loại một. Dịch chuyển
các điểm trên đồ thị này sang phải và sang trái một đoạn không nhất thiết
bằng nhau, vết mờ đợc tạo ra nh Hình 2-1 (b). Tại một giá trị cụ thể của x
gọi là x, giá trị hàm thuộc không còn là một giá trị đơn nữa, mà là một tập
18
19
các giá trị nằm trong đoạn giao cắt của đờng x = x với vệt mờ. Nh vậy,
chúng ta có thể gán một biên độ phân tán cho mỗi điểm. Thực hiện việc gán
biên độ cho tất cả các điểm x X, chúng ta tạo ra một hàm thuộc ba chiều
một hàm thuộc loại hai, đặc trng cho tập mờ loại hai.
thẳng đứng đậm trong hình thể hiện một giá trị
ở đây,
à
~
A
~
A
( x, u ) ) | x X , u Jx [0, 1]}
(2-1)
(nh trong ví dụ Hình 2-1 (b)) biến mất thì hàm thuộc loại hai sẽ giảm thành
hàm thuộc loại một. Hơn nữa, việc giới hạn 0 à A~ ( x, u ) 1 cũng phù hợp
ràng buộc giá trị của một hàm thuộc nằm trong khoảng [0,1].
( x, u ) [0, 1].
~
à
x X u J x
phép
à
1
Có thể biểu diễn A nh sau:
~
A =
~
A
b
0
0.2
1
à
A
1
3
2
5
4
x
c
0.4
u
0.6
0.8
1
1
( x, u )
(2-2)
u.
u
~
A
a
( x, u ) /( x, u ) , Jx [0, 1]
ở đây biểu thị tập hợp tất cả các giá trị có thể chấp nhận của x và
u
( x, u ) , tơng ứng với một
phù hợp với ràng buộc của một tập mờ loại một: 0 à A (x) 1. Nếu vết mờ
~
à
~
A
Trong Định nghĩa 2-1, giới hạn các giá trị u: u Jx [0, 1], điều này
Định nghĩa 2-1: Một tập mờ loại hai, ký hiệu A , đợc mô tả bởi một hàm
thuộc loại hai à A~ ( x, u ) , với x X và u Jx [0, 1],
~
A = {((x,u),
à
cặp giá trị (x, u) xác định.
1
(x)
J1
J2
J3
J4
J5
u
Hình 2-2. Ví dụ về hàm thuộc loại hai
0
x
0
x'
(a)
(b)
x
0
(c)
Hình 2-1: (a) Hàm thuộc loại một, (b) Vết mờ
hàm thuộc loại một, (c) FOU
Ví dụ 2-1: Hình 2-2 diễn tả
à
~
A
( x, u ) cho các giá trị x và u rời rạc.
Với X = {1, 2, 3, 4, 5} và U = {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8}, J1 = {0, 0.2, 0.4},
J2 = {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8}, J3 = {0.6, 0.8} và J4 = J1 . Trong đồ thị, chúng ta
chỉ thể hiện các giá trị trong J1, , J5 có giá trị à A~ ( x, u ) 0. Mỗi đờng
x
Định nghĩa 2-2: Tại mỗi giá trị của x, x = x, mặt phẳng hai chiều mà các
trục của nó là u và à A~ ( x ' , u ) đợc gọi là một lát cắt dọc của à A~ ( x, u ) . Một
là
à
~
A
( x = x' , u ) với x X và u
à
ở đây, 0
quy thành
20
à
hàm thuộc thứ cấp là một lát cắt dọc của
à
f
~
A
x'
~
A
( x = x' , u )
à
~
A
J
x'
( x' ) =
~
A
( x, u ) . Hàm thuộc thứ cấp chính
[0, 1],
f
u
x'
(u ) / u
J
x'
[0, 1]
(u ) 1. Vì x X, nên ta có thể bỏ dấu phẩy trên
( x) là một hàm thuộc thứ cấp.
21
(2-3)
Jx
à
~
A
( x' )
~
Sử dụng (2-3), A có thể đợc biểu diễn lại dới dạng:
~
A = {(x,
à
~
A
( x) ) | x X }
(2-4)
của fx(u) đạt tại trung điểm của Jx. Một hàm thuộc loại hai Gaussian đợc
diễn tả ở Hình 2-3.
u
hoặc
à
~
A =
x X
~
A
( x) / x =
[
f
x X u
Jx
x
(u ) / u ] / x , Jx [0,1]
1
(2-5)
0.8
Định nghĩa 2-3: Miền của một hàm thuộc thứ cấp đợc gọi là độ thuộc sơ
cấp của x. Trong (2-5), Jx là độ thuộc sơ cấp của x, ở đây Jx [0,1] với x
X.
Định nghĩa 2-4: Giá trị của một hàm thuộc thứ cấp đợc gọi là độ thuộc
thứ cấp. Trong (2-5), fx(u) là một độ thuộc thứ cấp; trong (2-1), à A~ ( x' , u ' )
0.6
0.4
0.2
0
( x X và u U) là một độ thuộc thứ cấp.
x X
M1
= [
k =1
[u
3
4
5
6
x
1
N
Jx
f x (u
1k
1
2
(a)
Nếu X và Jx là các tập rời rạc khi đó vế phải của (2-5) có thể đợc biểu
diễn lại nh (2-6) dới đây:
~
A =
1
f x (u ) / u ] / x =
[ f
i =1 u
MN
)] / x1 + + [
k =1
J xi
f x (u
N
xi
Nk
(u ) / u ] / xi
)] / x N
0.8
(2-6)
Trong (2-6), x đợc rời rạc hóa thành N giá trị và tại mỗi giá trị của x, u
cũng đợc rời rạc hóa thành Mi giá trị. Việc rời rạc hóa dọc theo mỗi biến uik
là không giống nhau. Tuy nhiên, nếu việc rời rạc hóa dọc theo mỗi biến uik là
nh nhau thì khi đó Mi = M2 = = MN = M.
Ví dụ 2-2: Trở lại Hình 2-2, hàm thuộc thứ cấp tại x = 1 là a / 0 + b / 0.2
+ c / 0.4. Các giá trị độ thuộc sơ cấp của nó tại x = 1 là u = 0, 0.2, 0.4 và các
độ thuộc thứ cấp kết hợp với chúng là a, b, c.
f4(u)
0.6
0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
u
(b)
Hình 2-3: (a): Một tập mờ loại hai Gaussian.
(b): Hàm thuộc thứ cấp Gaussian tại x = 4
Khi fx(u) = 1 với u Jx [0, 1] thì các hàm thuộc thứ cấp là các tập
khoảng. Nếu điều này là đúng với mọi x X, khi đó chúng ta gọi tập mờ
loại hai này là tập mờ loại hai khoảng và chúng ta có hàm thuộc lọai 2
khoảng. Tập mờ loại hai khoảng sẽ đợc trình bày chi tiết ở Chơng bốn.
Định nghĩa 2-5: Độ không chắc chắn trong các độ thuộc sơ cấp của một
~
tập mờ loại hai, A , là một miền giới hạn, đợc gọi là chân đế của độ không
chắc chắn (FOU). FOU là hợp của tất cả các độ thuộc sơ cấp.
Ví dụ 2-3: Hàm thuộc thứ cấp dạng Gaussian và tam giác thờng có đỉnh
tại điểm trung tâm của độ thuộc sơ cấp của x và giá trị hàm thuộc thứ cấp
giảm nhanh đối với các điểm xa điểm trung tâm đó. Nh vậy, giá trị cực đại
Về mặt ý nghĩa hình học, FOU mô tả trực quan độ không chắc chắn của
tập mờ loại hai, nó là biểu diễn hình học toàn bộ miền trị cho tất cả các độ
22
23
~
FOU( A ) = U x X J x
(2-7)
thuộc thứ cấp của một hàm thuộc loại hai. Trong các ứng dụng, FOU là một
căn cứ đầu tiên để chúng ta lựa chọn các hàm thuộc loại hai phù hợp.
