Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI
CÁC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ.
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài:
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vị trí, vai trò hết sức quan
trọng. Là môn học cơ bản, môn học công cụ. Nếu học tốt môn toán thì những tri
thức cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt
những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học
sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết; môn toán còn rèn luyện cho
học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có
tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo và bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Trong chương trình toán học ở bậc trung học phổ thông, bài toán tìm giá
trị tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm là bài
toán quan trọng và thường gặp trong kì thi tuyển sinh vào Đại học,Cao đẳng
.Đây là bài toán mà học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn khi làm, nhất là từ
khi thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình thì các dạng toán phải sử
dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng vì định lí này đã bỏ,
do đó học sinh trong khi đọc sách tham khảo xuất bản trước đó có rất nhiều bài
toán sử dụng định lý đó nên học sinh đọc sách rất hoang mang và không biết
phải giải quyết như thế nào.
Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trung
khai thác các bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình ,
hệ phương trình có nghiệm bằng phương pháp đạo hàm.Với việc sử dụng
phương pháp này, những bài toán về tìm giá trị của tham số để phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình có nghiệm sẽ được giải quyết một cách rất tự
GV: Trần Dũng

1

Trường THPT Nguyễn Chí Thanh


Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

nhiên, thuần túy, ngắn gọn và đơn giản.Đó là lí do để tôi chọn đề tài: “Sử dụng
đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa
tham số”
II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm:
Xuất phát từ mối liên hệ giữa số nghiệm của phương trình một ẩn với số
giao điểm của hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của phương trình đó để giải quyết
các bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình, hệ bất
phương trình có nghiệm.
Trong khi giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình mà phải thực hiện việc đặt ẩn phụ thì việc tìm điều kiện của ẩn phụ
là rất cần thiết, việc tìm điều kiện của ẩn phụ thực ra là tìm tập giá trị của ẩn phụ
trên tập xác định của bài toán đã cho bằng hàm số. Sau khi tìm được điều kiện
của ẩn phụ thì những yêu cầu của đề bài đối với bài toán theo ẩn chính phải
được quy về những yêu cầu tương ứng cho bài toán theo ẩn phụ trên điều kiện
của nó. Đó là điều quan trọng để chọn đặt hàm số tương ứng trên tập giá trị của
ẩn phụ.
Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các em
học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng hàm số để giải
bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có chứa tham số.
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói

trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, bất phương trình
, hệ phương trình có chứa tham số.
- Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình
đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là phương trình,
bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình
mũ và logarit, hệ phương trình.
IV.Phạm vi áp dụng: Áp dụng cho tất cả học sinh bậc THPT trên toàn tỉnh

GV: Trần Dũng

2

Trường THPT Nguyễn Chí Thanh


Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I.Cơ sở lý luận của vấn đề:
Để sử dụng phương pháp đạo hàm giải bài toán tìm giá trị tham số để
phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm. Ta cần nắm vững các
mệnh đề sau:
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên tập D
* Phương trình f(x) = m có nghiệm x ∈ D ⇔ min f ( x) ≤ m ≤ max f ( x)
x∈D

