Một số ví dụ về dạng toán cực trị hàm số

Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
.......................................................................................................
NHẮC LẠI KIẾN THỨC :
➤ Cho hàm số y = f (x). Khi đó y có n điểm cực trị thì phương trình y = 0 có n nghiệm phân biệt.
➤ Khi biện luận về nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0, ta cần lưu ý phương trình có hai nghiệm
phân
biệt khi và chỉ khi:


√

a = 0
−b ± ∆
và khi đó 2 nghiệm của phương trình là x1,2 =

2a

2
∆ = b − 4ac > 0
➤ Lưu ý:
➥ Một là, đôi khi bài toán có thể hỏi dưới dạng "Chứng minh hàm số luôn có hai điểm cực
trị".Và vì vậy, sau khi xét phương trình y = 0 ta tiếp tục xét tiếp biểu thức ∆ = b2 − 4ac và chứng
minh ∆ > 0.
➥ Hai là, chúng ta cần lưu ý các điều kiện để hàm số đạt cực dại và cực tiểu bằng cách sử dụng
đạo hàm cấp
 2:



f (x0 ) = 0


f (x0 ) < 0



f (x0 ) = 0

⇒ Hàm số đạt cực đại tại x = x0

⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0



f (x0 ) > 0
•Lưu ý rằng sau khi tìm xong m ta phải có bước thử lại và giả sử


f (x0 ) = 0
thì không được gì cả.


f (x0 ) = 0
➥ Ba là, với bài toán "cực trị liên quan đến hoành độ", giả sử phương trình y = 0 có
hai nghiệm phân biệt là x1 ; x2 thì để biết hoành độ nào là xCD , xCT thì ta "phải dựa vào dạng đồ thị
hoặcbảng biến thiên. Cụ thể như sau:


a > 0 ⇒ xCD < xCT

nếu


a < 0 ⇒ xCD > xCT
➥ Bốn là, với bài toán "cực trị liên quan đến tung độ", ta có thể thay hoành độ cực
trị (HĐCT) vào độ thị hàm số y = f (x). Điều này chỉ thật sự hữu hiệu khi "hoành độ cực trị đẹp".

Nhận gia sư các lớp THPT và THCS. Liên hệ sđt 0931438453

1


Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8
Với các HĐCT có biểu diễn phức tạp thì ta phải tìm tung độ cực trị bằng cách thay HĐCT vào Phương
trình nối hai điểm cực trị (đây chính là phần dư trong phép chia y cho y’.)
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1
Bài 1: Cho hàm số y = (m2 − 1)x3 + (m + 1)x2 + 3x + 5. Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị.
3
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R
Đạo hàm y = (m2 − 1)x2 + 2(m + 1)x + 3
y = 0 ⇔ (m2 − 1)x2 + 2(m + 1)x + 3 = 0
Hàm
 số có hai cực trị ⇔ y = 0 có hai nghiệm
 phân biệt





m2 − 1 = 0
m = ±1
⇔
⇔




∆ = (m + 1)2 − 3(m2 − 1) > 0
−2m2 + 2m + 4 > 0



m = 1
Vậy giá trị m cần tìm là


−1 < m < 2

⇔




m = ±1


−1 < m < 2

⇔




m = 1


−1 < m < 2

2x3
+ (m + 1)x2 + (m2 + 4m + 3)x − 1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu
3
và hoành độ các cực trị đều dương.

Bài 2: Cho hàm số y =

Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R
Đạo hàm y = 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3
Hàm số có hai điểm cực trị đều dương
⇔ y = 0 có hai nghiệm phân biệt dương.



∆ = (m + 1)2 − 2(m2 + 4m + 3) > 0




⇔ S = −(m + 1) > 0





2


P = m + 4m + 3 > 0
2
Vậy giá trị m cần tìm là −5 < m < −3

⇔ −5 < m < −3

Bài 3: Cho hàm số y = x3 − (m + 1)x2 + (3m − 4)x + 5. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R
Đạo hàm y = 3x2 − 2(m + 1)x + 3m − 4 và y = 6x − 2(m + 1)
Nhận gia sư các lớp THPT và THCS. Liên hệ sđt 0931438453

2


Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ⇒




f (1) = 0



f (1) < 0

⇔




3 − 2(m + 1) + 3m − 4 = 0

⇔m=3



6 − 2(m + 1) < 0

Vậy giá trị m cần tìm là m = 3
2
Với m = 3, ta có: y = x3 − 4x
 + 5x + 5, tập xác định D = R

 x=1
y = 3x2 − 8x + 5, y = 0 ⇔ 
5
x=
3
Do hàm số y có hệ số a = 1 > 0 nên xCD < xCT ⇒ xCD = 1 (thỏa mãn YCBT)
Bài 4: Tìm m để hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2 + 9x − m có 2 điểm cực trị x1 ; x2 thỏa mãn |x1 − x2 | = 2.
Hướng dẫn giải

Tập xác định D = R
Ta có: y = 3x2 − 6(m + 1)x + 9; y = 0 ⇔ x2 − 2(m + 1)x + 3 = 0 (1)
Yêucâu bài toán tương đương với(1) có hai nghiệm phân biệt
 x1 ; x2 thỏa mãn |x1 − x2 | = 2
√
√






∆ = (m + 1)2 − 3 > 0
m2 + 2m − 2 > 0
m > −1 + 3 hay m < −1 − 3
⇔
⇔
⇔






|x1 − x2 | = 2
(x1 − x2 )2 = 4
(x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = 4


√

√


m > −1 + 3 hay m < −1 − 3
 m = −3
⇔
⇔


m=1
4(m + 1)2 − 4.3 = 4
Vậy giá trị cần tìm của m là m=-3 hay m=1
Bài 5: Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 (1). Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu
và các điểm cực trị của hàm số cách đều gốc tọa độ.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D = R. Ta có: y = −3x2 + 6x + 3(m2 − 1)
y = 0 ⇔ x2 − 2x − m2 + 1 = 0 (2)
Hàm số (1) có hai cực trị thì (2) có 2 nghiệm phân biệt
⇔ ∆ = m2 > 0 ⇔
m=0
 x=1−m
Khi đó y = 0 ⇔ 
x=1+m

Gọi A,B là hai điểm cực trị cảu đồ thị hàm số (1) thì




A(1 − m; −2 − 2m3 )



B(1 + m; −2 + 2m3 )

Do O cách đều A và B ⇔ OA = OB ⇔ 8m3 = 2m ⇔ m = ±

1
(vì m = 0)
2

Nhận gia sư các lớp THPT và THCS. Liên hệ sđt 0931438453

3