Vùng tô đen trong Hình 2-4 (a) minh họa FOU của một tập mờ loại hai.
thẳng song song với trục u đi qua trung điểm T của a và b cắt với đờng
u = 1. FOU đợc xác định là hợp của tam giác ((0, a - a ), (0, a + a ),
(a+r/2,1)) và tam giác ((0, b - b ), (0, b+ b ), (b-r/2,1)). (Hình 2-5).
u
u
1
1
Jx1
Jx2
x1
x2
x
(a)
a
Hình 2-4 (a): Miền tô đen là FOU của một tập mờ
loại hai. Độ thuộc sơ cấp Jx1 và Jx2 tại điểm x1 và x2
r/2
r
a
x
b
b
Hình 2-5: FOU dạng tam giác
à (x )
~
A
à (x )
~
A
1
1
2
1
0
0.7
u
0
Hình 2-4 (b): Các hàm thuộc sơ cấp
0.4
0.8
1
~
A
u
à
2
Ví dụ 2-4: Ví dụ này chỉ ra một cách đơn giản để xây dựng một FOU cho
một khoảng với hai điểm xác định với các hàm thuộc tam giác. Gọi a là giá
trị trung bình của của các điểm bên trái của khoảng, b là giá trị trung bình
của các điểm bên phải của khoảng và độ lệch chuẩn của các điểm bên trái là
a , của các điểm bên phải là b . Chúng ta định nghĩa hai khoảng không
a
, a +
A
(x | p1, p2, , pv) trong đó p1, p2, , pv là các
A
(x | p1= p1 , p2 = p2 , , pv = pv)
Để đơn giản, chúng ta ký hiệu một hàm thuộc sơ cấp là
điểm x1 và x2. Các hàm thuộc sơ cấp này là các tập mờ khoảng
chắc chắn tơng ứng với hai điểm a và b là [a -
à
tham số, các giá trị pi biến đổi trong một miền giá trị Pi ,(pi Pi) xác định một
họ hàm thuộc loại một. Một hàm thuộc sơ cấp (gọi tắt là MF) đợc định
nghĩa là một hàm thuộc loại một bất kỳ trong trong họ hàm thuộc loại một
trên:
à ( x ) và à ( x ) tại hai
~
A
Định nghĩa 2-6: Giả sử
a
] và
à
A
(x). Một họ
hàm thuộc sơ cấp xác định một FOU.
Nh vậy, Định nghĩa 2-6 chỉ cho chúng ta một phơng pháp xác định
FOU từ họ hàm thuộc sơ cấp.
Các ví dụ sau đây minh họa việc xác định một FOU từ một họ MF.
Ví dụ 2-5: Họ hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số giá trị trung bình
không chắc chắn.
điểm của a và b. Xác định đỉnh của các tam giác là giao điểm của đờng
Xét hàm thuộc sơ cấp Gaussian với độ lệch chuẩn không đổi và giá trị
trung bình m biến đổi trong khoảng [m1, m2]:
24
25
[b -
b
,b+
b
]. Gọi r là khoảng cách giữa hai điểm a và b. Gọi T là trung
à
A
1 x m 2
) , m [m1, m2]
2
(x) = exp (
Định nghĩa 2-7: Một hàm thuộc trên và một hàm thuộc dới là hai hàm
~
thuộc loại một, là hai đờng biên FOU của một tập mờ loại hai A . Hàm
~
thuộc trên đợc gắn với đờng biên trên của FOU( A ) và đợc ký hiệu là
à A~ (x), x X. Hàm thuộc dới đợc gắn với đờng biên dới của
(2-8)
Tơng ứng với mỗi giá trị m chúng ta sẽ nhận đợc một đờng cong độ
thuộc khác nhau. Họ các đờng cong này xác định một FOU, nh
Hình (2-6).
~
FOU( A ) và đợc ký hiệu là
à
1
1
à
à
~
A
(x), x X.
~
~
A
(2-10)
(x) FOU ( A) x X
~
~
A
(x) FOU ( A) x X
(2-11)
Vì miền trị của một hàm thuộc thứ cấp nằm trong khoảng [0,1] nên hàm
thuộc trên và hàm thuộc dới luôn luôn tồn tại.
~
1
m1
m2
x
Hình 2-6: FOU của hàm thuộc sơ cấp
Gaussian với tham số giá trị trung
bình m không chắc chắn
đây
x
m
Hình 2-7: FOU của hàm thuộc sơ
cấp Gaussian với tham số độ lệch
chuẩn không chắc chắn
và
J và J
à (x) = J
x
ký hiệu bao trên và bao dới của
x
~
A
x
~
A =
à
~
A
x X
Khi đó hàm thuộc thứ cấp
(2-9)
Tơng ứng với mỗi giá trị chúng ta sẽ nhận đợc một đờng cong độ
thuộc khác nhau. Họ các đờng cong này xác định một FOU, nh
Hình (2-7).
26
[
x X
à
. Nh vậy,
à
~
A
(x) =
,ở
J
x
~
A
à
~
A
u [
à
~
A
~
A
[
( x) / x =
x X
( x ),
à
~
A
( x )]
f
x
u
Jx
f x (u ) / u ] / x
(2-12)
(u ) / u ] / x
(x) có thể đợc viết lại theo (2-13):
(x) =
u [
à
~
A
( x ),
à
~
A
( x )]
f
x
(u ) / u
(2-13)
2.3. Tập mờ loại hai nhúng
Định nghĩa 2-8: Cho hai không gian liên tục X và U, một tập mờ loại hai
~
nhúng A đợc định nghĩa:
~
Ae =
2.2.3. Hàm thuộc trên và hàm thuộc dới
Khái niệm FOU có thể đợc diễn tả bởi một khái niệm khác đó là hàm
thuộc trên và hàm thuộc dới.
à
( x, u ) =
Xét hàm thuộc sơ cấp Gaussian với giá trị trung bình m không đổi và độ
lệch chuẩn biến đổi trong khoảng [ 1 , 2 ] :
1 x m 2
) , [ 1 , 2 ]
2
x
x
Với khái niệm này, chúng ta có thể viết lại (2-5) nh sau:
=
(x) = exp (
A
J
J
với x X.
Ví dụ 2-6: Họ hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số độ lệch chuẩn
không chắc chắn.
à
~
Từ (2-7), chúng ta thấy rằng FOU ( A) = U x X J x và FOU ( A) = U x X
2
[ f
x X
~
x
( ) / ] / x , J x U = [0,1]
~
(2-14)
Tập Ae đợc nhúng trong tập A . Có vô số các tập mờ loại hai đợc nhúng
~
trong A khi X và U là hai không gian liên tục.
27
~
Tại mỗi giá trị của x, hàm thuộc của Ae nhận duy nhất một giá trị độ
thuộc sơ cấp , ( J x ) và đợc kết hợp với một độ thuộc thứ cấp
f
x
/ x
Ae =
,
x X
( ) .
J
x
U = [0,1]
(2-16)
~
Tập Ae là tập tất cả các độ thuộc sơ cấp của tập mờ loại hai nhúng Ae
Hình 2-8 là một ví dụ về một tập mờ loại hai nhúng.
~
Nh vậy, một tập mờ loại hai A có thể đợc hiểu là một tập hợp các tập
~
~
mờ loại hai Ae , đợc gọi là các tập mờ loại hai nhúng trong A .
Khi tính toán với tập mờ loại hai, chúng ta thờng rời rạc hóa không gian
X và U nh trong (2-6). Khi đó, sẽ có một số hữu hạn các tập mờ loại hai
~
~
nhúng Ae trong A .
~
đợc định nghĩa trong (2-14). Có vô số tập mờ loại một nhúng Ae của Ae khi
hai tập X và U liên tục.