x∈D

* Bất phương trình f ( x) ≤ m có nghiệm x ∈ D ⇔ min f ( x) ≤ m

x∈D

* Bất phương trình f ( x) ≥ m có nghiệm x ∈ D ⇔ m ≤ max f ( x)
x∈D

* Bất phương trình f ( x) ≤ m , nghiệm đúng với mọi x ∈ D ⇔ m ≥ max f ( x)
x∈D

* Bất phương trình f ( x) ≥ m , nghiệm đúng với mọi x ∈ D ⇔ m ≤ min f ( x)
x∈D

* Cho hàm số y = f ( x) đơn điệu trên D.
Khi đó: f (u ) = f (v) ⇔ u = v (∀u, v ∈ D)
* Cho hai hàm số y = f ( x), y = g ( x) có đồ thị lần lượt là ( C1 ) , ( C2 ) .
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C1 ) và ( C2 ) là : f ( x) = g ( x) (1)
Số nghiệm phương trình (1) bằng số giao điểm của ( C1 ) và ( C2 )
II.Thực trạng của vấn đề:
a.Thuận lợi: Đưa được bài toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất
phương, hệ phương trình có nghiệm vềdạng f ( x) = g (m) hoặc f ( x) ≤ g (m) sau đó
ta sử dụng các mệnh đề trên để giải quyết bài toán đơn giản.
b.Khó khăn: Không phải mọi bài toán đều đưa được về dạng f ( x) = g (m)
hoặc f ( x) ≤ g (m); f ( x) ≥ g (m) , nhất là khi g(m) là một đa thức theo m mà bậc của
m không cùng bậc.
III.Các phương pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:
1. Phương pháp chung:
Để giải bài toán tìm các giá trị tham số m để phương trình (PT), bất phương
trình (BPT), hệ phương trình (HPT) ta có thể thực hiện thứ tự như sau:
* Biến đổi phương trình, bất phương trình, hệ phương trình về dạng
f ( x) = g (m) hoặc f ( x) ≤ g (m); f ( x) ≥ g (m) .
* Tìm tập xác định D của hàm số f(x)

* Tính f ' ( x)
* Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)
* Xác định max f ( x); min f ( x) .
x∈D

x∈D

* Vận dụng một trong các mệnh đề trên, để đưa ra kết luận cho bài toán.
Chú ý: Trường hợp phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa
các biểu thức phức tạp ta làm như sau:
* Đặt ẩn số phụ t = ϕ ( x) .
* Từ điều kiện ràng buộc của ẩn x, ta tìm điều kiện cho ẩn t.

GV: Trần Dũng

3

Trường THPT Nguyễn Chí Thanh


Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Đưa phương trình, bất phương trình ẩn x về phương trình, bất phương
trình ẩn t.Ta được h(t ) = g (m) hoặc h(t ) ≤ g (m); h(t ) ≥ g (m)
* Lập bảng biến thiên của hàm số f(t)
* Từ bảng biến thiên rút ra kết luận bài toán
2.Các bài toán minh họa:
2.1*Dạng 1: Phương trình.
Bài toán 1: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 2 + mx + 2 = 2 x + 1

có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải:
1
⎧
x≥−
⎪
x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 ⇔ ⎨
2
⎪⎩mx = 3 x 2 + 4 x − 1 (1)

Ta có:

Nếu x = 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu x ∈ ⎡⎢ − ; +∞ ⎞⎟ \ {0} thì (1) ⇔ m = 3x + 4 − (2)
x
⎣ 2
⎠
Phương trình (2) là phương trình hoành độ giao điểm của d : y = m và đồ thị
1

1

(C ) : f ( x) = 3x + 4 −

1
x

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x ∈ ⎢⎡ − ; +∞ ⎞⎟ \ {0} ⇔ d : y = m cắt
⎣ 2
⎠

1

(C ) : f ( x) = 3x + 4 −

1
1
1
1
trên ⎡⎢ − ; +∞ ⎞⎟ \ {0} .Ta có: f ' ( x) = 3 + 2 > 0, ∀x ∈ ⎡⎢ − ; +∞ ⎞⎟ \ {0}
x
x
⎣ 2
⎠
⎣ 2
⎠

Bảng biến thiên:
x

−

1
2

f’(x)

0

+∞

+

+
+∞

+∞
f(x)
9
2

-∞

Từ bảng biến thiên ta có: m ≥

9
2

* Nhận xét :
Đưa về bài toán tìm số giao điểm đường thẳng và đồ thị.Nếu giải theo cách đưa
về phương trình bậc hai thì tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm
phân biệt thỏa điều kiện x ∈ ⎢⎡ − ; +∞ ⎞⎟ .Khi đó dẫn đến so sánh hai nghiệm của
⎣ 2
⎠
1

1
2

phương trình bậc hai với − , bài toán trở nên phức tạp.
Bài toán 2: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm

x + 9 − x = − x 2 + 9 x + m (1)
GV: Trần Dũng

4

Trường THPT Nguyễn Chí Thanh


Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Lời giải:
Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 9
PT (1) ⇔ x + 9 − x + 2 x(9 − x) = − x 2 + 9 x + m
(2)

⇔ 9 + 2 − x2 + 9 x = − x2 + 9 x + m

Đặt t = − x 2 + 9 x
−2 x + 9

Ta có: t ' =

2 −x + 9x
2

; t' = 0 ⇔ x =
9
2

x 0
t'

