SKKN tìm chữ số tận cùng

Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật
A Phần mở đầu
I- Lý do chon đề tài
1. Cơ sở khoa học
- Giải bài toán tìm chữ số tận cùng rèn cho học sinh đợc phơng pháp t
duy phân tích tổng hợp và có đợc sự linh hoạt về t duy giải toán khác nhau nh
chứng minh chia hết, chứng minh một số là số chính phơng Học sinh có trí t-
ởng tợng cao phát huy tích cực chủ động trong t duy, có tính sáng tạo trong khi
giải toán.
- Qua giảng dạy và tìm hiểu về dạng toán tìm chữ số tận cùng là dạng
bài toán khó, bất quy tắc và khi giải bài tập có các dạng toán khác nhau. Khi
làm bài học sinh phải linh hoạt và biết phân biệt dạng để đa về bài toán quen
thuộc để thực hiện bài giải đơn giản hơn.
- Khi giáo viên đợc nghiên cứu sâu về các dạng toán. Cụ thể là bài toán
tìm chữ số tận cùng, sẽ nâng cao t duy và năng lực chuyên môn. Để từ đó truyền
đạt cho các em những bài toán đợc dễ hiểu hơn.
2. Cơ sở thực tiễn:
- Khi học sinh cha đợc phân dạng về các bài toán tìm chữ số tận cùng thì
các em thờng lúng túng, hay tìm mò hoặc khó tìm ra các lời giải nhanh và đúng.
Các em rất ngại với những bài toán có số mũ lớn và số mũ là tham số.
- Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi về dạng toán tìm chữ số tận cùng,
tôi đã phân rõ các phơng pháp giải bài toán khác nhau để các em nắm đợc cách
phân dạng Toán; từ đó các em đa ra các cách làm cho phù hợp với mỗi bài để có
cách giải nhanh nhất.
- Với những giáo viên cha đợc nghiên cứu về dạng Toán tìm chữ số tận
cùng, nếu nắm đợc các phơng pháp tìm chữ số tận cùng thì sẽ nâng cao đợc
năng lực t duy và năng lực chuyên môn.
II. Mục đích nghiên cứu:
- Nghiên cứu về bài toán tôi đa ra đợc các phơng pháp giải bài tập khác
nhau để các em giải bài tập cụ thể một cách dễ ràng hơn. Khi đó học sinh sẽ có
đợc phơng pháp phân tích t duy tổng hợp toán học, nâng cao năng lực giải toán

và có nghị lực vợt khó để giải bài toán.
1
Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật
- Khi nghiên cứu về dạng toán tìm chữ số tận cùng để tôi nâng cao năng
lực chuyên môn và làm t liệu dạy học sinh giỏi.
III. Phơng pháp nghiên cứu:
* Phơng pháp tìm hiểu tài liệu:
* Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi, tôi nhận thấy học sinh còn lúng
túng trong cách tìm chữ số tận cùng. Từ đó tôi đã tìm hiểu các tài liệu để phân
dạng cho học sinh các cách làm dễ hơn. Mỗi dạng tôi đa ra cơ sở lý thuyết và
một số bài tập cụ thể để các em nắm chắc hơn các dạng toán và các cách làm
đối với những dạng Toán đó.
2
Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật
B. phần nội dung:
Phần I: Phơng pháp tìm chữ số tận cùng hoặc một số cuối
cùng của một số tự nhiên.
Phơng pháp 1: Dùng cấu tạo số:
I. Cơ sở lý thuyết:
Xem số tự nhiên: A = n
k
với n, k

N.
1. Muốn tìm chữ số tận cùng của A chỉ cần biểu diễn A dới dạng:
A = 10a + b =
ab


b là chữ số cuối cùng của A.

Ta viết:
A = n
k
= (10q + r)
k
= 10
t
+ r
k
với r

N; 0

r

9
Chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số r
k
- Nếu A = 100a +
bc
=
abc
thì
bc
là hai chữ số cuối cùng của A.
- Nếu A = 1000a +
bcd
=
abcd
thì

bcd
là ba chữ số cuối cùng của A.

- Nếu A = 10
m
.a
m
+
01
...aa
m

=
01
... aaa
m
thì
01
...aa
m

là m chữ số cuối cùng
của A.
2. Vận dụng nghị thức Newtơn:
(a + b)
n
=
ac
n
.

0
+
bac
n
n
11
.

+.
nn
n
nn
n
bcbac ...
11
+

II. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm chữ số cuối cùng của số: A = 9
9
9

Giải:
Xem số M = 9
k
; k

N
- Nếu k chẵn

k = 2m ta có:
M = 9
2m
= 81
m
= (80 + 1)
m
=(10q + 1)
m
= 10 t + 1 (với m, q, t

N)
Vậy: M có chữ số cuối cùng là 1 nếu k chẵn.
- Nếu k lẻ

k = 2m + 1 ta có:
3
Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật
M = 9
2m+1
= 9
2m
.9 = (10t + 1).9
= 10q + 9 (với m, t, q

N)
Vậy: M có chữ số cuối cùng là 9 nếu k lẻ, ta có 9
9
là một số lẻ.
Do đó: A = 9