Định nghĩa 2-11: Cho hai không gian rời rạc X và U, trong mỗi tập
~
, J , .., J , là N độ thuộc sơ cấp của tập mờ loại hai A , ta chọn duy
Jx
1
x2
xN
nhất một phần tử i ( i J
xi
, i =1 ..N) ta đợc N phần tử và tạo thành một
tập mờ loại một nhúng đợc xác định nh sau:
1
Ae =
/x
N
i =1
i
i
, i
Jx
(2-17)
U = [0,1]
i
~
Nh vậy, tập Ae là tập hợp tất cả các độ thuộc sơ cấp của Ae đợc định
M
N
nghĩa trong (2-15). Có tất cả
i =1
x
J x ,(i = 1..N) và mỗi giá trị độ thuộc sơ cấp này đợc kết
hợp với duy nhất một giá trị độ thuộc thứ cấp f ( ) , (i = 1 ..N).
x
với
i
~
A
( x, u )
i
i
0
i
~
Ae =
[ f x ( ) / ] / x , J x
N
i =1
i
i
i
i
i
~
Tập Ae đợc nhúng trong A , và có tổng số
U = [0,1]
i
M
0.6
~
N
i =1
i
2
0.4
(2-15)
tập mờ nhúng Ae
~
trong A .
1
0.2
i
~
à
1
Định nghĩa 2-9: Cho hai không gian rời rạc X và U, một tập mờ loại hai
~
nhúng Ae có N phần tử là các giá trị độ thuộc sơ cấp ký hiệu là 1 , 2 , ,
N
tập mờ nhúng Ae .
Ví dụ 2-7: Hình 2-9 thể hiện hai tập mờ loại hai nhúng của hàm thuộc
loại hai đợc diễn tả trong Hình 2-2. Tơng ứng với mỗi tập mờ loại hai
nhúng đó là các tập mờ loại một nhúng: 0 / 1 + 0.4 / 2 + 0.8 / 3 + 0.8 / 4 +
0.4 / 5 (Hình 2-9 (a)) và 0.2 / 1 + 0.8 / 2 + 0.6 / 3 + 0.2 / 4 +0.2 / 5 (Hình 2-9
(b)) .
Hình 2-8: Ví dụ về một tập loại một nhúng
(đờng đứt tô đậm) trong một tập mờ loại hai.
i
0.8
1
Định nghĩa 2-10: Cho hai không gian liên tục X và U, một tập mờ loại
một nhúng Ae đợc định nghĩa:
28
J1
u
J2
J3
J4
(a)
29
J5
3
4
5
x
à
1
~
A
ở đây:
( x, u )
v
v
Jx
h x (v ) / v = (
u
u
Jx
f x ( u ) / u ,
w
w
Jx
(2-21)
g x (w) / w)
= ( à A~ ( x), à B~ ( x))
và hàm đóng vai trò là của hàm f trong biểu thức (1-39) trong Chơng
0
1
2
3
4
5
x
một, là một hàm t-conorm của các hàm độ thuộc thứ cấp
0.2
( à A~ ( x) và
0.4
0.6
1
J2
J3
J4
(
(b)
u
Hình 2-9: Một tập mờ loại hai nhúng và một tập mờ loại một nhúng
đợc gắn với hàm thuộc loại hai đợc biểu diễn trong Hình 2-2
Trong phần này đề cập tới các phép toán tập hợp đối với tập mờ loại hai
nói chung. Các phép toán tập hợp bao gồm phép hợp, giao, phần bù.
~
~
Cho hai tập mờ loại hai A và B xác định trên cùng không gian X:
~
u
A = à ~ ( x) / x = [ u f x (u ) / u ] / x J x [0,1]
A
X
X
JX
~
w
B = à ~ ( x) / x = [ W g x ( w) / w] / x J x [0,1]
B
X
X
JX
~
J
x
( x) là các tập mờ loại một). là một hàm t-conorm bởi vì hợp
à
x X
( x) / x =
x X
[
v h (v ) / v ] / x ,
v J X x
à
~ ~
AB
w
( x) =
w
Jx
g x (w) / w) =
u
J x w J x
u
w
f x (u ) g x ( w) / (u, w)
(2-22)
v
v
Jx
h x (v ) / v =
u
J x w J x
u
w
f x (u ) g x ( w) /(u w) , x X
(2-23)
ở đây, dấu thể hiện một minimum hoặc một hàm nào đó.
~
~
Một cách khác để diễn tả (2-23) theo hàm thuộc thứ cấp của A và B ,
à A~ ( x) và à B~ ( x) nh sau:
(2-20)
à
à
~
A
~
A
~ ~
AB
( x) =
à
( x) và à
( x) C
~
B
~
B
u
J x w J x
u
w
f x (u ) g x ( w) /(v)
à
~
A
( x) C
à
~
B
( x) , x X
(2-24)
( x) để thể hiện phép tuyển giữa hai hàm thuộc thứ cấp
( x) , và đó là một cách viết ngắn gọn cho biểu thức ở giữa của
(2-24).
Biểu thức (2-24) chỉ ra rằng, để xác định một phép tuyển giữa hai hàm
thuộc thứ cấp à A~ ( x) và à B~ ( x) , trớc tiên, ta phải xác định tất cả các giá trị
v u w ,với mọi cặp u, w có thể (với u J x và w J x là các độ thuộc sơ
u
~
[0,1]
f x ( u ) / u ,
ở đây, v u w và C thể hiện phép tuyển (join). Sử dụng ký hiệu
~
~ ~
A B
u
Jx
(2-19)
Hợp của hai tập mờ loại hai A và B là một tập mờ loại hai đợc xác định
nh sau:
v
( x) ,
à
Định nghĩa 2-12:
( x, v ) =
~
B
(2-18)
2.4.1. Hợp của các tập mờ loại hai
~ ~
AB
à
Khi là phép toán maximun , khi đó, từ (2-21) và (2-22) chúng ta có:
2.4. Các phép toán trên tập mờ loại hai
à
( x) và
Theo công thức (1-39) ở Chơng một, chúng ta có thể biểu diễn lại (2-21)
nh trong (2-22) dới đây:
J5
u
~
~
A B
~
B
~
A
của hai tập mờ loại một tơng đơng với một t-conorm (chẳng hạn nh
maximum) của các hàm thuộc của chúng.
0.8
J1
à
à
~
w
cấp của A và B tơng ứng); tơng ứng với mỗi cặp u, w , ta xác định các độ
30
31
à
thuộc thứ cấp của
của
à
à
~ ~
AB
~
A
~ ~
AB
( x) và à ~ ( x) là f x (u ) và g x (w) tơng ứng. Theo (2-20), để nhận đợc
B
( x, v) ta phải xác định phép tuyển giữa
à
~
A
( x) và à ~ ( x) với mọi giá trị x
B
X.
Trong trờng hợp có nhiều hơn một cặp giá trị u và w cho cùng một giá trị
u w, khi đó trong phép tuyển, chúng ta sẽ chọn giá trị độ thuộc lớn nhất.
Ví dụ: Nếu hai cặp giá trị (u1, w1) và (u2, w2) có cùng giá trị u1 w1 = u2 w2
= , thì giá trị độ thuộc thứ cấp tơng ứng với đợc chọn là
maximum(fx(u1) gx(w1), fx(u2) gx(w2)).
~
Giao của hai tập mờ loại hai A và B là một tập mờ loại hai đợc xác định
nh sau:
à
~ ~
AB
( x, v ) =
à
x X
~ ~
A B
( x) / x =
v
J
x
xX [v J vX hx (v) / v] / x ,
v
v
Jx
h x (v ) / v = (
u
(2-25)
[0,1]
u
Jx
f x ( u ) / u ,
w
w
Jx
g x (w) / w)
(2-26)
= ( à A~ ( x), à B~ ( x))
u
u
Jx
f x ( u ) / u ,
w
w
Jx
g x (w) / w) =
u
J x w J x
u
w
à
à
~
A
~
A
à
( x) và à
( x)
~
B
( x) =
v
v
Jx
h x (v ) / v =
u
u
~
B
u
w
u
Jx
w
w
Jx
f x (u ) g x ( w) / (u, w)
f x (u ) g x ( w) /(u w) , x X
(2-29)
Biểu thức (2-29) chỉ ra rằng, để xác định một phép hội giữa hai hàm thuộc
thứ cấp à A~ ( x) và à B~ ( x) , trớc tiên, ta phải xác định tất cả các giá trị
v u w ,với mọi cặp u, w có thể (với u J x và w J x là các độ thuộc sơ
u
của
à
w
~
à
~ ~
AB
~
A
( x) và à ~ ( x) là f x (u ) và g x (w) tơng ứng. Theo (2-25), để nhận đợc
B
( x, v) ta phải xác định phép hội giữa
~
A
( x) và à ~ ( x) với mọi giá trị x
B
~
~
à
~
A
( x)
~
Phần bù của một tập mờ loại hai A là một tập mờ loại hai khác, ký hiệu A
đợc xác định nh sau:
Trong biểu thức này
à
~
A
của x,
à
~
A
à
~
A
(x,v) =
à
x X
~
A
( x) / x
(2-30)
( x) là một hàm thuộc thứ cấp; tại mỗi giá trị của
( x) là một hàm (không giống nh trong tập mờ loại một, tại mỗi giá trị
à
A
(x) là một giá trị).