+ 0

t

9
2

9
−

0
Do đó : 0 ≤ t ≤

9
2

0
9
2

Phương trình (2) trở thành 9 + 2t = t 2 + m ⇔ −t 2 + 2t + 9 = m (3)
Xét hàm số f (t ) = −t 2 + 2t + 9 , 0 ≤ t ≤

9
2

Ta có : f ' (t ) = −2t + 2 ; f ' (t ) = 0 ⇔ t = 1

Bảng biến thiên :
t 0

1

9
2

+ 0 −
10

f ' (t )
f (t )

9

−

9
4

Phương trình (1) có nghiệm x ∈ [ 0;9] ⇔ phương trình (3) có nghiệm t ∈ ⎡⎢0; ⎤⎥
⎣ 2⎦
9

⇔−

9
≤ m ≤ 10
4

* Nhận xét :
Nếu không đặt ẩn phụ thì ta được pt : 9 + 2 − x 2 + 9 x + x 2 − 9 x = m
Khi đó xét hàm số f ( x) = 9 + 2 − x 2 + 9 x + x 2 − 9 x thì việc tính đạo hàm và xét dấu
đạo hàm để lập bảng biến thiên tương đối khó khăn. Tuy nhiên khi đặt ẩn phụ thì
phải tìm điều kiện của t. Khi đó đưa về phương trình hoành độ giao điểm của
đường thẳng song song với trục Ox và đồ thị (C ).
Bài toán 3: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 (1)
Lời giải :
Điều kiện : x ≥ 1

GV: Trần Dũng

5

Trường THPT Nguyễn Chí Thanh


Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

⎛ x −1 ⎞
x −1
PT (1) ⇔ 3 ⎜⎜ 4
(2)
⎟⎟ + m = 2 4
x +1
⎝ x +1 ⎠
x −1

x −1 4
2
, Do 0 ≤ 4
Đặt t = 4
= 1−
<1⇒ 0 ≤ t <1
x +1
x +1
x +1
Phương trình (2) trở thành : 3t 2 + m = 2t ⇔ m = −3t 2 + 2t (3)
Xét hàm số f (t ) = −3t 2 + 2t , t ∈ [ 0;1)

Ta có : f ' (t ) = −6t + 2 ; f ' (t ) = 0 ⇔ t =

1
3

Bảng biến thiên :
t 0

1
3

+ 0

f ' (t )

1
−

1
3

f (t )

0

-1

Phương trình (1) có nghiệm x ∈ [1; +∞ ) ⇔ phương trình (3) có nghiệm t ∈ [ 0;1)
⇔ −1 < m ≤

1
3

* Nhận xét:
Nếu không đặt được ẩn phụ mà giải trực tiếp thì đây là bài toán tương đối phức
tạp. Khi đặt ẩn phụ học sinh hay gặp sai lầm là chỉ nói được t ≥ 0 , không chỉ ra
được t<1.
Bài toán 4: Cho phương trình log 22 x + log 1 x 2 − 3 = m(log 2 x − 3) (1)
2

Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [32; +∞ )
Lời giải :
Từ điều kiện của x, ta có log 2 x ≥ 5 ⇒ log 2 x − 3 ≥ 2 nên m ≥ 0
PT (1) ⇔ log 22 x − 2 log 2 x − 3 = m(log 2 x − 3)
⇔ log 22 x − 2 log 2 x − 3 = m 2 (log 2 x − 3) 2

( 2)

Đặt t = log 2 x; t ≥ 5 .PT (2) trở thành
t 2 − 2t − 3 = m 2 (t − 3) 2 ⇔ m 2 =
t +1
, t≥5
t −2
−4
< 0 , ∀t ≥ 5
Ta có : f ' (t ) =
2
( t − 3)

t +1
t−2

(3)

Xét hàm số f (t ) =

GV: Trần Dũng

6

Trường THPT Nguyễn Chí Thanh


Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bảng biến thiên
t 5

+∞

'

f (t )
f (t ) 3

1

Phương trình (1) có nghiệm x ∈ [32; +∞ ) ⇔ phương trình (3) có nghiệm t ∈ [5; +∞ )
⇔ 1 < m2 ≤ 3
Kết hợp với điều kiện m ≥ 0 , ta có : 1 < m ≤ 3 .