9
9
có chữ số cuối cùng là 9.
Bài 2: Tìm chữ số cuối cùng của số: B = 2
4
3
Giải:
B = 2
4
3
= 2
81
= (2
5
)
16
.2 = 32
16
.2
= (30 + 2)
16
. 2 = 10q + 2
17
= 10q + (2
5
)
3
.2
2
= 10q + (10q + 2)

3
. 2
2
= 10t + 2
5
= 10t + 2
Vậy B có chữ số cuối cùng là 2.
Bài 3: Tìm hai chữ số cuối cùng của số: C = 2
999
Giải:
Ta có : 2
10
+ 1 = 1024 + 1 = 1025 : 25 suy ra 2
10
1

25
Ta lại có 2
1000
1 = ( 2
20
)
50
1

2
20
1 suy ra 2
1000
- 1

25
Do đó 2
1000
chữ số tận cùng là 26 ; 51 ; 76 nhng 2
1000

4
suy ra 2
1000
tận cùng là 76

2
999
tận cùng là 38 hoặc 88 vì 2
999


4

2
999
tận cùng là 88
Vậy C = 2
999
có hai chữ số tận cùng là 88.
Bài4: Tìm hai chữ số tận cùng của số: D=3
999
Giải
Ta có: 9

2m
tận cùng là 1 ; 9
2m + 1
tận cùng là 9
Ta hãy tìm số d của phép chia 9
5
+ 1 cho 100
Ta có : 9
5
+ 1 = 10( 9
4
9
3
+ 9
2
9 +1 )
Số : 9
4
+ 9
2
+1 tận cùng là 3
9
3
+ 9 tận cùng là 8
suy ra ( 9
4
9
3
+ 9
2

9 +1) tận cùng là 5

9
4
9
3
+ 9
2
9 +1 = 10q + 5
4
Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật


9
5
+ 1 =100q + 50

9
10
1 = ( 9
5
+1 )( 9
5
1 ) = 100
t

Ta lại có :3
1000
1 = 9
500

1 = (9
10
)
50
1 suy ra 3
1000
1

100

3
1000
tận cùng là 01 . Mặt khác 3
1000


3
Suy ra chữ số hàng trăm của 3
1000
phải là 2 ( để 201 chia hết cho 3 )

3
1000
chữ số tận cùng là 201
Do đó 3
999
tận cùng là 67.
Bài 5 : Tìm hai chữ số tận cùng của số A = 9
9
9

Giải
A = 9
9
9
= ( 10 1)
9
9
có dạng: ( 10 1)
n
với n = 9
9
ta lại có
A = C
0
n
. 10
n
- C
1
n
.10
n-1
+ + C
1

n
n
.10 - C
n

n

Suy ra A có hai chữ số cuối cùng
Với a = C
1

n
n
.10 - C
n
n
= 10n 1 Số n = 9
9
tận cùng là 9
Suy ra 10n tận cùng là 90

a = 10n 1 tận cùng là 89
Vậy số A = 9
9
9
có hai chữ số cuối cùng là 89.
Bài 6: Tìm hai chữ số tận cùng của số: B = 9
9
9
9
Giải
B = 9
9
9
9

= (10-1) với m = 9
9
9
=
m
m
m
m
m
m
m
m
cccc
++

10....10.10.
1110

B có hai chữ số cuối cùng với số:
B =
11010.
1
=

mcc
m
n
m
m
Số m = 9

9
9

tận cùng là 9
Suy ra: Số b tận cùng là 89.
Vậy: Số B = 9
9
9
9
có 2 chữ số tận cùng là 89.
5
Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật
Phơng pháp 2: Nhận xét về lũy thừa.
I. Cơ sở lý thuyết: Nhận xét về lũy thừa.
- a
n
là một lũy thừa
Các trờng hợp đặc biệt:
1. Các số có dạng:
+ (
0a
)
n
tận cùng bằng 0.
+
1(a
)
n
; (
5a

)
n
; (
6a
)
n
tận cùng lần lợt là 1; 5; 6.
+ (
3a
)
4
; (
7b
)
n
; (
9b
)
n
tận cùng bằng 1.
+ (
2a
)
4
; (
4a
)
4
; (
8a

)
4
tận cùng bằng 6.
2. Các số 3
20
, 81
5
, 7
4
, 51
2
, 99
2
tận cùng 01
26
4
, 6
5
, 18
4
, 24
2
, 68
4
, 74
2
có 2 chữ số tận cùng là 76.
125
n
, 25

n
, 5
2
tận cùng là 25.
3. Các số có dạng:
(
01a
)
n
; (
25a
)
n
, (
76a
)
n
có 2 chữ số tận cùng lần lợt là: 01, 25, 76.
II. Bài tập:
Bài 1: Tìm chữ số cuối cùng của số: A = 9
9
9
Giải
Ta có: 9
2m
tận cùng là 1
9
2m+1
tận cùng là 9
Suy ra: 9

9
tận cùng là 9, (9 là số lẻ.)
Vậy A = 9
9
9
tận cùng là 9.
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của: C = 6
2002
, D = 2
2001
.
Giải:
Ta có: 6
1
tận cùng là 6
6
2
tận cùng là 6
6
3
tận cùng là 6
Vậy 6
n
tận cùng là 6 suy ra 6
2002
tận cùng là 6
6