( x) :
32
à
Trong trờng hợp có nhiều hơn một cặp giá trị u và w cho cùng một giá trị
u w, khi đó trong phép tuyển, chúng ta sẽ chọn giá trị độ thuộc lớn nhất.
Ví dụ nếu hai cặp giá trị (u1, w1) và (u2, w2) có cùng giá trị u1 w1 = u2 w2
= , thì giá trị độ thuộc thứ cấp tơng ứng với đợc chọn là
maximum(fx(u1) gx(w1), fx(u2) gx(w2)).
x,
~
~
B
( x) , x X
(2-29).
(2-28)
Ta có thể biểu diễn (2-28) theo hàm thuộc thứ cấp của của A và B ,
à
~
B
Định nghĩa 2-14:
(2-27)
ở đây, dấu thể hiện một minimum hoặc một hàm nào đó.
và
à
( x) , và đó là một cách viết ngắn gọn cho biểu thức ở giữa của
~
A
J x w J x
( x)
~
A
để thể hiện phép hội giữa hai hàm thuộc thứ cấp
( x)
Khi đó từ (2-25) và (2-27) ta có:
~ ~
AB
à
2.4.3. Phần bù của một tập mờ loại hai
ở đây hàm là một minimun, ta sử dụng ký hiệu thay cho .
à
f x (u ) g x ( w) /(v)
ở đây, v u w và thể hiện phép toán hội (meet). Sử dụng ký hiệu
Từ công thức (1-39) ở Chơng một, (2-26) có thể đợc biểu diễn lại:
(
X.
ở đây:
( x) =
~
Định nghĩa 2-13:
~
~ ~
AB
cấp của A và B tơng ứng); tơng ứng với mỗi cặp u, w , ta xác định các độ
thuộc thứ cấp của à A~ B~ ( x) theo phép toán t-norm giữa hai độ thuộc thứ cấp
2.4.2. Giao của các tập mờ loại hai
~
~
A B
à
( x) theo phép toán t-norm giữa hai độ thuộc thứ cấp
33
à
~
A
( x) =
u
u
Jx
f x (u ) /(1 u ) ơ à ~ ( x) , x X
(2-31)
A
=
ở đây ơ ký hiệu cho phép toán phủ định. Sử dụng ký hiệu ơ à A~ ( x) để thể
hiện đó là phần bù của
à
~
A
= 0.3 / 0 + 0.5 / 0 + 0.3 / 0.1 + 0.7 / 0.1
( x) , thay cho cách viết của biểu thức ở giữa của
= max(0.3, 0.5) / 0 + max(0.3, 0.7) / 0.1
(2-31).
=0.5 / 0 + 0.7 / 0.1
Biểu thức (2-31) chỉ ra rằng, để thực hiện phép phủ định của một hàm
à
thuộc thứ cấp
thuộc của
à
~
A
( x) , ta phải tính toán các giá trị 1-u, với mọi u J x , và độ
u
~
A
( x) tại 1-u chính là độ thuộc của
Theo (2-30), để nhận đợc
à
~
A
à
~
A
( x) , fx(u).
(x,v), ta phải xác định phủ ơ à A~ ( x) cho x
X.
Ví dụ 2-8: Để minh họa cho các phép toán hợp, giao, phần bù của hai tập
~
mờ loại hai, chúng ta xem xét ví dụ sau đây. Cho hai tập mờ loại hai, A và
~
B:
0.3 / 0.4 + 0.9 / 0.8
~ 0.5 / 0 + 0.7 / 0.1
~
A=
và B =
x
x
nhất và hàm thuộc thứ cấp tơng ứng là
~
B
à
~
A
( x) = 0.5 / 0 + 0.7 / 0.1 và
( x) = 0.3 / 0.4 + 0.9 / 0.8.
Từ (2-24), sử dụng minimum t-norm và maximum t-conorm, ta có:
à
~ ~
AB
( x) =
=
à
~
A
( x) C
à
~
B
( x) = (0.5 / 0 + 0.7 / 0.1) C (0.3 / 0.4 + 0.9 / 0.8)
0 .7 0 .3 0 .7 0 .9
0.5 0.3 0.5 0.9
+
+
+
0 0.8
0 .1 0 .4
0 .1 0 .8
0 0.4
= 0.3 / 0.4 + 0.5 / 0.8 + 0.3 / 0.4 + 0.7 / 0.8
= max(0.3, 0.3) / 0.4 + max(0.5, 0.7)/ 0.8
=0.3 / 0.4 + 0.7 / 0.8
Từ (2-29), sử dụng mini t-norm và maximum t-conorm, ta có:
à
~ ( x) =
~
AB
à ~ ( x)
A
Từ (2-29), ta có:
à
~
A
( x) = ơ à ~ ( x) = 0.5/(1 - 0) + 0.7/(1 - 0.1) = 0.5/1 + 0.7/0.9
A
Ví dụ 2-9: Tiếp theo, chúng ta xem xét hội của một tập mờ loại hai đơn trị
~
~
~
(singleton), A và một tập mờ loại hai, B . Tập mờ loại hai đơn trị, A là một
tập mờ loại hai có hàm thuộc đợc xác định nh sau:
à
à ~ ( x) = (0.5 / 0 + 0.7 / 0.1) (0.3 / 0.4 + 0.9 / 0.8)
~
A
1/1 x = x '
( x, v ) =
'
1 / 0 x x
~
Tập mờ loại hai B đợc diễn tả bởi hàm thuộc
à
~
~
Nh vậy, tập xác định X của hai tập mờ A và B có một phần tử x duy
à
0 .7 0 .3 0 .7 0 .9
0.5 0.3 0.5 0.9
+
+
+
0 0.8
0 .1 0 .4
0 .1 0 .8
0 0.4
~
B
( x, w) =
à
X
~
B
( x) / x =
[J
X
~
B
( x, w) :
g x ( w) / w] / x
X
J
w
x
[0,1]
(2-33)
Từ (2-29), (2-31), (2-33) và sử dụng minimum t-norm chúng ta có:
à
~
A
( x)
à
~
B
1 / 1 à ~ ( x' ) x = x'
B
( x) =
1 / 0 à B~ ( x) x x'
1 / 1
=
à
1/ 0
~
B
( x' ) x = x'
x x'
=
W g x ' ( w) /(1 w)]
wJ X
1/ 0
= à B~
x = x' and J xw' [0,1]
x x'
( x' ) x = x'
1 / 0 x x'
B
34
W
à
(2-32)
35
(2-34)
~
Nh vậy, về mặt đồ thị, hội giữa một tập mờ loại hai đơn trị, A , và một tập
~
mờ loại hai, B , là một lát cắt dọc của à B~ ( x, w) tại x = x ( à B~ ( x' ) ) và à B~ ( x' )
là một tập mờ loại một.
2.5. Kết luận chơng
Trên đây là những khái niệm cơ bản về tập mờ loại hai. Tập mờ loại hai là
sự mở rộng của tập mờ loại một, nó đợc đặc trng bởi các độ thuộc sơ cấp
và các hàm thuộc thứ cấp, giá trị của các độ thuộc sơ cấp và thứ cấp đều
thuộc đoạn [0, 1]. Tập mờ loại hai đợc biểu diễn trong không gian ba chiều.