* Nhận xét :
Nếu ta đưa về phương trình bậc hai theo t thì khi phương trình (3) có nghiệm t
phải kiểm tra nghiệm đó thỏa t ≥ 5 . Trong khi đó ta giải theo cách trên đưa về
dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên.
Bài toán 5 :Cho phương trình 41+ x + 41− x = (m + 1)(22+ x − 22− x ) + 2m (1)
Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [ 0;1]
Lời giải :
PT (1) ⇔ 4(4 x + 4− x ) = (m + 1)4(2 x − 2− x ) + 2m (2)
Đặt t = 2 x − 2− x ⇒ 4 x + 4− x = t 2 + 2
Ta có : t ' = 2 x ln 2 + 2− x ln 2 > 0 , ∀t ∈ [ 0;1]
x 0
t

1
+

'

3
2

t
0
Do đó : 0 ≤ t ≤

3
2

PT (2) trở thành : 2(t 2 + 2) = 2(m + 1)t + m ⇔

2t 2 − 2t + 4
= m (3)
2t + 1

2t 2 − 2t + 4
⎡ 3⎤
, t ∈ ⎢0; ⎥
2t + 1
⎣ 2⎦
⎡ −1 + 11
⎢t =
2
4t + 4t − 10 '
2
⎢
Ta có : f ' (t ) =

;
f
(
t
)
0
=
⇔
2
⎢ −1 − 11
( 2t + 1)
⎢t =
2
⎣

Xét hàm số f (t ) =

Bảng biến thiên :

GV: Trần Dũng

7

Trường THPT Nguyễn Chí Thanh


Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------3
2

t 0
−

f ' (t )
f (t ) 4

11
8

Phương trình (1) có nghiệm x ∈ [0;1] ⇔ phương trình (3) có nghiệm t ∈ ⎡⎢0; ⎤⎥
⎣ 2⎦
3

⇔

11
≤m≤4
8

* Nhận xét :
Nếu ta đưa về phương trình bậc hai theo t thì khi phương trình (3) có nghiệm t
phải kiểm tra nghiệm đó thỏa t ∈ [ 0;1] . Trong khi đó ta giải theo cách trên đưa về
dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên.
Bài toán 6 :Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

91+

1− x 2

− ( m + 3) 31+

1− x 2

+ 2m + 1 = 0

Lời giải:
Điều kiện: 1 ≤ x ≤ 1 . Đặt t = 31+

1− x 2

.

Ta có: 0 ≤ 1 − x 2 ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1 − x 2 + 1 ≤ 2
2

Nên 3 ≤ 3 1− x +1 ≤ 32 ⇔ 3 ≤ t ≤ 9
Khi đó, phương trình đã cho trở thành

t 2 − 3t + 1
t − ( m + 3) t + 2m + 1 = 0 ⇔
=m
t −2
t 2 − 3t + 1
Xét hàm số f ( t ) =
trên [3;9] .
t−2
t 2 − 4t + 5
'
> 0, ∀t ∈ [3;9] .
Ta có f (t ) =

2
(t − 2)
2

Suy ra: f (t ) là hàm số đồng biến trên [3;9]
Do đó phương trình đã có nghiệm khi và chỉ khi

55
7
Bài toán 7 : Cho phương trình 3 tan x + 1 ( sin x + 2 cos x ) = m ( sin x + 3cos x ) (1)
min f ( t ) ≤ m ≤ max f ( t ) ⇔ f ( 3) ≤ m ≤ f ( 9 ) ⇔ 1 ≤ m ≤
[3;9]

[3;9]

π

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất x ∈ ⎛⎜ 0; ⎞⎟
⎝ 2⎠
Lời giải :

π

Xét x ∈ ⎛⎜ 0; ⎞⎟ , khi đó sin x > 0, cos x > 0, tan x > 0 ,sin x + 3cos x > 0
⎝ 2⎠
GV: Trần Dũng

8

Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------sin x + 2 cos x
=m
sin x + 3cos x
tan x + 2
⇔ 3 tan x + 1
= m (2)
tan x + 3
Đặt t = tan x , t > 0
t+2
PT (2) trở thành 3 1 + t .
= m , t >0
t +3
t+2
Xét hàm số f (t ) = 3 1 + t .
,t>0
t +3
3
t+2
t +1
Ta có : f ' (t ) =
+3
> 0 ,t > 0
.
2
2 t +1 t + 3
( t + 3)

PT (1) ⇔ 3 tan x + 1

Bảng biến thiên
t 0

+∞

+

'

f (t )
f (t )

+∞

2

π
Ứng mỗi t > 0 thỏa mãn PT (3), ta được đúng một nghiệm x ∈ ⎛⎜ 0; ⎞⎟ của PT (1)
⎝

2⎠

π
Do đó PT (1) có nghiệm duy nhất thỏa x ∈ ⎛⎜ 0; ⎞⎟ khi và chỉ khi PT (3) có duy
⎝

2⎠

nhất nghiệm t > 0 .
Từ bảng biến thiên ta có : m > 2
* Nhận xét :
Đây là bài toán tương đối khó, sau khi đặt ẩn phụ ta vẫn được một phương trình
chứa căn phức tạp.Cách giải trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó
là ưu điểm của cách giải trên.
Bài toán 8 : Cho phương trình 6 − x + x + 3 = mx (1) .Tìm m để phương trình có
nghiệm
Lời giải :
Điều kiện : −3 ≤ x ≤ 6
Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên (1) tương đương với
6− x
3+ x
+
=m
x
x
6− x
3+ x
, x ∈ [ −3; 6]
Xét hàm số f ( x) =
+
x
x
x − 12
x+6
Ta có : f ' ( x) = 2
− 2
2x 6 − x 2x x + 3
Với mọi x ∈ [ −3; 6] ⇒ x − 12 < 0, x + 6 > 0 nên f ' ( x) < 0 , ∀x ∈ ( −3;6 )

Bảng biến thiên :

GV: Trần Dũng

9

Trường THPT Nguyễn Chí Thanh


Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0

x −3
f’(x)
−
-1
f(x)

6
−

+∞
1
2

-∞

⎡ m ≤ −1
Từ bảng biến thiên ta có : Phương trình (1) có nghiệm ⇔ ⎢
⎢m≥ 1
2
⎣

* Nhận xét :
Đây là bài toán mà ta không đặt được ẩn phụ, nếu dùng phép biến đổi mất căn
thì dẫn đến một phương trình phức tạp. Cách giải trên đưa về dùng bảng biến
thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên.
Bài toán 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
−1
3 1 − x 2 − 2 x3 + 2 x 2 + 1 = m (1) trên ⎡⎢ ;1⎤⎥
⎣2

⎦

Lời giải:
−1

Xét hàm số f ( x ) = 3 1 − x 2 − 2 x3 + 2 x 2 + 1 trên ⎡⎢ ;1⎤⎥ .
⎣2 ⎦
⎛ 3
−3 x
3x 2 + 4 x
−
= −x⎜
+
Ta có f ' ( x) =
2

−
x3 + 2 x 2 + 1
x
1 − x2
1
⎝
−1
trên ⎡⎢ ;1⎤⎥ .

g ( x ) = x3 + 2 x 2 + 1

Xét hàm số

⎞
⎟
x3 + 2 x 2 + 1 ⎠
3x + 4

⎣2

Ta có g ′ ( x ) = 3x + 4 x = 0 ⇔ x = 0

⎦

2

Ta có bảng biến thiên
x −

1

2

g ' ( x)
g ( x)

0
+

0

1
−

1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g ( x) ≥ 1, ∀x ∈ ⎡⎢ − ;1⎤⎥
1
⎣ 2 ⎦

1
5
1
và ∀x ∈ ⎡⎢ − ;1⎤⎥ ta có 3(− ) + 4 ≤ 3 x + 4 ≤ 3.1 + 4 ⇔ ≤ 3 x + 4 ≤ 7 .
⎣ 2 ⎦
2
2
3
3x + 4
⎡ 1 ⎤
+
> 0, ∀x ∈ ⎢ − ;1⎥

Suy ra
⎣ 2 ⎦
1 − x2
x3 + 2 x 2 + 1
Do đó f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0

GV: Trần Dũng

10

Trường THPT Nguyễn Chí Thanh