Một trong những đặc trng quan trọng của tập mờ loại hai đó là FOU. FOU
của một tập mờ loại hai là hợp của các độ thuộc sơ cấp, nó cho biết độ không
chắc chắn của một tập mờ loại hai. FOU cho phép nhìn một tập mờ loại hai
trong không gian hai chiều. FOU là yếu tố quyết định tới độ phức tạp và chất
lợng của một hệ logic mờ và nó là một trong những cơ sở xem xét đầu tiên
khi thiết kế các hệ logic mờ loại hai. Ngoài ra, chơng này còn đề cập tới các
phép toán cơ bản trên tập mờ loại hai bao gồm các phép toán hợp, giao, phần
bù. Các phép toán này đợc xác định trên cơ sở phép hội, phép tuyển hoặc
một hàm do ngời dùng tự định nghĩa. Đây là công cụ để thực hiện các suy
diễn đối với tập mờ loại hai mà chúng ta sẽ đề cập tới ở chơng tiếp theo.
Chơng 3. Suy diễn với tập mờ loại hai
Suy diễn mờ đóng vai trò quan trọng trong một hệ logic mờ, phơng pháp
suy diễn quyết định tính phức tạp và chất lợng của hệ logic mờ. Hình 3-1
mô tả một hệ logic mờ loại hai, mô tơ suy diễn dựa trên cơ sở các luật mờ để
xác định tập mờ đầu ra cho mỗi tập mờ đầu vào. Việc suy diễn mờ có thể
đợc thực hiện theo nhiều cách khác nhau song chúng đều đợc xác định dựa
trên mối quan hệ mờ giữa các luật. Trong phần này giới thiệu một số phơng
pháp suy diễn mờ cơ bản. Trớc khi đi vào các phơng pháp suy diễn, chúng
ta xem xét khái niệm quan hệ mờ loại hai và phơng pháp xác định các thành
phần của một quan hệ mờ loại hai; các dạng biểu diễn thờng gặp của các
luật mờ, phơng pháp chuyển đổi một dạng biểu diễn mờ về dạng biểu diễn
chuẩn.
Các luật
Tập rõ
đầu vào
x
Giảm mờ
Mờ hoá
Giảm loại
Tập mờ
đầu vào
Suy diễn
Tập rõ
đầu ra
y
Tập mờ
giảm loại
Tập mờ
đầu ra
Hình 3-1: Hệ logic mờ loại hai
3.1. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành
3.1.1. Khái niệm chung
Một quan hệ R(A1, A2, , An) của n tập rõ A1, A2,..An, là một tập rõ trong
không gian tích Đê-các A1 ì A2 ì .. ì An và R(A1, A2, , An) A1 ì A2 ì .. ì An.
Chúng ta có thể sử dụng hàm thuộc để biểu diễn mối quan hệ rõ này nh sau:
36
37
à
1 nếu (a1, a 2 ,..a n )R(A 1, A 2 ,..A n )
(a1 ,.., a 2 ) =
0 nếu ngợc lại
R
Một quan hệ mờ loại một F(A1, A2, , An) là một tập mờ loại một đợc
định nghĩa trên không gian tích Đê-các của n tập rõ A1, A2, , An, ở đây mỗi
bộ số (a1, a2, , an) có một độ thuộc à F (a1, a2, , an) [0,1] và đợc ký
hiệu:
F(A1, A2, , An) =
à
A1 ì A2 ì..ì An
F
(a1 , a 2 ,...a n ) /( a1 , a 2 ,...a n ) , ai Ai
à
(3-1)
(3-2)
~
Một quan hệ mờ loại hai F ( A1 , A2 ,..., An ) là một tập mờ loại hai đợc định
~ ~
R S
ở đây,
à
~
F
A1 ì A2 ì..ì An
à ~(a1 , a2 ,...an ) /(a1 , a2 ,...an ) , ai Ai
F
(3-3)
3.1.2. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành trên cùng một không
gian
~
~
Xét hai không gian tích Đê-các U và V. Gọi R (u, v) và S (u, v) là hai quan
J ( u ,v ) J ( u , v )
~
S
(u , v)
r ( u ,v ) ( ) s ( u ,v ) ( ) /( )
v1
à
c~
(u , v) =
à
~
s
(u , v) =
hệ mờ đợc định nghĩa trên các không gian tích Đê-các U ì V. Hàm thuộc
~
~
thứ cấp của R (u, v) và S (u, v) là các tập mờ loại một. Chúng ta có thể biểu
~
ở đây
diễn R (u, v) và S (u, v) theo hàm thuộc thứ cấp nh sau:
~
R (u, v) =
à
~
R
~
S (u, v) =
à
~
S
U ìV
U ìV
(u , v) /(u , v) =
[
(u , v) /(u , v) =
[
ở đây, các hàm thuộc sơ cấp
J
( u ,v )
,
U ìV
J
U ìV
( u ,v )
J ( u , v ) r ( u ,v )
( )] /(u, v)
(3-4)
r
( )] /(u, v)
(3-5)
J ( u ,v )
( u ,v )
[0,1]. Từ (2-36) và (2-41)
trong Chơng hai, chúng ta có thể xác định hợp và giao của hai quan hệ mờ
này:
~ ~
R S
à
(u , v)
(3-7)
v2
v3
U1
0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1
0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5
0.5/0+1/0.1
U2
0.5/0+1/0.1
0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5
0.3/0.8+1/0.9+0.7/1
v1
v2
v3
U1
1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5
0.8/0.3 + 0.8/0.4 +
0.9/0.5 + 1/0.6
0.9/0.9 + 1/1
U2
1/0 + 0.1/0.1 + 0.1/0.2
1/0 + 0.3/0.1
1/0.3+0.9/0.4+0.4/0.5
và:
tại mỗi bộ (a1, a2, , an).
à
=
~
R
Ví dụ 3-3: Xét các mối quan hệ mờ sau: u gần v và u nhỏ hơn v; và
u gần v hoặc u nhỏ hơn v. Các mối quan hệ này trên cùng không gian
U ì V. Giả sử U = {u1, u2} = {2, 12} và V = {v1, v2, v3} = {1, 7, 13}. Giá trị
độ thuộc thứ cấp của các mối quan hệ mờ: gần, ký hiệu là c~ và nhỏ hơn
, ký hiệu là ~s đợc biểu diễn qua ma trận dới đây:
(a1 , a 2 ,.., a n ) là một hàm thuộc thứ cấp và là một tập mờ loại một
~
à
Để minh họa cho hai phép toán trên, chúng ta xem xét ví dụ sau:
nghĩa trên không gian tích Đê-các của n tập rõ A1, A2, , An, đợc ký hiệu:
~
F ( A1 , A2 ,..., An ) =
(u , v) =
(u , v) =
à
=
~
R
à
(u , v) C
J ( u ,v ) J ( u , v )
~
S
(u , v)
r ( u ,v ) ( ) s ( u ,v ) ( ) /( )
à
c~
(u , v) là hàm thuộc của quan hệ mờ u gần v và
à
~
s
(u , v) là hàm
thuộc của quan hệ mờ u nhỏ hơn v.
Bằng trực giác chúng ta thấy mối quan hệ mờ u gần v hoặc u nhỏ
hơn v phù hợp hơn mối quan hệ mờ u gần v và u nhỏ hơn v. Với khái
niệm quan hệ mờ, bây giờ chúng ta xác định các hàm thuộc thứ cấp của phép
hợp và giao của hai quan hệ mờ trên:
Từ (3-6) và (3-7), sử dụng minimun t-norm và maximum t-cornorm ta có:
à
~ ~
R S
(u1 , v1 ) = (0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1) C (1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5)
= (0.3 1)/(0.8 0) + (0.3 0.9)/(0.8 0.1) + (0.3 0.4)/(0.8 0.5) +
(3-6)
(1 1)/(0.9 0) + (1 0.9)/(0.9 0.1) + (1 0.4)/(0.9 0.5) +
0.7 1)/(1 0) + (0.7 0.9)/(1 0.1) + (0.7 0.4)/(1 0.5)
= 0.3/0.8 + 0.3/0.8 + 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.9/0.9 + 0.4/0.9 + 0.7/1 +
38
39
0.7/1+0.4/1
3.1.3. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành trên các không gian
khác nhau
= 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1
Gọi U ì V và V ì W là hai không gian tích Đê-các khác nhau. Giả sử
~
~
R (U,V) và S (V,W) là hai quan hệ mờ loại hai xác định trên hai không gian
~
~
đó. Phép hợp thành giữa hai quan hệ mờ R (U,V) và S (V,W) là một tập mờ
và
à
~ (u1 , v1 ) = (0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1) (1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5)
~
R S
= (0.3 1)/(0.8 0) + (0.3 0.9)/(0.8 0.1) + (0.3 0.4)/(0.8 0.5) +
loại hai xác định trên không gian U ì W có hàm thuộc đợc xác định nh sau:
(1 1)/(0.9 0) + (1 0.9)/(0.9 0.1) + (1 0.4)/(0.9 0.5) +
à
(0.7 1)/(1 0) + (0.7 0.9)/(1 0.1) + (0.7 0.4)/(1 0.5)
0.7/0.1+0.4/0.5
= 1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5
Tính toán tơng tự cho mọi giá trị ui và vj với i = 1, 2 và j = 1, 2, 3 ta nhận
đợc à R~S~ (u, v) và à R~ S~ (u, v) :
~ ~
R S
(u , v) =
v1
v2
v3
u1
0.3/0.8 + 1/0.9 +
0.7/1
0.7/0.3+0.8/0.4+
0.9/0.5+1/0.6
0.9/0.9+1/1
u2
0.5/0+1/0.1+0.1/0.2
0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5
0.3/0.8+1/0.9+0.7/1
và:
à
~ ~
R S
(u,w) = C vV [ à R~ (u, v) à S~ (v, w) ] u U, w W
(3-8)
Để minh họa cho (3-8) chúng ta xem xét ví dụ sau đây:
= 0.3/0 + 0.3/0.1 + 0.3/0.5 + 1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5 + 0.7/0 +
à
~ ~
R oS
Ví dụ 3-4: Xét hai quan hệ mờ trên hai không gian tích Đê-các khác nhau:
quan hệ mờ u gần v (ký hiệu là c~ ) trên không gian U ì V, ở đây U= {u1,
u2}={2, 12} và V={v1, v2, v3} = {1, 7, 13}; và quan hệ mờ v lớn hơn nhiều
~ b ) trên không gian V ì W, ở đây W={w , w }={4, 8}. Hàm
w (ký hiệu là m
1
2
thuộc của các quan hệ mờ này lần lợt là à c~ (u, v) và à m~b (v, w) đợc xác định
nh sau:
à
c~
(u , v) =
v1
v2
v3
u1
0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1
0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5
0.5/0+1/0.1
u2
0.5/0+1/0.1
0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5
0.3/0.8+1/0.9+0.7/1
w1
w2
v1
1/0+0.6/0.1
1/0+0.1/0.1
v2
0.4/0.5+1/0.6+0.9/0.7
1/0+0.8/0.1+0.2/0.2
v3
0.7/0.9+1/1
0.5/0.6+1/0.7+0.7/0.8
và:
(u , v) =
v1
v2
v3
u1
1/0 + 0.9/0.1 +
0.4/0.5
0.8/0.3 + 1/0.4 +
0.1/0.5
0.5/0 + 1/0.1
u2
1/0 + 0.1/0.1
1/0 + 0.3/0.1
1/0.3+0.9/0.4+0.4/0.5
Nh vậy, từ kết quả trên chúng ta thấy rằng các giá trị độ thuộc sơ cấp có
giá trị độ thuộc thứ cấp khác 0 trong phép hợp nhìn chung lớn hơn so với
phép giao. Điều này khẳng định mối quan hệ u gần v hoặc u nhỏ hơn
v phù hợp hơn so với mối quan hệ u gần v và u nhỏ hơn v.
à
~b
m
(v, w) =
~ b có hàm
Từ (3-8), phép hợp thành giữa hai quan hệ mờ loại hai c~ và m
thuộc đợc xác định theo (3-9) dới đây:
à
~b
c~ om
(ui,wj) = [ à c~ (ui,v1) à m~b (v1,wj) ] C [ à ~c (ui,v2) à m~b (v2,wj) ]
C [ à ~ (ui,v3) à ~ (v3,wj) ]
c
mb
ở đây, i = 1, 2 và j = 1, 2, 3.
Chẳng hạn:
40
41
(3-9)
à
~b
c~ om
(u1,w1) = [(0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1) (1/0+0.6/0.1)]
C [(0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5) (0.4/0.5+1/0.6+0.9/0.7)]
C [(0.5/0+1/0.1) (0.7/0.9+1/1)]
à
Tính toán tơng tự với mọi ui và vj , i = 1,2 và j = 1, 2, 3 ta nhận đợc
(u,w):
à
~b
c~ o m
à
~b
c~ o m
(u,w)
=
(u , v) =
v2
v3
0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1
0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5
0.5/0+1/0.1
u2
0.5/0+1/0.1
0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5
0.3/0.8+1/0.9+0.7/1
và
= 0.7/0.3 + 1/0.4
à
c~
v1
u1
w1
w2
u1
0.7/0.3+1/0.4
0.5/0+1/0.1+0.2/0.2
u2
0.3/0.8+1/0.9+0.7/1
0.5/0.6+1/0.7+0.7/0.8
3.1.4. Phép hợp thành của một tập mờ loại hai và một quan hệ mờ loại
hai
~
S
(u ) =
U và có hàm thuộc thứ cấp là
à
~
R
à
~
s oc~
(v j ) = [ à ~ (u1 )
S
à
~
S
~ (v ) đợc xác định nh sau:
~
R oS
~ ~
R oS
c~
(u1 , v j ) ] C [ à ~ (u 2 )
S
à
với j = 1, 2, 3, thay các giá trị của
~
c
(u , v) và
à
~
S
à
c~
(u 2 , v j ) ]
(3-11)
(u ) vào (3-11) ta nhận
đợc:
à
(u , v) . Khi đó, phép hợp
~
~
thành của R (U ) và S (U ,V ) đợc xác định trên V và có hàm thuộc thứ cấp
à
à
~
s o c~
(v ) =
v1
v2
v3
0.5/0.7 + 0.3/0.8 + 1/0.9
0.7/0.3 + 1/0.4 + 0.1/0.5
1/0.1 + 0.3/0.4
~
(u ) ; quan hệ mờ loại hai S (U ,V ) xác định
trên không gian U ì V và có hàm thuộc thứ cấp là
à
u2
1/0.1+0.3/0.4
áp dụng (3-10), ta xác định đợc hàm thuộc của phép hợp thành giữa tập
mờ loại hai ~s và quan hệ mờ c~ :
~
Trong phần này xem xét phép hợp thành của một tập mờ loại hai R và một
~
~
quan hệ mờ loại hai S . Giả sử tập mờ loại hai R (U ) xác định trên không gian
u1
0.5/0.7 + 1/0.9
(v) = C uU [ à ~ (u )
R
à
~
S
(u , v) ]
(3-10)
Biểu thức (3-10) đóng vai trò quan trọng nh là một bộ máy suy diễn của
một luật mờ mà các tập mờ giả thiết và kết luận của nó là các tập mờ loại
hai. Đây là bộ máy suy diễn cơ bản cho các luật trong một hệ logic mờ loại
hai.
Ví dụ 3-5: Để minh họa điều này chúng ta xem xét ví dụ sau: xác định
phép hợp thành giữa một quan hệ mờ loại hai u gần v ( gọi là c~ ) xác định
trên không gian U ì V có hàm thuộc thứ cấp là à ~c (u, v) và một tập mờ loại
hai nhỏ (gọi là ~s ) xác định trên U có hàm thuộc thứ cấp là
U = {2, 12}, V = {1, 7, 13}; à c~ (u, v) và
à
42
~
S
à
~
S
(u ) . Giả sử
3.2. Tích Đê-các của các tập mờ loại hai
Nh chúng ta đã biết, tích Đê-các của n tập mờ loại một, A1, A2, An lần
lợt xác định trên các không gian X1, X2, , Xn và có các hàm thuộc tơng
ứng là à A ( x1 ) , à A ( x 2 ) , , à A ( x n ) là một tập mờ loại một xác định trên
1
2
n
không gian X1 ì X2 ì ì Xn và có hàm thuộc đợc xác định theo (3-12):
à
A1 ì A2 ì...ì An
( x1 , x 2 ,..., x n ) =
à
A1
( x1 )
à
A2
( x2 )
à
An
( xn )
(3-12)
ở đây x1 X1 , x2 X2, , xn Xn và dấu thể hiện một t-norm (chẳng
hạn minimum).
~
~
~
Giả sử A1 , A2 , , An là các tập mờ loại hai lần lợt xác định trên các
không gian X1, X2, , Xn và có các hàm thuộc thứ cấp tơng ứng là
à
~
A2
( x 2 ) , ,
à
~
An
à
~
A1
( x1 ) ,
~ ~
~ ~
~
( x n ) . Tích Đê-các của A1 , A2 , , An , ký hiệu A1 ì A2 ì
(u ) đợc cho nh sau:
43
~
ì An là một tập mờ loại hai xác định trên không gian X1 ì X2 ì ì Xn và có
hàm thuộc thứ cấp đợc xác định theo (3-13):
à
~ ~
~
A1 ì A2 ì...ì An
( x1 , x 2 ,..., x n ) =
à
~
A1
( x1 )
à
~
A2
( x2 )
à
~
An
( xn )
(3-13)
ở đây x1 X1 , x2 X2, , xn Xn và dấu thể hiện phép toán hội. Trong
(3-13),
à
à
~ ~
~
( x1 , x 2 ,..., x n ) là giá trị hàm thuộc của tích Đê-các A1 ì A2 ì ì An tại
~ ~
~
A1 ì A2 ì...ì An
~
Ai
là hàm thuộc thứ cấp của
( xi )
~
Ai
tại giá trị xi và
giá trị (x1,, xn).
Ví dụ 3-6: Xét hai không Đê-các U = {u1, u2, u3} và V = {v1, v2}. Giả sử
~
~
F là tập mờ loại hai xác định trên U và G là tập mờ loại hai xác định trên V;
~
~
F và G có hàm thuộc thứ cấp nh sau:
à ~ (u ) =
F
à
~
G
u2
u3
0.9/0.2+0.9/0.8+0.4/1
0.1/0.4+1/0.7+1/1
0.6/0+0.8/0.2
v1
v2
0.4/0.5+0.3/0.6
0.7/0.6+0.6/0.8+0.1/0.9
à
~
F ìG
à ~ (ui )
F
Thay các giá trị của
à
~
F
à ~ (v j ) , i = 1, 2, 3 và j = 1, 2.
~ ~
F ìG
(u , v)
Các dạng thể hiện của các luật mờ thờng gặp đợc tổng hợp dới đây:
1. Luật mờ không đầy đủ (Incomplete): Luật mờ không đầy đủ là luật mờ
mà phần giả thiết (vế trái của luật) chỉ có m biến đầu vào (m < p):
Để chuyển một luật mờ không đầy đủ thành một luật mờ đầy đủ chúng ta
thêm (p m) biến còn thiếu là các biến của (p m) tập mờ không đầy đủ INCOMPLETE (IN), với à IN (x) = 1 với x X vào vế trái của luật:
(3-14)
2. Luật pha trộn: Luật pha trộn là luật mà vế trái của luật vừa chứa toán tử
and (và) vừa chứa toán tử or (hoặc):
G
(u ) và
à
~
G
(v) vào (3-14) ta nhận đợc
(if x1 is F1 and and xm is Fm ) or (xm+1 is Fm+1 and and xp is Fp)
then y is G. Luật dạng này có thể đợc biểu diễn thành hai luật:
v1
à
(3-15)
ở đây, hệ có M luật và Rl là luật thứ l của hệ. Mỗi luật luật thể hiện mối
quan hệ mờ loại một giữa không gian đầu vào X1 ì X2 ì Xp và không gian
đầu ra Y của hệ.
(if x1 is F1 and and xm is Fm and xm+1 is IN and and xp is IN
then y is G)
Hàm thuộc của tích Đê-các của F và G đợc xác định nh sau:
~ (u i , v j ) =
Rl : if x1 is F1l and and xp is Fpl then y is Gl, l = 1M
(if x1 is F1 and and xm is Fm then y là G)
~
~
Chúng ta xem xét các dạng luật mờ trong hệ logic mờ loại một. Giả sử có
p biến đầu vào x1 X1, x2 X2, ,xp Xp và một biến đầu ra y Y. Dạng
luật mờ chuẩn của hệ đợc phát biểu:
if x1 is F1 and and xm is Fm then y is G, m < p
u1
(v ) =
3.3. Các dạng luật mờ
v2
R1: (if x1 is F1 and and xm is Fm ) then y is G
R2: (if xm+1 is Fm+1 and and xp is Fp) then y is G
u1
0.4/0.2+ 0.4/0.5+0.3/0.6
0.7/0.2+0.7/0.6+0.6/0.8+0.1/0.9
u2
0.1/0.4+0.4/0.5+0.3/0.6
0.1/0.4+0.7/0.6+0.6/0.7+0.6/0.8+0.1/0.9
u3
0.4/0+0.4/0.2
0.6/0.7+0.7/0.2
đây là hai luật không đầy đủ
3. Luật khai báo: Luật khai báo là luật chỉ mang tính chất khai báo một
tập mờ, chẳng hạn y is G. Rõ ràng luật này là một trờng hợp đặc biệt của
luật mờ không đầy đủ và nó có thể đợc biểu diễn lại:
if x1 is IN and and xp is IN then y is G
44
45
4. Luật so sánh: một số luật mang tính chất so sánh nh sau: the smaller
the x the bigger the y( nhỏ hơn là x, lớn hơn là y). Với các luật dạng
này chúng ta có thể chuyển sang dạng phát biểu if-then:
Rl đợc đặc trng bởi hàm thuộc
à
( x, y ) =
à
à
( x, y )
( x, y ) =
~
~
A l G l
Rl
( x1 ,..., x p , y )
(3-18)
~
~
mờ loại hai đầu ra G l do đó ta có:
5. Luật phát biểu Unless (trừ khi): một số luật đợc thể hiện dới dạng
phát biểu trừ khi:
à
Rl
( x, y ) =
à
~
~
A l G l
à
( x, y ) =
~
F1l
( x1 ) ... à ~ l ( x p ) à ~ l ( y )
Fp
G
p
= i =1 à F~ ( xi ) à G~ ( y )
y is G Unless x1 is F1 and and xp is Fp
Luật này có thể đợc biểu diễn lại dới dạng if-then:
l
i
(3-19)
l
~
p giá trị đầu vào của hệ xác định một tập mờ Ax có hàm thuộc nh sau:
if not(x1 is F1 and and xp is Fp) then y is G
à
Sử dụng luật De Morgan A B = A B , luật trên có thể đợc biểu diễn:
~
Ax
( x) =
à
~
X1
( x1 ) ... à ~ ( x p ) =
Xp
à
p
i =1
~
Xi
( xi )
ở đây not Fi là một tập mờ. Luật này lại có thể đợc tách thành p luật
mờ không đầy đủ:
if xi is not Fi then y is G, i= 1..p
~
Mỗi luật Rl xác định một tập mờ loại hai B l đầu ra tơng ứng với mỗi tập
~
~
~
~
mờ đầu vào Ax nh sau: B l = Ax o R l và hàm thuộc của B l đợc xác định
theo (3-21):
Mở rộng cho hệ logic mờ loại hai, giả sử có p biến đầu vào x1 X1, x2
X2, ,xp Xp và một biến đầu ra y Y, hệ có M luật. Dạng luật mờ chuẩn
thứ l của hệ đợc phát biểu:
(3-16)
Mỗi luật thể hiện mối quan hệ giữa không gian đầu vào X1 ì X2 ì ì Xp và
không gian đầu ra Y của hệ.
3.4. Một số phơng pháp suy diễn mờ loại hai
3.4.1. Suy diễn mờ dựa vào phép hợp thành
à
~
Bl
( y) =
à
~
Ax o R l
( y ) = C xX à ~ ( x) à ( x, y ) , y Y, l = 1..M
Ax
Rl
Từ (3-19), (3-20), (3-21) chúng ta có:
à
~
Bl
( y ) = C xX à ~ ( x) à ( x, y )
Ax
Rl
= C xX p
à
~
Xi
p
( xi ) i =1 à ~ ( xi ) à ~ l ( y )
G
Fi
Từ dạng phát biểu if-then của luật trong (3-16), chúng ta có thể biểu diễn
lại (3-16) dới dạng một phép kéo theo mờ:
~
~
~
~
~
(3-17)
Rl : F1l ì ... ì Fpl G l = A l G l , l = 1M
= C xX p
à
~
Xi
( xi ) à ~ ( xi ) à ~ l ( y )
Fi
G
~
=
i =1
i =1
à ~l ( y) {[ C x1 X1
G
à
~
X1
( x1 )
[Cx
~
46
(3-21)
Biểu thức (3-21) thể hiện mối quan hệ giữa tập mờ loại hai đầu vào và tập
mờ loại hai đầu ra thông qua phần tử suy diễn của hệ logic mờ đợc mô tả
trong Hình (3-1). Đây chính là phép hợp thành giữa tập tập mờ đầu vào và
luật bị đốt cháy.
Cơ sở của phơng pháp suy diễn này là dựa vào phép hợp thành giữa tập
mờ đầu vào và quan hệ mờ đợc xác định từ các luật.
~
(3-20)
~
X i (i=1..p) là các nhãn của các tập mờ đầu vào.
if x1 is not F1 oror xp is not Fp then y is G
ở đây ký hiệu A l = F1l ì ... ì F pl
~
R thể hiện mối quan hệ mờ giữa p tập mờ loại hai đầu vào Fl l ,..., Fl p và tập
ở đây S là tập mờ nhỏ hơn và B là tập mờ lớn hơn.
~
~
~
R : if x1 is F 1 and and x2 is F p then y is G , l = 1..M
Rl
l
if x is S then y is B
l
Rl
à
47
pX p
(3-22)
à ~l ( x1 ) ]
F1
à
~
Xp
(x p )
à
~
F pl
( x p ) ]}, y Y
~
à
~
B =
Tập mờ kết quả đầu ra cuối cùng B nhận đợc từ việc kết hợp M tập mờ
~
~
~
~
B l , l =1..M: B = B 1 B M .
~
A
xi
N
i =1
i
~
~
1
~ ~ ~
S ( A, B ) =
N
à
Vì
~
A
( x) và
à
~
B
=
x
j1
j1
x
j1
X J 1,..., x j ( n k ) X J ( n k )
X J 1,..., x j ( n k ) X J ( n k )
[U
X J 1,..., x j ( n k ) X J ( n k )
[uJ
j1
x j1 X J 1,..., x j ( n k ) X J ( n k )
x j1 X J 1,..., x j ( n k ) X J ( n k )
,..., wJ ( n k )
f
x j1
à
(u ) ... f
~
Q
x j ( nk )
=
(3-23)
N
i =1
S ( à ~ ( xi ), à ~ ( xi ))
A
(3-24)
B
x X
x X
{à ( x) à ( x)}
A
B
(3-25)
max{à ( x), à ( x)}2
A
B
1
N
N
i =1
N
i =1
S ( à ~ ( xi ), à ~ ( xi ))
A
B
{ f (u ).g (u)}
[max{ f (u), g (u)} ]
u
xi
xi
(3-26)
2
xi
u
xi
ở đây xi X và u J x .
Quy ớc: Khi
( w) /(u ... w)] /( xi1 ...xik )
1
~ ~ ~
S ( A, B ) =
N
( x1 ,..., x n )] /( xi1 ,..., xik )
( x1 ,..., x n )] /( xi1 ,..., xik ) =
~ ~ ~
~
( x) là các tập mờ loại hai, dó đó, từ (3-24) và (3-25) ta có:
k
x
(u ) / u ] / xi , u J xi
nghĩa theo (3-25):
gian X i ì ... ì X i đợc định nghĩa:
~
Q
xi
Trong đó S(.) là độ tơng tự của hai tập mờ loại một. Độ tơng tự của hai
tập mờ loại một A và B lần lợt có hàm thuộc là à A (x) và à B (x) đợc định
k
à
u
Khi đó độ tơng tự giữa hai tập mờ A và B , ký hiệu S ( A, B ) đợc xác
định nh sau:
S ( A, B ) =
Gọi Q là một quan hệ mờ loại hai trong không gian tích Đê-các
X1 ì X2 ì Xn, và {i1, , ik} là một dãy con của dãy {1, 2,, n}, khi đó phép
~
~
chiếu của Q lên không gian X i ì ... ì X i là một quan hệ mờ Q p trong không
[sup
N
i =1
~
B
xi
3.4.2.1. Phép chiếu của một quan hệ mờ loại hai
1
[ g
~
~
A và B .
Phần 3.4.1 đã trình bày một phơng pháp suy diễn mờ, phơng pháp đó
dựa vào việc xác định phép hợp thành giữa sự kiện (fact) và cơ sở luật (rule)
đề đa ra kết luận (conclusion). Trong phần này trình bày một phơng pháp
suy diễn khác dựa vào sự tơng tự của các luật. Kết luận đợc xác định dựa
trên việc xác định sự tơng tự giữa sự kiện (fact) và giả thiết của luật (vế trái
của luật). Phơng pháp này đợc đề xuất bởi Tsang, Turksen và Zhong.
Trớc khi xem xét chi tiết phép suy diễn, chúng ta xem xét một số khái niệm
liên quan: phép chiếu của một quan hệ mờ, độ tơng tự giữa hai tập mờ loại
hai.
~
Qp =
( xi ) / xi =
ở đây J x = J = J là các hàm thuộc sơ cấp tại các giá trị cụ thể của x của
3.4.2. Suy diễn mờ dựa trên sự tơng tự của các tập mờ
1
~
B
[max{ f
u
xi
(u ), g xi (u )}2 ] = 0 thì S ( à ~ ( xi ), à ~ ( xi )) = 1 và
A
B
~ ~
S( A , B ) = 1.
~
~
Chú ý rằng, trong định nghĩa trên các giá trị hàm thuộc sơ cấp J xA của A
i
~
~
~
~
i
i
và J xB của B tại mỗi giá trị xi của x là nh nhau ( J xA = J xB , với mọi xi). Trong
i
ở đây, {xj1,,xj(n-k)} là phần bù của {xi1, ,xik} trong tập {x1, ,xn} và U
ký hiệu cho phép toán chiếu của tập mờ loại hai.
~
Gọi A và B là hai tập mờ loại hai xác định trên không gian rời rạc X:
~
A =
à
N
i =1
~
A
( xi ) / xi =
[ f
N
i =1
48
u
~
B
xi
trờng hợp J và J khác nhau, khi đó chúng ta có thể điều chỉnh đề hai tập
~
~
J xAi và J xBi thành J x' i bằng cách gán giá trị 0 cho độ thuộc thứ cấp tại các phần
3.4.2.2. Độ tơng tự giữa hai tập mờ loại hai
~
~
A
xi
xi
(u ) / u ] / xi , u J xi
~
~
i
i
tử đợc thêm vào mỗi tập J xA và J xB đề trở thành J x' .
i
Xét ví dụ sau đây: Giả sử U={ x1 , x2 , x3 }
và:
49
